Zadanie 1. ZbadaÊ przebieg zmiennoúci (ciπg≥oúÊ, jednostajna ciπg≥oúÊ, granice na kraÒcach dzie- dziny, asymptoty, róøniczkowalnoúÊ, ekstrema, przedzia≥y monotonicznoúci i wypuk≥oúci) funkcji:

Egzamin z Analizy Matematycznej I ind.

30 stycznia 2020

Uwagi organizacyjne: kaøde zadanie rozwiπzujemy na osobnej kartce. Kaøde zadanie naleøy pod- pisaÊ imieniem i nazwiskiem w≥asnym oraz prowadzπcego Êwiczenia. Na wszelki wypadek prosimy teø o podanie numeru grupy. Prosimy o sprawdzenie, czy telefon komórkowy jest wy≥πczony a kalkulator i inne pomoce naukowe (np. tablice matematyczne) schowane. W razie wπtpliwoúci prosimy o kontakt z asystentem.

Zadanie 1. ZbadaÊ przebieg zmiennoúci (ciπg≥oúÊ, jednostajna ciπg≥oúÊ, granice na kraÒcach dzie- dziny, asymptoty, róøniczkowalnoúÊ, ekstrema, przedzia≥y monotonicznoúci i wypuk≥oúci) funkcji:

f (x) = 2 Ô

³

x ² x + 1 .

Zadanie 2. Niech X oznacza przestrzeÒ C([0, 1], R) funkcji ciπg≥ych na odcinku [0, 1]. W przestrzeni tej rozwaøamy metrykÍ

d(f, g) = sup

[0,1] |f(t) ≠ g(t)|.

Symbolem ’ oznaczamy funkcjÍ sta≥π na odcinku [0, 1] równπ 0. ZbadaÊ czy poniøsze zbiory sπ otwar- te, domkniÍte, zwarte, spójne

A = {f œ X : d(f, ’) ˛ 1}, B = {f œ X : d(f, ’) ˛ 1 i ’t œ [0, 1] f(t) ”= 0}.

Zadanie 3. WyznaczyÊ granice (jeúli istniejπ):

(a) lim

xæ0

1 ≠ cos x Ô cos 2x

x ² , (b) lim

xæ0 (sin ² x) ^{1≠cos x} , (c) lim

xæ0 (cos x)

^ln(1+x2)1

. Zadanie 4. ObliczyÊ ca≥kÍ: _⁄

2fi 0

1

sin ⁴ x + cos ⁴ x dx

ZADANIE 1

.

Dziedzic IR

^-

L

^-

^l }

2×43 2×2/3 ^2×43

him 7+1=0 ^him 7+1=0 ^line

^{- =- o}

X→to ×^-s-x x^-s^-

1- XTL

lim 2×43

F-

^to

f- ^{Co )}

^--

^O

X^-s-

et

f- ^G)

⁼

2×2/3 _{( xtej}

^'

Dla

^x

# ^O

^:

f' ^{Cx )}

^--

_2.4g ^I "3Cxte5 ^{'t 2.}

^x

"3teXx+e5=¥%[ ^{I Cxtn ) -12 Xfm ]}

=

x

-

1/3

(F) 2/-43×+4/3 ⁾

2×43

Poolroom ^W

^{X-_O :}

him

^-

x^-so

Xcx -111=170×-43%7 ^granite mieistuieie Funky

^{'d wie}

jest rcdzuicskowaleue

w O

.

Emo

^-

^{f' G)}

^{=-no ,}

,fif+f'H=

^to

-

l O ²

Poolroom wienie Laak Ollie

x=o i + =3 .

I Tmaksimreem

minimum

bokallre lokorlere

Funky ^'d _malejeue ^3-

^no,

-1L _, I -40 [

_,

³²

,

tot

Funky

^{'d ro}

^'s

^{vie rue}

^TO

,

2 [

Funky ^'d jest ciggfa

^me

^J

^-o,-

^{if i T}

^-

^ft

^-

^E

4

fix ⁾ at ^{-43×+413 )}

^-

^x'

^'

bath -43×+43 ) f'

^'

^KK -435134+154-43×+43 ⁾

^-1

+

x-%f2kxtr54-4.tk ) -15%(+54-43)=5%4+1531

^-

^I

⁺

^%)

^-1

XC

^-

2) f- 43×+43 )

^t

^Xcx

^-11

^{)f4z )} )

^{= x}

^{" 3Gt )}

^-3

[ ^Ex

^'-

fgx-fthgx-zx-zx.fi ]

-31×2

^-

g8×

^-

23×2

^-

IX

x

"

₃

Gtr )

^-3

[ -8 ^Ext

b ^-32

^Eg

^{x -}

^ft

4

^Ix

^'-8

^Ex

32^-

^Ix

^'-

^{Ex ]}

8

(

^x-Xi)

(

^x-Xz

)

=×%q÷,[ ^g-

^{× -}

^J

^"-

^Jo ]=gIIz÷= ^I

⁼

^cxt3

D=

64+4-8=72 ^To

⁼

↳

⁼

^6Th

×z=

g- 846k

⁼

staff ^{xa= 2-3/2 rz}

12 12

4,12

^{-- -}

912

Fuukyiewypukta

^we

T

^-t

,xaE

ⁱ

Txt

^,

^tot

+

Funky

^-e

wklgsfa

^me

^J

^{-o, -1}

^[

ⁱ

Jxz

_,Xr

[

Punky

pmegigciexa.is#a02tot'cxl

^{- -}

_I

^{- - -}

_It t O

^{- - - -}

f-

^"

^Cx ) --#---Ottt

f-A) ¥707740

-

f- (2)

⁼

£14 ^I

3 l

l l

l MAX

!¥÷¥ ⇐

I MIN

7 _!

Fuukyie jest jeoueon-oy-nieciggfo.ua ^EAE

^,

^{not i T}

^{- no, -}

^e

^-e

^]

ZADANIE 2

Lbior ^A jest ^Keeley olomkouigtg

^o

^{50001km w} g ⁱ promicin ^.at

^.

Keely olomknigtg

mother

pmeolstawid jake pmeciwobraz ^biome owrmkuigtego ^{[ 0,1J}

^c

^IR

20.

pomocegodw2ooowauiaciggrego.co/w2ooowauie ^{to jest allegros}

^'

^cig

puuktu ^cool stalked Kelli

^{' :}

D

^:

X

^→

IR Dff )

⁼

^of ( f

^,

3)

ciggtosdmehykiolowoobelis.my

^no.

wykiaokie

^.

^{2biOn A jest wigc DOMKNIETY}

02ham

my symbol

^em

gy funky ^} Stato ^{hee odciukee Eat]}

^o

^wowtos.ci _y

^.

Funky ^'Q g

^,

jest deeeeeeeteeee ^A

^.

^Niece

^n>o

bgobie owwolup limbo dooloctcrip

^.

Funky ^'a _guy

_, ^nie

jest ^element

^em

^{A naturist} jest eleeeeeeeteue Kfg

,^{, n}

)

co

potage

^{, Ze}

^A

^NIE

^{JEST OTWARTY}

Pokazemy

^{, Ze}

^{2bior A} jest tukowospojouy

^.

^Istotreie

^{, we}

^{a' my olwa} olowoeuepuukty fig

^2e

^{Llorona A}

^.

Puukty ^te

^mother

potgcsyd ciggfyue ^{0600rem oolcirekoi}

^:

f

-

tg

^teEliot

g. y !

8

^:

El

,

1) ^at ( ^tf

^te

^{it ]}

^s

2bior A jest ^wise SPINY

Rozwazmy ^{cigg ( hn )}

^new

eleeeeeeetoid X huh ^)=xh

^.

^Puuktowo cigg ^{ten jest} abiezuy

^do

fuukcji ^ha pmryjmeejguej ^waofosc

^{' O olla x}

^Etoile

ⁱ

^{hate )}

^{=L .}

^{Cipg Chu )}

^nie

^{jest wise}

abiezug

^us

^X

^{i 2-aiden}

^{jego podcigg}

^nie

^{jest abiezny}

^{. To}

^pokeazuje

^{, Ze}

^{abider A}

NIE

JEST

^2.WARTY

Lbion B jest aawaoty

^w

^A

^.

^{tatwo sprawobnic}

^{', Ze NIE}

^TEST DOMKNIETY

,

golyz ^{S jest puuktem}

skeepienia ^B

^nie

ualezgcyom

^do

^B

^{: Istotuie:}

^{cigg gyu}

^ma

^{groueicg g}

^{. 2.bio's B NIE}

^JEST

^{OTWARTY -}

- obviate ten some

argument

^co

^{olla A}

^{. 2bior}

^B

^NIE

^JEST

^{ZWARTY, Skaro wie}

^jest olomkuigty

^.

Lbiir B

NIE

JEST

^SP

'ogNY

^{. Istotuie,}

^kazoo

^.

feeukgie

^a

^X jest ciggfa

^{, satem waereuek}

^f

^#O

02ham

f

^oloolatuie

^albo f cefemne

^.

^02am my X+={ ^{f- EX}

^{: Fte[}

^{0,13 f-}

^Ct

⁾

^>O

}

ⁱ

X

-

=

{ ^{ft X}

^:

^tf

^{te Eo,e}

^{] f- Ct}

^)co

}

^.

2biory ^Xt

ⁱ

^X

^-

^Sg rozgrocuicooue XI

^-

{ ^{f- EX}

^:

^{f- ft ) >}

^O

}

I { ^fex

^:

^{Fte it ] f #}

^SO

^} _I

+nx

,

=p -_X+nI

Fakt

_, Ze

Br Xt ^{# 0}

ⁱ

^{Br X}

^-

to ^date tezg

^.

ZA DANIE ₃

I

cosx⁼ t^-

II

^t

ful

^{- - -.}

cos2x⁼

t

^-

4a

⁺

If

^{"-- -- =}

^e

^-

^{2x 't} ZI

^{- ---}

Rodwijamy ^{funky }} y ^'t

^>

titty

^wok

'oTy=0

f-6)

^=L

f' Cy ⁾ -217mg ^f-

^"

^(g)

⁼

^{Iff ) City )}

^-

^%

f-

^'

^G)

⁼

I ^f-

"

G)

^{= -}

f-

Fyi

⁼

^it Ey

^-

f- y 't

^{. ..}

rE=f¥tz ^?

⁼

^It _If -2×73×4

^{. -.}

₎

^-

_{f- fax} ^'t Ix ^'t

^{. .-}

It

^{. -- =}

-

-

f

^-

xhttzx ^'t

^-

_f. ^4x4

^{t --- =}

^t

^-x'-

_f-

^x

^"

^{t ---}

i-ws7= t-H-fx4.fi?!t-*-IHt--#=t-lt-fEH- %

log ( ^{( sink ) '}

^-w"

)

⁼

^a

^-wsx

⁾

^-

²

^-

_logsinx

⁼

^2. sink

^{- 2-}

log ^{2 sin} 'EwsZ=

4 sin 'E[

^sin

_t ^{Flog 2}

⁺_-^sin

^Flog

^sin

^Et

^sin

_t ^Engage

_,

^{] o}

O

to

^{O -}

bofinoyeogy ^{to him} ( ^{gin 2x ) t}

-

W

"

=

1

x^-so

log (

^cosx

^Fatal )

⁼

_logcetxg ^{1- log}

^cost

logwsx

^-

^tsinx )

Em

.

Fat .it?E.eEsII=-z#tx4=tlimCwsx ^tens ÷.=¥:T¥wt=÷¥ )

re

ZADANIE 4

25

E- SE

o

8in9xtws9x

Funky

^'a

pool ^arikara

^sale2-

y ^{ad sin}

ⁱ

-

cos we

pamystych potggach

^,

stauolarowwy.sn poolstawieniem

jest ^coigc t=tgx

^.

^{Funky 'a}

^{i t >}

tgx

^nie

^jest graduate ^monotonic

^{ma ma}

pneokiale-o.LT ^]

^.

Funky

^{'e xi→}

^sink

^{i it>}

^{COSI sp okresowe}

^{2 okresem}

^IT

^.

^{Mother wise} _nocpisac

^'

IT

I

^-_

2J

^-DX

o

sink

⁺cos^"x

Dodatkowo

sin

( It

^x

)

^{-_ cost i}

aosfzttx )

^{= -sinx} , Lateen

sin

^"

( zttx ⁾ twshfztx )

⁼

^sin

^"

^G)

^+cos"

^{Cx )}

^,

tak coigc many

^rows

^'d

^:

I

^-_

4 "§g!¥+wsy×

^.

^Tevez

^moznua

^juz

^otoko

^head podstawieerice t=tgx ^at

^{= ok=}

⁽

^htt'

⁾

^ax

dx=%¥

^,

^cosh

⁼

^{¥ sink}

⁼

,z

Ma ok

^-

at *

E- 4) _Exton

⁼

as

, ; § ^CHEWS

⁼

° o

Atte

htt

^'

; ft

^-

Ea

^-

Ei ⁾ (

^t-

Eat ^Ei ) ( ^tt Ea

^-

Fei ) ^{( tt} Eat Eai ⁾

^--

^{( t}

^'-

^rat

⁺

^{e) ( three )}

pierwiastki stop

^{niece a Gr}

⁾

I

htt

1¥

⁼

t¥¥

⁺

teB¥y ^A

^-

^B

^-

^kg

ttrattl

⁼

Ctt Ea ⁾

^-

tf

⁼

Az ( ^aft

⁺

^Eat

⁺

^e)

⁼

^Ig ( ^{( Tatts )}

^'tr

⁾

^t'-

^{rat -11=1 ( ( rt}

^-

^{Nti )} )

x

112

*

=

a )

^-

o

Hirst ^tithe ]

+

¥¥tp+e ]

at

⁼

4 [ Faowctgcrttn ^{) )}

^t

# ^owctgfrzt

^-

d) / !

⁼

=

fz[ ^IT

⁺

^Ia

^-

^{owctgxt )}

^-

owcto¥ ]

⁼

^¥

^--

^wait