Index of /rozprawy2/10953

Pełen tekst

(1)Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca doktorska. Artur Działo. Przewodnictwo elektryczne nanostruktur metalicznych Promotor: dr hab. prof. AGH Antoni Paja. Kraków, 2015.

(2) Oświadczenie autora rozprawy: Oświadczam, świadomy(-a) odpowiedzialności karnej za poświadczenie nieprawdy, że niniejszą pracę doktorską wykonałem(-am) osobiście i samodzielnie i że nie korzystałem(-am) ze źródeł innych niż wymienione w pracy. data, podpis autora. Oświadczenie promotora rozprawy: Niniejsza rozprawa jest gotowa do oceny przez recenzentów. data, podpis promotora rozprawy.

(3) Podziękowania W tym miejscu chciałbym bardzo serdecznie podziękować mojemu promotorowi profesorowi Antoniemu Paji za nieocenioną pomoc i wskazówki jakich udzielił mi podczas pracy. Ogromne wyrazy wdzięczności należą się całej mojej Rodzinie, a przede wszystkim Mamie za niebywałą siłę ducha i trud włożony w nasze wychowanie. Podziękowania składam też Gosi za wsparcie i cierpliwość oraz wszystkim tym osobom, które często nawet nieświadomie, ale trwale odcisnęły swój ślad w moim życiu.. Dziękuję.. This work has been partly supported by the EU Human Capital Operation Program, Polish Project No. POKL.04.0101-00-434/08-00..

(4) Spis treści Wstęp. 2. 1 Opis modelu 1.1 Nieskończona studnia potencjału i płaty Fermiego . . . . . . . . . . . 1.2 Liczba i gęstość stanów elektronowych . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 6. 2 Właściwości transportowe 9 2.1 Równanie Boltzmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Przybliżenie czasu relaksacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Przewodnictwo elektronów swobodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Dynamika sieci 3.1 Przybliżenie adiabatyczne 3.2 Opis drgań sieci . . . . . . 3.3 Statystyka fononów . . . . 3.4 Model Debye’a . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4 Oddziaływanie elektron-fonon 4.1 Opis oddziaływania . . . . . . . . . 4.2 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . 4.3 Model dwuwymiarowy . . . . . . . 4.4 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Wpływ temperatury na transport w 4.6 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cienkiej warstwie . . . . . . . . . .. 5 Oddziaływanie elektron-domieszka 5.1 Równanie Lippmanna-Schwingera . . . . . . . . . . 5.2 Niejednorodny problem Greena w cienkiej warstwie 5.3 Amplituda rozpraszania . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Opór właściwy cienkiej warstwy . . . . . . . . . . . 5.5 Wpływ rozmieszczenia domieszek . . . . . . . . . . 5.6 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 15 15 18 22 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . metalicznej . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 27 27 29 30 34 35 40. . . . . . .. 43 43 48 55 58 62 64. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. Podsumowanie. 67. Dodatek. 68. Summary. 70. Bibliografia. 72. 1.

(5) Wstęp. Nanotechnologia jako dziedzina głównie techniki stała się szeroko pojętą, bogatą nauką o niesłychanym potencjale cywilnym i militarnym. I tak w ostatnich dekadach nanotechnologia przyczyniła się do przyspieszonego rozwoju w wielu dziedzinach nauki - nauce o materiałach, biologii, a przede wszystkim w elektronice, optoelektronice i elektronice kwantowej. Układy półprzewodnikowe, które zapoczątkowały erę informacji i okazały się tak niezbędne w naszym życiu wciąż ulegały miniaturyzacji osiągając rozmiary poniżej 100 nm. Opis kwantowomechaniczny jest bez wątpienia niezbędny do opisania zjawisk w tak niewielkiej skali. Stąd wiele prac teoretycznych skupiało swoją uwagę na tym właśnie aspekcie, badając wpływ ograniczenia wymiarów na przewodnictwo i szereg innych właściwości półprzewodników. Efekty tych badań możemy znaleźć w bardzo bogatej literaturze dotyczącej półprzewodników [1, 2]. Całkiem nowymi i interesującymi materiałami, które mogą znaleźć równie szerokie zastosowanie są grafen [3] czy izolatory topologiczne [4] przewidziane wcześniej teoretycznie. Wkrótce dołączyć do nich mogą także struktury metaliczne takie jak np. cienkie warstwy czy nanodruty. Nie ma wątpliwości, że transport nośników ładunku w materiałach litych będzie się wyraźnie różnił od transportu w układach, których przynajmniej jeden wymiar został silnie ograniczony do nanoskali. Z tego powodu transport ładunku i spinu w takich układach budzi tak duże zainteresowanie naukowców. Skutki ograniczenia wymiarów układów metalicznych były badane już dużo wcześniej w oparciu o metody klasyczne. Pierwszymi takimi pracami były prace Fuchsa [5] i Sondheimera [6], w których wzrost oporu metali wraz ze spadkiem grubości próbki został wytłumaczony półklasycznie. Podstawą do rozważań było równanie transportu Boltzmanna, a wpływ powierzchni uwzględniany był w postaci warunków brzegowych nakładanych na funkcję rozkładu elektronów. Według tej teorii zmiana oporu właściwego ρ spowodowana była dyfuzyjnym rozpraszaniem elektronów na idealnie gładkich powierzchniach metalu, kiedy jego grubość d porównywalna była ze średnią drogą swobodną elektronów l. W podobny sposób potraktowali problem Mayadas i Shatzkes [7], ale w swojej pracy uwzględnili trzy główne mechanizmy rozpraszania elektronów tj. rozpraszanie na powierzchniach, granicach ziaren oraz rozpraszanie przez fonony i domieszki. Wyprowadzona przez nich formuła to znany wzór Mayadasa-Shatzkego, który daje całkiem dobre wyniki do pewnej grubości d. Późniejsze, teoretyczne prace Sandomirskiego [8] wykorzystały język mechaniki kwantowej, aby wytłumaczyć zjawiska zachodzące w cienkich warstwach o idealnych powierzchniach. W swojej pracy dowodzi on, że przewodność elektryczna, stała Halla czy magnetorezystancja mają charakter oscylacyjny zależny od grubości warstwy. Nieco obszerniej problem potraktowali np. Trivedi i Ashcroft [9], któ-. 2.

(6) rzy uwzględnili także chropowatość powierzchni, która ma decydujący wpływ na mobilność ładunku w tak małej skali. Poza wczesnymi pracami Blocha [10, 11] o wpływie temperatury na opór metali brak jest literatury na ten temat dotyczącej nanoukładów metalicznych. Dziś prace w tym zakresie nie mają już charakteru czysto poznawczego, ale ze względu na nowe osiągnięcia w dziedzinie fizyki eksperymentalnej mogą mieć zastosowanie praktyczne. Cienkie warstwy (również żelazne) o grubości nawet jednej warstwy atomowej na niemagnetycznym wolframie były otrzymywane już dość wcześnie [12], bo w 1995 roku. Oczywiście nieco grubsze warstwy były osiągalne jeszcze wcześniej, ale dopiero udoskonalone techniki eksperymentalne pozwalają otrzymywać materiały o zadowalających parametrach jak najbardziej przypominające idealne, cienkie warstwy. Niedawno idealne warstwy z atomów żelaza o grubości jednej warstwy monoatomowej zostały otrzymane eksperymentalnie [13] w postaci membran zawieszonych wewnątrz membran grafenowych. Maksymalny rozmiar stabilnej membrany to koło 12 × 12 atomów żelaza. Brak systematycznego potraktowania tematu transportu elektronów w takich układach od strony teoretycznej zachęca do podjęcia takich prób. Celem tej pracy jest opis teoretyczny procesów dotyczących transportu elektronów w układach metalicznych silnie ograniczonych wymiarowo. Składa się ona z pięciu rozdziałów, podsumowania oraz dodatku. W pierwszym rozdziale przedstawiamy model oraz podstawowe założenia, którymi będziemy się posługiwali w niniejszej pracy. W rozdziale drugim omówimy własności transportowe metali, sposób ich opisu przy pomocy równania Boltzmanna oraz użyteczne narzędzia. Ponieważ będzie nas interesował wpływ temperatury na przewodnictwo elektryczne, to rozdział trzeci poświęcimy dynamice sieci czyli drganiom termicznym idealnej sieci krystalicznej. Wprowadzimy kwantowy opis drgań potrzebny w następnym rozdziale oraz model Debye’a. Dwa kolejne rozdziały to część właściwa pracy. W rozdziale czwartym przedstawimy prosty, dwuwymiarowy model cienkiej warstwy i policzymy zależność oporu od temperatury. Następnie przejdziemy do bardziej realistycznego modelu, w którym warstwa ma zadaną grubość Lz . Pokażemy, że wyniki otrzymane w obu przypadkach różnią się od siebie, a opis dwuwymiarowy ze względu na swoje ograniczenia nie jest najlepszym wyborem. W rozdziale piątym zaczniemy od przedstawienia sposobu opisu procesu rozpraszania elektronu na domieszkach w trzech wymiarach i wyprowadzimy najważniejsze wzory. Następnie przejdziemy do nanostruktury, odwołamy się do prac na ten sam temat, ale w układach dwuwymiarowych i skonfrontujemy otrzymane przez nas wyniki z wynikami innych autorów oraz wynikami otrzymanymi dla metali litych. Ostatnim rozdziałem jest podsumowanie zawartości pracy.. 3.

(7) Rozdział 1. Opis modelu. Przedstawiona praca opisuje problem przewodnictwa elektrycznego cienkich warstw metalicznych. Do opisu ich właściwości elektronowych posłużymy się modelem elektronów swobodnych. Sprawdza się on świetnie dla wielu metali litych tłumacząc ich właściwości elektryczne, termiczne, magnetyczne czy optyczne. Jest także modelem odniesienia w bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych uwzględniających strukturę pasmową.. 1.1. Nieskończona studnia potencjału i płaty Fermiego. Na potrzeby rozważań teoretycznych przez cienką warstwę rozumiemy układ nieskończony w płaszczyźnie x-y, który jest ograniczony płaskimi powierzchniami w trzecim wymiarze z. Układ jest zbudowany z NL pojedynczych warstw atomowych o grubości a równej stałej sieci, prostopadłych do osi z. Całkowita grubość warstwy będzie zatem równa Lz = NL a. Konstrukcja cienkiej warstwy została przedstawiona na rysunku 1.1. Kwantowy charakter zjawisk zachodzących na poziomie atomowym wymaga zastosowania formalizmu mechaniki kwantowej do poprawnego opisu układów w skali nanometrycznej. Dlatego punktem wyjścia we wszelkich rozważaniach będzie równanie Schrödingera. Narzucenie odpowiednich warunków brzegowych na równanie Schrödingera zależy od rozpatrywanego zagadnienia i poczynionych dla niego założeń. Ponieważ nas nie będą interesowały stany powierzchniowe, a tylko rozwiązania ściśle ograniczone do wnętrza układu to narzucimy warunki „silnego” [3] ograniczenia ψk (r)|S ≡ 0. Tutaj S jest powierzchnią ograniczającą układ. Najprostszym możliwym sposobem opisu bardzo cienkiej warstwy metalicznej zawieszonej w próżni jest prosta, prostokątna studnia kwantowa o skończonym potencjale. Jeżeli założymy, że bariera potencjału jest duża w porównaniu z energią stanów związanych εn , to studnię możemy potraktować jako nieskończenie głęboką z potencjałem równym zero tylko w przedziale z ∈ [0, Lz ] tj. wewnątrz warstwy i nieskończonym poza 4.

(8) ROZDZIAŁ 1. OPIS MODELU. 5. Rys. 1.1: Konstrukcja cienkiej warstwy z NL pojedynczych warstw atomowych.. nim. Rozwiązaniem równania Schrödingera w trzech wymiarach z takimi warunkami brzegowymi jest r 2 nπ 1 sin z √ eiκ·ρ , n = 1, 2 . . . (1.1) ψn (r) = Lz Lz S Szerokość studni Lz odpowiada grubości warstwy, a S to jej powierzchnia. Pozostałe symbole to: n - numeruje kolejne stany związane, κ jest wektorem falowym w płaszczyźnie kx -ky i analogicznie ρ jest wektorem wodzącym w płaszczyźnie x-y. Wartości własne energii równe są h ¯2 n2 π 2 2 2 εn = kx + ky + 2 . (1.2) 2m Lz Ruch elektronu w płaszczyźnie warstwy jest swobodny. W kierunku do niej prostopadłym mamy superpozycję dwóch fal biegnących o wektorze falowym nπ , (1.3) Lz jednej odbitej od powierzchni i drugiej padającej na powierzchnię. Ich superpozycja przyczynia się do powstania stanu związanego. W miarę jak wzrasta szerokość studni Lz cząstka traci swoją „pamięć” o fazie. Ponieważ spójność fazowa jest konieczna do utrzymania stanu związanego, to dla odpowiednio dużych Lz cząstka zachowuje się bardziej jak w materiale objętościowym niż w studni kwantowej [1]. Ograniczenie układu w jednym wymiarze skutkuje silną dyskretyzacją widma wartości własnych energii (patrz równanie 1.2), a co za tym idzie redukcją kuli Fermiego do zbioru płatów [14–16]. Płaty te powstają w wyniku przecięcia powierzchni płaskich, prostopadłych do osi kz , odległych od siebie o π/Lz z kulą o promieniu równym promieniowi Fermiego kF i środku w początku układu współrzędnych (Rys.1.2). kz =.

(9) ROZDZIAŁ 1. OPIS MODELU. 6. Rys. 1.2: W cienkiej warstwie kula Fermiego redukuje się do zbioru równoległych płatów oddzielonych od siebie o odległość π/Lz . Elektrony mogą zajmować tylko stany zawarte wewnątrz dysku.. 1.2. Liczba i gęstość stanów elektronowych. Liczba zajętych stanów w takim układzie w temperaturze 0 K może być policzona bezpośrednio [16] z równania N =2. nF X X n. 1,. (1.4). κ. gdzie: nF jest maksymalną możliwą liczbą płatów n zależną od grubości warstwy, natomiast sumowanie po κ odbywa się od zera do wektorów spełniających nierówność |κ| ≤ κFn , przy czym κFn jest promieniem płata Fermiego dla danego kz tzn. κFn = kF2 −. n2 π 2 . L2z. (1.5). Zatem liczba stanów na jednostkę objętości (objętościowa gęstość stanów) w takim układzie wyraża się następującą zależnością N nF π2 2 = k − (nF + 1)(2nF + 1) . (1.6) V 2πLz F 6L2z Gęstość stanów równą liczbie stanów przypadających na jednostkę energii dε na jednostkę objętości liczymy jako pochodną po energii (uzmienniając kF i nF ) z powyższej równości i wynosi ona S(ε) =. dN (ε) me = n. dε πLz h ¯2. (1.7).

(10) ROZDZIAŁ 1. OPIS MODELU. 7. Posłużymy się teraz energią stanu podstawowego układu związanego ε0 =. h ¯ 2 π2 . 2me L2z. (1.8). Liczba n numeruje nam kolejne płaty znajdujące się wewnątrz kuli Fermiego. Kiedy wektor falowy k, który rozciąga naszą izoenergetyczną sferę osiąga kolejną wartość πn/Lz (osiąga kolejny płat) to stany z tego płata zaczynają wliczać się do całkowitej liczby stanów N . Możemy zatem zapisać, że 1/2 ε k = int , n = int k0 ε0. (1.9). gdzie int[I] oznacza część całkowitą liczby w nawiasie kwadratowym. Wstawiając obie powyższe zależności do (1.7) otrzymamy 3/2 1/2 ε 1 2me 1/2 ε0 int . S(ε) = 2 2 2π ε0 h ¯. (1.10). Wynik jaki otrzymaliśmy w (1.7) jest bardzo podobny do tego dla układu 2D. Zawarta w nim stała Lz zapewnia nam odpowiedni wymiar jednostek natomiast n uwzględnia kolejne płaty. Natomiast ten sam wynik podany w postaci (1.10) jest niemal identyczny z tym dla układu 3D. Oznacza to, że przyjęty model jest właściwy do opisu bardzo cienkich warstw, składających się z niewielkiej liczby monowarstw. 1. 3D Model. 0.8. S(ε). 0.6. 0.4. 0.2. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. ε/ε0 Rys. 1.3: Gęstość stanów S(ε) w jednostkach względnych jako funkcja ε/ε0 dla układu o grubości 5 warstw atomowych .. Na wykresie powyżej (Rys. 1.3) znajduje się wyznaczona przez nas gęstość stanów. Widać, że jest to funkcja schodkowa, która w momencie osiągnięcia odpowiedniej energii przyjmuje wartość jakiej spodziewalibyśmy się z wyliczeń dla rzeczywi-.

(11) ROZDZIAŁ 1. OPIS MODELU. 8. stego układu. Cały czas zakładamy, że koncentracja elektronów w układzie jest stała, niezależna od jego wymiarów i równa tej dla materiału litego. Dlatego pojawia się pytanie czy tak silnie ograniczony układ będzie w stanie pomieścić wszystkie elektrony w momencie kiedy zredukujemy kulę do zbioru płatów. Z prostych rozważań nad gęstością stanów dla d-wymiarowego gazu elektronowego wiemy, że wektor Fermiego [3] (bez uwzględnienia spinu) równy jest N d (d) d d/2 +1 , (1.11) kF = 2 π Γ 2 V gdzie Γ jest funkcją gamma Eulera, d liczbą wymiarów, a reszta oznaczeń jak poprzednio. Zależy zatem od liczby wymiarów. Jeżeli przyjrzymy się równaniu (1.6) to posiada ono ze względu na n rozwiązania rzeczywiste dla danego kF . Jednak n może przyjmować tylko wartości naturalne zgodnie z (1.9). Wynika stąd, że promień Fermiego musi się zmieniać w zależności od grubości warstwy, aby pomieścić na płatach wszystkie dostępne elektrony i utrzymać stałą ich koncentrację w zadanej objętości. Problem w jego określeniu wynika stąd, że tak samo jak n, wyznaczamy go z tego samego równania (1.6). Obliczenia mają przez to charakter samouzgodniony.. 1.2. kF (Lz )/kF3D. 1.15. 1.1. 1.05. 1. 0.95. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20. Lz /a Rys. 1.4: Wartość wektora Fermiego w cienkich warstwach.. Na rysunku 1.4 przedstawiliśmy jak zmienia się promień Fermiego w zależności od grubości warstwy. Jak widać zmiana jest największa dla pojedynczej warstwy, gdyż wszystkie elektrony muszą zostać pomieszczone na pojedynczym płacie..

(12) Rozdział 2. Właściwości transportowe. Często zadajemy sobie pytanie jak będzie się zachowywało ciało jeżeli przyłożymy do niego np. zewnętrzne pole elektryczne bądź magnetyczne czy kiedy pojawi się gradient temperatury bądź koncentracji. Dochodzi wtedy do transportu masy, ładunku, spinu czy innej wielkości fizycznej. Aby badać takie procesy transportu z uwzględnieniem medium, w którym ten transport zachodzi potrzebne jest nam jakieś narzędzie. Bardzo użytecznym narzędziem o niesłychanie szerokim spektrum zastosowań jest równanie Boltzmanna, które wyprowadzimy w tym rozdziale. Procesy transportu są nieodwracalnymi procesami termodynamicznymi, podczas których ciało stałe znajduje się w stanie nierównowagowym. Pomimo tego dla małych zewnętrznych pól kryształ jest tylko nieznacznie wyprowadzony ze stanu równowagi, dlatego możemy stosować równowagowe metody statystyczne.. 2.1. Równanie Boltzmanna. Równanie Boltzmanna jest podstawą dla klasycznych i półklasycznych teorii transportu. Jest jednym z najważniejszych równań w nierównowagowej mechanice statystycznej i jest często używane do badań nad procesami transportu ciepła, masy, ładunku oraz spinu. Pozwala wyznaczyć przewodnictwo cieplne, masowe, elektryczne itp. Jest ono także używane do układów silnie ograniczonych wymiarowo pod warunkiem, że transport odbywa się w kierunkach swobodnych. Załóżmy, że układ N nieoddziałujących cząstek znajduje się pod wpływem zewnętrznego pola, a energia potencjalna oddziaływania cząstki z tym polem w położeniu r opisana jest przez V (r, t) w chwili t. Hamiltonian układu dany jest wtedy przez H =. N 2 X pj j=1. 2m. + V (rj , t) .. (2.1). Przypomnijmy teraz podstawowe twierdzenie mechaniki statystycznej - twierdzenie Liouvilla, które mówi, że funkcja rozkładu jest stała wzdłuż dowolnej trajektorii w przestrzeni fazowej. Inaczej, objętość zajęta przez układ w przestrzeni stanów jest 9.

(13) ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE. 10. stała, o ile nie występują straty energii. Algebraicznie zapisujemy to twierdzenie w postaci D. df (r, p, t) ∂f X = + dt ∂t α=1. . ∂f dxα ∂f dpα + ∂xα dt ∂pα dt. = 0,. (2.2). gdzie D jest wymiarem przestrzeni. Powyższe możemy zapisać jeszcze prościej posługując się operatorami ∇r oraz ∇p ∂f (r, p, t) p dp + · ∇r f (r, p, t) + · ∇p f (r, p, t) = 0. (2.3) ∂t m dt Skorzystaliśmy tutaj z zależności dr/dt = p/m. Wykorzystując równania Hamiltona: dp/dt = −∇r H oraz dr/dt = ∇p H możemy dodatkowo przekształcić powyższe równanie do następującej postaci ∂f (r, p, t) p + · ∇r f (r, p, t) − ∇r V (r, t) · ∇p f (r, p, t) = 0. (2.4) ∂t m W kryształach elektrony podlegają wielu różnym oddziaływaniom, z których najważniejsze to oddziaływanie elektron-elektron, elektron-fonon, elektron-domieszka oraz oddziaływanie z polami zewnętrznymi. Wszystkie te procesy powodują zmianę pędu elektronu w wyniku rozproszeń, a przez to zmienia się ich liczba w elemencie objętości przestrzeni fazowej drdp. W takich warunkach równanie Liouvilla przestaje dłużej obowiązywać (df /dt 6= 0), a funkcja rozkładu f (r, p, t) nie jest już zachowana. Zmiana funkcji rozkładu w wyniku wcześniej opisanych procesów jest brana pod uwagę w postaci całki zderzeń [17], którą oznaczać będziemy jako I[f ] ∂f (r, p, t) df (r, p, t) = I[f ] = (2.5) dt ∂t coll Zapis całki zderzeń I[f ] mówi nam, że jest to funkcjonał funkcji rozkładu. Zatem równanie (2.4) w ogólnej postaci będzie wyglądało następująco ∂f (r, p, t) p ∂f (r, p, t) + · ∇r f (r, p, t) + F · ∇p f (r, p, t) = . ∂t m ∂t coll. (2.6). Jest to równanie Boltzmanna i jest ono głównym punktem wyjścia do opisu procesów transportu w fizyce ciała stałego. W literaturze możemy się często spotkać z następującym zapisem tego równania [18] . ∂f (r, p, t) ∂t. . + coll. ∂f (r, p, t) ∂t. . + diff. ∂f (r, p, t) ∂t. = field. ∂f (r, p, t) , ∂t. (2.7). gdzie wyrażenie w nawiasie „diff” oznacza, że cząstki podlegają procesom dyfuzji wywołanymi przestrzennymi zmianami funkcji rozkładu, natomiast wyrażenie w nawiasie „field” uwzględnia wpływ pól zewnętrznych, które przyczyniają się do zmiany pędu cząstki dp = e (E + v × B) = F , dt. (2.8).

(14) ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE. 11. gdzie F to siła. Oczywiście w stanie ustalonym prawa część równania (2.7) znika. Możemy teraz zapisać h ¯k 1 · ∇r f (r, k, t) + F · ∇k f (r, k, t), (2.9) m h ¯ gdzie wprowadziliśmy p = h ¯ k, ponadto dla uproszczenia zapisu będziemy dalej oznaczać funkcję rozkładu jako fk . Trudności z rozwiązaniem tego pozornie prostego, całkowo-różniczkowego równania związane są z oszacowaniem całki zderzeń. Aby maksymalnie uprościć zagadnienie, rozważać będziemy jedynie zderzenia elastyczne, w których cząstka ulega rozproszeniu ze stanu pierwotnego o wektorze falowym k do stanu końcowego o wektorze falowym k0 . Prawdopodobieństwo zajścia takiego zjawiska jest równe I[f ] =. Wk→k0 = fk (1 − fk0 ) ωk→k0 ,. (2.10). gdzie przez ωk→k0 oznaczyliśmy zasadnicze prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy rozpatrywanymi stanami określające tempo przejść, gdyby na przykład stan k był na pewno obsadzony, a stan k0 na pewno pusty. Prawdopodobieństwo W jest nie tylko zależne od ωk→k0 , ale także dzięki fk od liczby cząstek w stanie początkowym k, które mogą ulec rozproszeniu i od liczby dostępnych stanów k0 , do których może nastąpić rozproszenie, co zapewnia wyraz (1 − fk0 ). Podobne wyrażenie możemy zapisać dla procesu odwrotnego Wk0 →k = fk0 (1 − fk ) ωk0 →k .. (2.11). Zasada mikroskopowej odwracalności mówi nam, że prawdopodobieństwo ωk→k0 jest niezmienne względem zamiany miejscami stanu początkowego ze stanem końcowym tzn. ωk→k0 = ωk0 →k . Zatem sumując po wszystkich możliwych finalnych stanach k0 otrzymamy przepis na całkę zderzeń X [fk0 (1 − fk ) − fk (1 − fk0 )] ωk→k0 I[f ] = k0. = (1 − fk ). X k0. 2.2. fk0 ωk→k0 − fk. X. (2.12) (1 − fk0 ) ωk→k0 .. k0. Przybliżenie czasu relaksacji. Druga suma w (2.12) to nic innego jak całkowite prawdopodobieństwo na jednostkę czasu, że elektron o wektorze falowym k zostanie rozproszony do jakiegokolwiek stanu o wektorze falowym k0 tzn. [19] X fk ∂fk = fk (1 − fk0 ) ωk→k0 = . (2.13) ∂t out τ out (k) 0 k Oznaczenie „out” mówi nam, że cząstki pod wpływem zderzeń zostają usunięte z elementu objętości dk wokół punktu k, a τ (k) jest czasem relaksacji. Podobnie.

(15) ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE. 12. możemy zdefiniować . ∂fk ∂t. = (1 − fk ) in. X. fk0 ωk→k0 =. k0. 1 − fk , τin (k). (2.14). gdzie tym razem cząstki są rozpraszane ze stanów opisanych wektorem k0 z powrotem do stanu k. Ponieważ w stanie równowagi całka zderzeń musi znikać [17] to powyższe możemy przepisać w przybliżonej postaci jako [19] ∂fk fk = , ∂t out τ (k) (2.15) fk0 ∂fk = , ∂t in τ (k) gdzie fk0 jest funkcją rozkładu w stanie równowagi, która nie zależy do czasu. Podstawiając do (2.12) otrzymamy ostatecznie I[f ] = −. fk − fk0 . τ (k). (2.16). Takie przybliżenie całki zderzeń nazywamy przybliżeniem czasu relaksacji, natomiast τ w ogólności zależy zarówno od k jak i od r w przypadku układów nieizotropowych. Różnica fk − fk0 = fk1 wyraża odstępstwo prawdziwej funkcji rozkładu od funkcji równowagowej fk0 [20]. ky. 4k kx. Rys. 2.1: Przesunięcie kuli Fermiego w wyniku przyłożonego pola elektrycznego w kierunku osi x.. Przybliżenie czasu relaksacji można rozumieć w taki sposób, że zderzenia, jako procesy relaksacyjne, odpowiedzialne są za przywracanie równowagi w układzie (stąd.

(16) ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE. 13. znak minus w równaniu (2.16)) i są tym częstsze im większe są odstępstwa od równowagi, które wyraża funkcja fk1 . Rozpraszanie elektronów ogranicza przyrost ich energii i pędu. Dzięki temu ustala się stan stacjonarny. W obecności tylko pola elektrycznego kula Fermiego jest przesunięta względem stanu równowagi o 4k = −Eeτ /¯h, co obserwowane jest jako stała wartość prądu (Rys.2.1). Wielkość 1/τ jest miarą szybkości rozpraszania i możemy ją interpretować jako prawdopodobieństwo rozproszenia na jednostkę czasu. Równanie Boltzmanna w tym przybliżeniu ¯k 1 fk − fk0 ∂fk h + · ∇r fk + F · ∇k fk = − ∂t m h ¯ τ to liniowe, cząstkowe równanie różniczkowe.. 2.3. (2.17). Przewodnictwo elektronów swobodnych. Mając do dyspozycji narzędzie potrzebne do opisu procesów transportu w postaci równania Boltzmanna postaramy się opisać przewodnictwo elektryczne w metalach. Dla elektronów w stanie równowagi funkcja rozkładu to funkcja rozkładu FermiegoDiraca fkF D =. 1. , (2.18) eβ(ε−µ) + 1 gdzie µ to potencjał chemiczny, ε = ε(k) jest energią elektronu, a β = 1/kB T . Niech układ znajduje się w stałym zewnętrznym polu elektrycznym E, wtedy siła działająca na elektron to F = −eE, gdzie e jest ładunkiem elementarnym. Zakładamy brak zewnętrznego pola magnetycznego oraz gradientu temperatury czy koncentracji ładunku w układzie. Równanie (2.17) przekształci się do h ¯e ∂fk f1 e = − k. − E · ∇ k fk = − E · k h ¯ m ∂ε τ 1 Stąd możemy już w łatwy sposób wyznaczyć fk fk1 =. h ¯ eτ ∂fk E · k. m ∂ε. Gęstość prądu w metalach to Z Z Z j = ev dn = e vfk dk = e v fk0 + fk1 dk,. (2.19). (2.20). (2.21). Kiedy na układ nie będzie działało zewnętrzne pole elektryczne to oczywiście f 1 = 0 i ponieważ ruch elektronu jest wtedy nieuporządkowany i równie prawdopodobny w każdym kierunku to całka z samym tylko wyrazem f 0 musi być równa zeru. Dlatego Z Z h ¯ e2 ∂fk 1 j = e vfk dk = τ (k)v (E · k) dk m ∂ε Z (2.22) ∂fk 2 =e τ (k)vk vk dk · E. ∂ε.

(17) ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE. 14. Wyrażenie podcałkowe to tensor elektrycznego przewodnictwa właściwego, który w metalach izotropowych z polem elektrycznym w kierunku osi x możemy zapisać jako Z ∂fk 1 2 S(ε)τ (ε)v 2 (ε) dε, (2.23) σ= e 3 ∂ε gdzie S(ε) jest gęstością stanów. Skorzystaliśmy tutaj z faktu, że w metalu izotropowym hvx2 i = hv 2 i/3. W temperaturze 0 K pochodną funkcji rozkładu FermiegoDiraca po energii możemy potraktować jako deltę Diraca, wtedy całkę tę liczy się bezpośrednio i w wyniku otrzymamy ne e2 τ , (2.24) m gdzie ne jest koncentracją elektronów. Jest to elektryczne przewodnictwo właściwe. Powyższe wyprowadzenie nie traci na ogólności bez względu na wybór kierunku przyłożonego pola elektrycznego z tego względu, że metale lite są izotropowe. σ=.

(18) Rozdział 3. Dynamika sieci. Niektóre ze zjawisk występujących w fizyce kryształów daje się wytłumaczyć w oparciu o statyczny model sieci. W modelu tym atomy zajmują ściśle określone, niezmienne pozycje w periodycznej sieci. Oczywiście model ten jest tylko przybliżeniem, ponieważ w rzeczywistości atomy drgają wokół położeń równowagi z energią, która zależy od temperatury. Zatem w klasycznej teorii drgań model statyczny będzie słuszny jedynie w temperaturze zera bezwzględnego, natomiast w opisie kwantowym jest niepoprawny [21]. Bez poprawnego opisu zachowania się atomów w skończonych temperaturach nie potrafilibyśmy wyjaśnić takich zjawisk jak ciepło właściwe, przewodność cieplna, rozszerzalność cieplna, topnienie, transmisja dźwięku i wielu innych. Kwanty drgań sieci czyli fonony są główną przyczyną spadku mobilności elektronów w metalach i wzrostu oporu elektrycznego wraz ze wzrostem temperatury. Poza tym drgania sieci są niesłychanie istotne w nadprzewodnictwie, gdzie dzięki odkształceniom sieci powstaje para Coopera, w rezonansie jądrowym i paramagnetycznym oraz w opisie własności termoelektrycznych metali i półprzewodników [20]. Ponieważ tematyka jest niezwykle obszerna, to w rozdziale tym omówimy najważniejsze z naszego punktu widzenia aspekty dotyczące drgań sieci krystalicznej. Nie będziemy się też z tego względu nadmiernie zagłębiali w rachunki i wyprowadzenia, które można znaleźć w bogatej literaturze traktującej temat w mniej lub bardziej dokładny sposób.. 3.1. Przybliżenie adiabatyczne. Całkowity hamiltonian kryształu może być zapisany w prostej postaci jako H = Ke + Kj + Ve + Vj + Ve,j ,. (3.1). gdzie Ke i Kj to energie kinetyczne odpowiednio elektronu i jonu, Ve i Vj to energia potencjalna oddziaływania odpowiednio pomiędzy elektronami i jonami, natomiast Vj jest energią potencjalną oddziaływania pomiędzy elektronami i jonami [22].. 15.

(19) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 16. Zakładamy, że jony składają się z jądra oraz elektronów wewnętrznych znajdujących się najbliżej niego. Funkcje falowe opisujące te elektrony nie nakładają się na podobne funkcje falowe sąsiadujących jonów. Ponadto posiadają one przestrzenną symetrię sferyczną i poruszają się razem z jonem. Pozostałe elektrony to elektrony prawie swobodne, których funkcje falowe są oczywiście zdelokalizowane i rozciągają się na cały kryształ tworząc chmurę elektronową, w której porusza się jon. Gaz ten jest dynamiczny i zdolny do kolektywnego ruchu, który ekranuje zmiany potencjału elektrycznego wynikające z ruchu jonów [18]. Ruch jonów i elektronów jest zatem ściśle ze sobą powiązany. Przepiszemy całkowity hamiltonian układu w rozszerzonej formie H =−. X V0 e2 X V0 ZJ ZI e2 X V0 ZJ e2 X h ¯2 2 ¯2 2 X h ∇ri − ∇RJ + + + , 2m 2M |r − r | |R − R | |R − r | J i j J I J i i<j i J J<I J,i. (3.2) gdzie: m - masa elektronu, MJ - masa jonu, ri i rj - położenia elektronów, RJ i RI - położenia jonów oraz ZJ i ZI odpowiednio ich ładunki, e - ładunek elektronu. Pędy elektronów i jonów są ze sobą porównywalne, ale masa elektronu jest znacznie mniejsza od masy jądra atomowego, dzięki czemu te pierwsze poruszają się znacznie szybciej. Prędkość elektronów w kryształach w pobliżu energii Fermiego jest rzędu 106 m/s, podczas gdy jonów około 103 m/s. W przybliżeniu BornaOppenheimera zakłada się, że ruch jonów jest tak powolny w porównaniu do ruchu elektronów, że elektrony momentalnie nadążają za ruchem jonów. Pozwala to na separację ruchu jonów i elektronów w taki sposób, że położenie jonu wychylonego z położenia równowagi występuje jako parametr w elektronowych funkcjach falowych [20]. Z tego względu możemy odseparować z hamiltonianu w równaniu (3.2) część zależną od współrzędnych elektronowych He,R. X V0 ZJ e2 X h ¯ 2 2 X V0 e2 ∇ri + + . =− 2m |ri − rj | |RJ − ri | i<j i J,i. (3.3). Pozostałą część hamiltonianu oznaczymy jako X V0 ZJ ZI e2 X h ¯2 2 HJ = − ∇ RJ + . 2MJ |RJ − RI | J<I J. (3.4). Można więc przyjąć, że elektrony w danej chwili w gruncie rzeczy znajdują się w stanie podstawowym [17] o energii całkowitej εe,R spełniającej poniższe równanie He,R ψR (ri ) = εe,R ψR (ri ).. (3.5). Indeks dolny R przypomina, że współrzędne jonów RJ wchodzą do równania jako parametry. Przyglądając się nieco bliżej temu zagadnieniu stwierdzimy, że nie jest do końca pewne jak należy rozwiązać powyższy problem, ponieważ rozwiązanie na funkcje własne elektronów zależeć będzie od położeń jonów, natomiast te zależeć będą znowu od elektronowych funkcji własnych. Odpowiednim podejściem jest znalezienie widma drgań jonów przy założeniu, że elektrony znajdują się w stanach niezaburzonych drganiami sieci. Następnie wyznaczane są elektronowe funkcje własne i cała procedura zostaje ponownie powtórzona [23]..

(20) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 17. Matematyczny opis przybliżenia adiabatycznego wygląda następująco. Przyjmujemy, że funkcje własne pełnego hamiltonianu (3.2) można w takim wypadku przedstawić w postaci następującego iloczynu Ψ(RJ , ri ) = φ(RJ )ψR (ri ),. (3.6). a pełne równanie Schrödingera dla kryształu przyjmuje następującą postać H Ψ(RJ , ri ) = E Ψ(RJ , ri ).. (3.7). Wykorzystując (3.2) i (3.5) otrzymamy [18, 24] X X h V0 ZJ ZI e2 ¯2 2 ∇RJ φ(RJ )ψR (ri ) + φ(RJ )ψR (ri )+ H Ψ(RJ , ri ) = − 2M |R J J − RI | J<I J + εe,R φ(RJ )ψR (ri ) ! X h X V0 ZJ ZI e2 ¯2 2 + εe,R φ(RJ )− = ψR (ri ) − ∇RJ + 2M |R J J − RI | J<I J 2 X h ¯ 2 − φ(RJ )∇RJ ψR (ri ) − 2∇RJ φ(RJ )∇RJ ψR (ri ) . 2MJ J (3.8) Ostatnie wyrażenie z sumą zwane jest wyrazem nieadiabatycznym [22]. Jeżeli je pominiemy, to ostatecznie zostaniemy z równaniem ruchu jonów ! X h ¯2 2 ∇RJ + Φ(R) φ(RJ ) = E φ(RJ ) (3.9) − 2M J J o energii potencjalnej Φ(R) =. X V0 ZJ ZI e2 + εe,R . |R J − RI | J<I. (3.10). Jeżeli - tak jak napisaliśmy wcześniej - εe,R jest energią stanu podstawowego układu elektronów dla jonów w pozycjach RJ , to funkcję Φ(R) nazywamy potencjałem adiabatycznym podukładu jonów, a εe,R jest wkładem adiabatycznym elektronów w energię sieci [22]. Równanie (3.9) jest równaniem ruchu jonów w przybliżeniu adiabatycznym. Pominięcie ostatniego wyrażenia w (3.8) wymaga usprawiedliwienia [18, 22]. Można pokazać, że pierwszy wyraz pod sumą jest energią kinetyczną elektronów pomnożoną przez czynnik m/M zatem jest co najwyżej rzędu 1/3680 (masa spoczynkowa elektronu do masy spoczynkowej składowych jądra - protonów i neutronów). Mnożąc lewostronnie oba wyrazy przez ψR∗ (ri ) i całkując po współrzędnych elektronowych dostaniemy h ¯2 2MJ. Z. ψR∗ (ri )∇2RJ ψR (ri ). mi dri = MJ. Z. ψR∗ (ri ). h ¯2 2 ∇ ψR (ri ) dri . 2mi ri. (3.11).

(21) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 18. Założyliśmy tutaj, że elektrony albo są ściśle związane ze swoimi jonami, albo dają się przedstawić jako funkcje Blocha. W każdym wypadku wynik jest taki sam, co dowodzi tego, że wyraz ten możemy pominąć. Pomimo, że czynnik ten wnosi niewielką poprawkę do energii układu, to odgrywa on ważną rolę jeśli będziemy zainteresowani np. transportem elektronów w zaburzonej termicznie sieci. Czynnik ten bowiem reprezentuje sprzężenie pomiędzy ruchem jonów i elektronów. Drugi wyraz znika ponieważ Z Z 1 ∗ (3.12) ψR (ri )∇RJ ψR (ri ) dri = ∇RJ ψR∗ (ri )ψR (ri ) dri = 0. 2. 3.2. Opis drgań sieci. Zacznijmy od przypomnienia prostego modelu liniowego łańcucha atomów składającego się z dwóch rodzajów atomów o masach M1 i M2 ułożonych naprzemiennie w odległości a od siebie. Pojedyncza komórka elementarna składa się zatem z dwóch atomów. u2l−1. u2l+1. u2l. M2. M1. u2l+2. M2. M1. a Rys. 3.1: Naprzemienna sieć atomów o masach M1 i M2 wychylonych z położenia równowagi (czarne punkty).. Dalej niech siła działająca na każdy z atomów będzie proporcjonalna do wychylenia. W przybliżeniu najbliższych sąsiadów otrzymamy następujące równania ruchu M1 u¨2l = C (u2l+1 + u2l−1 − 2u2l ) , M2 u¨2l+1 = C (u2l+2 + u2l − 2u2l+1 ) ,. (3.13). gdzie l określa kolejną komórkę elementarną, a C jest pewną stałą. Ponieważ atomy różnią się pomiędzy sobą masami, to amplitudy ich wychylenia też będą różne, dlatego dla każdego z nich przewidujemy inne rozwiązanie w postaci u2l = A1 exp [i2lqa − iωt] , u2l+1 = A2 exp [i(2l + 1)qa − iωt] ,. (3.14).

(22) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 19. gdzie ω to częstość drgań, a q to wektor falowy fali sprężystej. Po skwantowaniu drgań sieci, h ¯ ω staje się energią fononu, a q - jego wektorem falowym. Podstawiając postulowane rozwiązania do (3.13) otrzymamy C 2C 2 − ω A1 − eiqa + e−iqa A2 = 0, M1 M1 (3.15) C 2C iqa −iqa 2 − e +e A1 + − ω A2 = 0. M2 M2 Sposób w jaki zapisaliśmy powyższy układ równań nie jest przypadkowy, a jego sens stanie się jasny nieco później. Warunkiem koniecznym istnienia niezerowego rozwiązania jest zerowanie się wyznacznika

(23)

(24)

(25) D1,1 (q) − ω 2

(26) D (q) 1,2

(27)

(28)

(29)

(30) = 0. (3.16)

(31)

(32) 2

(33)

(34) D2,1 (q) D2,2 (q) − ω Powyższe to przecież nic innego jak problem własny z wartościami własnymi ω, z tego względu równania (3.15) posiadają rozwiązanie w postaci częstości własnych ω = ω(q),. ω 2 (q) = C. . M1 + M2 M1 M2. ". ±C. M1 + M2 M1 M2. 2. 4 sin2 (qa) − M1 M2. #1/2 .. (3.17). W zależności od wyboru znaku ± otrzymamy dwa różne rozwiązania. Pierwsze ze znakiem + odpowiada gałęzi optycznej drgań podłużnych (LO) natomiast znak − daje nam gałąź podłużnych drgań akustycznych (LA) (patrz rysunek Rys.3.2). Gałęzie optyczne (LO) i akustyczne (LA) oddzielone są przerwą kiedy M1 6= M2 i w przerwie tej fale sprężyste nie mogą się propagować. W przypadku kiedy M1 = M2 obie gałęzie łączą się w punkcie q = π/a. Atomy są teraz takie same, a stała sieci jest teraz równa d = a/2 przez co strefa Brillouina ulega dwukrotnemu poszerzeniu w stosunku do wcześniejszej. Ponieważ atomy mają teraz tylko jeden stopień swobody, to połączenie krzywych dyspersji LO i LA jest takie, że tworzą one wykres cos(qd) oraz sin(qd). Otrzymany w ten sposób wynik jest zgodny z tym, jaki znamy dla sieci jednoatomowej, ponieważ cosinus jest przesuniętym o π/d sinusem, co odpowiada procesom umklapp. Mając za sobą ten krótki wstęp możemy przejść do bardziej ogólnych rachunków. Załóżmy, że w komórce prymitywnej znajduje się s atomów i położenie równowagi s-tego atomu w tej komórce opisuje wektor 0 Rl,s = Rl + Rs ,. (3.18). gdzie l jest wskaźnikiem komórki. W wyniku drgań termicznych atomy wibrują wokół położeń równowagi (położeń średnich) zmieniając swoje położenie, które teraz 0 dla jonu Rl,s będzie dane przez 0 Rl,s = Rl,s + ul,s ,. (3.19).

(35) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 20 ω(q). LO. przerwa. LA. −2π/a. 0. −π/a. π/a. 2π/a. q. Rys. 3.2: Relacja dyspersji fononów w dwuatomowym krysztale (atomy o masach M2 = 2M1 ). Linią ciągłą zaznaczono gałęzie: podłużną akustyczną (LA) i podłużną optyczną (LO). Linie przerywane to przypadek kiedy M1 = M2 (wyjaśnienie znajduje się w tekście).. 0 gdzie ul,s jest niewielkim wychyleniem jonu z położenia równowagi Rl,s . Zapiszmy hamiltonian takiego układu składającego się z wibrujących jonów 3. H =. 1 XX Ms u˙ 2α,l,s + Φ(R), 2 l,s α. (3.20). gdzie α określa wychylenie jonu z położenia równowagi w kierunku α = x, y, z, natomiast Φ tak jak poprzednio jest energią potencjalną i jest funkcją położenia wszystkich atomów w sieci. Dla niewielkich wychyleń możemy rozwinąć Φ w okolicy położenia równowagi posługując się rozwinięciem w szereg Taylora w trzech wymiarach. Φ = Φ0 +. X l,s,α. Φα ( sl )uα,l,s +. 1X X 0 Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 + . . . 2 l,s,α l0 ,s0 ,β. (3.21). Zaniedbujemy wszystkie wyrazy rzędu trzeciego (stanowiące przyczynki anharmoniczne) i wyższe oraz wyraz pierwszy Φ0 (nie będzie on istotny z naszego punktu widzenia). Oznaczenia użyte powyżej to ∂Φ l Φα ( s ) = , (3.22) ∂uα,l,s R=R0 2 ∂ Φ 0 Φα,β ( sl sl 0 ) = . (3.23) ∂uα,l,s ∂uβ,l0 ,s0 R=R0.

(36) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 21. 0 wyraz (3.22) znika, jeżeli na ciało nie Oczywiście w położeniu równowagi Rl,s działają siły zewnętrzne. Ostatecznie pozostawia nas to z. Φ=. 1X X 0 Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 , 2 l,s,α l0 ,s0 ,β. (3.24). tzw. członem harmonicznym będącym formą kwadratową wychyleń uα,l,s [24]. Przepisujemy hamiltonian wykorzystując powyższe przybliżenie potencjału H =. 1X 1X X 0 Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 . Ms u˙ 2α,l,s + 2 l,s,α 2 l,s,α β,l0 ,s0. (3.25). Możemy teraz zdefiniować siłę działającą na jon s w kierunku α posługując się tym co zapisaliśmy wcześniej w (3.21) X 0 Ms u¨α,l,s = − Φα,β ( sl sl 0 )uβ,l0 ,s0 . (3.26) β,l0 ,s0. Z równania tego widać analogię do klasycznego oscylatora harmonicznego (3.13), gdzie siła działająca na jon była proporcjonalna do wychylenia. Z tego względu 0 Φα,β ( sl sl 0 ) nazywane jest macierzą stałych siłowych. Rozsądnym zatem będzie, aby poszukać rozwiązania równania (3.26) w postaci podobnej do (3.14). Postulujemy zatem, że [21]. uα,l,s. 1 −1/2 A(q)eα (s|q) exp [iq · Rl,s − iω(q)t] + c.c. , = (N Ms ) 2. (3.27). gdzie N jest całkowitą liczbą jonów w krysztale, c.c. oznacza sprzężenie zespolone wyrażenia w nawiasie klamrowym, A(q) i eα (k|q) to pewne amplitudy. Rozwiązanie to przedstawia falę płaską propagującą się w kierunku wektora falowego q. Podstawiając to rozwiązanie do równania ruchu otrzymamy X Dα,β ( qs s0 )eβ (s0 |q), (3.28) ω 2 (q)eα (s|q) = s0 ,β. gdzie elementy macierzy dynamicznej D dane są przez Dα,β ( qs s0 ) = (Ms0 Ms )−1/2. X. 0 Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s exp iq · Rl0 ,s0 − Rl,s .. (3.29). l0. Rozmiar macierzy dynamicznej to 3n × 3n, gdzie n jest liczbą atomów w komórce prymitywnej. Po drodze skorzystaliśmy z faktu, że kryształ posiada symetrię translacyjną. Oznacza to, że dowolna funkcja dwóch argumentów l i l0 jest w istocie funkcją różnicy tych argumentów [24]. Udało nam się zatem zredukować układ nieskończonej liczby równań do 3n jednorodnych równań liniowych. Równania te mogą być zapisane jako X Dα,β ( qs s0 ) − δαβ δss0 ω 2 (q) eβ (s0 |q) = 0. (3.30) s0 ,β.

(37) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 22. Podobnie jak poprzednio warunkiem koniecznym, aby powyższy układ równań jednorodnych posiadał nietrywialne rozwiązania jest aby wyznacznik współczynników był równy zeru

(38)

(39)

(40)

(41)

(42) Dα,β ( q 0 ) − δαβ δss0 ω 2 (q)

(43) = 0. (3.31) s s

(44)

(45) Aby wyznaczyć relację dyspersji ω(q) musimy rozwiązać problem własny i znaleźć wartości własne ω(q). Poniżej na rysunku (Rys.3.3) przedstawiona jest relacja dyspersji drgań sieci w krystalicznym argonie. Do obliczeń użyliśmy potencjału Lenarda-Jonesa z parametrami zaczerpniętymi z [21] Γ 1.0. ∆. X. K. Σ. Γ. (110). (100). Λ. L. (111). 0.8 T2. L. L. L. ω. 0.6 T1. T. T. 0.4. 0.2. 0.0 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 0.2. 0.4. q. Rys. 3.3: Krzywe dyspersji fononów w zaczerpniętych z [25]. 3.3. 36. Ar dopasowane do punktów pomiarowych. Statystyka fononów. Rozwiązanie zaproponowane w (3.27) jest pewnym szczególnym rozwiązaniem równania ruchu. Rozwiązanie ogólne będzie zatem liniową superpozycją wszystkich możliwych rozwiązań typu (3.27), przy czym suma przebiegać będzie po wszystkich możliwych modach q niezależnie od gałęzi, które numerować będziemy indeksem b (branch). Zapiszemy teraz ogólną formułę na wychylenie jonu z położenia równowagi X 1 uα,l,s = √ Qq,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] , N Ms q,b. (3.32). gdzie Qq,b to zależne od czasu współrzędne uogólnione modów normalnych, które będziemy nazywali współrzędnymi normalnymi i spełniają one następującą relację Q∗q,b = Q−q,b .. (3.33).

(46) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 23. Posłużymy się teraz wyprowadzonymi klasycznie zależnościami modów normalnych kryształu, aby wprowadzić kwantową teorię drgań sieci. Ważnym wynikiem otrzymanym w tym procesie będzie uzależnienie wychyleń jonów z położeń równowagi od operatorów kreacji i anihilacji fononów [17]. Taki kwantowy opis będzie nam bardzo pomocny w następnym rozdziale przy analizie oddziaływania elektronfonon w nanostrukturach. Pierwszą kwantyzację otrzymujemy zastępując klasyczne współrzędne normalne Q i pędy p modów normalnych przez odpowiadające im opeˆ i pˆ, które muszą spełniać następujące relacje komutacji ratory Q ˆ q,b , pˆq0 ,b0 ] = δq,q0 δb,b0 , [Q ˆ q,b , Q ˆ q0 ,b0 ] = [ˆ [Q pq,b , pˆq0 ,b0 ] = 0.. (3.34). W takim ujęciu wychylenia jonów (3.32) i hamiltonian kryształu (3.25) dane są przez [17] uˆα,l,s = √. X 1 ˆ q,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] , Q N Ms q,b. 1X † 1 X 2 ˆ† ˆ Hˆ = pˆq,b pˆq,b + ω Q Qq,b . 2 q,α 2 q,α q,b q,b. (3.35) (3.36). W drugiej kwantyzacji wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji fononów [2] ω 1/2 i q,b ˆ a ˆq,b = Qq,b + pˆq,b , 2¯h ωq,b (3.37) ω 1/2 i q,b † ˆ a ˆ−q,b = Qq,b − pˆq,b . 2¯h ωq,b Operatory kreacji i anihilacji spełniają następujące relacje komutacji [ˆ aq,b , a ˆ†q0 ,b0 ] = δq,q0 δb,b0 , [ˆ aq,b , a ˆq0 ,b0 ] = [ˆ a†q,b , a†q0 ,b0 ] = 0.. (3.38). Odwracając powyższe relacje (3.37) otrzymamy operatory położeń i pędów wyrażone poprzez operatory a îa ˆ† ˆ q,b Q pˆ†−q,b. 1/2 h ¯ a ˆq,b + a ˆ†−q,b , = 2ωq,b 1/2 h ¯ ωq,b = −i a ˆq,b − a ˆ†−q,b . 2 . (3.39). Możemy teraz przepisać równania (3.35) i (3.36) przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji. Wychylenie z położenia równowagi to. uˆα,l,s =. X q,b. h ¯ 2N Ms ωq,b. 1/2 † a ˆq,b + a ˆ−q,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] ,. a hamiltonian kryształu będzie się wyrażał wzorem X 1 † ˆ H = h ¯ ωq,b a ˆq,b a ˆq,b + . 2 q,α. (3.40). (3.41).

(47) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 24. W niektórych zastosowaniach, np. tych gdzie istotny jest stan podstawowy kondensatu Bosego-Einsteina, operatory kreacji i anihilacji odgrywają szczególną rolę w opisie właściwości fizycznych układu. W naszym przypadku są one jedynie wygodnym sposobem opisu oddziaływań elektron-fonon i nie wprowadzają nowej fizyki. Wartości własne hamiltonianu to X 1 . (3.42) En = h ¯ ωq,b nq,b + 2 q,α Ponieważ będzie nas interesowała zależność temperaturowa oporu właściwego to istotna będzie statystyka fononów. Oczywiście fonony to bozony o spinie równym zero, zatem podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Możemy pokazać, że tak rzeczywiście jest posługując się formułą (3.42) na wartości własne Hamiltonianu kryształu. Średnia energia fononów w danym stanie o energii En dana będzie przez [2] hE i =. 1X En e−En /kB T , Z n. (3.43). gdzie kB to stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna, Z - suma statystyczna. Dalsze rachunki są trywialne i przebiegają następująco 1X 1 −¯hωq,b (nq,b +1/2)/kB T hE i = h ¯ ωq,b nq,b + e Z n 2 q,b 1 1 −¯hωq,b /2kB T X ¯ ωq,b h ¯ ωq,b nq,b e−¯hωq,b nq,b /kB T + h = e Z 2 nq,b P d h ¯ ωq,b x dx nq,b xnq,b 1 1 1 P = ¯ ωq,b = h ¯ ωq,b ¯hω /k T + h + . nq,b 2 e q,b B − 1 2 nq,b x. (3.44). Wynika stąd, że średnia liczba fononów w stanie o energii En wynosi hnq,b i =. 1. (3.45) −1 co dowodzi, że fonony jako bozony podlegają rozkładowi Bosego-Einsteina. W krysztale fonony nieustannie powstają i znikają, przez co ich liczba nie jest zachowana, a ich potencjał chemiczny jest równy zeru.. 3.4. e¯hωq,b /kB T. Model Debye’a. Tak jak napisaliśmy we wstępie do tego rozdziału i co widać na podstawie wcześniejszych rachunków, drgania sieci przyczyniają się do wielu właściwości fizycznych metali. Na przykład termiczne wzbudzenia fal sieciowych obserwowane są jako wkład do ciepła właściwego sieci kryształu, które będzie tematem tego podrozdziału. Przy okazji wprowadzimy nowy bardzo ważny parametr jakim jest temperatura Debye’a θD . W obliczeniach posłużymy się wynikami otrzymanymi w poprzednim.

(48) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 25. podrozdziale. W modelu Debye’a zakładamy, że prędkość dźwięku wszystkich modów normalnych w gałęziach akustycznych ma stałą wartość c. Relacja dyspersji jest liniowa w taki sposób, że ω = cq. Musi zatem istnieć maksymalny wektor falowy D zwany wektorem falowym Debye’a, którego wartość określona jest przez rzeczywistą liczbę normalnych modów akustycznych w krysztale. Stąd też wynika, że ωD = cD jest maksymalną częstością drgań i analogicznie nazywana jest częstością drgań Debye’a. Aby znaleźć te wielkości wyprowadzimy na początek gęstość stanów fononowych w tym modelu [17] Z D 3 V 3ω 2 3 X 2 δ(ω − cq) = 4π q δ(ω − cq) dq = , gD (ω) = V q V (2π)3 2π 2 c3 0. (3.46). gdzie trójkę wprowadziliśmy ponieważ mamy trzy gałęzie akustyczne, natomiast ω przyjmuje wartości od zera do ωD . Aby maksymalnie ułatwić rachunki założymy, że mamy do czynienia z monoatomowym trójwymiarowym kryształem, w którym mamy 3N normalnych modów akustycznych, przy czym N to liczba komórek elementarnych. Zatem Z ∞ Z ∞ V ω3 3V ω 2 dω = 2 D3 (3.47) gD (ω) dω = 2 3 3N = V 2π c −∞ 2π c −∞ skąd wynika, że 1/3 2 1/3 6π 2 N 6π N ωD = c , D= . (3.48) V V Aby wyznaczyć ciepło właściwe metalu musimy wrócić do równania (3.44). Na ten czas zapomnijmy o energii drgań zerowych. Całkowita średnia energia układu dana będzie wtedy wzorem [22] . hEc i =. X q,b. h ¯ ωq,b h ¯ ω /kB T q,b e. −1. ,. (3.49). gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich polaryzacjach i wektorach falowych. Powyższą sumę możemy zastąpić całką, a różniczkując otrzymane wyrażenie względem temperatury otrzymamy wzór na ciepło właściwe Z ∂hEc i V ∂ X h ¯ ωq,b CV = = dq h ¯ ω /kB T − 1 3 q,b ∂T (2π) ∂T b e 2 Z 3V h ¯ ωq,b e¯hωq,b /kB T k = dq B (2π)3 kB T (e¯hωq,b /kB T − 1)2 3 Z ωD 2 3 3V kB kB T h ¯ ωq,b e¯hωq,b /kB T h ¯ 2 dωq,b (3.50) = 2 3 ωq,b hωq,b /kB T − 1)2 ¯ 2π c h ¯ k T k T (e B B 0 3 Z θD /T 3V kB kB T x4 ex = 2 3 dx 2π c h ¯ (ex − 1)2 0 3 Z θD /T T x4 e x = 9N kB dx, θD (ex − 1)2 0.

(49) ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI. 26. gdzie użyliśmy podstawienia x = h ¯ ωq,b /kB T , relacji pomiędzy temperaturą Debye’a θD i częstością drgań h ¯ ωD = kB θD określającej maksymalną częstość drgań, jakie można wzbudzić w sieci oraz z równości (3.47). Wyprowadzone równanie jest wzorem Debye’a na ciepło właściwe i sprawdza się bardzo dobrze dla większości ciał stałych. Zależność ta została przedstawiona na Rys.3.4. Pomimo tego, że (3.50) ma dość prostą postać, to analitycznie daje się policzyć tylko na krańcach przedziałów tzn. w granicy niskich (T → 0) i wysokich (T → ∞) temperatur. Wprowadzona tutaj temperatura Debye’a jest ważnym parametrem w fizyce ciała stałego, który w ogólności sam zależy od temperatury. Daje ona wiele informacji na temat gęstości, stabilności strukturalnej czy siły wiązań w krysztale. Także defekty sieci mogą być zidentyfikowane poprzez pomiar zmiany temperatury Debye’a [17]. Jeszcze jedną istotną relacją, z której będziemy korzystać w następnym rozdziale, jest powiązanie θD z prędkością dźwięku c, która powinna być dana równaniem kB θD = h ¯ Dc.. (3.51). 1. ∼ T3. CV /3N kB. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 1.2. T /θD Rys. 3.4: Linia ciągła - wykres ciepła właściwego Debye’a CV na podstawie (3.50)..

(50) Rozdział 4. Oddziaływanie elektron-fonon. Idealna sieć kryształu nie stanowi przeszkody dla ruchu elektronów. Drgania sieci zaburzają jej symetrię translacyjną, przez co elektrony, które się w niej poruszają, odczuwają przypadkowe zmiany energii potencjalnej. Skutkuje to wzajemnym oddziaływaniem elektronów z siecią i rozpraszaniem elektronów. Oddziaływanie to znane jest jako oddziaływanie elektron-fonon, gdyż fonony to nic innego jak kwanty drgań sieci. W wyniku tego procesu opór metali rośnie wraz z temperaturą. Pierwsza próba opisu zależności temperaturowej oporu metali podjęta została w ubiegłym stuleciu przez Blocha [10, 11]. Wyprowadzona przez niego formuła z drobnymi poprawkami wprowadzonymi przez Gr¨ uneisena znana jest jako wzór Blocha-Gr¨ uneisena. Daje ona wyniki zgodne z danymi eksperymentalnymi zarówno w zakresie niskich jak i wysokich temperatur dla szeregu metali. Jednak teoria ta została sformułowana dla materiałów litych, stąd nie daje ona poprawnych wyników dla układów silnie ograniczonych wymiarowo, gdzie droga swobodna elektronu porównywalna jest z rozmiarami próbki. Zależności takiej brakuje w dotychczasowej literaturze naukowej. W rozdziale tym będziemy rozpatrywali oddziaływanie elektronów z fononami w bardzo cienkiej warstwie. Na początek przedstawimy teoretyczny model, w którym cienką warstwę będziemy traktowali jako układ ściśle dwuwymiarowy. Następnie rozszerzymy model wprowadzając trzeci wymiar.. 4.1. Opis oddziaływania. W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy przybliżenie Borna-Oppenheimera, dzięki czemu udało nam się rozdzielić ruch elektronów i jonów. Położenia jonów wchodziły do funkcji elektronowych jako parametry. Zaniedbaliśmy wtedy w równaniu (3.8) tzw. wyraz nieadiabatyczny, który opisuje oddziaływanie pomiędzy elektronami a drganiami sieci. W tej części wyprowadzimy hamiltonian oddziaływania elektron-fonon. Konsekwentnie będziemy się trzymali tych samych oznaczeń co w poprzednim rozdziale,. 27.

(51) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 28. zatem położenie równowagowe jonu s w komórce elementarnej l dane jest wektorem 0 Rl,s = Rl + Rs .. (4.1). Gdy atom zostanie wychylony z położenia równowagi o wektor ul,s , to jego współrzędna zmieni się następująco 0 Rl,s = Rl,s + ul,s .. (4.2). Hamiltonian oddziaływania fononu z elektronem jest niczym innym jak całkowitą energią potencjalną oddziaływania elektronu ze wszystkimi otaczającymi jonami. Jednak przejścia pomiędzy stanami stacjonarnymi elektronu wywołuje ta część potencjału U , która zależy od czasu. Zgodnie z tym potencjał zaburzający równy jest różnicy pomiędzy potencjałem jonu w położeniu R, a potencjałem sieci doskonałej z jonami w położeniach R0 : X 0 U (r) = ). (4.3) U (r − Rl,s ) − U (r − Rl,s l,s. Ponieważ wychylenie jonu jest niewielkie to możemy rozwinąć U w okolicy położenia równowagi w szereg Taylora ze względu na u zaniedbując wszystkie wyrazy poza wyrazem pierwszego rzędu U (r) ≈. X. uα,l,s. l,s,α. X ∂U ul,s · ∇r U (r − Rl,s ). =− ∂uα,l,s l,s. (4.4). Przemieszczenie jonu możemy zapisać kwantowomechanicznie posługując się operatorami kreacji i anihilacji. Zrobiliśmy to w rozdziale 3.3 w równaniu (3.40). Wykorzystując ten wynik oraz powyższe równanie możemy zapisać wzór na hamiltonian oddziaływania elektron-fonon He−p w następującej postaci. Hep = −. . h ¯ 2N Ms ωq,b. 1/2 X X l,s. iq·Rl,s. eb (s|q)·∇r U (r −Rl,s )e. † a ˆq,b +ˆ a−q,b . (4.5). q,b. Dzięki obecności kombinacji operatorów a ˆq,b +ˆ a†−q,b fonon może być wyemitowany bądź zaabsorbowany w wyniku oddziaływania z elektronem. Prawdopodobieństwo takiego oddziaływania będzie zależało od kwadratu elementu macierzowego pomiędzy stanem początkowym i końcowym układu. Ponadto elektron w wyniku oddziaływania z kwantem drgań sieci zostanie rozproszony ze stanu k do stanu k0 , które różnią się od siebie o wektor falowy fononu ±q (ewentualnie jeszcze wektor sieci odwrotnej g). Dla uproszczenia rachunków przyjmujemy konkretny mod drgań sieci o wektorze falowym q i określonej polaryzacji eb , wtedy element macierzowy oddziaływania będzie równy Z

(52)

(53). 0

(54) M (k, k ) = nq,b ψk∗ (r) Hep ψk0 (r) dr

(55) nq,b − 1 . (4.6).

(56) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 4.2. 29. Metoda wariacyjna. Napisaliśmy pod równaniem (2.16), że funkcja fk1 = fk − fk0 wyraża odstępstwo od równowagowej funkcji rozkładu. Wygodniejszym sposobem jej zapisu jest ∂fk0 , (4.7) ∂εk gdzie φk jest nowo wprowadzoną funkcją, o której więcej napiszemy nieco dalej. Występująca tutaj pochodna po energii z funkcji rozkładu jest wagą, która zależy od postaci funkcji rozkładu. W przypadku statystyki Fermiego pochodna ta równa jest fk − fk0 = −φk. ∂fk0 f 0 (1 − fk0 ) = k (4.8) ∂εk kB T i posiada ostre maksimum w pobliżu poziomu Fermiego. Wstawiając oba te równania do równania Boltzmanna (2.12) w stanie ustalonym otrzymamy jego bardziej ogólną postać Z 1 1 h ¯k 0 · ∇ r fk + F · ∇ k fk = − (φk − φk0 )Pkk dk0 , (4.9) m h ¯ kB T −. 0. gdzie Pkk = ωk→k0 (1 − fk0 )fk00 . Jest to postać kanoniczna równania Boltzmanna [18]. Równanie w tej postaci może być łatwo uogólnione np. na przypadek zderzeń pomiędzy nośnikami ładunków, albo, co nas bardziej interesuje, na przypadek zderzeń nośników ładunku z fononami. W wyniku oddziaływania fononu o modzie q z elektronem o wektorze falowym k kwant drgań może zostać zaabsorbowany, w wyniku czego wektor falowy elektronu zmieni się na k0 . Równie dobrze może zajść proces odwrotny, co możemy zapisać w następujący sposób k+q. −→ ←−. k0 .. (4.10). W takim wypadku uogólniona część prawej strony równania (4.9) będzie wyglądała następująco 1 − kB T. Z (φk + φq −. k0 φk0 )Pk,q. 1 dq dk − kB T 0. Z. 0. (φk − φq − φk0 )Pkq,k dq dk0 , (4.11). przy czym zapisaliśmy oba wyrażenia osobno, ponieważ z punktu widzenia elektronu w stanie k absorpcja i emisja fononu to w zasadzie dwa różne procesy. Znowu równanie Boltzmanna bardzo nam się skomplikowało i w takiej postaci nie możemy rozwiązać go analitycznie. Dlatego musimy uciec się do pewnego uproszczenia. Założymy mianowicie, bez żadnego dowodu, że φq = 0,. (4.12). tzn. układ fononów może być traktowany tak jakby znajdował się w stanie równowagi termicznej [18]. Teraz oba wyrażenia mają taki sam wkład, dlatego nie musimy rozważać ich oddzielnie. Pochłonięcie fononu daje ten sam efekt co jego.

(57) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 30. emisja odwrócona w czasie. Wyraz odpowiedzialny za dyfuzję ładunków w wyniku przestrzennych zmian funkcji rozkładu w równaniu (4.9) zaniedbujemy, gdyż nie jest nam potrzebny. W takim wypadku zostaniemy z ∂f (r, p, t) ∂f (r, p, t) =− . (4.13) ∂t ∂t coll field Wynika stąd, że szybkość zmian entropii w układzie w wyniku rozproszeń musi być równa szybkości zmian entropii spowodowanej przyłożonym zewnętrznym polem ze zmienionym znakiem S˙ coll = −S˙ field .. (4.14). Entropia powstała w wyniku rozproszeń zawsze będzie rosła, co wynika z drugiej zasady termodynamiki. Z drugiej strony przyłożone pole elektryczne będzie porządkowało układ, redukowało entropię i utrzymywało równowagę. Mimo to wzrost nieuporządkowania obserwujemy w postaci wydzielanego ciepła czy zaniku gradientu temperatury. Szybkość zmian entropii w układzie w wyniku zachodzących w nim zderzeń fononów i elektronów określa następująca formuła [18] ZZZ 1 k0 ˙ (φk − φk0 )2 Pk,q dk0 dk dq, (4.15) Scoll = 2 kB T która wynika z postaci równania (4.11). Zmiany entropii układu spowodowane przepływem prądu możemy łatwo znaleźć korzystając z definicji entropii i prawa Joule’a-Lenza j 2ρ S˙ field = , (4.16) T gdzie ρ jest oporem właściwym, a j gęstością prądu. Wyliczając z powyższego ρ i wykorzystując równania (4.13), (4.15) oraz (2.22) otrzymamy przepis wariacyjny na opór właściwy próbki RRR 1 k0 (φk − φk0 )2 Pk,q dk0 dk dq kB T , (4.17) ρ=

(58) R

(59) 2

(60) 1

(61) ∂fk0

(62) 4π3 e vk · u φk ∂εk dk

(63) gdzie u jest wektorem jednostkowym w kierunku pola elektrycznego.. 4.3. Model dwuwymiarowy. W tej części zajmiemy się modelem, w którym metaliczna warstwa monoatomowa przedstawiona jest jako dwuwymiarowa płaszczyzna, przez którą przemieszcza się dwuwymiarowy (2D) gaz elektronowy. Oczywiście w wyniku takiego zredukowania układu kula Fermiego będzie tutaj kołem o promieniu kF , w którym leżą wszystkie możliwe dwuwymiarowe wektory falowe κ. Podobnie fonony będą scharakteryzowane dwuwymiarowym wektorem falowym q, a elektronowe funkcje falowe spełniać będą warunek Blocha 0. ψκ (r + Rl0 ) = eiκ·Rl ψκ (r).. (4.18).

(64) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 31. Podstawiając to i (4.5) do (4.6) otrzymamy. M (κ, κ ) = 0. X l,s. h ¯ nq,b 2N Ms ωq,b. 1/2. i(κ0 −κ−q)·Rl0. e. Z. ψκ∗ (r) eb (s|q) · ∇r U (r) ψκ0 (r) dr.. (4.19) Poczynimy teraz pewne uproszczenia. Założymy mianowicie, że komórka prymitywna składa się z jednego tylko atomu, stąd możemy opuścić sumowanie po s. Ponieważ elektronowe funkcje falowe spełniają warunek (4.18), to każda suma po l zawiera dokładnie tę samą całkę po objętości całego dwuwymiarowego kryształu. W takim wypadku możemy skorzystać z definicji delty Kroneckera i ostatecznie element macierzowy uprości się do następującej postaci. M (κ, κ ) = 0. . h ¯ nq,b 2N Ms ωq,b. 1/2. Z δg,κ0 −κ−q. ψκ∗ (r) eb (q) · ∇r U (r) ψκ0 (r) dr. (4.20). Całkę w tym wzorze oznaczać będziemy jako Z 0 Lq,b (κ, κ ) = ψκ∗ (r) eb (q) · ∇r U (r − Rl,s ) ψκ0 (r) dr.. (4.21). Delta Kroneckera dopuszcza możliwość rozproszeń spełniających następującą relację q = κ0 − κ − g,. (4.22). tzn. pęd kryształu jest zachowany z dokładnością do wektora sieci odwrotnej g. Jeżeli podczas procesu rozproszenia wektor ten jest niezerowy, to mamy wtedy do czynienia z procesami umklapp wspomnianymi w poprzednim rozdziale. Z tak zapisanym warunkiem (4.22) element macierzowy (4.20) opisuje proces, w którym fonon o wektorze falowym q zostaje zaabsorbowany, w wyniku czego elektron o wektorze falowym k zostaje rozproszony do stanu o wektorze falowym k0 . Zajmijmy się teraz całką (4.21) pamiętając cały czas, że rozważamy układ dwuwymiarowy. Ponieważ U (−∞) = U (∞) = 0, to korzystając z teorii dystrybucji całkę możemy przepisać w następujący sposób Z 0 ∗ Lq,b (κ, κ ) = −eb (q) · U (r)∇r ψκ (r) ψκ0 (r) dr. (4.23) Jeżeli dodatkowo założymy, że elektrony przewodnictwa w metalach są dobrze opisane przez zwykłe fale płaskie, to otrzymamy Z 0 0 0 Lq,b (κ, κ ) = −ieb (q) · (κ − κ) U (r)ei(κ −κ)·r dr (4.24) Należy pamiętać, że nie ma ścisłego rozróżnienia pomiędzy procesami normalnymi (N ) i procesami umklapp (U ). Wszystko zależy od tego w jaki sposób definiujemy strefę zredukowaną. Na przykład w strefie zredukowanej możemy mieć do czynienia z procesem U , podczas gdy w strefie rozszerzonej będzie to proces N ..

(65) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 32. Ponadto ze względu na dalsze rachunki wygodnie nam będzie rozpatrywać tylko procesy normalne, dlatego w (4.22) postawimy g = 0. W ten sposób udało nam się zredukować problem do prostej transformaty Fouriera potencjału U (r). Lq,b (κ, κ ) = −ieb (q) · q 0. Z. 0. U (r)ei(κ −κ)·r dr = −ieb (q) · q U (q).. (4.25). Pozostaje teraz kwestia wyboru potencjału. Zastosujemy zwyczajny, ekranowany potencjał kulombowski, którego postać jest nam znana, a jego transformata Fouriera w 2D wynosi U (q) =. 2πV0 , λ+q. (4.26). gdzie λ jest parametrem ekranowania zdefiniowanym jako λ = 2πV0 S2D (εF ). W granicy długich fal (q → 0) otrzymany wynik nie powinien różnić się od wyniku dla materiału litego, dlatego musimy uwzględnić jeszcze koncentrację elektronów ne liczoną na jednostkę powierzchni Lq,b (κ, κ0 ) = ieb (q) · 4κ. ne . S2D (εF ). (4.27). Przeprowadzone do tej pory rachunki są bardzo proste, ale otrzymany rezultat nie różni się w zasadzie od wyników jakie możemy znaleźć w literaturze, a które opierają się na bardziej złożonych modelach. Mając tę część za sobą przejdźmy do policzenia oporu właściwego naszego układu. Wykorzystamy regułę wariacyjną Zimana [18] zaadaptowaną do naszego modelu cienkiej warstwy. ρL =. 1 kB T. 0. κ dκ dκ0 dq {φκ − φκ0 }2 Pκ,q .

(66)

(67) 1 R

(68) 2 e vκ φκ ∂fκ0 dκ

(69) 2 2π ∂εκ. RRR. (4.28). Wybór funkcji φk nie jest krytyczny, dlatego w naszych obliczeniach wykorzystamy standardową funkcję próbną φκ = κ · u.. (4.29). Obliczenia zaczniemy od mianownika

(70) 2

(71)

(72) 2

(73)

(74) 2

(75) Z Z ZZ 0 0 0

(76) 1

(77)

(78) e¯

(79)

(80) e¯

(81) ∂f h ∂f h 1 ∂f κ κ κ 2

(82)

(83) =

(84)

(85) =

(86)

(87) e v φ dκ κ(κ · u) dκ κ κ dκ dϕ κ κ

(88) 2π 2

(89) 2π 2 me

(90) 2π 2 me 2

(91) ∂εκ

(92) ∂εκ

(93) ∂εκ 2 2 ekF = . 2π¯h (4.30).

(94) ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON. 33. Znacznie więcej wysiłku będziemy musieli włożyć, aby policzyć licznik, dlatego rachunki przeprowadzimy krok po kroku rozkładając całe wyrażenie na szereg mniejszych wyrażeń łatwiejszych w analizie. Prawdopodobieństwo rozproszenia elektronu P znajdujemy korzystając ze złotej reguły Fermiego

(95) 2 2π

(96)

(97) (4.31) hnq,b |hψκ0 |V (r)|ψκ i|nq,b − 1i