b) Z Z S x2dydz + y2dzdx + z2dxdy gdzie S jest zewnetrzn, a stron, a powierzchni z

Lista nr 8 I´S sem.II, studia niestacjonarne, 2015/16

Ca lka powierzchniowa zorientowana

1. Obliczy´c ca lki powierzchniowe zorientowane:

a) Z Z

S

(x²+ y²) dx dy, je˙zeli S jest doln¸a powierzchni¸a ko la x²+ y²≤ 4, z = 1,

b) Z Z

S

xyz dx dy, je˙zeli S jest zewnetrzn_, a stron_, a dolnej po lowy powierzchni kuli x_, ²+ y²+ z²= 9,

c) Z Z

S

x dy dz, je˙zeli S jest zewnetrzn_, a stron_, a g´_, ornej po lowy powierzchni kuli x²+ y²+ z²= 4,

d) Z Z

S

(x dy dz − dz dx + y dx dy), je˙zeli S jest g´orna stron_, a tr´_, ojkata o wierzcho lkach A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3),_,

e) Z Z

S

(x dy dz + y dz dx + z dx dy), je˙zeli S jest wewnetrzn_, a stron_, a g´_, ornej powierzchni kuli x²+ y²+ z²= 4,

f) Z Z

S

(x²dy dz + y²dz dx + z²dx dy), je˙zeli S jest zewn¸etrzn¸a cz¸e´sci¸a paraboloidy z = 1

4− x²− y², kt´ora le˙zy w pierwszej

´

osemce przestrzeni.

2. Korzystajac ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego obliczy´_, c a)

Z Z

S

4x³dydz + 4y³dzdx − 6z⁴dxdy gdzie S jest ca lkowita zewn_, etrzn_, a powierzchni_, a walca x_, ²+ y²= 4, zawarta mi_, edzy_, p laszczyznami z = 0 i z = 1;

b) Z Z

S

xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie S jest wewnetrzn_, a powierzchni_, a sze´_, scianu 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1;

b) Z Z

S

x²dydz + y²dzdx + z²dxdy gdzie S jest zewnetrzn_, a stron_, a powierzchni z =_, p

x²+ y², 0 ≤ z ≤ 1.

3. Stosujac twierdzenie Stokesa obliczy´_, c a)

I

Γ

xdx + xzdy + zdz, gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym okregiem x_, ²+ y²= 1, z = 1;

b) I

Γ

y²dx − 2x²dy + z²dz, gdzie Γ jest dodatnio zorientowana kraw_, edzi_, a przeci_, ecia powierzchni z = 1 − x_, ²− y² z p laszczyznami uk ladu wsp´o lrzednych;_,

c) I

Γ

(x + y) dx + (2x − z) dy + (y + 3z) dz, gdzie Γ jest ujemnie zorientowanym brzegiem tr´ojkata S le˙z_, acego w p laszczy´_, znie x + y + z = 3 i ograniczonego p laszczyznami uk ladu wsp´o lrzednych._,