Powtórka przed kolokwium 1
1 Warsztat pracy matematyka - działania na zbiorach
1. Wyznacz podane zbiory:
(a) A = [16, 19], B = (−9, 17), A ∪ B =? (b) A = (1, 7), B = [6, 8], A ∩ B =?
2. Zaznacz podane zbiory na płaszczyźnie:
(a) {(x, y) ∈ R2: x2+ y2¬ 9} (b) {(x, y) ∈ R2: y > 2x2+ 1}
3. Zasada włączania i wyłączania:
(a) W szafie są koszule w kratkę i koszule ciemne. Jest 10 koszul w kratkę i 13 koszul ciemnych oraz 3 ciemne koszule w kratkę. Ile jest koszul w szafie?
(b) W grupie 20 przedszkolaków 10 dzieci umie czytać, 12 liczyć, a 8 śpiewać. Wszystkie trzy czynności potrafi wykonać tylko jedno dziecko. Dwójka umie czytać i liczyć, trójka czytać i śpiewać. Ile dzieci potrafi liczyć i śpiewać?
2 Funkcje - własności, funkcje elementarne
1. Sprawdź podane własności funkcji:
(a) f : R → R, f (x) = 3x2, czy f jest nierosnąca? (b) f : R → R, f (x) = −12x + 1, czy f jest malejąca?
2. Czy podana funkcja jest bijekcją?
(a) f : R2→ R2, f (x, y) = (x, |y|) (b) f : R → R, f (x) = x3− 8
3. Zbadaj parzystość funkcji:
(a) f : R → R, f (x) = |x − 2| (b) f : R → R, f (x) = |[x]|
4. Na podstawie dwóch punktów należących do wykresu funkcji liniowej, znajdź jej wzór:
(a) f (1) = 10, f (5) = 6 (b) f (5) = 5, f (0) = −4
5. Rozwiąż równania kwadratowe w liczbach rzeczywistych:
(a) 2x2− 3x − 2 = 0 (b) x2+ 2x + 7 = 0
3 Wielomiany, równania i nierówności wielomianowe
1. Wykonaj dzielenia wielomianów:
(a) (x5− 2x4− 15) : (x2+ x + 1) (b) (x4− 2x3+ x2− 7x + 6) : (x2+ 2x + 5) 2. Rozwiąż równania wielomianowe:
1
(a) 2x2− 3x − 2 = 0 (b) 3x4+ 12x3− 54x2− 36x + 27 = 0
3. Rozwiąż nierówności wielomianowe:
(a) (x + 3)(x + 2)x(x − 4) 0 (b) (x + 2)(2x2− 5x − 1)(x2+ x + 1) < 0
4 Symbol sumy, iloczynu, dwumian Newtona, indukcja matematyczna
1. Oblicz:
(a) Σ4k=1(3k + 1)2 (b) Σ6k=3(−1)kk3
2. Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowonij następujące fakty:
(a) Σn−1k=1 = 12n(n − 1) (b) 1 − x + x2− . . . + x2n= x2n+1x+1+1
3. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona, rozwiń podane wyrażenia:
(a) (2x + y)5 (b) (x − y)7
4. Wykazać, że jeśli 1 ¬ k ¬ n, to
n k − 1
+n
k
=n + 1 k
5 Kombinatoryka
1. Jeden bar oferuje 5 zup i 10 drugich dań, drugi natomiast 6 zup i 8 drugich dań. Ile różnych obiadów dwuda- niowych masz do wyboru, jeśli się zdecydujesz zjeść obiad w jednym z tych barów?
2. Na ile sposobów można ułożyć harmonogram klasówek na 15 tygodni, przy założeniu, że w tygodniu mogą być co najwyżej 2 klasówki, a tydzień składa się z 30 godzin lekcyjnych?
3. Deseń składa się z 12 kafelków, ułożonych obok siebie ”gęsiego”. Ile takich deseni można ułożyć mając 4 kafelki białe, 4 błękitne i 4 granatowe?
6 Funkcje trygonometryczne
1. Punkt (1, 0) obracamy obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α. Znajdź współrzędne punktu P , który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy:
(a) π3 (b) 34π
2. Znajdź najmniejszy kąt dodatni o jaki należy obrócić punkt P = (1, 0) wokół początku układu współrzędnych, aby otrzymać punkty:
(a) (
√ 2 2 ,
√ 2
2 ) (b) (−
√ 3 2 ,12)
3. Korzystając z poniższych informacji obliczyć wartości funkcji sin x, cos x, tg x oraz ctg x:
(a) cos x = −14, x ∈ (π2, π) (b) cos x = −13, x ∈ (32π, 2π)
4. Wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią czy ujemną?
(a) sin 447ocos 121otg 523o (b) cos(−103sin 679oo)
5. Obliczyć:
2
(a) cos 135o (b) sin 105o
6. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne:
(a) tg(α + β) = 1−tg α tg βtg α+tg β (b) sin α + sin β = 2 sinα+β2 cosα−β2
7 Wektory
1. Po przesunięciu o wektor [1, −1] trójkąt ABC został przekształcony na trójkąt A0B0C0o wierzchołkach A0(2, 2) , B0(0, 4) i C0(1, 4) . Jakie wierzchołki miał trójkąt przed przesunięciem ?
2. Obliczyć (~a + ~b )2wiedząc, że kąt między wektorami ~a i ~b wynosi 150ooraz |~a | = 2√
3 i |~b | = 2.
3. Udowodnić, że punkty A(−2, 1) , B(3, 4) , C(−5, 6) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Znaleźć pozostałe kąty tego trójkąta.
Źródło wykorzystane do orpacowania materiału: materiały z platformy OLAT
3
