Wówczas zmienna losowa Ta ma rozkªad Levy'ego z parametrami m = 0 i s = a2 (zgodnie z parametry- zacj¡ zapisan¡ w funkcji dlevy z pakietu rmutil)

Laboratorium z rachunku prawdopodobie«stwa Zadanie domowe nr 7

Dokonaj symulacji jednej trajektorii procesu Wienera {Wt} na odcinku [0,1000] w taki sposób, »e kolejne obserwacje pojawiaj¡ si¦ w równych odst¦pach czasu co 0.5. Narysuj uzyskan¡

trajektori¦.

W nast¦pnej kolejno±ci na podstawie 10000 trajektorii uzyskanych w powy»ej opisany sposób zilustruj dziaªanie dwóch faktów dotycz¡cych procesu Wienera:

Prawo odbicia:

∀ t, a ≥ 0 P

 sup

0≤s≤t

W_s > a



= 2

1 − Φa t



.

Przyjmij t = 1000 i dokonaj estymacji prawdopodobie«stwa po lewej stronie dla w miar¦

g¦sto rozªo»onego ci¡gu arytmetycznego warto±ci a z przedziaªu [0, 50]. Zaznacz te wyestymo- wane prawdopodobie«stwa na wykresie w zale»no±ci od a. Nast¦pnie dorysuj wykres funkcji po prawej stronie.

Rozkªad momentu opuszczenia pasa wokóª 0: Niech Ta = inf{t ≥ 0 : W_t = a}. Wówczas zmienna losowa Ta ma rozkªad Levy'ego z parametrami m = 0 i s = a² (zgodnie z parametry- zacj¡ zapisan¡ w funkcji dlevy z pakietu rmutil).

Na postawie wcze±niej wysymulowanych 10000 trajektorii wyznacz czasy Ta i sporz¡d¹ ich histogram g¦sto±ciowy. Dorysuj do niego wykres g¦sto±ci odpowiedniego rozkªadu Levy'ego.

Operacj¦ przeprowad¹ dla a ∈ {10, 20, 30}.