1 Rok Bioinformatyki Wybrane działy matematyki wy˙zszej — lista 7 12.05.2014 1. Dla wektorów x = (1, 2, 3, 4)

1 Rok Bioinformatyki Wybrane działy matematyki wy˙zszej — lista 7 12.05.2014 1. Dla wektorów x = (1, 2, 3, 4)

i y = (2, 3, 4, 5)

oblicz:

(a) iloczyn skalarny < x, y >;

(b) odległo´s´c w metryce euklidesow ˛ a d

(x, y).

2. Wykonaj działania na macierzach:

"

0 1 1 0

# +

"

0 2 1 0

#

;

"

0 2 1 0

# "

0 2 1 0

#

;





 0 1 2







h 0 2 4 ⁱ .

3. Uzasadnij, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi równo´s´c:

"

cos x − sin x sin x cos x

# "

cos y − sin y sin y cos y

#

=

"

cos(x + y) − sin(x + y) sin(x + y) cos(x + y)

# .

Podaj interpretacj˛e geometryczn ˛ a tej równo´sci.

4. Znajd´z rozwi ˛ azania nast˛epuj ˛ acych układów równa´n:

(a)

x

+ 3x

= 6 3x

− 3x

= −2 (b)

3x

+ x

= 6 3x

− 3x

= −2

5. Znajd´z macierze odwrotne dla nast˛epuj ˛ acych macierzy (tam, gdzie jest to mo˙zliwe):

(a)

"

0 1 1 0

#

;

"

1 0 0 2

#

;





 1 0 0 2 1 2





 .

(b)

R

=

"

cos x − sin x sin x cos x

# .

gdzie x jest dowolnie ustalon ˛ a liczb ˛ a rzeczywist ˛ a (R

jest macierz ˛ a obrotu o k ˛ at x).

(c)







0 1 0

1 0 0

0 0 1





 ;







0 1 0 1

1 0 0 2

0 0 1 0





 .

6. Uzasadnij, ˙ze macierz odwrotna do macierzy diagonalnej D = diag(d

, d

, d

)

jest równa diag 1/d

, 1/d

, 1/d

. Zakładamy, ˙ze d

, d

i d

s ˛ a ró˙zne od zera.

1 Rok Bioinformatyki Wybrane działy matematyki wy˙zszej — lista 7 12.05.2014 7. Dla liczby a i macierzy wymiaru m × n A macierz aA ma elementy aa

, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Iloczyn dwóch macierzy kwadratowych B b˛edziemy oznacza´c przez B

. Analogicznie mo˙zna zdefiniowa´c wy˙zsze pot˛egi macierzy B, na przykład B

= B

B.

(a) Wyznacz macierz odwrotn ˛ a do macierzy

B = diag(1, 2, 3) + 2I

.

(b) Dla C = diag(2, 3) oblicz C

− 2C oraz C

+ 3C.

8. Niech b˛edzie dana macierz A = (a

) wymiaru m × n.

Uzasadnij, ˙ze dla dowolnych macierzy A i B tego samego wymiaru:

(a) (A + B)

= A

+ B

; (b) (AB)

= B

A

. 9. Dla macierzy

A =

"

0 1 1 0

#

oblicz iloczyn

A

"

x y

# ,

gdzie x i y s ˛ a pewnymi, ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jak ˛ a interpretacj˛e geometryczn ˛ a mo˙zna byłoby zaproponowa´c dla macierzy A?

10. Macierz kwadratow ˛ a Q b˛edziemy nazywa´c ortogonaln ˛ a, je˙zeli Q

Q = QQ

= I

,

gdzie n oznacza stopie´n macierzy Q. Uzasadnij, ˙ze macierz obrotu R

(zdefiniowana w zadaniu pod- punkcie b) zadania 1-go) jest macierz ˛ a ortogonaln ˛ a dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Czy istnieje macierz ortogonalna stopnia drugiego nie b˛ed ˛ aca macierz ˛ a obrotu (której nie jest równa R

dla pewne- go x )?

Mariusz Grz ˛ adziel