Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności an¬ bn¬ cn, a ponadto n→∞liman= lim n→∞cn= 6/5 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy n→∞lim bn= 6/5

217. Obliczyć granicę

n→∞lim

3n⁴− n²+ 1

5n⁵− n³+ 1+3n⁴− 2n²+ 4

5n⁵− 2n³+ 8+ 3n⁴− 3n²+ 9 5n⁵− 3n³+ 27+ ...

... +3n⁴− kn²+ k²

5n⁵− kn³+ k³+ ... +3n⁴− 2n³+ 4n² 5n⁵− 2n⁴+ 8n³

!

.

Rozwiązanie:

Dana pod znakiem granicy suma ma 2n składników i zapisuje się wzorem b_n=

2n

X

k=1

3n⁴− kn²+ k² 5n⁵− kn³+ k³ . Szacowanie od góry daje

2n

X

k=1

3n⁴− kn²+ k² 5n⁵− kn³+ k³ ¬

2n

X

k=1

3n⁴− 0 + 4n²

5n⁵− 2n⁴+ 0 =2n(3n⁴+ 4n²) 5n⁵− 2n⁴ = cn. Szacując od dołu otrzymujemy

2n

X

k=1

3n⁴− kn²+ k² 5n⁵− kn³+ k³ ­

2n

X

k=1

3n⁴− 2n³+ 0

5n⁵− 0 + 8n³ =2n(3n⁴− 2n³) 5n⁵+ 8n³ = a_n. Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

a_n¬ b_n¬ c_n, a ponadto

n→∞lima_n= lim

n→∞c_n= 6/5 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞lim b_n= 6/5 . 218. Obliczyć granicę

n→∞lim

5n³+ 3

√n¹⁰+ 3+ 5n³+ 6

√n¹⁰+ 6+ 5n³+ 9

√n¹⁰+ 9+ 5n³+ 12

√n¹⁰+ 12+ ... + 5n³+ 6n²

√n¹⁰+ 6n²

!

.

Rozwiązanie:

Dana pod znakiem granicy suma ma 2n² składników i zapisuje się wzorem b_n=

2n²

X

k=1

5n³+ 3k

√n¹⁰+ 3k. Szacowanie od góry daje

2n²

X

k=1

5n³+ 3k

√n¹⁰+ 3k¬

2n²

X

k=1

5n³+ 6n²

√n¹⁰+ 0 =2n²(5n³+ 6n²) n⁵ = c_n. Szacując od dołu otrzymujemy

2n²

X

k=1

5n³+ 3k

√n¹⁰+ 3k­

2n²

X

k=1

5n³+ 0

√n¹⁰+ 6n² = 2n²· 5n³

√n¹⁰+ 6n² = a_n. Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

a_n¬ b_n¬ c_n,

a ponadto

n→∞lim a_n= lim

n→∞

10n⁵

√n¹⁰+ 6n² = lim

n→∞

√ 10

1 + 6n⁻⁸ = 10 oraz

n→∞lim c_n= lim

n→∞

2n²(5n³+ 6n²) n⁵ = lim

n→∞

10 + 12n^−1= 10 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞limb_n= 10 . 219. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

n→∞lim

3n²+ 2 ·√⁶ n^k+ 1 n²+ 5 ·√³

n⁷+ 7 + 7 ·√ n⁵+ 5

istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

Rozwiązanie:

Dzieląc licznik i mianownik danego wyrażenia przez n^5/2 otrzymujemy

n→∞lim

3n²+ 2 ·√⁶ n^k+ 1 n²+ 5 ·√³

n⁷+ 7 + 7 ·√

n⁴+ 5= lim

n→∞

3

n^1/2+ 2 ·^q6n^k−15+_n¹15

1

n^1/2+ 5 ·^q3 _n1/2¹ +_n15/2⁷ + 7 ·^q1 +_n⁵5

.

Mianownik ostatniego wyrażenia dąży do 7 przy n → ∞, natomiast licznik ma granicę skończoną dodatnią dla k = 15 i granica licznika jest wtedy równa 2.

Odpowiedź: Przy k = 15 granica jest równa 2/7.

Uwaga: Liczba k = 15 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko jedno.

220. Obliczyć granicę

n→∞lim

4n²+ 1 n³+√

n⁶+ 1+ 4n²+ 2 n³+√

n⁶+ 2+ 4n²+ 3 n³+√

n⁶+ 3+ 4n²+ 4 n³+√

n⁶+ 4+ ... + 4n²+ 6n n³+√

n⁶+ 6n

!

.

Rozwiązanie:

Dana pod znakiem granicy suma ma 6n składników i zapisuje się wzorem b_n=

6n

X

k=1

4n²+ k n³+√

n⁶+ k. Szacowanie od góry daje

6n

X

k=1

4n²+ k n³+√

n⁶+ k¬

6n

X

k=1

4n²+ 6n n³+√

n⁶+ 0=6n(4n²+ 6n) 2n³ = cn. Szacując od dołu otrzymujemy

6n

X

k=1

4n²+ k n³+√

n⁶+ k ­

6n

X

k=1

4n²+ 0 n³+√

n⁶+ 6n= 6n · 4n² n³+√

n⁶+ 6n= a_n. Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

a_n¬ b_n¬ c_n,

a ponadto

n→∞lim a_n= lim

n→∞

24n³ n³+√

n⁶+ 6n= lim

n→∞

24 1 +√

1 + 6n⁻⁵ = 12 oraz

n→∞lim c_n= lim

n→∞

6n(4n²+ 6n) 2n³ = lim

n→∞

12 + 36n^−1= 12 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞limb_n= 12 .

Odpowiedź: Dana w zadaniu granica istnieje i jest równa 12.

221. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

n→∞lim

√n¹⁴+ 9n⁹+ 1 − n⁷ n^k

istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów przepisujemy występujące pod znakiem gra- nicy wyrażenie w postaci niezawierającej w liczniku różnicy wyrażeń zbliżonej wielkości, a następnie dzielimy licznik i mianownik przez n⁹:

n→∞lim

√n¹⁴+ 9n⁹+ 1 − n⁷

n^k = lim

n→∞

9n⁹+ 1 n^k·^√

n¹⁴+ 9n⁹+ 1 + n^7=

= lim

n→∞

9 + n⁻⁹ n^k−2·^√

1 + 9n⁻⁵+ n⁻¹⁴+ 1^. Dla k = 2 otrzymujemy

n→∞lim

9 + n⁻⁹

√1 + 9n⁻⁵+ n⁻¹⁴+ 1= 9 + 0

√1 + 0 + 0 + 1=9 2. Odpowiedź: Przy k = 2 granica jest równa 9/2.

Uwaga: Liczba k = 2 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko jedno.

222. Obliczyć granicę

n→∞lim n

n³+ n

n³+ 1+ n

n³+ 2+ n

n³+ 3+ n

n³+ 4+ n

n³+ 5+ n

n³+ 6+ ... + n (n + 1)³

!

.

Rozwiązanie:

Oznaczmy sumę występującą pod znakiem granicy przez b_n i zauważmy, że ma ona 3n²+ 3n + 2 składników.

Zachodzą wówczas oszacowania od góry

b_n¬^3n²+ 3n + 2^· n n³ = c_n

oraz od dołu

b_n­^3n²+ 3n + 2^· n

(n + 1)³ = a_n. Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

a_n¬ b_n¬ c_n, a ponadto

n→∞lim c_n= lim

n→∞

3n²+ 3n + 2 n² = lim

n→∞



3 + 3 n+ 2

n²



= 3 oraz

n→∞lim an= lim

n→∞

(3n²+ 3n + 2) · n (n + 1)³ = lim

n→∞

3 +_n³+_n²2

1 +_n^13

= 3 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞lim b_n= 3 .

223. Obliczyć granicę

n→∞lim

√k · n^k+ 1 n⁷+ 1 +

√k · n^k+ 2 n⁷+ 4 +

√k · n^k+ 3 n⁷+ 9 +

√k · n^k+ 4

n⁷+ 16 + ... +

√k · n^k+ n³ n⁷+ n⁶

!

dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że dana w zadaniu suma ma n³ wyrazów. Szacujemy ją obustronnie:

n³·

√k · n^k+ 0 n⁷+ n⁶ ¬

√k · n^k+ 1 n⁷+ 1 +

√k · n^k+ 2

n⁷+ 4 + ... +

√k · n^k+ n³ n⁷+ n⁶ ¬ n³·

√k · n^k+ n³ n⁷+ 0 , a następnie kolejno obliczamy granice oszacowań dolnego i górnego.

n³·

√k · n^k+ 0 n⁷+ n⁶ =

√ k · n^k n⁴+ n³ =

√ k · n^k/2 n⁴+ n³ =

√

k · n^k/2−4 1 +_n¹ →√

k ,

o ile k/2 − 4 = 0, czyli k = 8.

n³·

√k · n^k+ n³

n⁷ =

s

k · n^k/2−4+ 1 n⁵ →√

k , o ile k/2 − 4 = 0, czyli k = 8.

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że dla k = 8 granica danego w zadaniu wyrażenia jest równa √

8 = 2√ 2.

224. Obliczyć wartość granicy

n→∞lim

n³

X

k=n²

√n^p+ k n⁷+ k²

dobierając tak wartość parametru p, aby granica ta była dodatnia i skończona.

Rozwiązanie:

Oznaczmy sumę występującą pod znakiem granicy przez b_n i zauważmy, że ma ona n³− n²+ 1 składników.

Zachodzą wówczas oszacowania od góry bn¬^n³− n²+ 1^·

√n^p+ n³ n⁷+ n⁴ =



1 −1 n+ 1

n³



·

qn^p−8+_n¹5

1 +_n¹3

= cn

oraz od dołu

bn­^n³− n²+ 1^·

√n^p+ n² n⁷+ n⁶ =



1 −1 n+ 1

n³



·

qn^p−8+_n¹6

1 +¹_n = an. Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

an¬ bn¬ cn, a ponadto dla p = 8

n→∞lim c_n= 1 oraz

n→∞lim a_n= 1 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞lim bn= 1 .

Odpowiedź: Dla p = 8 wartość granicy jest równa 1.

225. Obliczyć granicę

n→∞lim

n^p+ 1

√900n⁹⁰⁰+ 1+ n^p+ 8

√900n⁹⁰⁰+ 32+ ... + n^p+ k³

√900n⁹⁰⁰+ k⁵+ ... + n^p+ 8n¹⁸

√900n⁹⁰⁰+ 32n³⁰

!

dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru p, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że dana w zadaniu suma ma 2n⁶ składników. Szacujemy ją obustronnie:

2n⁶· n^p+ 0

√900n⁹⁰⁰+ 32n³⁰¬

2n⁶

X

k=1

n^p+ k³

√900n⁹⁰⁰+ k⁵ ¬ 2n⁶· n^p+ 8n¹⁸

√900n⁹⁰⁰+ 0= 2n⁶·n^p+ 8n¹⁸ 30n⁴⁵⁰ , a następnie kolejno obliczamy granice oszacowań dolnego i górnego.

2n⁶· n^p+ 0

√900n⁹⁰⁰+ 32n³⁰= 2n^p+6

√900n⁹⁰⁰+ 32n³⁰= 2n^p−444

√900 + 32n⁻⁸⁷⁰→ 2 · 1

√900 + 0= 2 30= 1

15, o ile p − 444 = 0, czyli p = 444.

2n⁶·n^p+ 8n¹⁸

30n⁴⁵⁰ =2n^p+6+ 16n²⁴

30n⁴⁵⁰ =2n^p−444+ 16n⁻⁴²⁶

30 →2 · 1 + 0 30 = 2

30= 1 15, o ile p − 444 = 0, czyli p = 444.

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że dla p = 444 dana w zada- niu granica jest równa 1/15.

226. Ciąg (an) spełnia warunek

ε­1∀ ∃

N ∀

n­N

|a_n− 1| ¬ ε . Czy stąd wynika, że

226.1 ciąg (a_n) jest zbieżny NIE 226.2 ciąg (a_n) jest rozbieżny NIE 226.3 ciąg (an) jest ograniczony TAK

226.4 wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie NIE 226.5 wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są nieujemne NIE

226.6 od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie NIE 226.7 od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są nieujemne TAK 226.8 w ciągu (a_n) występuje nieskończenie wiele wyrazów dodatnich NIE 226.9 w ciągu (a_n) występuje nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych TAK 226.10 w ciągu (a_n) występuje co najmniej jeden wyraz dodatni NIE

226.11 w ciągu (an) występuje co najmniej jeden wyraz nieujemny TAK 226.12 ∀

n a_n> 0 NIE 226.13 ∀

n an­ 0 NIE 226.14 ∃

N ∀

n­N a_n> 0 NIE 226.15 ∃

N ∀

n­N a_n­ 0 TAK 226.16 ∀

N ∃

n­N a_n> 0 NIE 226.17 ∀

N ∃

n­N an­ 0 TAK 226.18 ∃

n an> 0 NIE 226.19 ∃

n a_n­ 0 TAK 227. lim

n→∞

2n²+ 3 5n²+ 7= 2

5 228. lim

n→∞

2ⁿ+ 3 5ⁿ+ 7= 0 229. lim

n→∞

√4n²+ 9 25n²+ 49= 0 230. lim

n→∞

√4 · 9ⁿ+ 25 25 · 3ⁿ+ 49 = 2

25 231. lim

n→∞

4 + 7n 2 + 5n= 7

5 232. lim

n→∞

4 + 7n 2 + 5n+1

n



= 7 5 233. lim

n→∞

4 + 7n

2 + 5n+n²+ 1 n

!

= +∞

234. lim

n→∞

4 + 7n

2 + 5n+ (−1)ⁿ



= R