Bryła sztywna
Fizyka I (Mechanika)
Wykład IX:
• Bryła sztywna
• Statyka
• Prawa ruchu
• Moment bezwładno´sci
• Energia ruchu obrotowego
• B ˛ak i ˙zyroskop
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
m m
m m
CM
V
CMp
2p
4p
1 3p
31
4
2
układ inercjalny Masa układu
M = X
i
mi Poło˙zenie ´srodka masy:
R =~ 1 M
Xmi ~ri
Ruch układu jako cało´sci P˛ed:
P = M ~~ VCM Energia kinetyczna:
Ek = M VCM2
2 + Ek⋆ Moment p ˛edu:
L = M ~~ RCM × ~VCM + ~L⋆CM
Ek⋆ - energia “wewn ˛etrzna”
L~⋆CM - “wewn ˛etrzny” moment p ˛edu
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
W oparciu o poj ˛ecie ´srodka masy mo˙zemy opisa´c ruch układu jako cało´sci stosuj ˛ac równania ruchu punktu materialnego.
d ~P
dt = ~Fzw d~L
dt = M~ zw
Natomiast ruch wzgl ˛edny ciał układu mo˙ze by´c (w ogólnym przypadku) bardzo skomp- likowany...
Przypadek szczególny
r
231
4
3
2
CM
rij = ~ri − ~rj
= onst
Układ ciał w którym wzgl ˛edne odległo´sci s ˛a stałe ⇒ bryła sztywna (uogólniona)
Bryła sztywna
Naogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe,
które nie podlega deformacjom - wszystkie punkty maj ˛a wzgl ˛edem siebie stałe odległo´sci.
Poło˙zenie
Aby jednoznacznie okre´sli´c poło˙zenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba okre´sli´c:
poło˙zenie wybranego punktu np. ´srodka masy
3 parametry
(stopnie swobody)
poło˙zenie drugiego punktu
2 parametry
(poło˙zenie na sferze)
poło˙zenie trzeciego punktu
1 parametr (poło˙zenie na okr ˛egu)
⇒ ł ˛acznie mamy 6 stopni swobody
Opis ruchu
Poło˙zenie bryły sztywnej opisuj ˛a 3 współrz ˛edne i 3 k ˛aty
Złó˙zenie ruchów
Ogólny ruch (zmian ˛e poło˙zenia) mo˙zna przedstawi´c jako zło˙zenie
ruchu post ˛epowego oraz
Z
r(t)
X
Y
wektory pr ˛edko´sci s ˛a takie same dla wszystkich punktów
ruchu obrotowego
Z
X
Y
os obrotu
wszystkie punkty poruszaj ˛a si ˛e po okr ˛egach
Opis ruchu
Chwilowa o´s obrotu
Czasami zło˙zenie ruchu postepowego i obrotowego (wzgledem np. ´srodka masy) mo˙zna przedstawi´c jako ruch obrotowy wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu
Z
X
Y
chwilowa os obrotu
~vi = ~VCM + ~ω × ~ri − ~R
Je´sli V~CM ⊥ ~ω wtedy:
~vi = ~ω × ~ri − ~R′
R~′ - poło˙zenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie)
Opis ruchu
Wi ˛ezy
Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku opisuje kolejnych 6 parametrów (np. pr ˛edko´s´c ´srodka masy i pr ˛edko´s´c k ˛atowa w układzie ´srodka masy)
W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez wi ˛ezy:
• koło obracaj ˛ace si ˛e na nieruchomej osi ⇒ jeden stopie ´n swobody (k ˛at obrotu)
• walec tocz ˛acy si ˛e bez po´slizgu ⇒ jeden st. swobody (k ˛at obrotu lub przesuni ˛ecie)
• walec tocz ˛acy si ˛e z po´slizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (k ˛at obrotu i przesuni ˛ecie)
• kulka tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe ~ω)
W rozwi ˛azywaniu zagadnie ´n kluczowe jest zrozumienie jakie s ˛a stopnie swobody Obecno´s´c wi ˛ezów oznacza te˙z obecno´s´c sił reakcji wi ˛ezów...
Statyka
Warunek równowagi
Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działaj ˛ace na ni ˛a siły i momenty sił równowa˙z ˛a si ˛e:
F~zw = X
i
F~izw = 0 ⇐⇒ d ~P
dt = 0
M~ zw = X
i
M~izw = 0 ⇐⇒ d~L
dt = 0
Je´sli F~zw = 0 to wypadkowy moment sił wzgl ˛edem ka˙zdej osi jest taki sam ! (wystarczy sprawdzi´c raz)
~ri′ = ~ri + ~R M~ ′ = X
i
~r′i × ~Fi = X
i
~ri × ~Fi + ~R × X
i
F~i = ~M
Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia s ˛a siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji wi ˛ezów
Statyka
Równowaga
Nawet je´sli warunek F~zw = ~Mzw = 0 jest spełniony, równowaga mo˙ze by´c:
trwała oboj ˛etna chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:
pojawienie si ˛e siły wypadkowej (momentu siły) przywracaj ˛acej równowag ˛e
zmian ˛e poło˙zenia równowagi
pojawienie si ˛e siły wypadkowej zwi ˛ekszaj ˛acej wychylenie
Statyka
Przykład I
Warunkiem równowagi trwałej dla wielo´scianu (ustawionego na poziomej powierzchni, pod działaniem siły ci ˛e˙zko´sci) jest aby pion wypuszczony ze ´srodka ci ˛e˙zko´sci przechodził przez podstaw ˛e.
Równowaga trwała
Moment siły ci ˛e˙zko´sci “dociska” brył ˛e do powierzchni
Brak równowagi
Moment siły ci ˛e˙zko´sci wywraca brył ˛e
Statyka
Przykład II
Dwu-sto˙zek poło˙zony na nierównoległych szynach:
Gdy szyny s ˛a poziome, sto˙zek b ˛edzie si ˛e poruszał w kierunku szerszego ko ´nca.
Siła ci ˛e˙zko´sci i reakcji szyn si ˛e równowa˙z ˛a, ale wypadkowy moment sił nie b ˛edzie zerowy.
Szyny stykaj ˛a si ˛e ze sto˙zkiem wzdłu˙z łuku elipsy z osi ˛a sto˙zka (´srodkiem masy) w jednym z ognisk...
Statyka
Przykład II
Równowag ˛e osi ˛agniemy gdy szyny b ˛ed ˛a pochylone pod odpowiednim k ˛atem (szerszy koniec wy˙zej)
O´s sto˙zka pozostaje cały czas na tej samej wysoko´sci (Ep = const)
Statyka
Równowaga
Równowaga bryły na któr ˛a działa siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji mo˙zna sklasyfikowa´c patrz ˛ac na poło˙zenie ´srodka masy (energi ˛e potencjaln ˛a): (F = −~ gradEp)
równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:
podniesienie ´srodka masy wzrost energii potencjalnej
brak zmian poło˙zenia
´srodka masy
obni˙zenie ´srodka masy
zmniejszenie energii potencjalnej
Statyka
Równowaga
Zmiana poło˙zenia ´srodka masy, przy wychyleniu z poło˙zenia równowagi, zale˙zy od kształtu bryły, ale tak˙ze od charakteru wi ˛ezów.
Np: równowaga kuli zale˙zy od kształtu powierzchni na której le˙zy
równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna
Typ równowagi zale˙zy od zmiany poło˙zenia ´srodka masy (F = −~ gradEp)
Statyka
Równowaga
Kryterium zmiany poło˙zenia ´srodka masy ⇒ energii potencjalnej ma zastosowanie tak˙ze w bardziej ogólnych przypadkach
Np: sze´scian ustawiony na kuli
a
h R
d
φ
Poło˙zenie ´srodka masy sze´scianu (nad ´srodkiem kuli):
h = R cos φ + d sin φ + 1
2a cos φ d = R φ
h =
R + a 2
cos φ + R φ sin φ w przybli˙zeniu małych k ˛atów:
sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 − 12φ2
h =
R + a 2
+ 1 2
R − a 2
· φ2 Równowaga trwała je´sli R > 2a
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
Dla bryły sztywnej obracaj ˛acej si ˛e wokół ostalonej osi mement p ˛edu (skalarnie):
L = ω X
i
mi r⊥ i2 = ω I ω = dφ dt r⊥ i - odległo´s´c masy i od osi obrotu,
I - moment bezwładno´sci wzgl ˛edem wybranej osi.
Pod wpływem stałego momentu siły M: M = dL
dt = dω dt
X
i
mi r⊥ i2 = ε I
ε = dω
dt − przyspieszenie k¡towe
⇒ ε = M
I = onst
ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)
Prawa ruchu
Ruch jednostajnie przyspieszony
ε0 = MI 0
0
I0 ≈ 4mr02
poło˙zenie ci ˛e˙zarka: h = φ · R
I ≈ 4mr2 < 4mr02
⇒ ε = MI0 > ε0
M = F R > M0 = F R0
⇒ ε = MI
0 > ε0
Prawa ruchu
Ruch harmoniczny
φ r m
Moment siły zale˙zy od k ˛ata skr ˛ecenia pr ˛eta φ:
M = −ξ φ ξ - współczynnik “spr ˛e˙zysto´sci”
moment siły ma znak przeciwny do skr ˛ecenia M = dL
dt = dω
dt I = d2φ dt2 I
⇒ d2φ
dt2 = − ξ I φ
równanie oscylatora harmonicznego.
Cz ˛esto´s´c drga ´n:
ν =
sξ I =
√ξ
q
Pi mi r⊥ i2 ≈
√ξ 2r√
m
Moment bezwładno´sci
Przyspieszenie k ˛atowe w ruchu bryły sztywnej zale˙zy nie tylko od masy całkowitej, ale tak˙ze od jej rozło˙zenia wzgl ˛edem osi obrotu.
Rozkład masy wzgl ˛edem wybranej osi obrotu
(najcz ˛e´sciej przechodz ˛acej przez ´srodek masy, ale nie koniecznie) opisuje moment bezwładno´sci
I = X
i
mi r⊥ i2
w przypadku ci ˛agłego rozkładu masy - całka po obj ˛eto´sci:
I =
Z
dV ρ r2⊥ Dla ciała jednorodnego (ρ = const = MV ):
I = M V
Z
dV r⊥2 = M
R dV r2⊥
R dV = M hr⊥2i
gdzie hr⊥2i - ´sredni kwadrat odległo´sci od osi obrotu
Moment bezwładno´sci
Stosunek m. bezwładno´sci do masy zale˙zy od kształtu i rozmiarów ciała: MI = hr2⊥i
Obr ˛ecz
(pusta w ´srodku) obrót wokół osi symetrii Wszystkie punkty równoodległe od osi:hr2⊥i = r2 ⇒ I⊥ = M r2 Obrót wokół ´srednicy
o´s obrotu - o´s X, ´srednica prostopadła do osi obrotu - o´s Y
x2 + y2 = r2 i hx2i = hy2i
⇒ hr⊥2i = hy2i = 1
2 r2 ⇒ Ik = 1
2 M r2
Sfera
(powierzchnia kuli) obrót wokół osi symetrii x2 + y2 + z2 = r2 i hx2i = hy2i = hz2i⇒ hr⊥2i = hx2 + y2i = 2
3 r2 ⇒ I = 2
3 M r2
Moment bezwładno´sci
r r’ dS dr’
Koło
(kr ˛a˙zek) obrót wokół osi symetriiKoło = suma wielu obr ˛eczy ⇒ ´srenia po powierzchni:
hr⊥2 i =
R r′2 · dS
S = 1
πr2
Z
r′2 · 2πr′dr′ = 2π πr2
1
4r4 = 1 2 r2
⇒ I⊥ = 1
2 M r2
Podobnie mo˙zna wyznaczy´c I dla innych brył:
Prostok ˛ at
⇒ I⊥ = 121 M (a2 + b2)Pr ˛et
⇒ I = 121 M l2Obrót wokół osi prostopadłej, przechodz ˛acej przez ´srodek.
Kula
(jednorodna) ⇒ I = 25 M r2Moment bezwładno´sci
Twierdzenie o osiach równoległych
X Y
r
r h
m
O S x
y
iO
iS
i
i i
Zazwyczaj liczymy moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi przechodz ˛acej przez ´srodek ci ˛e˙zko´sci S
(wszystkie podane przykłady)
Bryła mo˙ze jednak wirowa´c wokół dowolnej osi...
Moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ ´srodka masy)
riO2 = (xi + h)2 + yi2 = h2 + 2hxi + riS2 IO = X
i
miriO2 = h2 X
i
mi + 2hX
i
mixi + X
i
mir2iS
⇒ IO = IS + M h2
Twierdzenie Steinera
Prawa ruchu
Równia pochyła
R T
φ
Q Θ
x r
h l
Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły (obr ˛ecz, walec, kula...) bez po´slizgu:
x = r φ ⇒ a = r ε Ruch post ˛epowy (wzdłu˙z równi):
ma = Q sin θ − T
Ruch obrotowy (wzgl ˛edem ´srodka masy):
I ε = T r Eliminuj ˛ac sił ˛e tarcia:
ma + Iε
r = mg sin θ
⇒ a = g sin θ 1 + I
mr2
Im wi ˛ekszy moment bezwładno´sci, tym wolniej stacza si ˛e ciało...
Prawa ruchu
Równia pochyła
R T
φ
Q Θ
x r
h l
Zagadnienie mo˙zna rozwi ˛aza´c w sposób równowa˙zny korzystaj ˛ac z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równi ˛a):
Io ε = Q sin θ · r Z twierdzenia Steinera:
Io = I + m r2 Otrzymujemy:
a = r ε = mg sin θ r2 Io
= mr2 g sin θ mr2 + I
Prawa ruchu
Równia pochyła
Rura
a = 1
2 g sin θ
Walec
a = 2
3 g sin θ 1
3 szyb iej
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
S O
S’
mg
Równanie małych drga ´n bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodz ˛acej w odległo´sci l od ´srodka ci ˛e˙zko´sci S:
Io ε = −mg sin φ · l
I + ml2 d2φ
dt2 ≈ −mgl φ
Cz ˛esto´s´c drga ´n (równanie oscylatora harmonicznego):
ν =
s mgl
I + ml2 =
v u u t
g l(1 + I
ml2) lz = l(1 + I
ml2) - długo´s´c zredukowana wahadła
długo´s´c wahadła matematycznego o tej samej cz ˛esto´sci
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
M m d O
φ
Równanie małych drga ´nwokół osi obrotu O:
Io ε = −Mdg sin φ − md
2g sin φ
M d2 + 1
3md2
d2φ
dt2 ≈ −(M + m
2 )dg φ Cz ˛esto´s´c drga ´n:
ν =
rg l ·
v u u t
M + 12m
M + 13m ≈
rg l ·
1 + 1
12 · m M
lz = d M +
1 3m
M +12m ≈ d · 1 − 16 · Mm - długo´s´c zredukowana wahadła (m ≪ M)
Energia
Energia ruchu obrotowego
Energia kinetyczna układu ciał:
Ek = Ek⋆ + M VCM2 2
Bryła sztywna: energia “wewn ˛etrzna”⇒ energia kinetyczna ruchu obrotowego Ek⋆ = 1
2
X
i
mivi2 = 1 2
X
i
mi(ri ω)2 = 1
2 ω2 I = 1
2 ω L
r V
Ciało tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu: v = ω r Ek = mv2
2 + Iω2
2 = mv2 2
1 + I mr2
m 1 + I
mr2
- efektywna masa bezwładna
przy niezmienionej masie grawitacyjnej
Energia
Równia pochyła
R T
φ
Q Θ
x r
h l
Pr ˛edko´s´c jak ˛a uzyska ciało staczaj ˛ace si ˛e bez po´slizgu z równi o wysoko´sci h. Z zasady zachowania energii:
mgh = 1
2mv2
1 + I mr2
v =
v u u t
2gh 1 + I
mr2
Przyspieszenie pr ˛edko´s´c ´srednia hvi = 12v a = v
t = v2
2l = 2gh 2l 1 + I
mr2
= g sin θ 1 + I
mr2
Energia
R r
mg
I
Koło Maxwella
Koło o promieniu R “toczy si ˛e” po osi o promieniu r.
Jak w przypadku równi pochyłej θ = π2
a = g
1 + I
mr2
obr z: I = mR2
⇒ a = g r2
R2 + r2 ≪ g
Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym...
Energia potencjalna zamienia si ˛e głównie na energi ˛e ruchu obrotowego.
Prawa ruchu
U´sci´slenie
Rozwa˙zaj ˛ac zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładali´smy ˙ze moment siły jest stały i nie zale˙zy od I. Jednak ci ˛e˙zarek te˙z porusza si ˛e ruchem przyspieszonym:
i»arek: ma = Q − N
rotor: Iε = rN Q - ci ˛e˙zar ci ˛e˙zarka, N - siła napr ˛e˙zenia nici.
Eliminuj ˛ac N = m(g − a):
Iε = r m(g − rε) (I + mr2) ε = mgr
ε = mgr
I + mr2 = mgr I′
Bezwładno´s´c ci ˛e˙zarka efektywnie zwi ˛eksza moment bezwładno´sci rotora: I′ = I + mr2 Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wi ˛ekszego ni˙z εmax = gr
Porównanie
Punkt materialny
ruch post ˛epowy
• przesuni ˛ecie ~x
• pr ˛edko´s´c ~v = d~x dt
• przyspieszenie ~a = d~v dt
• masa m
• p ˛ed ~p = m~v
• układ izolowany p = const~
Bryła sztywna
ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)
⇒ k ˛at obrotu φ~
⇒ pr ˛edko´s´c k ˛atowa ~ω = d~φ dt
⇒ przyspieszenie k ˛atowe ~ε = d~ω dt
⇒ moment bezwładno´sci I
⇒ moment p ˛edu L = I~~ ω
⇒ układ izolowany L = const~
Porównanie
Punkt materialny
ruch post ˛epowy
• siła F~
• równania ruchu F = m~a~ d~p
dt = ~F
• praca W =
Z F · d~x~
• energia kinetyczna Ek = 12mv2
Bryła sztywna
ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)
⇒ moment siły M~
⇒ równania ruchu M = I~~ ε
⇒ d~L
dt = ~M
⇒ praca W =
Z M · d~~ φ
⇒ energia kinetyczna Ek = 12Iω2
Dla ruchu obrotowego wzgl ˛edem ustalonej osi, pokrywaj ˛acej si ˛e z osi ˛a symetrii bryły !!!
Prawa ruchu
Przykład
Dwa klocki na równi poruszaj ˛ace si ˛e bez tarcia, poł ˛aczone niewa˙zk ˛a nici ˛a przerzucon ˛a przez wa˙zki bloczek o momencie bezwładno´sci I.
1 2
2
2
1
N
1I
m
M
Q
N
R
R
α α
β
Q Q
Powierzchnia równi jest wi ˛ezem, który ogranicza ruch klocków do kierunku równoległego do powierzchni równi.
Mo˙zemy zredukowa´c problem do ruchu jednowymiarowego.
W przypadku wa˙zkiego bloczka, je´sli układ nie jest w równowadze, siły napr ˛e˙zenia mog ˛a by´c ró˙zne!
N1 6= N2
Prawa ruchu
Przykład
2 1
2
1
||
||
a a
N m
M
N
Q
I
α α
β β
ε
Q
r
Wybieramy dodatni kierunek przyspieszenia jak na rysunku. Przyspieszenia ciał:
a1 = a2 = a ε r = a
nierozci ˛agliwa ni´c nie ´slizga si ˛e po bloczku
Równania ruchu:
M a = Qk1 − N1 = M g sin β − N1
ma = N2 − Qk2 = N2 − mg sin α Iε = I a
r = N1r − N2r
Układ trzech równa ´n z trzema niewiadomymi (a, N1 i N2).
Dodajemy stronami dwa pierwsze i pod- stawiamy N1 − N2 z trzeciego.
Otrzymujemy:
a = g M sin β − m sin α M + m + I
r2
Zyroskop ˙
Efekt ˙zyroskopowy
Zasada zachowania momentu p ˛edu
Je´sli poprzez specjalne zamocowanie zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu p ˛edu pozostanie stały niezale˙znie od działaj ˛acych sił zewn ˛etrznych i ruchu post ˛epowego
⇒ efekt ˙zyroskopowy
Momenty działaj ˛acych sił s ˛a równe zero
⇒ moment p ˛edu jest stały
⇒ orientacja osi obrotu jest stała L = ~~ ω I = onst Rozkr ˛econy ˙zyroskop utrzymuje orientacj ˛e swojej osi obrotu w przestrzeni.
B ˛ ak
Równowaga
O S
B ˛ak wiruj ˛acy wokół pionowej osi jest w równowadze.
Momenty działaj ˛acych sił s ˛a równe zero (wzgl ˛edem S i O)
⇒ moment p ˛edu jest stały
⇒ orientacja osi obrotu jest stała (b ˛ak symetryczny) L = ~~ ω I = onst
Jak w przypadku ˙zyroskopu...
Czy jest to równowaga trwała?
B ˛ ak
Moment sił
M
O
S
Gdyby b ˛ak nie wirował (L = 0) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej.
Wychylenie z tego poło˙zenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypad- kowej, które powodowałyby wywrócenie b ˛aka.
Moment siły ci ˛e˙zko´sci wzgl ˛edem punktu podparcia O:
M = ~~ R × m~g M = mgR sin θ
R - odległo´s´c ´srodka ci ˛e˙zko´sci od punktu podparcia θ - k ˛at odchylenia osi od pionu
Moment siły M~ skierowany jest prostopadle do osi b ˛aka...
B ˛ ak
Precesja
Z
X
Y Θ
mg R
L ω
W przypadku gdy b ˛ak wiruje, przyło˙zony moment siły powoduje zmian ˛e całkowitego momentu p ˛edu:
M =~ d~L dt
Wektor momentu p ˛edu pokrywa si ˛e z osi ˛a obrotu L k ~ω k ~~ R
natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły M = m ~~ R × ~g ⊥ ~R
⇒ warto´s´c momentu p ˛edu nie ulega zmianie dL
dt = 0
⇒ kierunek momentu p ˛edu zmienia si ˛e ⇒ precesja
Precesja
Cz ˛esto´s´c
Z
X
Y
∆φ
∆L
L L’
Θ L sin
W przedziale czasu ∆t moment p ˛edu zmieni si ˛e o:
∆L = M ∆t = mRg sin θ ∆t Spowoduje to obrót poziomej składowej L~ o k ˛at
∆φ = ∆L
L sin θ = mRg sin θ
L sin θ ∆t
⇒ cz ˛esto´s´c z jak ˛a wektor L~ b ˛edzie zakre´slał sto˙zek:
ωp = ∆φ
∆t = mRg L
⇒ cz ˛esto ´s ´c precesji
Cz ˛esto´s´c precesji maleje ze wzrostem momentu p ˛edu (cz ˛esto´sci ruchu wirowego b ˛aka)
Zyroskop ˙
Równowaga
Rozkr ˛econy ˙zyroskop utrzymuje orientacj ˛e swojej osi obrotu w przestrzeni, pod warunkiem, ˙ze momenty sił si ˛e równowa˙z ˛a!
L
Ci ˛e˙zar ˙zyroskopu jest zrównowa˙zona przez odpowiednio dobrane ci ˛e˙zarki
Je´sli ˙zyroskop jest w równowadze przy L = 0~ to b ˛edzie tak˙ze w równowadze dla L 6= 0~
Orientacja ˙zyroskopu pozostaje stała Jak zachowa si ˛e ˙zyroskop gdy zwi ˛ekszymy lub zmniejszymy “przeciwwag ˛e” ?
Zyroskop ˙
Precesja
zwi ˛ekszone obci ˛a˙zenie
L M r
ω p
F
Niezrównowa˙zony moment siły ci ˛e˙zko´sci wzgl ˛edem punktu podparcia O:
M = ~~ r × ~F M = mgr
Pojawia si ˛e moment siły M~ skierowany prostopadle pionu (~g) i do osi ˙zyroskopu (~r) Wektor momentu p ˛edu L ⊥ ~~ M
⇒ warto´s´c momentu p ˛edu nie ulega zmianie dL
dt = 0
⇒ kierunek momentu p ˛edu zmienia si ˛e ⇒ precesja d~L
dt = ~ωp × ~L = ~M ⇒ ωp L = m r g
Zyroskop ˙
Precesja
zwi ˛ekszone obci ˛a˙zenie
L M r
ω p
F
zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ˛ac os góry)
zmniejszone obci ˛a˙zenie (przypadek b ˛aka)
L M r
ω p
F
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara Cz ˛esto´s´c precesji ωp = mrgL ⇒ proporcjonalna do dodanej/brakuj ˛acej masy
Zyroskop ˙
Paradoks ?
Nie wiruj ˛acy b ˛ak wychylony z poło˙zenia równowagi L = 0~ lub nie zrównowa˙zony ˙zyroskop L = 0~ ⇒ wywracaj ˛a si ˛e
Natomiast je´sli L 6= 0~ to b ˛ak i ˙zyroskop podlegaj ˛a precesji
⇒ nigdy si ˛e nie wywróc ˛a (zaniedbuj ˛ac siły tacia).
Czy jest to słuszne dla dowolnie małych warto´sci L~ ?
Z do´swiadczenia wiemy, ˙ze nie !
Wiruj ˛acy b ˛ak wywraca si ˛e zanim pr ˛edko´s´c k ˛atowa jego ruchu wirowego spadnie do zera.
Nasze rozwa˙zania precesji nie były ´scisłe
⇒ dla małych momentów p ˛edu musimy uwzgl ˛edni´c dodatkowe efekty...
Zyroskop ˙
Precesja
ω
pL
pL
zL
ΘNiech moment p ˛edu zrównowa˙zonego
˙zyroskopu wynosi L.~
Co si ˛e dzieje gdy zdejmiemy jeden ci ˛e˙zarek ?
Warto´s´c całkowitego moment p ˛edu nie ulega zmianie, gdy˙z moment siły ci ˛e˙zko´sci jest prostopadły do L.~
Obrót ˙zyroskopu z cz ˛esto´sci ˛a ωp wzgl ˛edem pionowej osi ⇒ moment p ˛edu L~p = ωp Ip. Aby całkowity moment p ˛edu nie uległ zmianie, o´s ˙zyroskopu musi si ˛e nachyli´c o k ˛at:
θ ∼ Lp
L = mrgIp L2
Du˙ze L ⇒ θ → 0 ( Lp mo˙zna pomin ˛a´c) Małe L ⇒ ˙zyroskop/b ˛ak wywraca si ˛e...
Zyroskop ˙
Nutacja
ω p
Idealna precesja, gdy koniec ramienia ˙zy- roskopu porusza si ˛e ruchem jednostajnym po okr ˛egu, zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków pocz ˛atkowych.W ogólnym przypadku na precesj ˛e nakładaj ˛a si ˛e oscylacje ramienia ˙zyroskopu wokół poło˙zenia “stacjonarnej precesji” ⇒ nutacje.
Charakter tych dodatkowych oscylacji zale˙zy od warunków pocz ˛atkowch.
Zazwyczaj s ˛a mało widoczne i zanikaj ˛a w czasie (tłumienie).
Ich amplituda ro´snie dla małych warto´sci L
Egzamin
Przykładowe pytania testowe:
1. Ile stopni swobody ma kula tocz ˛aca si ˛e bez po ´slizgu po płaskiej powierzchni
A 2 B 4 C 5 D 3
2. Przy nieznacznym wychyleniu z poło˙zenia równowagi chwiejnej energia potencjalna bryły sztywnej A maleje B nie mo˙zna powiedzie´c C nie zmienia si ˛e D wzrasta
3. Stosunek promieni dwóch kul stalowych R1/R2 = 2. Stosunek momentów bezwładno´sci I1/I2
wynosi
A 16 B 4 C 32 D 8
4. Która z wymienionych brył najszybciej stoczy si ˛e (bez po´slizgu) z równi pochyłej
A obr ˛ecz B walec C kula D sfera
5. Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły wokół ustalonej osi wyra˙za si ˛e wzorem
A 12M I2 B 12M v2 C 12Iω2 D 12I2ω
6. Je´sli działaj ˛acy na ˙zyroskop moment siły zwi ˛ekszy si ˛e dwukrotnie to cz ˛esto´s´c precesji
A zmniejszy si ˛e dwukrotnie B zwi ˛ekszy si ˛e czterokrotnie C nie zmieni si ˛e D zwi ˛ekszy si ˛e dwukrotnie