Powtórka wielomiany, NWD Dzielenie wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry. Szukanie najwi¦kszego wspólnego dzielnika - algorytm Euklidesa. Uªamki proste zespolone, rzeczywiste.
Zadanie 1 Podzieli¢ z reszt¡ wielomian P przez wielomian Q a) P (z) = z5− 2iz2− z, Q(z) = z2+ 1
b) P (z) = z5, Q(z) = (z + 1)(z− 1)(z − 2)
odp: a) P (z) = (z3− z − 2i)Q(z) + 2i, b) P (z) = (z2+ 2z + 5)Q(z) + 10z2+ z− 10 Zadanie 2 Rozªo»y¢ na czynniki pierwsze nast¦puj¡ce wielomiany (nad R jak i nad C)
a) x4+ 16 b) x4+ 5x2+ 6
odp: a) nad C: (x − 2eiπ/4)(x− 2ei3π/4)(x− ei5π/4)(x− ei7π/4), nad R: (x2− 2√
2x + 4)(x2+ 2√
2x + 4) b) nad C:
(x + i√
2)(x− i√
2)(x− i√
3)(x + i√
3), nad R: (x2+ 2)(x2+ 3)
Zadanie 3 Stosuj¡c algorytm Euklidesa znale¹¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik a) liczb 1071 i 462
b) wielomianów P (x) = x3− 2x2+ x− 2 i Q(x) = x3− 4x2+ x− 4.
odp: a) 21 , b) x2+ 1
Zadanie 4 Odgadn¡¢ jeden z pierwiastków z0 wielomianu P (z), i sprawd¹ »e wielomian dzieli si¦ bez reszty przez (z − z0), nast¦pnie znale¹¢ pozostaªe pierwiastki.
a) P (z) = 3z3− 7z2+ 4z− 4 b) P (z) = z5+ 1
odp: a)2,16(1± i√
23)b) eiπ/5+2kπ/5, k = 0, 1, 2, 3, 4
Zadanie 5 Rozªo»y¢ podane funkcje wymierne na sum¦ uªamków prostych. Rozwa»y¢ oddzielnie przypadek gdy s¡ to funkcje wymierne liczby zespolonej oraz funkcje wymierne liczby rzeczywistej.
a) 2 z3− z b) z + 1
(z2+ 1)2(z− 1)
odp: a) 1+z1 −2z+z−11 , b) nad R: 2(z1−1)−z2z+1−2(zz+12+1), nad C: 2(z1−1)−4(z+i)1+i −4(z1−i−i)−4(z+i)i 2 +4(z−i)i 2. Zadanie 6 - ciekawostka Jaki zwi¡zek z liczbami zespolonymi i tym co robimy ma zbiór Mandelbrota:
