(1)Zadania domowe z Analizy IR

Zadania domowe z Analizy IR. Seria 2. 26.11.2019 1. Zbada´c zbie˙zno´s´c szereg´ow:

(a) P∞ n=1

1 nE(√

n) ; (b) P∞

n=1(_E(^√1_n) − ^√1_n); (c) P∞ n=1

(−1)ⁿ√ n E(n√

2); (d) P∞

n=1sin_n+1^n2π ; (e) P∞ n=1(√

n + 1 −

√4

n²+ n + 1)^p; (f) P∞ n=1

sin(na)

n+5 sin n ; (g) P∞ n=1

| sin nα|

n+1 ; (h) P∞

n=1(³⁻²ⁿ_3+2n)ⁿ ; (i) P∞ n=1(√ⁿ

3 − 2)ⁿ ; (j) P∞

n=1(₁₊^2√_np)ⁿ; (k) P∞

n=1sin π√

n²+ 1 ; (l) P∞

n=1(10 − p√ⁿ

5)ⁿ; (m) P∞

n=1n^{p+q log n} ; (n) P∞

n=1logⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾_n2+1 ; (o) P∞

n=1 sin n

2n−cos n ; (p) P∞

n=1(1 − ^√1_n)ⁿ ; (q) P∞ n=1

1

nlog(1 + _n¹) ; (r) P∞ n=1(

√n−1+√ n+1

2 −√

n) ; (s) P∞

n=1 nⁿ+1

n(n+1)ⁿ ; (t) P∞ n=1

log(2n+1)

n^p ; (u) P∞ n=1

3³

√

n2 +1

2ⁿ ; (w) P∞

n=1(_n¹ − _n+1¹ + · · · + ⁽⁻¹⁾_2nⁿ) ; (x) P∞

n=1

1

n√

(n+1)(n+2)...(n+n) ; (y) P∞

n=1(_1+n²⁺ⁿ2)^p ; (z) P∞ n=1

nⁿ⁺¹ (2n²+n+1)ⁿ⁻¹²

; (aa) P∞ n=1

(n−_2n¹)ⁿ n^{n− 1}2n

; (ab) P∞

n=1(¹_n −_n+1¹ + · · · + ⁽⁻¹⁾_2nⁿ) ; (ac) P∞ n=1(

q

1 + _n¹ −q

1 − _n¹) ; (ad) P∞ n=1

n³

5^√2n ; (ae) P∞

n=1n³3^−√n; (af) P∞

n=1log(cos_n¹) ; (ag) P∞

n=1(−1)ⁿlog(1 + _n¹); (ai) P∞

n=1n! sin₂^πn ; (aj) P∞ n=1

1

1−n(−1)ⁿ ; (ak) P∞

n=1

 3n n



11⁻ⁿ; (al)P∞ n=1

3n

n
7⁻ⁿ; (am) P∞

n=1(_n¹−_{n+5 sin n}¹ ) sin(nα) ; (an) P∞

n=1(ⁿ⁻¹_n+1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ; (ao) P∞

n=2 1

n log n ; (ap) P∞ n=2

(−1)ⁿ

n log n ; (aq) P∞ n=1

(n!)²

(2n)! ; (ar) P∞ n=2

1

(log n)^{log n} ; (as)P∞

n=2(log n)− log(log n); (at) P∞

n=2(log log n)^{− log n}; (au) P∞ n=1

1 nⁿ√

n ; (aw)P∞ n=1

n^p

n√

n!; (ax) P∞

n=1(_n¹−logⁿ⁺¹_n ) ; (ay) P∞

n=1(^(−1)√_nⁿ+_n¹) ; (az) P∞

n=3 (−1)ⁿ E(√ⁿ

5) ; (ba) P∞

n=1(2 − √ⁿ

n)ⁿ ; (bb)P∞

n=1(1 − ⁿ q

1 −_n¹); (bc) P∞

n=1sin(π√ⁿ

n³+ n) ; 2. Dowie´s´c, ˙ze je´sli szereg P∞

n=1a_n jest zbie˙zny, to do tej samej sumy zbie˙zny jest szeregP∞

n=1˜a_n o wyrazach

˜

an :=_n(n+1)¹ (a1+ 2a2+ · · · + nan).

3. Niech s :=P∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = 1 −¹₂+¹₃−¹₄+ . . . oraz s⁰:= 1 +¹₃−¹₂+¹₅+¹₇−¹₄+ . . . (s⁰ r´o˙zni sie_ι od s jedynie kolejno´scia_ι sk ladnik´ow: po dw´och sk ladnikach dodatnich naste_ιpuje jeden sk ladnik ujemny). Wykaza´c, ˙ze s⁰ =³₂s.

4. (C) Wykaza´c, ˙ze je´sli an > 0 i istnieje l := limn→∞log a_n

log n, toP∞

n=1an jest przy l < −1 zbie˙zny, a przy l > −1

— rozbie˙zny.

5. Niech Z – dowolny zbi´or niepusty, P := {A ∈ 2^Z : A : sko´nczony }. Wykaza´c, ˙ze wz´or d(A, B) := |A ÷ B| :=

(A \ B) ∪ (B \ A) okre´sla metryke_ι w zbiorze P . Opisa´c kule i odcinki wzgle_ιdem tej metryki.

6. Sprawdzi´c, ˙ze wz´or d(x, y) := min{|x − y|, 3 − |x| − |y|} zadaje metryke_ι na zbiorze X := [−1, 1]. Dla warto´sci r = ⁴₅ i r = ⁵₄ wyznaczy´c kule_ι K(1; r) (wzgle_ιdem metryki d). Wykaza´c, ˙ze (´srednica (X, d)) :=

sup_x,y∈Xd(x, y) = ³₂.

7. Sprawdzi´c, ˙ze wz´or d(x, y) := |(|x| − |y|)| + |sgnx − sgny| okre´sla metryke_ι na R. Wyznaczy´c kule (wzgleιdem d) o ´srodku x0 = 4 i promieniach r = 3, 4, 5, 6. Pokaza´c, ˙ze K(4; r) jest przedzia lem ⇐⇒ 0 < r ≤ 2 lub r ≥ 6.

8. Dla jakich warto´sci a ∈ R funkcja d(x, y) :=

 |x − y|, gdy x − y ∈ Q

a, gdy x − y 6∈ Q jest metryka_ιna [−1, 1].

9. Metryka cyklicznego uporza_ιdkowania przedzia lu: Niech X := [a, b[⊂ R oraz h := b − a (lub X := 1, n ⊂ Z oraz h := n); sprawdzi´c, ˙ze wz´or d(x, y) := min(|x − y|, h − |x − y|) okre´sla metryke_ι w zbiorze X.

10. Wykaza´c, ˙ze funkcja d : R × R −→ R zadaje pseudometrykeιna R (tzn. spe lnia warunki d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)); opisa´c okre´slona_ιprzez d relacje_ι r´ownowa˙zno´sci w R: x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0.

d(x, y) := | sin x − sin y| + | cos x − cos y|; d(x, y) := | sin x − sin y| + | sin(x − y)|.

11. Czy wz´or d(x, y) := _1+(x−y)^|x−y| 2 okre´sla metryke_ιna R ?

12. Dowie´s´c, ˙ze: zbi´or wyraz´ow cia_ιgu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej jest ograniczony;

13. Dowie´s´c, ˙ze je´sli (xn) i (yn) sa_ιdwoma cia_ιgami Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej (X, d), to cia_ιg liczbowy (d(xn, yn)) jest zbie˙zny.

14. Niech X := K(0, 1) = {x ∈ C : |x| < 1} oraz d(x, y) := min{|x − y| , 2 − |x| − |y|}. Sprawdzi´c, ˙ze (X,d) jest przestrzenia_ι metryczna_ι niezupe lna_ι (tzn istnieja_ι cia_ιgi Cauchy’ego nie maja_ιce w X granicy). Narysowa´c K(p,R) (kula o ´srodku p i promieniu R) dla (p;R) r´ownych odpowiednio: ((0, 0) ; ¹₂) ; ((0,³₄) ; ¹₂).

1

15. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych roz la_ιcznych przedzia l´ow domknie_ιtych [a,b] i [c,d] w R istnieje funkcja na R klasy C^∞ taka, ˙ze f ≡ 0 na [a,b] i f ≡ 1 na [c,d]. Wsk. Mo˙zna wykorzysta´c funkcje_ιf (x) := e^−x21

16. Wykaza´c, ˙ze S := {x ∈ R³ : x1x2x3= 1} ma cztery sp´ojne sk ladowe.

17. Zbada´c zwarto´s´c, sp´ojno´s´c, domknie_ιto´s´c i ograniczono´s´c zbioru: A := {(x, y) ∈ R² : x(x + y)²= 1}.

18. Zbada´c domknie_ιto´s´c, otwarto´s´c, zwarto´s´c i sp´ojno´s´c poni˙zszych podzbior´ow przestrzeni X ⊂ R a) X := {0} ∪ {¹_n, n ∈ N} , A := {1} , B := {0, 1,¹₂} , C :=dowolny podzbi´or X;

b) X := R , A := {x ∈ R : 32¹ ≥ x³− 2x²+ x ≥ 0};

c) X :=]0,¹₂[ , A := {x ∈ R : 32¹ ≥ x³− 2x²+ x ≥ 0};

d) X := R , A := {x ∈ R : x = aⁿ, n ∈ N} , a ∈ R–ustalone ;

e) X := {x ∈ R : x = aⁿ, n ∈ Z} , A := {x ∈ R : x = aⁿ, n ∈ N} , a ∈ R–ustalone;

19. Niech X :=]0, ∞[. Poda´c przyk lad funkcji cia_ιg lej f : X −→ R dla kt´orej f(X) jest zbiorem : a) domknieιtym i nieograniczonym, b) domknie_ιtym i ograniczonym (czyli zwartym).

20. (C) Opisa´c otwarte, domknie_ιte, zwarte i sp´ojne podzbiory zbioru N w topologii zadanej metrykaιd(m, n) :=

|_m¹ −¹_n|. Czy metryka d◦(m, n) := |m − n| okre´sla te_ι sama_ιco d topologie_ι w zbiorze N ?

21. (C) Zbada´c domknie_ιto´s´c, zwarto´s´c, sp´ojno´s´c i otwarto´s´c zbior´ow: a) Zbi´or funkcji wielomianowych na odcinku [0,1]. (jako podzbi´or C[0, 1] z metryka_ιd(f, g) := sup_x∈[0,1]|f (x) − g(x)| ) b) Jak wy˙zej lecz ograniczamy sie_ι do wielomian´ow stopnia nie wie_ιkszego ni˙z 17.

22. Niech (X, d) be_ιdzie przestrzenia_ιmetryczna_ι; dla A ⊂ X i  ≥ 0 oznaczmy A_:= {x ∈ X : ∃a ∈ A : d(x, a) ≤ }.

Rozwa˙zmy naste_ιpuja_ιce implikacje: (D) A domknie_ιty ⇒ A_ domknie_ιty; (O) A otwarty ⇒ A_ otwarty; (Z) A zwarty ⇒ A zwarty; (S) A sp´ojny ⇒ A sp´ojny. Dowie´s´c, ˙ze: (a) A zwarty ⇒ A domknie_ιty; (b) w przestrzeni X := Rⁿ z metryka_ιd(x, y) := |x − y| implikacje (D), (O), (Z) i (S) sa_ιr´ownie˙z prawdziwe;

(c) dla X :=] − ∞, −1[∪{0}∪] + 1, +∞[; z metryka_ιd(x, y) := |x − y| implikacje (D), (O), (Z) i (S) sa_ιfa lszywe.

23. (C) Wykaza´c, ˙ze przestrze´n metryczna, w kt´orej ka˙zdy podzbi´or ograniczony i domknie_ιty jest zwarty, jest zupe lna.

24. Odwzorowanie f nazywa sie_ιdomknie_ιte (otwarte), je˙zeli f -obrazy zbior´ow domknie_ιtych (otwartych) sa_ιdomknie_ιte (otwarte). Zbada´c, czy dane cia_ιg le (w zwyk lej topologii R) odwzorowanie f : R → R jest domknieιte lub ot- warte:

f (x) :=√

1 + x²; f (x) := ^√_1+x^x ₂;(c) f (x) := _1+x^2x2; f (x) := sin x.

25. (C) Wykaza´c, ˙ze nie istnieje cia_ιg la bijekcja odcinka domknie_ιtego na zbi´or W := {(x, y) ∈ R², −1 ≤ x ≤ 1 , y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R² x = 0 0 ≤ y ≤ 1}.

26. Wykaza´c, ˙ze nie istnieje cia_ιg la bijekcja R²→ R. (zatem R² i R nie saιhomeomorficzne). Uog´olni´c wynik na R^mm ≥ 2 i R.

27. Czy istnieje cia_ιg la bijekcja okre_ιgu na prosta_ι?

28. (C) Niech C(r) oznacza okra_ιg na p laszczy´znie o ´srodku w pocza_ιtku uk ladu wsp´o/ednych i promieniu r. Niech X := S∞

n=2C(1 −_n¹), Y := S∞

n=3C(_n¹) be_ιda_ι podzbiorami w R² ze standardowa_ι metryka_ι. a) Wykaza´c, ˙ze X i Y sa_ι niezupe lnymi przestrzeniami metrycznymi. b) Skonstruowa´c homeomorfizm (tzn. cia_ιg la_ι bijekcje_ι taka_ι, ˙ze odwrotna jest cia_ιg la) X → Y . c) Znale´z´c uzupe lnienia X i Y i wykaza´c, ˙ze nie sa_ιhomeomorficzne.

(Czyli homeomorficzne przestrzenie metryczne moga_ιmie´c niehomeomorficzne uzupe lnienia.) 29. Wyliczy´c granice:

(a) limx→1x^1−x1 ; (b) limx→0

1−(cos x)^{sin x}

x³ ; (c) limx→01

x(¹_x− cot x) ;

(d) limx→∞(x²− x⁴log(1 + x⁻²)) ; (e) limx→1(_{log x}¹ −_x−1¹ ) ; (f) limx→1(_log^x−12x−_x−1¹ ) ; (g) limx→0(1 + x²e^x)^{1−cos x1} ; (h) limx→0x⁻⁵(x −

q

1 +^x₃²sin x) ; (i) limx→0(^e_e^axbx^−ax−bx)^x−2; (j) limx→a a^x−x^a

x−a ; (k) limx→0e^{−x2 /2}−cos x

x⁴ ; (l) lim_x→π/4(tan x)^{tan 2x};

(m) limx→0(1 − x + sin x)^x−3 ; (n) limx→∞(cos(x +_x¹) − cos(x −_x¹)) ; (o) limx→0

(1−cos x) sin¹_x sin x ; (p) limx→^π₂

cos(cos x)−sin x

cos⁴x ; (q) limx→0(_{cosh x}^{cos x})^1/x2 ; (r) limx→π1−cos x cos 2x cos 3x 1+cos x ; (s) lim_x→0 ³

√cos 4x−√³ cos 5x

1−cos 3x ; (t) lim_x→1−(tan^πx₂ )^1−x; (u) lim_x→∞(^π₂ − arctan x)^{log x1} .

2

30. Znale´z´c punkty niecia_ιg lo´sci funkcji f : R −→ R (w zale˙zno´sci od warto´sci parametr´ow)

f (x) :=







x²−5x+6

x²−x−2 x 6= 1, 2

a x = 2

1 x = 1

;

f (x) :=

 _x³_+x²

sin x x 6= 0 a x = 0 ; f (x) :=

 _xⁿ₋₁

x^m−1 x 6= 1 m, n ∈ N

a x = 1 ;

f (x) :=

 e^x−1

|x| x 6= 0 a x = 0 ; f (x) :=

 √

x²+ a² |x| > 1 ax²+ bx + c |x| ≤ 1 ; f (x) :=

 1

x−_ex¹−1 x 6= 0

1

2 x = 0 .

31. Dowie´s´c, ˙ze liczba rzeczywistych pierwiastk´ow Wn(x) :=Pn k=0

x^k

k! jest r´owna 0 lub 1, zale˙znie od parzysto´sci n ∈ N.

32. Dla x ∈ [−1, 1] udowodni´c to˙zsamo´s´c: arcsin x = arctan^√x

1−x². 33. Dla x ∈ [0, ∞] wykaza´c nier´owno´s´c: sin x ≥ x −^x₆³.

34. Dowie´s´c, ˙ze:

(a) x −^x₂² < log(1 + x) dla x > 0 ; (b) log(1 + x) < x −^x₂² +^x₃³ dla x > −1 ; (c) e^2x<^1+x_1−x dla 0 < x < 1 ; (d) (4 − cos x)^{sin x}_x < 3 dla x 6= 0 ; (e) |^1+x_x arctan x| < ^π₂ dla x < 1 ; (f) 1 + x log(x +√

1 + x²) ≥√ 1 + x². 35. Dowie´s´c, ˙ze funkcja f (x) := (1 + x)^1/x, −1 < x 6= 0, da sie_ιprzed lu˙zyc do funkcji r´o˙zniczkowalnej na ] − 1, ∞[.

Wyliczy´c f (0) i f⁰(0) oraz wykaza´c, ˙ze funkcja x 7→ f (x) jest maleja_ιca, a x 7→ (1 + x)f (x) — rosna_ιca na ] − 1, ∞[.

36. Niech f : R → R, f (x) :=

 1

x−_ex¹−1 gdy x 6= 0

1

2 gdy x = 0 . Dowie´s´c, ˙ze:

(a) f jest klasy C¹ na R (wyliczy´c f⁰(0));

(b) f jest maleja_ιca;

(c) f jest jednostajnie cia_ιg la na R.

(d) funkcja R 3 x 7→ f (x) − ¹2∈ R jest nieparzysta.

37. Dowie´s´c, ˙ze funkcja f : R → R, f (x) := ^x_x³2⁻¹+1, ma trzy punkty przegie_ιcia oraz ˙ze le˙za_ιone na jednej prostej.

38. Zbada´c przebieg funkcji, naszkicowa´c wykres:

f (x) := ^x2√+3x+11

x²+2 , x ∈ R ; f (x) := (x + 2)e^1x, x ∈ R \ {0} ; f (x) := (x − ³_x)e^−x2, x ∈ R \ {0};

f (x) := arcsin_(1+x^3x−x_2)3/2³ , x ∈ R;

f (x) := (x + 1) arctan x, x ∈ R.

3