8. Granica funkcji w punkcie.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Kolokwium nr 9: wtorek 3.01.2017, godz. 9:15-10:00, materiał zad. 1–397.

8. Granica funkcji w punkcie.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 14,19.12.2016 (grupy 2–5).

Obliczyć następujące granice:

332. lim

x→7

 1

x − 7− 8 x²− 6x − 7



333. lim

x→0xsin¹_x 334. lim

x→0e^−1/x2 335. lim

x→8

√3

x − 2

x − 8 336. lim

x→3

x − 3

x + 2 337. lim

x→5

x²− 6x + 5 x − 5 338. lim

x→1

 1

1 − x− 3 1 − x³



339. lim

x→1

x²⁰¹⁶− 1

x¹⁰− 1 340. lim

x→1/2

8x³− 1 6x²− 5x + 1 341. lim

x→−2

x³+ 3x²+ 2x

x²− x − 6 342. lim

x→0

x −√

√ x

x 343. lim

x→1

(x − 1)√ 2 − x x²− 1

344. lim

x→+∞

x −√ x x +√

x 345. lim

x→+∞

√ x

x²+ 1 346. lim

x→−∞

√ x

x²+ 1 347. lim

x→0+

lnx 1 + lnx 348. lim

x→0+

2^1/x+ 1

2^1/x− 1 349. lim

x→0−

2^1/x+ 1

2^1/x− 1 350. lim

x→+∞

2^1/x− 1 2^1/x+ 1 Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem 351. f (x) =√

x²+ x + 1 +x

2 352. f (x) =√³

x³+ x² 353. f (x) = x³+ 1

x²+ 5x + 4+ |x|

354. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem f (x) =







ax + b dla x < 1 x² dla 1 ¬ x < 2 ax − b dla 2 ¬ x

jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła.

Obliczyć granice funkcji.

355. lim

x→0⁺log(^√17−3)x 356. lim

x→0⁺log(^√13−3)x 357. lim

x→+∞log(^√17−3)x 358. lim

x→+∞log(^√13−3)x 359. lim

x→+∞

√

17 − 3^x 360. lim

x→+∞

√

13 − 3^x 361. lim

x→−∞

√

17 − 3^x 362. lim

x→−∞

√

13 − 3^x 363. lim

x→+∞arctg^√

17 − 4^x 364. lim

x→+∞arctg^√

13 − 4^x

Lista 5 - 20 - Strony 20-22

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Wyznaczyć wartości granic ciągów (wolno korzystać ze wzoru (♠) poniżej).

365. lim

n→∞

 n n + 1



366. lim

n→∞

 n n + 2016



367. lim

n→∞

 n

2016n + 1



368. lim

n→∞

 n n + 1

2016

369. lim

n→∞

 n n + 2016

2016

370. lim

n→∞

 n

2016n + 1

2016

371. lim

n→∞

 n n + 1

n

372. lim

n→∞

 n n + 1

2016n

373. lim

n→∞

 n n + 1

n/2016

374. lim

n→∞

 n n + 1

n²⁰¹⁶

375. lim

n→∞



1 +2016 n

n

376. lim

n→∞



1 −2016 n

n

Zadania do omówienia na konwersatorium 20 grudnia 2016.

Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli funkcje f, g, h są określone w otoczeniu punktu x₀∈ [−∞,+∞] (mogą nie być określone w samym x₀), a przy tym

f (x) ¬ g(x) ¬ h(x)

dla x bliskich x₀, to z istnienia i równości granic funkcji f oraz h w punkcie x₀ wynika

x→xlim0

g(x) = lim

x→x0

f (x) = lim

x→x0

h(x) . To samo stosuje się do granic jednostronnych.

Obliczyć granice 377. lim

x→+∞

sin(x¹⁰⁰⁰)

√x 378. lim

x→0x ·ⁿ1/x^1000o (uwaga: część ułamkowa) Korzystając ze zbieżności (granica funkcji)

x→+∞lim



1 +1 x

x

= e (♠)

obliczyć

379. lim

x→+∞



1 +1 x



√x²+x

380. lim

x→+∞



1 +1 x



√7x²+5x+1

381. lim

x→+∞

x^x+1 (x + 1)^x

382. lim

x→+∞



1 +1 x



√x

383. lim

x→+∞ 1 + 1

√x

!x

384. lim

x→+∞



1 +1 x

x·f (x)

, gdzie lim

x→+∞f (x) = 2

Zadania sprawdzające do samodzielnego rozwiązania.

W miarę wolnego czasu mogą być omówione na ćwiczeniach.

Wyznaczyć wartości granic ciągów:

385. lim

n→∞

log₂(n + 8)

log₂n 386. lim

n→∞(log₂(n + 8) − log₂n) 387. lim

n→∞log_n(n + 8) 388. lim

n→∞

log₂(8n + 1)

log₂n 389. lim

n→∞(log₂(8n + 1) − log₂n) 390. lim

n→∞log_n(8n + 1)

Lista 5 - 21 - Strony 20-22

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

391. lim

n→∞

log₂(n⁸+ 1)

log₂n 392. lim

n→∞

log₂^n⁸+ 1^− log₂n^ 393. lim

n→∞log_n^n⁸+ 1^ 394. Niech f :R^→R będzie funkcją określoną wzorem

f (x) = a{x}³+ b{x}²+ c{x} + d , gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x.

W każdym z podpunktów uzupełnij brakującą liczbę tak, aby funkcja f zdefiniowana powyższym wzorem była ciągła. Wpisz NIE, jeśli uważasz, że liczba o żądanej własności nie istnieje.

a) a = . . . , b = 2, c = 3, d = 4 b) a = 1, b = . . . , c = 3, d = 4 c) a = 1, b = 2, c = . . . , d = 4 d) a = 1, b = 2, c = 3, d = . . . .

395. Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem f (x) =√⁴

x⁴+ x³+ x².

396. W każdym z zadań 396.1-396.16 podaj granicę funkcji.

396.1. lim

x→−∞2^x= . . . . 396.2. lim

x→−∞2^2x= . . . . 396.3. lim

x→−∞2^22x= . . . . 396.4. lim

x→−∞2²²²

x

= . . . . 396.5. lim

x→−∞2²²²

2x

= . . . . 396.6. lim

x→−∞2^34x= . . . . 396.7. lim

x→−∞4^32x= . . . . 396.8. lim

x→−∞2³⁴⁵

x

= . . . . 396.9. lim

x→−∞3⁴⁵⁶

x

= . . . . 396.10. lim

x→−∞3²²⁴

5x

= . . . . 396.11. lim

x→+∞

√

x²+ x − x^= . . . . 396.12. lim

x→+∞

√

x²+ 2x − x^= . . . . 396.13. lim

x→+∞

√₃

x³+ x²− x^= . . . . 396.14. lim

x→+∞

√₃

x³+ 2x²− x^= . . . . 396.15. lim

x→+∞

ln(x⁷+ x⁶)

lnx = . . . . 396.16. lim

x→+∞

ln(x⁷+ 2x⁶)

lnx = . . . . 397. Niech f :R^→R będzie funkcją określoną wzorem

f (x) = a · {2x} + b · {2x + 1} + c · {x} + d ·



x +1 2



, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y.

W każdym z podpunktów uzupełnij brakujące liczby rzeczywiste tak, aby funkcja f zdefiniowana powyższym wzorem była ciągła. Wpisz NIE, jeśli uważasz, że liczby rze- czywiste o żądanej własności nie istnieją.

a) a = 1, b = 2, c = . . . , d = . . . . b) a = . . . , b = 2, c = 3, d = . . . . c) a = . . . , b = . . . , c = 3, d = 4 d) a = 2, b = 3, c = . . . , d = . . . . e) a = . . . , b = 3, c = 6, d = . . . . f ) a = . . . , b = . . . , c = 6, d = 6

Lista 5 - 22 - Strony 20-22