Podstawy animacji

Grafika Komputerowa

Podstawy animacji

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Podstawy animacji

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Techniki pochodz ˛

ace z Animacji

tradycyjnej

Klatka kluczowa (keyframming) Motion capture

Animacja modelowana

System cz ˛astek (dym, płyn, tłum) Bryła sztywna (rigid body)

Przegubowa bryła sztywna (articulated rigid body) Obiekty elastyczne

Zmiana runktu widokowego kamery (camera viewpoint) Inne: o´swietlenie, chmury, etc.

Techniki modelowania animacji

Kinematyka prosta Kinematyka odwrotna Dynamika prosta

Animacja pozycji. Ease In

W czasie u0 obiekt ma pozycj ˛e p0 i pr ˛edko´s´c v0.

W czasie u1 zatrzymuje si ˛e w pozycji p1

(z pr ˛edko´sci ˛a 0).

Dla [0, 1] rozwi ˛azaniem jest

q(u) = p0H0(u) + v0H1(u) + p1H3(u), gdzie H_i(u) jest

wielomianem Hermite’a.

Dla dowolnego [u0, u1] zamiana J_i(u) = H_i



u−u0

u1−u0

 , q(u) = p0J0(u) + (u1 − u0)v0J1(u) + p1J3(u).

Wielomiany Hermite’a

H0(u) = (1 + 2u)(1 − u)2, H1(u) = u(1 − u)2,

H2(u) = −u2(1 − u), H3(u) = u2(3 − 2u),

       H0(0) = 1 H1(0) = 0 H2(0) = 0 H3(0) = 0 H0′(0) = 0 H1′(0) = 1 H2′(0) = 0 H3′(0) = 0 H0′(1) = 0 H1′(1) = 0 H2′(1) = 1 H3′(1) = 0 H0(1) = 0 H1(1) = 0 H2(1) = 0 H3(1) = 1

q(u) = x0H0(u) + v0H1(u) + v1H2(u) + x1H3(u).

Bézier: q(u) =

Ease In. Ruchomy cel

W czasie t_i obiekt ma pozycj ˛e T_i, kamera ma pozycj ˛e c_i.

W czasie ti+1 = ti + δt obiekt b ˛edzie miał pozycj ˛e Ti+1.

Obliczy´c c_i+1.

Obiekt zmienia pr ˛edko´s´c płynnie: c_{i+1 = (1 − α)ci} + αT_i+1.

Z regulowaniem pr ˛edko ´sci kamery

´srednia pr ˛edko´s´c kamery: v_i = ci−c_i−1

∆_t ,

oczekiwana pozycja kamery: c′_i+1 = c_i + v_i∆t = c_i + ci−c_i−1

∆_t ∆t = 2ci − ci−1,

z uwzgl ˛ednieniem pozycji obiektu: c_{i+1 = (1 − α)(2ci − ci−1}) + αT_i+1, α ∈ (0, 1)

Modelowanie orientacji

Kierunek „Up”. Kamera.

Modelowanie orientacji. Macierz

obrotu

1 2     0 0 1 0 1 0 −1 0 0   +   0 −1 0 1 0 0 0 0 1     =   0 ₋1₂ 1₂ 1 2 1 2 0 −12 0 1 2  

Yaw, Pitch, and Roll

Roll z Pit h x Yaw y

Figure XII.1: Yaw, pit h, and roll represent rotations around the y-axis, the x-axis and the z-axis. If the axes move with the obje t, then the rotations are performed in the order yaw, then pit h, and nally roll. If the axes are taken as xed, then the rotations are performed in the opposite order: roll, then pit h, then yaw. Rotation dire tions are determined by the righthand rule. Thereader is warned that the rotation dire tions for pit h and yaw that

Yaw, Pitch, and Roll

R = R_{θy,j ◦ Rθp,i ◦ Rθr,k} M_R =   s_ys_ps_r + c_yc_r s_ys_pc_{r − cy}c_p s_yc_p c_ps_r c_pc_{r −sp} c_ys_ps_{r − sy}c_r c_ys_pc_r + s_yc_r c_yc_p   c_p = cos θ_p, etc.

Ewentualne problemy interpolacji

Interpolacja k ˛atów, okres 360◦.

interpolacja od 170◦ do ₋₁₇₀◦ a interpolacja od 170◦ do 190◦

niejednoznaczna reprezentacja obrotu: θ_y′ = θ_{y ± 180}◦

θ_p′ _{= −θp ± 180}◦ θ_r′ = θ_{r ± 180}◦ Gimbal lock

Animacja Orientacji. Kwaterniony

Obrót o k ˛at θ dookoła osi (u1, u2, u3).

q = (cos(θ/2), sin(θ/2)u1, sin(θ/2)u2 sin(θ/2)u3)

q = (q0, q1, q2, q3), kqk2 = P q_i2 = 1: θ = 2 arccos q0, u = √ 1 1_−q02 (q1, q2, q3) = 1 sin_θ/2(q1, q2, q3),

q = (cos(θ/2), sin(θ/2)u1, sin(θ/2)u2 sin(θ/2)u3)

Ciało kwaternionów Q

q = q0 + q1i + q2j + q3k    i2 _{= −1,} ij = k, _{ik = −j,} ji = −k, j2 = −1, jk = i, ki = j, _{kj = −i, k}2 _{= −1.} kqk = pq2 0 + q 2 1 + q 2 2 + q32, q∗ = q0 − q1i − q2j − q3k, q−1 = _kqk1 2 q∗, R _{֒→ Q,}

Ciało kwaternionów. Przykłady

q_α = √₂2 + √₂2j, q_β = √₂2 + √₂2k, q_γ = 2 q_{α ± qβ}, q_{α ± qγ}, q_αq_β, q_βq_α, q_αq_γ, q_γq_α, q_α∗, q_β∗, q_γ∗, kqαk, kqβk, qγk, q_α−1, q_β−1, q_γ−1.

Kwaterniony a obroty

Twierdzenie 1. Niech R_θ,u b ˛edzie obrotem dookoła osi u (kuk = 1),

q = cos(θ/2) + sin(θ/2)u1i + sin(θ/2)u2j + sin(θ/2)u3k.

Wtedy ∀v ∈ R

Kwaternion a macierz obrotu

q → MR: i 7→ qiq−1, _{j 7→ qjq}−1, _{k 7→ qkq}−1, MR =     q02 + q 2 1 − q 2 2 − q 2 3 2q1q2 − 2q3q0 2q1q3 + 2q2q0 2_q1q2 + 2q3q0 q₀2 − q₁2 + q2₂ − q₃2 2q2q3 − 2q1q0 2_q1q3 − 2q2q0 2q2q3 + 2q1q0 q₀2 − q₁2 − q₂2 + q₃2     . M_{R → q:}    m2_,1 + m1_,2 = 4q1q2, m1_,3 + m3_,1 = 4q1q3, m3_,2 + m2_,3 = 4q2q3, m2_,1 − m1_,2 = 4q3q0, m1_,3 − m3_,1 = 4q2q0, m3_,2 − m2_,3 = 4q1q0,    2_m0_,0 − Tr M = 4q₀2 − 1, 2m1_,1 − Tr M = 4q₁2 − 1, 2_m2,2 − Tr M = 4q22 − 1, 2m3,3 − Tr M = 4q 2 3 − 1.

Interpolacja kwaternionów

i

1

Figure XII.2: Lerping moves from 1 to i at a onstant rate along the se ant

line. Slerping moves from 1 to i at a onstant rate along the great ir le. The

points drawn on the se ant line and on the great ir le are obtained by lerping

and slerping with  = 1 3

. They do not orrespond to the same rotation.