Metalogika (1)

Metalogika (1)

Jerzy Pogonowski

Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl

pogon@amu.edu.pl

Uniwersytet Opolski

Cel: wprowadzenie pojęć algebraicznych

Struktury relacyjne i algebry.

Niektóre operacje na strukturach relacyjnych (morfizmy, podstruktury, struktury ilorazowe, produkty proste).

Struktury porządkowe. Kraty i algebry Boole’a.

Filtry i ultrafiltry.

Konstrukcja ultraproduktu. Twierdzenie Łosia.

Znakomitym wstępem algebraicznym jest monografia:

St. Burris, H.P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra, plik pdf dostępny na stronie internetowej tych wykładów:

http://www.logic.amu.edu.pl/images/4/49/Universalalgebra.pdf

Algebry

Pojęcie struktury relacyjnejjest znane. Algebrą jest struktura relacyjna sygnatury zawierajacej co najwyżej symbole funkcyjne i stałe indywidualne.

Często stosujemy notację infiksową: symbol operacji dwuargumentowej (czyli interpretacji 2-arg. symbolu funkcyjnego) piszemy między jego argumentami (jak w arytmetyce szkolnej).

Przykłady:

h{0, 1}; ∧, ∨, →, ¬i — algebra wartości logicznych, gdzie ∧, ∨, →, ¬ są funkcjami prawdziwościowymi, będącymi interpretacjami funktorów prawdziwościowych: ∧ (koniunkcji), ∨ (alternatywy), → (implikacji),

¬ (negacji), odpowiednio.

h℘(X ); ∩, ∪,⁰i — algebra wszystkich podzbiorów zbioru X , gdzie ∩, ∪ i⁰ są, odpowiednio, operacjami: iloczynu, sumy i dopełnienia.

Morfizmy i podstruktury

Niech:

A= hA; R₁^A, . . . , R_i^A, F₁^A, . . . , F_j^A, c₁^A, . . . , c_k^Ai, B= hB; R₁^B, . . . , R_i^B, F₁^B, . . . , F_j^B, c₁^B, . . . , c_k^Bi będą strukturami o tej samej sygnaturze, gdzie:

R_m jest predykatem p_m-argumentowym (0 6 m 6 i, pm dowolna) Fn jest symbolem funkcyjnym pn-argumentowym (0 6 n 6 j, pⁿ dowolna)

c_l jest stałą indywidualną (0 6 l 6 k).

Pojęcia: homomorfizmu, izomorfizmu, podstruktury, itd. można określić dla struktur w tak ogólnej postaci, ale ze względów dydaktycznych podamy je dla sygnatury σ₀ zawierającej jedynie: predykat 1-arg. P, predykat 2-arg.

R, symbol funkcyjny 2-arg. F i stałą indywidualną c.

Morfizmy i podstruktury

Mówimy, że funkcja f : A → B jest homomorfizmemstruktury

A= hA; P^A, R^A, F^A, c^Ai w strukturę B = hB; P^B, R^B, F^B, c^Bi, gdy dla wszystkich x, y ∈ A:

jeśli P^A(x ), to P^B(f (x ))

jeśli R^A(x , y ), to R^B(f (x ), f (y )) f (F^A(x , y )) = F^B(f (x , y )) f (c^A) = c^B.

Homomorfizm A w B, który jest bijekcją nazywamyizomorfizmem.

Ai B są izomorficzne, jeśli istnieje izomorfizm A na B.

Morfizmy i podstruktury

Dziedzinę(uniwersum) struktury A oznaczamy przez dom(A).

A= hA; P^A, R^A, F^A, c^Ai jest podstrukturą B= hB; P^B, R^B, F^B, c^Bi (a B jestrozszerzeniem A), gdy:

dom(A) ⊆ dom(B) P^A= P^B∩ dom(A)

R^A= R^B∩ (dom(A) × dom(A)) F^A= F^B  (dom(A) × dom(A)) c^A= c^B.

Jeśli A jest podstrukturą B, to piszemy A ⊆ B.

Jeśli A i B są algebrami oraz A ⊆ B, to mówimy, że A jest podalgebrąB.

Produkty proste

Produktem prostym struktur A i B sygnatury σ₀ nazywamy strukturę A× B taką, że dla wszystkich x₁, x₂ ∈ dom(A) oraz y₁, y₂ ∈ dom(B):

dom(A × B) = dom(A) × dom(B)

P^A×B((x1, y1)) wtedy i tylko wtedy, gdy P^A(x1) oraz P^B(y1) R^A×B((x1, y1), (x2, y2)) wtedy i tylko wtedy, gdy R^A(x1, x2) oraz R^B(y1, y2)

F^A×B((x1, y1), (x2, y2)) = (F^A(x1, x2), F^B(y1, y2)) c^A×B= (c^A, c^B).

Podobnie dla produktu dowolnej skończonej rodziny struktur dowolnej sygnatury σ.

Produkty proste

Niech I będzie dowolnym zbiorem, a A = {A_i : i ∈ I } rodziną struktur sygnatury σ₀, gdzie A_i = hAi; P_i^A, R_i^A, F_i^A, c_i^Ai. Przez produkt prosty rodziny A rozumiemy strukturę A (oznaczaną np. przez Q

i ∈I

A_i) taką, że dom(A) =N

i ∈I

A_i = {f : f funkcja o dziedzinie I oraz ∀i ∈ I (f (i ) ∈ A_i)} i dla wszystkich f , g ∈ dom(A) oraz wszystkich i ∈ I :

P^A(f ) wtedy i tylko wtedy, gdy P^Ai(f (i ))

R^A(f , g ) wtedy i tylko wtedy, gdy R^Ai(f (i ), g (i )) F^A(f , g ) = G , gdzie G (i ) = F^Ai(f (i ), g (i )) c^A= fc, gdzie f_c(i ) = c^Ai.

Podobnie dla produktu dowolnej rodziny struktur dowolnej sygnatury σ.

Kongruencje

Mówimy, że relacja E równoważności na zbiorze A jest kongruencją struktury relacyjnej A = hA; P^A, R^A, F^A, c^Ai, gdy dla wszystkich x₁, x2, y1, y2 ∈ A:

jeśli E (x₁, x₂) oraz P^A(x₁), to P^A(x₂)

jeśli E (x1, y1), E (x2, y2) i R^A(x1, x2), to R^A(y1, y2) jeśli E (x₁, y1), E (x2, y2), to E (F^A(x1, x2), F^A(y1, y2)).

Ze względu na zwrotność E mamy E (c^A, c^A).

Podobnie określamy kongruencje w strukturach o dowolnej sygnaturze.

Struktury ilorazowe

Strukturą ilorazową struktury A = hA; P^A, R^A, F^A, c^Ai względem

kongruencji E nazywamy strukturę A_/E taką, że dla wszystkich x, y ∈ A:

dom(A_/E) = A/E (= zbiór klas abstrakcji relacji E , czyli {[x]_E : x ∈ A}, gdzie [x ]E = {y ∈ A : E (x , y )})

P^A/E([x ]_E) wtedy i tylko wtedy, gdy P^A(x )

R^A/E([x ]_E, [y ]_E) wtedy i tylko wtedy, gdy R^A(x , y ) F^A/E([x ]_E, [y ]_E) = [F^A(x , y )]_E.

Powyższe definicje są poprawne, tj. nie są zależne od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji relacji E .

Podobnie określamy struktury ilorazowe struktur o dowolnej sygnaturze.

Struktury porządkowe

Zakładamy, że słuchacze znają pojęcia:

porządku częściowego (relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia), porządku liniowego(spójny porządek częściowy);

ostrego porządku częściowego (asymetryczna i przechodnia);

elementu: minimalnego,maksymalnego,najmniejszego,największego.

Element a jestograniczeniem dolnympodzbioru A zbioru częściowo uporządkowanego hX ; 6i, gdy ∀x ∈ A (a 6 x)

Element a jestograniczeniem górnym podzbioru A zbioru częściowo uporządkowanego hX ; 6i, gdy ∀x ∈ A (x 6 a)

kres dolny A = największe ograniczenie dolne A (oznaczamy glb A) kres górny A = najmniejsze ograniczenie górne A (oznaczamy: lub A).

Kraty

Strukturę porządkową hX ; 6i nazywamy kratą, gdy dla każdych x, y ∈ X istnieją: glb {x, y } oraz lub {x, y }. Często używane oznaczenia dla glb {x, y }: x ∧ y (albo x ∩ y ); dla lub {x, y }: x ∨ y (albo x ∪ y ).

Element najmniejszy kraty nazywamy jejzerem (0, o ile istnieje).

Element największy kraty nazywamy jej jedynką(1, o ile istnieje).

Krata jest ograniczona z góry (z dołu)jeśli istnieje jej jedynka (zero).

Elementy minimalne w hX − {0}; 6i nazywamy atomami.

Elementy maksymalne w hX − {1}; 6i nazywamykoatomami.

Krata jest atomowa, jeśli każdy jej niezerowy element jest niemniejszy od pewnego atomu.

Krata jest bezatomowa, jeśli nie ma atomów.

Krata jest zupełna, jeśli każdy jej podzbiór ma glb oraz lub.

Przykłady

Rodzina wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru, częściowo uporządkowana przez relację inkluzji. Kresem dolnym jest iloczyn, a kresem górnym suma zbiorów. Krata atomowa, z zerem i jedynką.

Zbiór wszystkich dodatnich liczb naturalnych częściowo

uporządkowany przez relację podzielności (bez reszty). Największy wspólny dzielnik jest tu kresem dolnym, a najmniejsza wspólna wielokrotność kresem górnym. Krata atomowa, z zerem, bez jedynki.

Przedział otwarty (a, b) zbioru liczb rzeczywistych ze zwykłą relacją 6.

Krata bezatomowa, bez zera i jedynki.

Przedział domknięty [a, b] zbioru liczb rzeczywistych ze zwykłą relacją 6. Krata bezatomowa, z zerem i jedynką.

Podaj przykład kraty, która nie jest ani atomowa, ani bezatomowa.

Diagramy Hassego

Zwykle reprezentuje się kraty graficznie, za pomocą diagramów Hassego.

W diagramie takim węzły odpowiadają elementom kraty, a ich połączenia mają reprezentować porządek kratowy. Przyjmuje się przy tym umowę, że gdy x 6 y , to węzeł x jest na rysunku umieszczany niżej niż węzeł y .

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@ r

r r

r r @

@

@

@

@

@

@

@r r

r r

r

Inne struktury porządkowe

Mówimy, że krata hX ; 6i jest dystrybutywna, jeśli dla wszystkich x, y , z ∈ X :

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z).

Kratę dystrybutywną hX ; 6i nazywamyalgebrą Boole’a, jeśli dla każdego elementu x ∈ X istnieje jego dopełnienie, czyli element −x taki, że dla wszystkich y ∈ X :

(x ∨ (−x )) ∧ y = y (x ∧ (−x )) ∨ y = y .

Każda algebra Boole’a ma zero i jedynkę. Używa się innych jeszcze definicji algebr Boole’a. Później poznamy dalsze rodzaje struktur porządkowych.

Przykłady

Algebra wartości logicznych jest algebrą Boole’a.

h℘(X ); ∩, ∪,⁰, ∅, X i — algebra wszystkich podzbiorów zbioru X jest algebrą Boole’a.

Twierdzenie Stone’a. Każda algebra Boole’a hX ; ∧, ∨, −, 0, 1i jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów.

Twierdzenie Stone’a jest przykładem twierdzenia o reprezentacji.

Filtry i ultrafiltry

Niepusty podzbiór ∇ kraty (X ; 6) nazywamy filtrem, gdy:

jeśli x, y ∈ ∇, to x ∧ y ∈ ∇ jeśli x ∈ ∇ oraz x 6 y , to y ∈ ∇.

Jeśli krata (X ; 6) ma jedynkę 1, to zbiór {1} jest jej filtrem, nazywanymfiltrem jednostkowym.

Filtr w algebrze Boole’a jest właściwy, jeśli nie należy do niego zero tej algebry.

Dla dowolnego x ∈ X zbiór {y ∈ X : x 6 y } jest filtrem, nazywanym filtrem głównym generowanym przez x. Filtr, który nie jest główny, nazywamy niegłównym.

Ultrafiltrem nazywamy każdy filtr maksymalny (względem inkluzji).

Przykłady

Zamienne używanie terminów: „krata h℘(X ); ∩, ∪i” i „krata h℘(X ); ⊆i” powinno być oczywiste. Podobnie dla algebr Boole’a.

W kracie h℘(X ); ∩, ∪i ultrafiltrem głównym wyznaczonym przez {x} ∈ ℘(X ) jest rodzina {A ⊆ X : x ∈ A}.

Zbiór jest koskończony, jeśli jego dopełnienie (w ustalonym uniwersum) jest skończone. Rodzina wszystkich koskończonych podzbiorów nieskończonego zbioru X jest filtrem niegłównym w kracie h℘(X ); ∩, ∪i.

Każdy filtr właściwy w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ultrafiltrze.

Jeśli ∇ jest ultrafiltrem w algebrze Boole’a B, to dla każdego x ∈ dom(B): albo x ∈ ∇, albo (−x) ∈ ∇.

Dualne do pojęcia filtru jest pojęcieideału. Poznamy je później.

Produkty zredukowane

Niech I będzie dowolnym zbiorem, a A = {A_i : i ∈ I } rodziną struktur sygnatury σ₀, gdzie A_i = hA_i; P_i^A, R_i^A, F_i^A, c_i^Ai. Niech ∇ będzie filtrem w kracie h℘(I ), ⊆i. Dla dowolnych f , g ∈N

i ∈I

A_i zdefiniujmy:

f ∼_∇g wtedy i tylko wtedy, gdy {i ∈ I : f (i ) = g (i )} ∈ ∇.

Wtedy ∼∇jest relacją równoważności na N

i ∈I

A_i. Przezprodukt zredukowany rodziny A względem ∇ rozumiemy strukturę Q

i ∈I

A_i/∇

(oznaczaną też Q

∇A_i) taką, że:

dom(Q

i ∈I

A_i/∇) = {[f ]∼_∇ : f ∈N

i ∈I

A_i}, a interpretacje P, R, F i c w Q

i ∈I

A_i/∇ są określone następująco (ze względów typograficznych piszemy niżej A zamiast Q

i ∈I

A_i/∇):

Konstrukcja ultraproduktu

P^A([f ]∼∇) wtedy i tylko wtedy, gdy {i ∈ I : P^Ai(f (i ))} ∈ ∇ R^A([f ]∼∇, [g ]∼∇) wtedy i tylko wtedy, gdy

{i ∈ I : R^Ai(f (i ), g (i ))} ∈ ∇

F^A([f ]∼∇, [g ]∼∇) = [F ]∼∇, gdzie F (i ) = F^Ai(f (i ), g (i )) dla wszystkich i ∈ I

c^A= [C ]∼∇, gdzie C (i ) = c^Ai dla wszystkich i ∈ I . Produkt zredukowany Q

∇A_i, gdzie ∇ jest ultrafiltrem, nazywamy ultraproduktem.

Jeśli A_i = B dla wszystkich i ∈ I , toQ

∇A_i nazywamy ultrapotęgą (struktury B względem ∇).

Przekonamy się później, jak istotne zastosowania ma ta konstrukcja oraz związane z nią Twierdzenie Łosia:

Twierdzenie Łosia

Z dowolną rodziną A_i-wartościowań {w_i : i ∈ I } stowarzyszymy Q

i ∈I

A_i/∇-wartościowanie w : dla dowolnej zmiennej x , niech

w (x) = [γ_x]∼_∇, gdzie γ_x jest funkcją zdefiniowaną przez: γ_x(i ) = wi(x ).

Twierdzenie Łosia. Dla dowolnego ultraproduktu Q

i ∈I

A_i/∇ oraz dowolnych A_i-wartościowań {w_i : i ∈ I } i stowarzyszonego

Q

i ∈I

A_i/∇-wartościowania w , następujące warunki są równoważne dla każdej formuły ψ:

Q

i ∈I

A_i/∇ |= ψ[w ]

{i ∈ I : A_i |= ψ[w_i]} ∈ ∇.