Zadania z teorii pola I (zestaw 7 - środa, 24.11.2010)
41. Korzystając z wyników zadania 38 wyliczyć precesję peryhelim Merkurego. Wskazówki:
(a) Pokazać, że trajektoria planety obiegającej Słońce spełnia równanie 𝑑𝜙
𝑑𝑟 = 𝐽 𝑟2
[ 𝐸2−
(
1 − 2𝑀 𝑟
) ( 𝐽2 𝑟2 + 1
)]−1/2
.
(b) Całki ruchu (𝐸 i 𝐽) wyrazić przez parametry orbity:
2¯𝑟 = (𝑟−+ 𝑟+) oraz 1 𝑑 = 1
𝑟−
+1 𝑟+,
gdzie 𝑟− i 𝑟+ są radialnymi współrzędnymi peryhelium i aphelium orbity. Otrzymane wyrażenia rozwinąć w małym parametrze 𝜀 = 2𝑀/𝑑 z dokładnością 𝒪 (𝜀3) (tzn. zaniedbać wyrazy 𝜀3)
(c) Zdefiniować kąt precesji peryhelium planety na jeden obieg dookoła Słońca (tzn. do jed- nego peryhelium do drugiego) i wyliczyć precesję z dokladnością 𝒪 (𝜀2).
(d) Wyliczyć precesję peryhelium Merkurego dla jednego obiegu dookoła Słońca. Porównać z wynikami obserwacji.
42. Rakieta porusza się swobodnie po orbicie kołowej o promieniu 𝑟 = 7𝑀 w geometrii Schwarzschilda.
(a) Znaleźć okres obiegu orbity mierzony przez zegar w rakiecie i przez zegar w ∞.
(b) Przez przednią szybę z rakiety jest wystrzelony foton o częstości 𝜔. Jaką częstość fotonu zmierzy obserwator w ∞.
A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/
