Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

Całkowanie przez podstawianie całek

nieoznaczonych

Autorzy:

Konrad Nosek

(1)

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez podstawienie

o całkowaniu przez podstawienie

Niech oznacza złożenie funkcji z , tj. . Jeżeli funkcja rzeczywista ma w przedziale funkcję pierwotną oraz funkcja o wartościach w przedziale ma skończoną pochodną w każdym punkcie przedziału , to funkcja ma w przedziale funkcję pierwotną. Ponadto

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Istota wzoru ( 1 ) polega na wprowadzeniu nowej zmiennej poprzez podstawienie w całce . Wówczas otrzymuje się równość

w której różniczka oraz .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczmy całkę .

Zatem przedstawiliśmy funkcję podcałkową w postaci takiej jak we wzorze ( 1 ), gdzie oraz Zatem korzystając z powyższego twierdzenia oraz ze wzoru 9. w twierdzeniu wzory podstawowe, otrzymujemy

Poniżej jeszcze raz wyznaczymy tą całkę stosując inny, tradycyjny zapis, który będziemy wykorzystywać w kolejnych przykładach.

W kolejnych przykładach oprócz twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie będziemy wykorzystywać wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy oraz twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki.

(f ∘ g)

g f

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

f

I

F

g

I

J

(f ∘ g)g

′

_J

∫(f ∘ g)(x) (x) dx = ∫ f(g(x)) (x) dx = F(g(x)) + c .

g

′

_g

′

t = g(x)

∫ f(g(x)) (x) dx

g

′

∫ f(g(x)) (x) dx = ∫ f(t) dt

g

′

_∣

_t=g(x)

,

dg(x) = (x)dx

g

′

_{t = g(x)}

∫

3x2

dx

1+x6

∫

3x2

dx = ∫

⋅ 3 dx.

1+x6 _1+(x13₎2

x

2

f(t) =

1 1+t2

g(x) =

x

3

.

∫

3x2

dx = ∫

dt

= arctgt

+c = arctg( ) + c .

1+x6 _1+t12

∣

t=x3

∣

t=x3

x

3

∫

3x2

dx =

= ∫

dt = arctgt + c = arctg( ) + c .

1+x6

∣

∣

∣ t

dt

=

=

x

3

3 dx

x

2

∣

∣

∣

1 1+t2

x

3

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczmy całkę .

{OPENAGHEXAMPLE ()}Obliczmy całkę .

{OPENAGHEXAMPLE}

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Obliczmy całkę

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Obliczmy całkę .

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Obliczmy całkę .

∫ sin xcos xdx

∫ sin xcos xdx =

∣

_∣∣

t

= ∫ tdt =

+ c =

x + c .

dt

=

=

sin x

cos xdx

∣

∣∣

12

t

2 12

sin

2

∫

√

− −

2x + 1

−−−

dx

∫

√

− −

2x + 1

−−−

dx =

= ∫ dt = ⋅

+ c =

+ c .

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

dt

1 2

=

=

=

2x + 1

2 dx

dx

∣

∣

∣

∣

∣

12

t

1 2 1₂ 2₃

t

32 1₃

√

(2x + 1)

−

−−−−−−

−

3

∫(3x + 6)

( + 4x − 10)

x

2 1976

dx

∫(3x + 6)

( + 4x − 10)

x

2 1976

dx =

= ∫

dx = ⋅

+ c

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

dt

3 2

=

=

=

+ 4x − 10

x

2

(2x + 4) dx

(3x + 6) dx

∣

∣

∣

∣

∣

32

t

1976 32 t 1977 1977

=

3

( + 4x − 10

+ c =

( + 4x − 10

+ c .

2⋅1977

x

2

)

1977 13181

x

2

)

1977

∫

_e15x

dx

∫

1

dx = ∫

dx =

= − ∫ dt = −

+ c = −

+ c = −

+ c .

e5x

e

−5x

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

− dt

1 5

=

=

=

−5x

−5 dx

dx

∣

∣

∣

∣

∣

15

e

t 15

e

t 15

e

−5x 5e15x

∫

x

dx

1−9x4 √

∫

x

dx = ∫

dx =

= ∫

dt = arcsin t + c = arcsin(3 ) + c .

1−9x4 √ _√1−(3xx 2₎2

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

dt

1 6

=

=

=

3x

2

6xdx

xdx

∣

∣

∣

∣

∣

16 _√1−t1 2 16 16

x

2

Obliczmy całkę .

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Przykład 7:

Obliczmy całkę .

PRZYKŁAD

Przykład 8:

Przykład 8:

Obliczmy całkę .

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Przykład 9:

Obliczmy całkę z funkcji trygonometrycznej .

{OPENAGHCONCLUSION (name="Z twierdzenia O całkowaniu przez podstawianie")} {OPENAGHCONCLUSION}

∫

dx + e−5x _e5x

∫

dx

= ∫

dx =

= ∫

dt = arctgt + c = arctg( ) + c .

+ e−5x _e5x e 5x 1+(e5x₎2

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

dt

1 5

=

=

=

e

5x

5

e

5x

dx

dx

e

5x

∣

∣

∣

∣

∣

15 1+tdt2 1₅ 1₅

e

5x

∫

x+3

dx

x−1 √5

∫

x+3

dx =

= ∫

dt = ∫

dt + 4 ∫

dt =

+ 4 ⋅

+ c

x−1 √5

∣

∣

∣

∣

t

t + 1

dt

=

=

=

x − 1

x

dx

∣

∣

∣

∣

t+1+3√5t

t

1− 1 5

t

−15 5 9

t

9 5 5 4

t

4 5

= (x − 1 + 5(x − 1 + c .

5 9

)

9 5

)

45

∫

1

dx

xcos2(ln x)

∫

1

dx = ∫

⋅ dx =

= ∫

dt = tg t + c = tg (ln x) + c .

xcos2(ln x) _cos2_{(ln x)}1 _x1

∣

∣

∣

_dt

t

=

₌

ln x

₁

_dx

x

∣

∣

∣

1 t cos2

ctg x

∫ ctg xdx = ∫

cos x

dx = ∫ cos x ⋅

dx =

= ∫ = ln |t| + c = ln | sin x| + c .

sin x sin x1

∣

_∣∣

_dt

t

=

₌

sin x

_{cos xdx}

∣

_∣∣

dtt

∫

f_f(x)′(x)

dx = ln |f(x)| + c .

PRZYKŁAD

Przykład 10:

Przykład 10:

Obliczmy całkę z funkcji trygonometrycznej .

PRZYKŁAD

Przykład 11:

Przykład 11:

Obliczmy całkę .

PRZYKŁAD

Przykład 12:

Przykład 12:

Obliczmy całkę

PRZYKŁAD

Przykład 13:

Przykład 13:

Obliczmy całkę .

tg x

∫ tg xdx = ∫

sin x

dx = − ∫

dx = − ∫

dx = −ln | cos x| + c .

cos x − sin xcos x (cos x)

′ cos x

∫

1

dx

7x−5

∫

1

dx = ∫

dx = ∫

dx = ln |7x − 5| + c .

7x−5 17 7x−57 17 (7x−5) ′ 7x−5 17

∫

_3−4x1

dx

∫

1

dx = − ∫

dx = − ln |3 − 4x| + c .

3−4x 14 3−4x−4 14

∫ tg 3xdx

∫ tg 3xdx =

= ∫ tg tdt = − ∫

dt = − ln | cos t| + c = − ln | cos 3x| + c .

∣

∣

∣

∣

∣

t

dt

dt

1 3

=

=

=

3x

3 dx

dx

∣

∣

∣

∣

∣

13 13 − sin tcos t 13 13

Obliczmy całkę . Wyznaczmy pochodną mianownika:

Wówczas

PRZYKŁAD

Przykład 15:

Przykład 15:

Obliczmy całkę . Pierwszy sposób: Drugi sposób: Trzeci sposób:

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Całkę nieoznaczoną można obliczyć na kilka sposobów. Wynik otrzymany różnymi metodami jest oczywiście ten sam, jednak poszukiwana rodzina wszystkich funkcji pierwotnych (całka nieoznaczona) może być opisana na różne sposoby, tzn. przedstawiona przy pomocy innych funkcji pierwotnych.

Innymi słowy, jeśli rozważamy dwa opisy całki nieoznaczonej funkcji przy pomocy istotnie różnych funkcji pierwotnych i , tj. rodzinę oraz rodzinę , gdzie , to zgodnie z twierdzeniem o funkcji pierwotnej funkcje i różnią się tylko o stałą, a zatem definiują tą samą rodzinę, tj. całkę nieoznaczoną.

∫

2x

dx

−1 2x

( − 1 = (

2

x

₎

′

₂

x

₎

′

= ln 2 ⋅ .

₂

x

∫

2x

dx =

∫

dx =

ln | − 1| + c =

| − 1| + c .

−1 2x _{ln 2}1 ( −12 x ₎′ −1 2x _{ln 2}1

2

x

log

2

2

x

∫

2 cos 2x

dx

sin 2x

∫

2 cos 2x

dx = ∫

dx = ln | sin 2x| + .

sin 2x (sin 2x) ′ sin 2x

c

1

∫

2 cos 2x

dx =

= ∫

dt = ∫

dt = ln | sin t| + = ln | sin 2x| + .

sin 2x

∣

_∣∣

_dt

t

=

₌

2x

_{2 dx}

∣

_∣∣

cos tsin t (sin t)

′

sin t

c

2

c

2

∫

2 cos 2x

dx = ∫

dx = ∫

dx + ∫

dx = ∫

dx + ∫

dx

sin 2x 2(cos x− x)

2 _sin2

2 sin x cos x cos xsin x − sin xcos x (sin x)

′

sin x (cos x)

′

cos x

= ln | sin x| + ln | cos x| + = ln |2 sin xcos x| − ln 2 + = ln | sin 2x| + .

c

3

c

3

c

1

f

F

PRZYKŁAD

Przykład 16:

Przykład 16:

Obliczmy całkę . Pierwszy sposób: Drugi sposób:

Z powyższej uwagi wiadomo, że wyrażenia oraz mogą się różnić jedynie o stałą. I rzeczywiście

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-10-09 08:41:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=e85053bf4224130b4fea1b46fab9d965

Autor: Konrad Nosek

∫ sin xcos xdx

∫ sin xcos xdx = ∫ sin 2xdx =

1

= ∫ sin tdt = − cos t + c = − cos 2x + c .

2

∣

_∣∣

_dt

t

=

₌

_{2 dx}

2x

∣

_∣∣

14 14 14

∫ sin xcos xdx =

∣

_∣∣

t

= ∫ tdt = + c =

+ c.

dt

=

=

sin x

cos xdx

∣

∣∣

t 2 2 sin x 2 2

− cos 2x

1 4 12

sin

2

x

x − (− cos 2x) = (2

x + cos 2x) = (2

x +

x −

x) = .

1