Wykad 9

Wykład IX

Całka oznaczona Riemanna

Niech f:[a,b] →R

I etap: tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

-pierwszy podział

-drugi podział: 𝑎 = 𝑥₀ < 𝑥₁< 𝑥₂ = 𝑏

 

2

x

2



x

1

nty podział: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1< . . . . < 𝑥2 = 𝑏

Definicja 9.1 (normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]) Niech n= max (xk+1 - xk) - średnica podziału n (długość najdłuższego przedziału)

k{0,…,n-1}

Powiemy, że ciąg podziałów

)

n N

n _



jest normalny : <=> lim _n 0

n  II etap Dla n : w każdym z przedziałów [xk,xk+1], k=0,1,.,(n-1)

(

_k

)

f



wybieramy w sposób dowolny punkt pośredni  k

lim

_n

n



- możemy utworzyć dla każdego podziału - ciąg sum całkowych

III etap

Definicja 9.2 (całka Riemanna)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i dowolnego wyboru punktów pośrednich



k istnieje lim𝑛→∞6𝑛 która nie zależy od ciągu

podziałów przedziału [a,b] i wyboru punktów pośrednich



k (tzn. wartość tej granicy jest

zawsze ta sama ) to nazywamy ją całką Riemanna i piszemy :

UWAGA:

Jeżeli istnieje

( )

b

a

f x dx



to powiemy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b].

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 b=x3

Jeżeli



x[ , ]a b f(x) 0 i f -całkowalna, to:

( )

b

a

f x dx



D



-pole obszaru D,

gdzie D={(x, y)R2 : x[a, b] ^ y[0, f(x)]}, inaczej: D={(x, y)R2: axb ^ 0yf(x)}

Uwaga!

Jeżeli f(x)0 w [a, b] ^ f –całkowalna, to

( )

b

a

f x dx

 

D



, gdzie D obszar pomiędzy

Całka dolna, całka górna

_n

Niech Mk = sup f(x) , x[xk,xk+1]

mk = inf f(x) , x[xk,xk+1] k{0,1,…,(n-1)}

Niech (_n) normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

Definicja 9.3 (całka górna, dolna)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] istnieją granice lim _n

ns oraz

lim _n

nS i nie zależa od normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] to:

Całka dolna

Całka górna

Twierdzenie 9.1 (o całkowalności)

f –całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b] 

Dowód: {0,1,...,( 1)} k n



mk

f

(



k

)

 Mk | mnożymy xk i sumujemy 1 1 1 0 0 0

(

)

n n n k k k k k k k k k

m

x



x

M

x

     

 

 









n  n  n  _n 0 _n 0 _n 0 I= I=

Twierdzenie 9.2 (o całkowalności)

Z: fC[a,b] , [a,b]- domknięty i ograniczony

T: f- całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]

Definicja 9.4 (zbiór miary Riemanna 0)

R A - jest miary Riemanna 0

tzn. że zbiór A można pokryć skończoną liczbą przedziałów o łącznej długości nie przekraczającej zadanej liczby



Przykład 9.1



>0 x1 x2 x3 4  4  4  A={x1,x2,x3} [a1,b1]=[x1 -6  , x1+ 6  ] => b1-a1= 4  [a2,b2]=[x2 -6  , x2+ 6  ] => b2-a2= 4  [a3,b3]=[x3 -6  , x3+ 6  ] => b3-a3= 4 

3

(

)

4

i i

b



a



 





1) Każdy zbiór skończony tzn. składający się ze skończonej ilości elementów ma miarę Riemanna 0

Przykład 9.2  0,5 A=

1

n N

n

 

 

 

0,001 0,001 0,001 0,001 0 1 3 1 2 1 Dla n>200 1 n 1 1 , 200 200 _      1 1 , 200 200 _      Wniosek ostateczny

Każdy zbiór złożony ze skończonej ilości punktów skupienia jest zbiorem długości miary Riemanna 0.

Twierdzenie 9.3

Jeżeli {xR: f(x)  g(x)} jest miary Riemanna 0 i f - całkowalna na [a,b], to g

również- całkowalna na [a,b] i 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 _𝑎𝑏

Twierdzenie 9.4( własności całki oznaczonej)

Z: f - całkowalna na [a,b] , c(a,b)

Twierdzenie 9.5 (własności całki oznaczonej c.d.) Z: f,g - całkowalne na [a,b] T: 1. – całkowalna na [a,b]



( )

( )



( )

( )

b b b a a a

f x

g x dx

f x dx

g x dx





















2. f∙g - całkowalne na [a,b] – brak wzoru

3. | f | - całkowalna na [a,b] i | 𝑓 𝑥 𝑑𝑥| ≤ |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥_𝑎𝑏 _𝑎𝑏 4. f 0 na [a,b], to

( )

0

b a

f x dx





5. fg na [a,b], to

( )

( )

b b a a

f x dx



g x dx





1-3 bez dowodu Dowód na pkt. 4 f 0 na [a,b], to 1 1 0 ₀ 0

(

)

0

lim

(

)

0

n n k k k k n k k

f

x

f

x







    _ 

  

 







( )

0

b a

f x dx





Dowód na pkt.5

(

)

0

f

 

g

g



f



na [a,b]

[ ( )

( )]

0

b a

g x



f x dx





( )

( )

0

b b a a

g x dx



f x dx

 

tezie





Twierdzenie 9.6(I twierdzenie o wartości średniej)

Z: f- całkowalna na [a,b] T: 1 0 0

lim

(

)

b _n n n k a

mdx

m x

m b a

   _ 





 





Na podstawie pkt 5 tw. 9.5



_k

m

(



k

)



m

m f(x) M na [a,b] to

( )

b b b a a a

mdx



f x dx



Mdx









(

)

( )

(

)

b a

m b a







f x dx



M b a



Wartość średnia

Z: fC[a,b] f - jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]

T: [ , ]

1

( )

( )

b c a b a

f x dx

f c

b a











Dowód:

fC[a,b] f - osiąga swoje kresy sens geometryczny



Zauważmy:



Definicja 9.5 (funkcja górnej granicy całkowania)

f - całkowalna na [a,b]

[ , ]

x



a b



( ) :

( )

x a

x

f t dt







𝜙 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑔ó𝑟𝑛𝑒𝑗 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑦 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎.

Twierdzenie 9.7 (Własności funkcji górnej granicy całkowania) 1) f -całkowalna na [a,b] =>



- ciągła na [a,b]

2) f –ciągła na [a,b] =>



- różniczkowalna na [a,b] i

( , )

'( )

( )

xa b

x

f x







Twierdzenie 9.8 (Newtona-Leibniza)

Z:

f



C

[ , ]a b f –ciągła; przedział domknięty i ograniczony

F-pierwotna do f na [a,b] T:

( )

( )

( )

b a

f x dx



F b



F a



Dowód:

Z tw.9.7 =>



-pierwotna do f i F – z założenia pierwotna do f =>

=>

 

CR x[ , ]a b



( )

x



f x

( )



C

( )

( )

0

( )

( )

b a b a

a

f x dx

b

f x dx















=>

( )

( )

( )

( )

( ( )

)

( )

( )

b a

f x dx

 

b

 

a



F b

 

C

F a



C



F b



F a



Przykład 9.3 3 _(*) 2 2

1

dx

x

 







zał: x1 i x-1 -3 -2 -1 1

Funkcja spełnia założenia Newtona-Leibniza, będziemy więc szukali funkcji pierwotnej Obliczenia pomocnicze: 1 1 ( 1)( 1) 2 1 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 2 1 dx dx dx x x x x x x x C C x                







1 ( 1)( 1) 1 1 1 2 1 2 A B x x x x A B         