3 Przekszta lcenia afiniczne c.d.

GAL

, konspekt wyk lad´ ow: Przestrzenie afiniczne

4 kwietnia 2017

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toru´nczyk.

Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej.

1 Przestrzenie Afiniczne [Kos roz. 4, §1]

1.1 Definicja przestrzeni afinicznej: (E, V, ω), gdzie E zbi´or, V przestrze´n liniowa, ω : E × E → V odwzorowanie, kt´ore spe lnia

1. ω(p, q) + ω(q, r) = ω(p, r)

2. ∀p ∈ E ∀α ∈ V ∃!q ∈ E : v = ω(p, q)

tzn ∀p ∈ E odwzorowanie ω(p, −) : E → V jest bijekcja_,.

Przestrze´n V nazywamy przestrzenia_,styczna_,i oznaczamy przez T E.

1.2 Czasami wektor ω(p, q) jest oznaczany −→pq.

1.3 Operacja : E × V → E zdefiniowana przez warunek p ω(p, q) = q:

1’) (p v) w = p (v + w) dla p ∈ E, v, w ∈ V 2’) ∀p ∈ E, V 3 v 7→ p v ∈ E jest bijekcja_,.

1.4 Mamy ω(p, p) = 0, ω(p, q) = −ω(q, p) oraz p 0 = p dla p, q ∈ E.

1.5 Kombinacje afiniczne, czyli ´srodki cie_,˙zko´sci (barycentry)Pk

i=0a_ip_i := q  Pk

i=0a_iω(q, p_i) dla Pk

i=1a_i = 1. Niezale˙zno´s´c od q ∈ E.

(W dalszej cze_,´sci nie be_,dziemy ju˙z u˙zywa´c specjalnego , tylko zwyk ly +.) 1.6 Uk lady rozpinaja_,ce, niezale˙zne uk lady punkt´ow, bazy punktowe.

1.7 p₀, p₁, . . . , p_n jest niezale˙zny/rozpinaja_,cy/jest baza_,E wtedy i tylko wtedy gdy ω(p₀, p₁), ω(p₀, p₂) . . . , ω(p₀, p_n) jest niezale˙zny/rozpinaja_,cy/jest baza_,V .

1.8 Wniosek: Trzy warunki r´ownowa˙zne – p₀, p₁, . . . , p_n jest baza_,punktowa_,

– p0, p1, . . . , pn to minimalnym uk ladem rozpinaja_,cym, – p0, p1, . . . , pn to maksymalnym uk ladem niezale˙znym.

1.9 Wsp´o lrze_,dne baryczentryczne w bazie punktowej.

1.10 Definicja: Niech F ⊂ E, W ⊂ V , ω⁰ = ω_{|F ×F}. Tr´ojka (F, W, ω⁰) jest podprzestrzenia_, (E, V, ω) gdy

– ∀p, q ∈ F ω(p.q) ∈ W

– ∀p ∈ F funkcja ω(p, ) : F → W , q 7→ ω(p, q) jest bijekcja_,.

1.11 Podzbi´or F ⊂ E jest podprzestrzenia_,afiniczna_,(a ´sci´slej: istnieje W ⊂ V takie, ˙ze (F, W, ω_{|F ×F}) jest podprzestrzenia_,) wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zamknie_,ty ze wzgle_,du na branie kombinacji afinicznych.

Dow (⇐): Definiujemy W = {ω(p, q) | p, q ∈ F }. Sprawdzamy, ˙ze W jest podprzestrzenia_,liniowa_, – aω(p, q) = ω(p, q⁰) dla q⁰= (1 − a)p + aq,

– ω(p, q) + ω(r, s) = ω(p, q) + ω(r, p) + ω(p, s) = ω(p, q) − ω(p, r) + ω(p, s) = ω(p, q⁰) dla q⁰ = 1 q + (−1)r + 1 s.

Przy okazji zauwa˙zamy, ˙ze dla ustalonego p przestrze´n {ω(p, q) | q ∈ F } jest r´owna W . Zatem przek- szta lcenie F → W , q 7→ ω(p, q) jest ,,na” i oczywi´scie jest r´o˙znowarto´sciowe.

2 Podprzestrzenie afiniczne, przekszta lcenia

2.1 Za l´o˙zmy char(_K) 6= 2. Zbi´or zamknie_,ty ze wzgle_,du na dwuelementowe kombinacje afiniczne jest podprzestrzenia_,afiniczna_,.

2.2 Ka˙zda podprzestrze´n F ⊂ E jest postaci p + W , gdzie W jest podprzestrzenia_, liniowa_, w T E.

Przestrze´n liniowa W nie zale˙zy od wyboru p ∈ F .

2.3 Ka˙zda podprzestrze´n afiniczna w E jest postaci p + W , gdzie p ∈ E, W ⊂ V = T E.

2.4 Parametryczne przedstawienie: np prosta L(p, q) = {p + tω(p, q) | t ∈_K}.

2.5 Ka˙zda podprzestrze´n afiniczna w_Kⁿ jest opisana niejednorodnym uk ladem r´owna´n liniowych.

2.6 Cze_,´s´c wsp´olna rodziny podprzestrzeni jest pusta lub jest podprzestrzenia_,.

2.7 Istnieje najmniejsza podprzestrze´n af (A) zawieraja_,ca dany zbi´or A. Sk lada sie_,ona z kombinacji afinicznych punkt´ow z A.

2.8 R´ownoloeg´o´s´c:

F1 jest s labo r´ownole le do F2 gdy T F1 ⊂ T F₂ (to jest relacja kwaziporza_,dku) F₁ jest silnie r´ownole le do F₂ gdy T F₁= T F₂ (to jest relacja r´ownowa˙zno´sci)

2.9 ´Cwiczenie: Je´sli F₁ jest s labo r´ownole le do F₂, oraz F₁ 6⊂ F₂ to F₁∩ F₂= ∅.

Przekszta lcenia afiniczne

2.10 Definicja. Przekszta lcenie φ : E → F jest afiniczne je´sli przeprowadza kombinacje afiniczne na kombinacje afiniczne obraz´ow.

2.11 Styczne przekszta lcenie stycznych przestrzeni liniowych eφ = Dφ : T E → T F . Dφ(v) := ω(φ(p), φ(p + v))

(Sprawdzamy, ˙ze definicja nie zale˙zy od wyboru p ∈ E, oraz ˙ze Dφ jest liniowe. Wsk: p⁰ + v jest kombinacja_,afiniczna_,1p⁰+ 1(p + v) + (−1)p.)

2.12 Przekszta lcenie styczne Dφ i wyb´or φ(p) ∈ F dla ustalonego p ∈ E definiuje przekszta lcenie afiniczne, tzn je´sli dane jest przekszta lacenie liniowe φ0 : T E → T F oraz dowolne punkty p ∈ E, q ∈ F , to istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ : E → F takie, ˙ze φ(p) = q oraz Dφ = φ0.

2.13 Przekszta lcenie afiniczne jest zadane przez wyb´or obraz´ow bazy punktowej.

2.14 We wsp´o lrze_,dnych: przekszta lcenia afiniczne_Kⁿ→_K^m sa_,postaci

φ(x₁, x₂, . . . , x_n) = (f₁(x₁, x₂, . . . , x_n) + b₁, f₂(x₁, x₂, . . . , x_n) + b₂, . . . , f_m(x₁, x₂, . . . , x_n) + b_m) . gdzie Dφ = (f₁, f₂, . . . , f_m) :Kⁿ→_K^m jest przekszta lceniem liniowym, φ(0, 0, . . . , 0) = (b₁, b₂, . . . , b_m).

3 Przekszta lcenia afiniczne c.d.

3.1 Wybieramy p ∈ E i p⁰ ∈ F . Wtedy

przekszta lcenia afiniczne(E, F ) ' T F × L(T E, T F ), φ −→ (ω(p⁰, φ(p)), Dφ) q 7→ p⁰+ v + Dφ(ω(p, q))

←− (v, Dφ) .

3.2 Dany wektor v ∈ V = T E. Przez Tv oznaczamy przesunie_,cie Tv(p) = p + v.

3.3 Ka˙zde przekszta lcenie afiniczneKⁿ→_K^m jest z lo˙zeniem przekszta lcenia liniowego i przesunie_,cia.

3.4 Przyk lad symetria afiniczna: Niech F ⊂ E, T E = T F ⊕ V . Istnieje dok ladnie jedno przek- szta lcenie afiniczne φ, kt´ore jest sta le na F oraz Dφ jest sym etria_,wzgle_,dem T F wzd l´o˙z V .

3.5 Je´sli Df jest izomorfizmem, to f jest izomorfizmem. Ka˙zde dwie przestrzenie tego samego wymiaru sa_, izomorficzne. W szczeglnoci je´sli dim E = n, to E ' _Kⁿ. Izomorfizm zale˙zy od wyboru punktu p ∈ E i wyboru bazy w T E.

3.6 Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przy przekszta lceniu afinicznym jest podprzestrzenia_,afiniczna_,. Ka˙zda podprzestrze´n wKⁿjest przeciwobrazem 0 przy pewnym przekszta lceniu afinicznym Kⁿ→_K^m.

3.7 Sk ladanie przekszta lce´n. Wybieramy p ∈ E, q ∈ F oraz w r ∈ G.

Uto˙zsamiamy E ' T E, F ' T F i G ' T G.

T F × L(T E, T F ) ' przekszta lcenia afiniczne(T E, T F ), (v, Dφ) = T_v◦ Dφ

T G × L(T F, T G) ' przekszta lcenia afiniczne(T F, T G), (w, Dψ) = Tw◦ Dψ

T G × L(T E, T G) ' przekszta lcenia afiniczne(T E, T G), (w, Dψ) ◦ (v, Dφ) = Tw◦ Dψ ◦ T_v◦ Dφ

u 7→ Dφ(u) + v 7→ Dψ(Dφ(u) + v) + w = Dψ(Dφ(u)) + (Dψ(v) + w).

Zatem z lo˙zeniu o dpowiada para

(w, Dψ) ◦ (v, Dφ) = (w + Dψ(v), Dψ ◦ Dφ)

3.8 Wniosek: D(ψ ◦ φ) = Dψ ◦ Dφ

Odsy lacz do grupy przekszta lce´n: Kostrikin Roz 4,§3.

3.9 Grupa izomorfizm´ow afinicznych Af f (E), Af f (_Kⁿ) = Af f_n(E).

Odwzorowanie D : Af f (E) → GL(T E) jest homomorfizmem, tzn D(φ ◦ ψ) = D(φ) ◦ D(ψ), D(Id_E) = Id_{T E}.

3.10 Odwzorowanie D jest epimorfizmem.

ker(D) = {φ ∈ Af f (E) | Dφ = Id_{T E}} = {T_v | v ∈ T E}.

Mamy cia_,g przekszta lce´n

T E ^mono,→ Af f (E) ^epi GL(T E) v 7→ⁱ Tv

φ 7→ Dφ

M´owimy, ˙ze ten cia_,g jest dok ladny (warunek im(i) = ker(D)).

3.11 Istnieje odwzorowanie (homomorfizm) j : GL(T E) → Af f (E) spe lniaja_,ce D ◦ j = IdT E. Takie odwzorowanie nazywa sie_,rozszczepieniem. Odwzorowanie

T E × GL(T E) → Af f (E), (v, φ0) 7→ (Tv◦ j(φ₀))

jest bijekcja_, zbior´ow, ale dzia lanie w T E × GL(T E) nie jest zgodne z dzia laniami sk ladania. To jest tzw produkt p´o lprosty T E o GL(T E).

3.12 Je´sli uto˙zsami´c Af f (E) z T E × GL(T E) to sk ladanie zadane jest wzorem (w, ψ₀) ◦ (v, φ₀) = (w + ψ₀(v), ψ₀◦ φ₀) .

3.13 Niezmienniki przekszta lce´n afinicznych:

- wsp´o lliniowo´s´c (koplanarno´s´c, etc) punkt´ow - r´ownoleg lo´s´c podprzestrzeni (s laba i silna) - proporcje podzia lu odcinka.

- np przecinanie sie_,trzech prostych L(pi, qi), i = 1, 2, 3 w jednym punkcie

4 Przestrzenie rzutowe.

4.1 Dana przestrze´n wektorowa V nad cia lem K. Zbi´or prostych (przechodza_,cych przez 0) w V oznaczamy przezP(V ). MamyP(V ) = (V \ {0})/ ∼, gdzie v ∼ w gdy istnieje λ ∈K, λ 6= 0, v = λw.

4.2 OznaczenieP(Kⁿ⁺¹) =Pⁿ(K). Elementy przestrzeni rzutowej sa_,oznaczane przez[x0 : x1: · · · : xn] (to jest klasa wektora (x0, x1, . . . , xn), czyli prosta rozpie_,ta przez ten wektor).

4.3 Niech E ⊂ V be_,dzie podprzestrzenia_,afiniczna_,, 0 6∈ E, dim V − dim E = 1. Dope lnienie _P(V ) \ P(T E) mo˙zna uto˙zsami´c z E.

4.4 Pⁿ(K) = (Kⁿ⁺¹\ {0})/ ∼ mo˙zna pokry´c zbiorami U_i = {x_i6= 0}. W zbiorze U_imamy wsp´o˙zze_,dne u₀ = ^x_x⁰

i, u₁ = ^x_x¹

i, . . . , bez u_i , . . . u_n= ^x_xⁿ

i . 4.5 Przyk lad_P¹(_K):

• u₁ = ^x_x¹

0 wsp´o lrze_,dna w U₀,

• v₀= ^x_x⁰

1 wsp´o lrze_,dna w U₁.

Mamy u1= 1/v0 (tam gdzie to ma sens).

4.6 Przyk ladP²(K):

• u₁ = ^x_x¹

0, u2 = ^x_x²

0 wsp´o lrze_,dne w U0,

• v₀= ^x_x⁰

1, v2 = ^x_x²

1 wsp´o lrze_,dne w U1,

• w₀ = ^x_x⁰

2, w₁ = ^x_x¹

2 wsp´o lrze_,dne w U₂. Mamy

u₁= _v¹

0 = ^w_w¹

0 , u₂ = ^v_v²

0 = _w¹

0

(tam gdzie to ma sens).

4.7 Dla dowolnej hiperpowierzchni H ⊂ V definiunemy zbi´or UH = {L ∈ P(V ) | L 6⊂ H}. Wyb´or v ∈ V \ H pozwala uto˙zsami´c UH z przestrzenia_, afiniczna_, H. R´o˙zne wybory v daja_, uto˙zsamienia r´o˙znia_,ce sie_, o automorfizm afiniczny be_,da_,cy z lo˙zeniem homotetii (jednok ladno´sci) z przesunieciem.

Gdy V =_Kⁿ⁺¹ to U_i = U_{xi=0}.

4.8 Zobaczy´c jak wygla_,da okra_,g (u₁)²+u²₂= 1 we wsp´o lrze_,dnych v₀, v₂ oraz we wsp´o lrze_,dnych w₀, w₁. 4.9 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni rzutowej: [x₀ : x₁ : · · · : x_n] 7→ [f₀(x) : f₁(x) : · · · : f_n(x)], gdzie x = (x0, x1, . . . , xn) oraz f = (f0, f1, . . . fn) :Kⁿ⁺¹→_Kⁿ⁺¹ jest izomorfizmem liniowym.

4.10 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni afinicznejKⁿuto˙zsamianej z U0(jest nie wsze_,dzie okre´slone):

(u1, u2, . . . , un) 7→ ( f¯1

f¯0

, f¯2

f¯0

, . . . , f¯n

f¯0

),

gdzie ¯f_i :_Kⁿ→_K, i = 0, 1, . . . , n sa_,funkcjami afinicznymi powsta lymi z funkcji liniowych f_i :_Kⁿ⁺¹→_K przez podstawienie x₀ = 1 w (4.9)).

4.11 Przyk lad: φ(u₁, u₂) = (1/u₁, u2/u1), przeciwobraz okre_,gu u²₁+ u²₂= 1 jest hiperbola_,.

4.12 Przekszta lcenia przestrzeni rzutowej zadane izomorfizmem liniowym przestrzeni V sa_,oznaczane przez P GL(V ), lyb gdy v = Kⁿ⁺¹ przez P GLn+1(K). Mamy P GL(V ) = GL(V )/ ∼, φ ∼ ψ gdy φψ⁻¹ = λIdV. Mamy cia_,g dok ladny

K^∗ ,→ GL_n+1(_K)  P GLn+1(_K)

5 Przestrzenie rzutowe (cd)

P laszczyzna rzutowa:

5.1 Proste r´ownoleg le w K² zadane r´ownaniami u₂ = a w mapie U₀ ze wsp´o lrze_,dnymi u₁, u₂. We wsp´o lrze_,dnych v0 = 1/u1, v2 = u2/u1 tworza_, pe_,k prostych przechodza_,cych przez punkt. Proste r´ownoleg le u2 = au1+ b (a ustalone, b dowolne) we wsp´o lrze_,dnych v0, v2 maja_,r´ownaniie v2 = a + bv0, punkt v0= 0, v2= a jest wsp´olny. Dostajemy pe_,k prostych.

5.2 Przekszta lcenie (u1, u2) 7→ (_1+u^2u1

2,^1−u_1+u²

2) przekszta laca parabole_,u2 = u²₁ na okra_,g.

5.3 Przekszta lcenia rzutowe_Pⁿ(_K) zachowuja_,ce U₀= {x₀ 6= 0}, sa_,indukowane przez φ ∈ GL(_Kⁿ⁺¹), φ(x0, x1, . . . , xn) = (f0(x0, x1, . . . , xn), f1(x0, x1, . . . , xn), . . . , fn(x0, x1, . . . , xn))

takie, ˙ze f₀(1, x₁, . . . , x_n) 6= 0. Czyli takie, ˙ze f₀(1, x₁, . . . , x_n) = a_0,0. Tzn macierz φ ma w ze- rowym wierszu tylko zerowy wyraz niezerowy. Takie przekszta lcenie rzutowe ma wz´or we sp´o lrze_,dnych afinicznych

(x1, x2, . . . , xn) 7→ f₀(1, x1, x2, . . . , xn) a0,0

,f1(1, x1, x2, . . . , xn) a0,0

, . . . ,fn(1, x1, x2, . . . , xn) a0,0

 , Zatem jest przekszta lceniem afinicznym. (Inna charakteryzacja: φ({x0 = 0}) = {x0 = 0}, tzn za- chowuje hiperp laszczyzne_,w niesko´nczono´sci.)

5.4 Mamy

{φ ∈ Af f (_Kⁿ) | φ(0) = 0} = GL(Kⁿ)

{φ ∈ Przekszta lcenia rzutowe | φ({x₀= 0}) = {x₀= 0} } = Af f (_Kⁿ) 5.5 Przekszta lcenie prostej rzutowej: x 7→ ^a_a^10+a11x

00+a11x mo˙zna przedstawi´c jako z lo˙zenie przekszta lce´n afinicznych i x 7→ 1/x bo ^a_a^10+a11x

00+a11x = α(1 + β_x+γ¹ ) dla pewnych α, β, γ ∈_K. (Przekszta lcenia postaci a 7→ ^ax+b_cx+d (ad − bc 6= 0) nazywamy homografiami.)

5.6 Przekszta lcenia liniowe zachowuja_,proporcje_,a := α/β, dla α = aβ.

Przekszta lcenia afiniczne zachowuja_,stosunek λ(p, q, r) := λ = ^p−r_p−q gdy r = (1 − λ)p + λq.

5.7 Niech L ⊂P(V ) be_,dzie prosta_,w przestrzeni rzutowej. Wprowadzamy wsp´o lre_,dna_,na prostej, tzn uto˙zsami´c L zK∪ {∞}. Dla p, q, r, s ∈_Kdefiniujemy dwustosunek:

(p, q; r, s) := λ(p, s, r)

λ(q, s, r) = p − r

p − s ·q − s q − r ∈_K .

5.8 Tw: Przekszta lcenia rzutowe zachowuja_, dwustosunek. W szczeg´olno´sci dwustosunek nie zale˙zy do wsp´o lrze_,dnej.

(Dw: Bo przekszta lcenia afiniczne zachowuja_,stosunek trzech punkt´ow na prostej. Wystarczy sprawdzi´c dla x 7→ 1/x.)

5.9 Dla ustalonych p, q, r przekszta lcenie s 7→ (p, q, ; r, s) zadaje przekszta lcenieP¹(K) →P¹(K). Dla p = ∞, q = 0, r = 1 mamy

s 7→ (∞, 0; 1, s) = ∞ − 1

∞ − s ·0 − s 0 − 1 = s .

Ka˙zde przekszta lcenie zachowuja_,ce dwustosunek i be_,da_,ce sta le na ∞, 0, 1 jest sta le. Sta_,d przekszta lcenie rzutowe _P¹(_K) jest wyznaczone przez warto´sci na trzech punktach.

5.10 W jezyku przestrzeni liniowych: przekszta lcenie liniowe _K² jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladno´scia_,do skalara przez warunek na tr´ojce prostych: φ(K) = K⁰, φ(L) = L⁰, φ(M ) = M⁰.

5.11 Przekszta lcenie liniowe jest wyznaczone przez warto´s´ci na n wektorach liniowo niezale˙znych (n = dim(V )).

5.12 Przekszta lcenie afiniczne jest wyznaczone przez warto´s´ci na n+1 punktach afinicznie niezale˙znych (n = dim(E)).

5.13 Niecv dim V = n + 1. Punkty p₀, p₁, . . . , p_n+1∈_P(V ) sa_,w po lo˙zeniu og´olnym, gdy ˙zadne n + 1 z nich nie le˙zy w przestrzeni rzutowej mniejszego wymiaru (Warunek na po lo˙zenie og´olne w je_,zyku przestrzeni liniowych: Niech L_i = lin{v_i}, i = 0, 1, . . . n + 1; zak ladamy, ˙ze ka˙zde n + 1 wektor´ow v_i jest liniowo niezale˙znych.)

5.14 Tw: Przekszta lcenie rzutowePⁿ(K) jest wyznaczone przez warto´sci na n + 2 punktach po lo˙zeniu og´olnym.

Dow´od: niech p_i = [ε_i] ∈_Pⁿ(_K) dla 0 ≤ i ≤ n be_,dzie prosta_, rozpie_,ta_, przez standardowy i-ty wektor bazowy _Kⁿ⁺¹ oraz p_n+1 = [1 : 1 : · · · : 1]. Dany q_i = [w_i] inny uk lad prostych, takich, ˙ze ka˙zde n + 1 spo´sr´od wektor´ow w_i sa_,liniowo niezale˙zne. Istnieje przekszta lcenie linioweKⁿ⁺¹ przekszta lcaja_,ce ε_i na wi dla i ≤ n. Dlatego mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze wi = εi dla i ≤ n. Niech (a0, a1, . . . , an) be_,da_,wsp´o lrze_,dnymi wektora wn+1. Przekszta lcenie o macierzy diagonalnej z a0, a1, . . . , an na przeka_,tnej przeprowadza (1, 1, . . . , 1) na wn+1. Z dok ladno´scia_, do proporcjonalno´sci przekszta lcenie to jest jedyne, je´sli ma zachowywa´c osie w Kⁿ⁺¹, a obraz (1, 1, . . . , 1) ma by´c proporcjonalny do wn+1.

5.15 ´Cwiczenie: _P²(_R) = Sfera/antypodyzm = dysk ∪ wte_,ga M¨obusa.