Oscylator harmoniczny metoda operatorow kreacji i anihilacji

9

Oscylator harmoniczny metodą operatorów kreacji i

anihilacji

9.1

Operatory kreacji i anihilacji

Spróbujmy znany nam już hamiltonian oscylatora harmonicznego ˆ H = 1 2  ˆp2 m + ω 2_{m ˆx}2  (9.1) zapisać przy pomocy operatorów

ˆ a = r mω 2~ x + iˆ r 1 2mω~p,ˆ ˆ a† = r mω 2~ x − iˆ r 1 2mω~p.ˆ (9.2)

Po pierwsze tak zdefiniowane operatory ˆa i ˆa† nie są hermitowskie. Po drugie są to obiekty bezwymiarowe, w taki bowiem sposób dobraliśmy stałe mnożące ˆx i ˆp. Po trzecie ich komutator jest równy 1. Policzmy najpierw iloczyny:

ˆ aˆa†= mω 2~ xˆ 2₋ i 2~ x ˆˆp + i 2~p ˆˆx + 1 2mω~pˆ 2 _(9.3) i ˆ a†ˆa = mω 2~ x 2₊ i 2~x ˆp − i 2~p x +ˆ 1 2mω~pˆ 2_{. (9.4)} Pamiętając że: [ˆx, ˆ_{p] = i~,} (9.5) mamy

ˆa, ˆa†_{ = ˆaˆa}†_{− ˆ}

a†a = −ˆ i

2~[ˆx, ˆp] + i

2~[ˆp, ˆx] = 1. (9.6) Z kolei antykomutator, czyli suma

ˆa, ˆa† _{= ˆaˆa}†

+ ˆa†ˆa = 1 mω~pˆ 2₊mω ~ x2 = 2 ~ω 1 2  ˆp2 m + ω 2_{m x}2  . (9.7)

Ostatni człon jest proporcjonalny do hamiltonianu ˆH. Stąd otrzymujemy, że ˆ H = 1 2~ω ˆaˆa † + ˆa†ˆa
= ~ω  ˆ a†ˆa + 1 2  . (9.8)

9.2

Stany własne i wartości własne ˆ

H

Aby rozwiązać równanie Schrödingera ˆ

H|α >= E|α > (9.9)

musimy znaleźć spektrum operatora ˆa†ˆa. Oczywiście stany |α > są też stanami własnymi ˆ

a†a :ˆ

ˆ

a†a|α >= α|α > .ˆ (9.10) O stanach |α > założymy, że są unormowane:

< α|α >= 1. (9.11)

Zobaczmy, czy stan

|β >= ˆa|α > jest też stanem własnym operatora ˆa†ˆa:

ˆ

a†a|βˆ > = ˆa†aˆˆa|α >= ˆaˆa†− 1
ˆa|α >= ˆa ˆa†ˆa − 1
|α > = ˆa (α − 1) |α >= (α − 1) ˆa|α >= (α − 1) |β > .

Widzimy zatem, że stan |β > jest stanem własnym operatora ˆa†ˆa do wartości własnej α − 1, nie wiemy jednak, czy jest unormowany. Stąd

ˆ

a|α >= N−|α − 1 > . (9.12)

Powtarzając analogiczny rachunek dla stanu ˆ a†|α > otrzymamy

ˆ

a†|α >= N+|α + 1 > . (9.13)

Spróbujmy teraz wyliczyć czynniki normujące N±. Norma stanu |β > wynosi:

< β|β >=< α|ˆa†ˆa|α >= α. (9.14) Zwróćmy uwagę, że we wzorze (9.14) oba operatory działają na prawo. Z drugiej strony

< β|β >= N₋2. Stąd N− = √ α. Postępując podobnie N2 +=< α + 1|α + 1 >=< α|ˆaˆa †_{|α >=< α|ˆ} a†ˆa + 1|α >= α + 1, (9.15) co daje N+ = √ α + 1.

Podsumujmy: operatory ˆa i ˆa† działają na stany własne operatora ˆH w ten sposób, że obniżają lub podwyższają wartość własną α o 1. Dodatkowo domnażają taki stan własny

przez wyliczony przez nas właśnie czynnik N− lub N+. Zażądamy teraz, aby istniał

stan podstawowy układu, czyli stan o minimalnej energii. Nie możemy zatem działając wielokrotnie operatorem ˆa obniżać w nieskończoność wartości własne α . Zauważmy, że jeżeli zażądać, aby α = n, czyli aby wartości własne operatora ˆa†ˆa były liczbami naturalnymi, to działając n-krotnie operatorem ˆa na stan |n > dostaniemy stan |0i. Kolejne działanie operatorem ˆa da 0 , ponieważ wyzeruje się czynnik N−. Zatem stan

|0 > jest stanem podstawowym oscylatora harmonicznego. Wszystkie stany wzbudzone otrzymujemy poprzez wielokrotne działanie na stan |0 > operatorem ˆa†. Mamy zatem

ˆ a|n > =√n|n − 1 >, ˆ a†|n > =√n + 1|n + 1 >, ˆ a†ˆa|n > = n|n > . (9.16) Łatwo się przekonać, że unormowane stany |n > mają postać:

|n > = √1 n! ˆa

†
n

|0 > . (9.17)

Zgodnie z naszą notacją wprowadzoną w rozdziale ?? z operatorami ˆa i ˆa†możemy skojarzyć macierze ˆ a|n > X m |m > amn, ˆ a†|n > X m |m > a†_mn. (9.18)

Korzystając z (9.16) łatwo wykazać, że te nieskończenie wymiarowe macierze przyjmują następującą postać: a =        0 1 0 0 · · · 0 0 √2 0 . . . 0 0 0 √3 · · · 0 0 0 0 · · · .. . ... ... ... . ..        , a†=        0 0 0 0 · · · 1 0 0 0 . . . 0 √2 0 0 · · · 0 0 √3 0 · · · .. . ... ... ... . ..        , (9.19)

natomiast wektory |n > są w tej reprezentacji zwykłymi kolumnami o 1 na n-tym miejscu

|n >=      0 .. . 1 .. .      ← n-ta pozycja . (9.20)

Tę reprezentację stanów własnych oscylatora harmonicznego nazywamy reprezentacją ob-sadzeń, operatory ˆa i ˆa†noszą nazwę operatorów kreacji i anihilacji, albo jak już mówiliśmy obniżania i podnoszenia.

9.3

Własności przestrzenne stanów |n >

Patrząc na wzór (9.20) można odnieść wrażenie, że zgubiliśmy gdzieś informację o włas-nościach przestrzennych stanu kwantowego, gdyż wektory |n > są wektorami liczbowymi. Zauważmy jednak, że korzystając ze związków (9.16) możemy wyliczyć wszystkie włas-ności przestrzenne stanu kwantowego. W tym celu wyliczmy operator ˆx:

ˆ x = r ~ 2mω aˆ † + ˆa
, ˆ x2 = ~ 2mω aˆ † ˆ a†+ ˆaˆa†+ ˆa†a + ˆˆ aˆa
. (9.21)

Ponieważ operatory ˆa i ˆa† zmieniają stan obniżając lub podnosząc n:

ˆ x|n > = r ~ 2mω aˆ †_{|n > +ˆa|n >
=} r ~ 2mω √ n + 1|n + 1 > +√n|n − 1 >, (9.22) więc < m|ˆx|n > = r ~ 2mω √ n + 1δm,n+1+ √ nδm,n−1  . (9.23) Stąd: < n|ˆx|n > = 0. (9.24) Ten sam wynik otrzymalibyśmy w reprezentacji położeniowej wykonując całkę

+∞

Z

−∞

dx |ψ_n(x)|2x = 0, (9.25)

ponieważ |ψ_n(x)|2 _{jest symetryczną funkcją x. Spróbujmy policzyć średnie odchylenie}

kwadratowe x dla stanu podstawowego,

∆x2 = 1 2

~ mω. które dane jest wzorem:

< n|ˆx2|n > = ~ 2mω < n| ˆa † ˆ a†+ ˆaˆa + ˆa†a + ˆˆ aˆa†
|n > = ~ 2mω (n + n + 1) = ~ 2mω (2n + 1) . (9.26)

Dla n = 0 dostajemy znany nam już wzór (??). A zatem korzystając z (9.21) możemy wyliczyć wszystkie momenty przestrzennego rozkładu cząstki w stanie n. Podobnie możemy wyliczyć charakterystyki pędowe stanu |n >.

9.4

Średnie położenie

Wróćmy do wzoru (??). Mówi on, że w stanie własnym energii średnie położenie jest zero i nie zależy od czasu. Weźmy jednak dowolny stan

|ψ, ti =X n ane−iEnt/~|ni . (9.27) Wówczas hxi_ψ =X m,n a∗_mane−i(n−m)ωt< m|ˆx|n >, (9.28)

gdzie użyliśmy En = ~ω(n + 1/2). Mając na względzie (9.23) otrzymujemy

< m|ˆx|n > = r ~ 2mω √ n + 1δm,n+1+ √ nδm,n−1  hxi_ψ = r ~ 2mω X n=0 √ n + 1a∗_n+1aneiωt+ √ na∗_n−1ane−iωt  = r ~ 2mω X n=1 √ n a∗_nan−1eiωt+ a∗n−1ane−iωt
= X n Xncos(ωt + φj), (9.29)

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie r

~n 2mωa

∗

nan−1= Xneiφn. (9.30)

Zatem położenie hxi_ψ oscyluje sinusoidalnie (jak w klasycznym oscylatorze).

9.5

Zmiana reprezentacji

Ale możemy też, przy pomocy związku

ψ_α(x) = hx |αi

skonstruować funkcję falową w reprezentacji położeń. W tym celu skonstruujmy najpierw funkcję falową stanu podstawowego

ψ₀(x) = hx |0i . (9.31) Korzystając z faktu, że operator ˆa anihiluje stan podstawowy, napiszmy równanie różniczkowe na ψ₀: < x|ˆa|0 > = r mω 2~ < x|  ˆ x + i mωpˆ  |0i = 0. (9.32)

Zauważmy teraz, że: < x|  ˆ x + i mωpˆ  |0 > = +∞ Z −∞ dx0 < x|  ˆ x + i mωpˆ  |x0 _{>< x}0_{|0 >} = +∞ Z −∞ dx0  x0δ(x − x0) + i mω  −δ(x − x0_)i~ d dx0  ψ₀(x0) = +∞ Z −∞ dx0δ(x − x0)  x0+ ~ mω d dx0  ψ₀(x0) =  x + ~ mω d dx  ψ₀(x) = 0. (9.33)

Aby otrzymać ostatnie z równań (9.29) wykonaliśmy przez części całkę z pochodnej z δ(x − x0). Równanie (9.29) łatwo rozwiązać:

ψ₀(x) = N e−mω2~x 2

. (9.34)

Jest to rzeczywiście znana już nam funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora har-monicznego (??), gdzie N2 _=pmω/π~.

Na koniec wyliczmy funkcję ψ_n(x). W tym celu wygodnie jest wprowadzić nową zmi-enną ξ =r mω ~ x. Wówczas ˆ a = r 1 2  ξ + d dξ  , ˆa†= r 1 2  ξ − d dξ  .

Zauważmy, że działanie operatora ˆa† na dowolną funkcję f (ξ) daje się zapisać jako r 1 2  ξ − d dξ  f (ξ) = − r 1 2e 1 2ξ 2 d dξ  e−12ξ 2 f (ξ). (9.35) Dwukrotne działanie ˆa†
2 sprowadza się do

r 1 22  ξ − d dξ 2 f (ξ) = r 1 22(−) 2_e1₂ξ2 d dξ  e−12ξ 2 ξ − d dξ  f (ξ)  = r 1 22(−) 2_e1₂ξ2 d dξ d dξ  e−12ξ 2 f (ξ). (9.36) Stąd już dalsza indukcja jest oczywista:

r 1 2n  ξ − d dξ n f (ξ) = (−)n r 1 2ne 1 2ξ 2 dn dξn  e−12ξ 2 f (ξ). (9.37)

A zatem na mocy (9.17) ψ_n(x) = r 1 n!2n  ξ − d dξ n N e−12ξ 2 = N r 1 n!2n(−) n_e1₂ξ2 dn dξn  e−ξ2 = N e−12ξ 2 r 1 n!2n(−) n_eξ2 d n dξn  e−ξ2. (9.38)