I Kolokwium z Analizy Ind. 5. listopada 2018 Uwagi organizacyjne: ka

(1)

Uwagi organizacyjne: kaøde zadanie rozwiπzujemy na osobnej kartce. Kaøde za- danie naleøy podpisaÊ imieniem i nazwiskiem w≥asnym oraz osoby prowadzπcej Êwi- czenia. Na wszelki wypadek prosimy teø o podanie numeru grupy. Prosimy o spraw- dzenie, czy telefon komórkowy jest wy≥πczony a kalkulator i inne pomoce naukowe (np. tablice matematyczne) schowane. W razie wπtpliwoúci prosimy o kontakt z asy- stentem.

Zadanie 1.

Dla t œ R niech P^t œ R² bÍdzie domkniÍtπ pó≥p≥aszczyznπ ograniczonπ od góry pro- stπ przechodzπcπ przez punkty a_t:= (t + 1, t + 1) i b_t:= (t ≠ 1, 1 ≠ t). OpisaÊ (tzn.

wyprowadziÊ zestaw nierównoúci) oraz narysowaÊ zbiory: a)^t_t_œRPt, b)^u_t_œ[≠1,1]Pt. Zadanie 2.

UdowodniÊ wzór:

1³+ 2³+ · · · + n³ = (1 + 2 + · · · + n)², n œ N+

Zadanie 3.

ObliczyÊ granice (lub wykazaÊ rozbieønoúÊ) ciπgów:

a) an= ^Ô¹_n¹^Ô_n+1¹ + · · · + ^Ô_n+n¹ ² b) bn = Ôn²

9≠1≠ ⁿ^Ô_27≠1³ ;

c) cn = _n¹^Ò⁶n⁵+ (n + 1)⁵+ · · · + (n + n)⁵; d) dn= ₂nⁿ(2n)!²ⁿ

Zadanie 4.

ZbadaÊ zbieønoúÊ ciπgu rekurencyjnego zadanego przez: x0 = 2 , xn+1 := ^5x_2xⁿ_n^≠6_≠3.

(2)

ZADANIE 3

Qn= ^1hm (

¥ht¥yt

^.^.

.tt#=XJ-nxn=tEyt...tf-nmyn=FxynntIynn=

¥et¥Et

.it#+tEtfnE-Ia-nEa-...-En

Tt ^- Mn ⁼

^feet

n¥

^:#

^- ^Ea ⁼

IFE

⁺ ^RENT ^- ^Etna

^][

^Atm

⁾

⁼ ^[ ^Attn_na ₍ _htt

^][

₎

^FEE

_Eh

^'t

^FEE ^t

-

?]

^⇐ ^2. ^[ ^Rta ^-

27=2121-21-2

⁽ ^Ma ^- ^e ⁾^a. M2

bing.in#-iErE-*or+nrs+n=E

=¥y

⁽ ^Pti

^White

⁾ ^lightish ^ti ⁾ ⁼ ^/ ⁽ ^Pti

H¥GT

lightish⁾ ^ti ) ^-

^⇐ ^=z

2x ^' ^- x ^- i ^- 2K ^'^- Ix ^- f) ^⇒ ( ^C^x ^- f) ^' ^- f ^-

f) ^=2[

^I^x ^- ^ft ^' ^-

^¥ ^]=z

⁽^x ^- ^f ^-

^f)

⁽^x ^-

^It ^F)

⁼² ⁽^x ^-^a)⁽ ^xx ^'s⁾ ⁼

f-^x ^-^a)(^2x ^tr )

Cn ⁼

hL%h5t(htD5t...tf2n

⁼

₍ h5tCht1n5t25y%

Xn= ^h 't ₍ htt )5t ^.^.^. ^t C2h35

Xing ⁼ ^.^.^. kopygfo.my ^z ^µ ^. ^Stolze ^Xnti ⁼ ⁽ ^htt ^)5t

.. t ( ^2h +25 ^- ( ^htt ^.^.^.

yn ^.^- ⁿ ^' ^Y ^htt

- Yn ( ^htt ) ^' ^- ⁿ ⁶

i. unit

=

kgnt.IS?tC2nt-2-n5=l2tgh?5If?tF5-t-s25t25-I--6fI-- ^¥ FE

die

%

.IE#--fhIjncniis2.f.f*mz,-se?E.f=efstnhYydn=o

.

(3)

f-G) ⁼ ^xut ^, =f( ^xn ) to⁼ ²

µ , ^,

, ,y¥

,,

.

f- G) ⁼ ^x

5f=x

I

5×-6 ^- 2×2+3 X

# ^=O ^. ₃₁₂

-222×1,8×-6-0=-21×14×+32

_2x ⁼

. 3

=

-2 (^x ^- 3) (^x ^-ⁿ )

x =L X =3

Xo ^- LET 34,3 ^E ^f

f)

^38,3

E)

^=] ³ ^, ^trot ^f ⁽ ³³ ^,^t ^- ^E

⁾

^{=] 5k} ^, ³ ^E ^C ^372,3 ^[ cigg ^jest oscyeujpcy

cookie

liuby

³^. ^Bgobieuey ^wigc ^bowled podcipgi ^palsy Ay ⁱ niepauyny

I : I ^: f- ;] f ^: ^I

^totes ^-

^7'

⁼

^tatties

f-of ^- _g

Xo ⁼³ ^E 31,3 ^E g ( ^31,3 C) ^=] 1,3C _,

. . ^satem Fn Xan ^ETA ^,³ ^I

.

(

^o

^me ^::i÷ ^:c ^: ^:::::#

^.

. . nosngcy ^.

Cigg (Xan ) _jest sbiezny ^do

baby ³

jako

_rosnpcy ⁱ ograeeicrony

xz= f (2) ⁼

l

⁼

tf

⁼ ^4€33 ^,^t ^- ^C ^f ⁽ ³³ ^, ^- ^E) ⁼³ ^, ^'

I

^[ ^c) ³^, ^- ^E

Cisg (Xan ^ti ) pozortoy.eu ^odcinku ³³ ,

tfc

^{jest wise} ograeeicsony

g ^# ^ex ^sateen Kanti ) jest maeejpy ^. yest ^to wipe ^a_.gg

sbiezuy

^do

liuby

³^.

Podciggi pang Ay ⁱ

niepabyny

^{sq doo}^. ^abiezhe ^do ^tai ^saeng

.

growing

^mining

.

3.

tgcuie

^,

(4)

ZADANIE 2

Dowoobimyinobukcyjnieize lied

^'t ^. ^.^. ⁱ _n3=( ftzt ^.^.^. ^th ) ^'

h= 1 ^: let

, P=1 _, L =p ok .

rdatozeuieiwdukcyjme

^: ^1¥27 ^.^.

tk3=Gt2t

^.^. ^.tk ) ^' Test ^:

1+23

+ ^. ^. ^.

.it?tCktnP=(1t2t...tktktn)ZDowiol:Uzyjeeuywzorult2t

.. .tl ⁼

tzlcetn

⁾

13+2^'t ^. ^.^.

.lk?lCkttP=(tt2t...tkYtCktrP--f-kYktn5tCkinP=(ktn)?Ig-Lkt4k

^the

]

⁼

.-

( ^Ktr )

't

⁽ ^kid ^I

¢kML]=(tt2t

^. ^.^. ^tktktn

⁾

^'

a

ZADANIEI

Wait me

prostgpmechoobgcppm.es (

^htt ^, ^htt ) ⁱ ft ^- 1,1 ^. ^t )

( ^htt )=a( ^htt ) ^t ^b _b ⁼ ( ^Att ) ^- tf.lt ) ⁼ ^htt ^- ^t ^- ^E.^=L ^- ^t ^'

- (^A^- ^t⁾ ^-^-

aft

^- ^a) ^tb

b=t ^- th

ttt ^- htt

=a(

^htt ^- ^tts

⁾

Ît ⁼ â ^-2 â ^-^- ^t

Droste

y

^-_ ^txt ^A ^- ^t ^' ^ograuicue ^Pt ² ^going ^, ^tan

PEEK

_,y⁾ ^:

yctxtt

^- ^t ^'

}

S=¥*Pt

^G.^g) ^ES ^⇐ ^> ^It ^:

^yctxtt

^- ^t ^' ^tzu ^- ^the ^ttx ^- ^y ^{> O}

+2N t ^' ^- txty ^- ^t ^co

Ft ^: t ^' ^- txty ^-1<0 ^waruukieue ittruieuietakiego ^t jest aby

wyndznikobyrdodatni

^:

O ^- x ^' ^-

4cg

^-^a⁾ ^x ^' ^- ^-14

ay

^> ^o

^aye

^x' ⁺⁴

_ye I

^x' ^t ^I

5-

f Cay

⁾ ^:

yctqxtt ⁾

(5)

.

S

TI gift

^&

⁹⁾

^ET ^⇐ ^ttEEh1 ^] ^t ^' ^- ^txty ^- ^e ^so

I I

tz

^- ^t ^t ^tz

o ^- x ^' ^-

4cg

^-^a⁾

ts=I(

^x ^-

FM )

^to ^-

I ( Xtra )

I (

^x ^- ^M

)

^s ^- ^t ⁱ

tzfxtm

) ^> ^I ^t wowuuek ⁰⁷⁰

X ^- Ms ^- 2 Xt M _, 2 tan ya

filth

- M ^{C -2} ^- ^X M ^> ^2- ^x

M > xt2

x ^> 2 but

T

is -2 bib

xX4ytH 6×+4

^>

^Ht

^ay

F-

-141>4/-4×-1×1

^- Uy ^> ^ax ^. -

y ^> ^- ^x

yr ^- ^x

ycx

(

^xc ^-2 ^but

_ye

^- ^x ⁾ ⁱ ⁽ ^x^> ² ^but ycx

)

ⁱ

ysatx

^' ⁺¹

(6)

.

T

F-

fcxiy

⁾ ^: _y ^> ^- ^x ⁱ ycx

I Kolokwium z Analizy Ind. 5. listopada 2018 Uwagi organizacyjne: ka

¥ht¥yt

.tt#=XJ-nxn=tEyt...tf-nmyn=FxynntIynn=

¥et¥Et

.it#+tEtfnE-Ia-nEa-...-En

feet

:#

IFE

][

)

][

FEE

't

?]

27=2121-21-2

bing.in#-iErE-*or+nrs+n=E

=¥y

White

H¥GT

⇐ =z

f) =2[

¥ ]=z

f)

It F)

hL%h5t(htD5t...tf2n

( h5tCht1n5t25y%

kgnt.IS?tC2nt-2-n5=l2tgh?5If?tF5-t-s25t25-I--6fI-- ¥ FE

%

.IE#--fhIjncniis2.f.f*mz,-se?E.f=efstnhYydn=o

, ,y¥

5f=x

I

-222×1,8×-6-0=-21×14×+32

f)

E)

)

liuby

I : I : f- ;] f : I

7'

tatties

(

me ::i÷ :c : :::::#

jako

l

tf

I

tfc

sbiezuy

liuby

niepabyny

growing

tgcuie

Dowoobimyinobukcyjnieize lied

rdatozeuieiwdukcyjme

tk3=Gt2t

1+23

tzlcetn

.lk?lCkttP=(tt2t...tkYtCktrP--f-kYktn5tCkinP=(ktn)?Ig-Lkt4k

]

't

¢kML]=(tt2t

)

prostgpmechoobgcppm.es (

aft

=a(

)

y

PEEK

yctxtt

}

S=¥*Pt

yctxtt

wyndznikobyrdodatni

4cg

ay

aye

ye I

f Cay

yctqxtt )

TI gift

^feet

^:#

^][

⁾

^][

^FEE

^'t

^White

^⇐ ^=z

f) ^=2[

^¥ ^]=z

^f)

^It ^F)

₍ h5tCht1n5t25y%

kgnt.IS?tC2nt-2-n5=l2tgh?5If?tF5-t-s25t25-I--6fI-- ^¥ FE

⁾

I : I ^: f- ;] f ^: ^I

^7'

^tatties

^me ^::i÷ ^:c ^: ^:::::#

⁾

⁾

^yctxtt

^aye

_ye I

yctqxtt ⁾

⁹⁾

^Ht

_ye