"O tensorze prędkości w Szczególnej Teorii Względności"

Instytut Fizyki J¡drowej im. H. Niewodnicza«skiego

Polskiej Akademii Nauk

O tensorze pr¦dko±ci

w

Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci

Tomasz Lanczewski

Praca doktorska

wykonana w Zakªadzie Astrozyki Teoretycznej

pod kierunkiem doc. dr. hab. Andrzeja Horzeli

Spis tre±ci

1 Wst¦p 4

2 Kinematyka 7

2.1 Tensor pr¦dko±ci . . . 7

2.2 Konstrukcja tensora pr¦dko±ci . . . 10

2.3 Dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci . . . 12

2.3.1 Przypadek relatywistyczny . . . 12

2.3.2 Przypadek nierelatywistyczny . . . 14

2.4 Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci . . . 15

2.4.1 Przypadek relatywistyczny . . . 15

2.4.2 Przypadek nierelatywistyczny . . . 20

2.5 Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci . . . 21

2.5.1 Przypadek relatywistyczny . . . 21

2.5.2 Przypadek nierelatywistyczny . . . 25

3 Dynamika 27 3.1 Tensor p¦du . . . 27

3.2 Konstrukcja tensora p¦du . . . 28

3.3 Dwuwymiarowy tensor p¦du . . . 29

3.3.1 Przypadek nierelatywistyczny . . . 29

3.3.2 Przypadek relatywistyczny . . . 30

3.4 Trójwymiarowy tensor p¦du . . . 35

3.4.1 Przypadek nierelatywistyczny . . . 35

3.4.2 Przypadek relatywistyczny . . . 37

3.5 Czterowymiarowy tensor p¦du . . . 41

3.5.1 Przypadek nierelatywistyczny . . . 41

O tensorze pr¦dko±ci w STW Spis tre±ci

4 Wnioski 49

Podzi¦kowania

Niniejsza rozprawa nie powstaªaby, gdyby nie gª¦bokie zaanga»owanie prof. dr. hab. Edwarda Kapu±cika, z którym rozpocz¡ªem prac¦ nad zagadnienia-mi poruszonyzagadnienia-mi w tej pracy i uzyskaªem wiele interesuj¡cych wyników, oraz dr. hab. Andrzeja Horzeli, z którym to dzieªo rozwin¡ªem i doprowadziªem do szcz¦±liwego zako«czenia. Dzi¦kuj¦ obu Panom za opiek¦ naukow¡, po±wi¦-cony czas oraz cenne wskazówki, które byªy pomocne przy powstawaniu tej pracy i nadaniu jej ostatecznego ksztaªtu. Skªadam równie» podzi¦kowania za wszystkie naukowe dyskusje, które znacz¡co przyczyniªy si¦ do rozwoju mojej wiedzy w zakresie zyki.

Dzi¦kuj¦ tak»e Dyrektorowi Instytutu Fizyki J¡drowej PAN prof. dr. hab. Markowi Je»abkowi za wykazanie du»ego zrozumienia w kwestii przedªu»a-nia si¦ terminu obrony mojej pracy i zapewnienie mi doko«czeprzedªu»a-nia pisaprzedªu»a-nia niniejszej rozprawy w odpowiednich warunkach.

Moje podzi¦kowania kieruj¦ równie» pod adresem Przyjacióª i Bliskich, którzy nie zw¡tpili we mnie i w mo»liwo±¢ powstania tej pracy, a w najci¦»-szych momentach potrali przyj±¢ z pomoc¡, byli mi wsparciem i dodawali otuchy.

Rozpraw¦ t¦ dedykuj¦ moim Rodzicom. Dzi¦kuje mojemu Ojcu za naucze-nie mnaucze-nie wªasnym przykªadem naucze-niepoddawania si¦ w obliczu pojawiaj¡cych si¦ przeszkód i ustawicznego d¡»enia do obranego celu. Dzi¦kuj¦ mojej Matce za bezwarunkow¡ miªo±¢ i stworzenie wspaniaªej atmosfery domowej oraz za Jej niezmierzony trud wychowania mnie w lozoi poszukiwania Prawdy i Pi¦kna.

Rozdziaª 1

Wst¦p

Matematyczne podstawy mechaniki klasycznej zostaªy sformuªowane przez Izaaka Newtona w jego dziele Philosophiae Naturalis Principia Mathematica [1] opublikowanym 5 lipca 1687 roku. Dat¦ t¦ du»a cz¦±¢ naukowców uznaje za pocz¡tek ery nowoczesnej zyki. Fundamentem teorii Newtona staªy si¦ empiryczne odkrycia dokonane gªównie przez Galileusza i Keplera, jednak dopiero Newton w swoim dziele po raz pierwszy wprowadziª ±cisªy j¦zyk matematyki do opisu zjawisk zycznych. Za pomoc¡ podanych przez niego trzech praw dynamiki mo»na byªo wszystkim natenczas znanym zjawiskom mechanicznym przypisa¢ ogóln¡ posta¢ daj¡c¡ mo»liwo±¢ dokonywania prze-widywa« tak jako±ciowych, jak i ilo±ciowych. W tym celu wystarczyªo zna¢ pocz¡tkowe warto±ci parametrów opisuj¡cych dane zjawisko (czyli warunki pocz¡tkowe), aby znaj¡c równania ewolucji móc poda¢ stan danego ukªadu w dowolnej chwili czasu. Stworzyªo to mocn¡ podstaw¦ dla dynamicznego rozwoju zyki jako caªo±ci [2], jak równie» pozwoliªo na odkrywanie nowych, nieznanych wcze±niej zjawisk i efektów.

Teoria Newtona jest niezmiennicza wzgl¦dem transformacji Galileusza. Z chwil¡ powstania Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci pojawiªa si¦ potrzeba uogólnienia teorii Newtona w taki sposób, aby speªniony byª gªówny pos-tulat Einsteina [3, 4] o niezmienniczo±ci praw zyki wzgl¦dem transformacji Lorentza. Uzyskano to poprzez przyj¦cie w charakterze parametru ewolucji tzw. czasu wªasnego

dτ = dt

s

1 −v2(t)

c2 ,

gdzie t jest czasem wspóªrz¦dno±ciowym, v(t)  pr¦dko±ci¡ poruszania si¦ punktu materialnego, za± c  pr¦dko±ci¡ ±wiatªa. Gªównym mankamentem

O tensorze pr¦dko±ci w STW Wst¦p takiego powszechnie przyj¦tego podej±cia jest fakt, »e dla zmiennej w czasie pr¦dko±ci punktu materialnego czas wªasny mo»e nie by¢ jednostajnie rosn¡c¡ funkcj¡ czasu t (np. dla ruchów oscylacyjnych).

Celem niniejszej pracy jest sformuªowanie mechaniki w postaci tensorowej. Mówi¡c o mechanice mamy na my±li zarówno mechanik¦ klasyczn¡, jak i mechanik¦ zbudowan¡ na bazie Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci. W tym celu wprowadza si¦ obiekt zwany tensorem pr¦dko±ci [5]. Podstawowym zadaniem jest znalezienie ogólnych wªasno±ci tensora pr¦dko±ci oraz wyznaczenie jego postaci dla dwóch, trzech i czterech wymiarów czasoprzestrzennych. Tensor pr¦dko±ci ma podstawowe znaczenie w rozwi¡zaniu problemów kinematycz-nych. Nast¦pnie zostanie wprowadzona kolejna wielko±¢ tensorowa, jak¡ jest tensor p¦du konieczny do opisu procesów dynamicznych.

Zalety takiego formalizmu s¡ nast¦puj¡ce:

• Wyrugowanie z opisu ruchu czasu wªasnego, co pozwala opisa¢ ruchy niejednostajne oraz zagadnienia wielociaªowe w mechanice relatywis-tycznej, co do tej pory byªo mo»liwe tylko w wyj¡tkowych sytuacjach (tzn. kiedy wszystkie cz¡stki poruszaj¡ si¦ z takimi samymi pr¦dko±-ciami),

• Stworzenie mo»liwo±ci dla powstania ogólnie kowariantnej mechaniki klasycznej.

Praca dzieli si¦ na dwie gªówne cz¦±ci: kinematyczn¡ i dynamiczn¡. W cz¦±ci pierwszej wprowadzamy poj¦cie tensora pr¦dko±ci, znajdujemy ma-tematyczne wªa±ciwo±ci tego obiektu oraz dokonujemy jego konstrukcji w dwóch, trzech i czterech wymiarach czasoprzestrzennych. W drugiej cz¦±ci rozprawy konstruujemy tensor p¦du i opisujemy jego wªasno±ci oraz równa-nia ruchu wynikaj¡ce z jego zastosowarówna-nia dla czasoprzestrzeni rozwa»anych w przypadku tensora pr¦dko±ci. Prac¦ ko«czy podsumowanie uzyskanych przez nas wyników.

O tensorze pr¦dko±ci w STW Wst¦p W ninejszej pracy zostaªy przyj¦te nast¦puj¡ce zaªo»enia dotycz¡ce zapisu matematycznego:

1. Konwencja sumacyjna Einsteina [6]  przy sumowaniu po tym samym indeksie dolnym i górnym pomija si¦ znak sumy:

n

X

i=1

aibi := aibi.

2. Konwencja dotycz¡ca wka¹ników tensorowych  czterowymiarowe wska¹niki s¡ oznaczone za pomoc¡ liter alfabetu greckiego (np. xµ₎

i przyjmuj¡ warto±ci {0, 1, 2, 3}, natomiast dla oznaczenia indeksów trójwymiarowych stosuje si¦ litery alfabetu ªaci«skiego (np. vk₎

o warto±ciach {1, 2, 3}. Ponadto skªadowa x0 _{w opisie klasycznym}

zdeniowana jest jako

x0 := t,

natomiast w opisie relatywistycznym przyjmuje warto±¢

x0 := ct.

3. Notacja Schoutena [7] dotycz¡c¡ zapisu wska¹ników tensorowych w wielko±ciach transformowanych do innego ukªadu wspóªrz¦dnych  znakiem prim (') oznacza si¦ indeks, a nie liter¦ rdzeniow¡, np.:

xµ0 = S_νµ0xν.

4. Skrócona notacja relatywistyczna  u»ywane b¦d¡ wielko±ci bezwy-miarowe β oraz γ zdeniowane poni»ej:

β := v c, γ := q 1 1 −v2 c2 = √ 1 1 − β2.

Rozdziaª 2

Kinematyka

2.1 Tensor pr¦dko±ci

W mechanice klasycznej [8, 9] pr¦dko±¢ punktu materialnego v(t) zdenio-wana jest jako

v(t) = dx(t)

dt , (2.1)

gdzie x(t) jest wektorem wyznaczaj¡cym trajektori¦ poruszaj¡cego si¦ pun-ktu, a t jest wspóªrz¦dn¡ czasow¡ (tzw. czasem wspóªrz¦dno±ciowym) w pewnym wybranym inercjalnym ukªadzie odniesienia. Z denicji, pr¦dko±¢ punktu materialnego jest wektorem stycznym do trajektorii tego punktu.

W Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci poj¦cie trójwymiarowej pr¦dko±ci v(t) zostaªo uogólnione poprzez wprowadzenie czteropr¦dko±ci

uµ(τ ) = dx

µ_{(τ )}

dτ , (2.2)

gdzie poªo»enie punktu materialnego zadane jest czterema funkcjami xµ_{(τ )}

sparametryzowanymi tzw. czasem wªasnym τ

dτ = dt

s

1 −v2(t)

c2 . (2.3)

Czas wªasny jest czasem w ukªadzie spoczynkowym punktu materialnego, natomiast wspóªrz¦dna czasowa t jest czasem wspóªrz¦dno±ciowym w ukªa-dzie inercjalnym, w którym znajduje si¦ obserwator. Poprzez zale»no±¢ od pr¦dko±ci punktu materialnego, czas wªasny τ jest ró»ny dla punktów ma-terialnych poruszaj¡cych si¦ z ró»nymi pr¦dko±ciami. Równie» w przypadku

O tensorze pr¦dko±ci w STW Tensor pr¦dko±ci ruchów niejednostajnych czas wªasny nie jest jednostajnie rosn¡c¡ funkcj¡ czasu wspóªrz¦dno±ciowego t. Tylko w przypadku punktów materialnych poruszaj¡cych si¦ ruchem jednostajnym czas wªasny pokrywa si¦ z czasem wspóªrz¦dno±ciowym w jednym ukªadzie odniesienia (ukªadzie spoczynkowym poruszaj¡cego si¦ punktu materialnego). Dodatkowo, dla ukªadów wielo-cz¡stkowych trajektorie cz¡stek s¡ parametryzowane przez ró»ne czasy wªasne i dlatego bardzo trudno jest opisa¢ oddziaªywania pomi¦dzy cz¡stkami bez wprowadzenia pól oddziaªywa«. Z tego powodu mechanika relatywistyczna nie dostarcza tak jasnego opisu zjawisk, z jakim mamy do czynienia w przy-padku mechaniki klasycznej.

Istnieje jednak inny sposób [5] na przej±cie od mechaniki newtonowskiej do mechaniki relatywistycznej, który nie jest oparty na równaniu (2.2). Šatwo zauwa»y¢, »e równanie (2.1) przepisane w postaci

dx(t) = v(t)dt (2.4) mo»na przeksztaªci¢ do v(t) c cdt − dx(t) = 0 lub β(t)dx0− dx(t) = 0, (2.5) gdzie β(t) = v(t)

c . Równanie (2.5) jest liniowym zwi¡zkiem pomi¦dzy

ró»-niczkami dxµ_{. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e zwi¡zek ten jest speªniony tylko}

dla punktów le»¡cych na trajektorii ruchu. Uogólnienie tego wzoru polega¢ b¦dzie na wprowadzeniu relacji tensorowej pomi¦dzy ró»niczkami wspóªrz¦d-nych w postaci

Vµ

ν (β)dxν = 0, (2.6)

gdzie wprowadzone zostaªo mieszane pole tensorowe Vµ

ν (β). Tensor ten

nazy-wa¢ b¦dziemy od tej pory tensorem pr¦dko±ci. W zapisie macierzowym przyj-muje on posta¢       V0 0(β) V10(β) · · · Vn0(β) V1 0(β) V11(β) · · · Vn1(β) ... ... ... ... Vn 0 (β) V1n(β) · · · Vnn(β)             dx0 dx1 ... dxn      = 0,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Tensor pr¦dko±ci Równanie (2.6) mo»emy równie» traktowa¢ jako równanie wªasne macierzy

V:

V_νµ(β)dxν = λdxν (2.7)

do warto±ci wªasnej równej 0 z wektorem wªasnym dxν_{. Równanie (2.7)}

prowadzi do równania sekularnego (wiekowego) [10, 11] postaci

n

X

j=0

(−λ)n−jT rjV = 0, (2.8)

gdzie n jest liczb¡ wymiarów przestrzennych, a T rjV to suma diagonalnych

minorów j-tego rz¦du:

T r0V := 1

T r1V := trV

...

T rnV := detV .

Równanie (2.8) sªu»y do wyznaczania wszystkich warto±ci wªasnych macierzy

V. Nale»y tutaj zaznaczy¢, »e b¦dziemy poszukiwa¢ takiego tensora pr¦d-ko±ci, którego wszystkie warto±ci wªasne s¡ równe 0. W ogólno±ci, równanie (2.8) mo»e posiada¢ n ró»nych warto±ci wªasnych λ1, . . . , λn, gdy» jest

wielo-mianem n-tego stopnia w λ. Jednak ze wzgl¦du na fakt, »e ró»ne warto±ci wªasne dawaªyby nam ró»ne zale»no±ci pomi¦dzy wspóªrz¦dnymi dx0_{oraz dx,}

co prowadziªoby do ró»nych równa« ruchu, »¡damy, aby istniaªa tylko jedna n-krotnie zdegenerowana warto±¢ wªasna λ = 0. Oznacza to, »e równanie (2.8) powinno sprowadzi¢ si¦ do relacji

λn= 0. (2.9)

Aby (2.9) byªo speªnione, wszystkie wspóªczynniki dla ni»szych pot¦g λ w sumie (2.8) musz¡ by¢ równe 0, sk¡d otrzymujemy warunki na sumy dia-gonalnych minorów

T rjV = 0 (2.10)

dla wszystkich j = 1, . . . , n. Powy»sze warunki odegraj¡ wa»n¡ rol¦ podczas wyznaczania ksztaªtu macierzy tensora pr¦dko±ci w nast¦pnych rozdziaªach. Posta¢ (2.6) posiada oczywist¡ zalet¦ w porównaniu z (2.1) i (2.2), gdy» nie wykorzystuje »adnego parametru ewolucji i dlatego mo»e by¢ stosowana

O tensorze pr¦dko±ci w STW Konstrukcja tensora pr¦dko±ci w ukªadach o dowolnej liczbie punktów materialnych poprzez uogólnienie (2.6) do ukªadu równa«

V_νµ(βa)dxνa = 0, (2.11)

gdzie indeks a oznacza ró»ne punkty materialne.

Dla ka»dego zdarzenia w czasoprzestrzeni tensor pr¦dko±ci (ró»ny dla ró»nych punktów) poprzez równanie (2.6) wyznacza innitezymalne kierunki, wzdªu» których punkt materialny znajduj¡cy si¦ w tym zdarzeniu mo»e si¦ porusza¢. Dodatkowo, ze wzgl¦du na swój charakter tensorowy, prawo trans-formacyjne tensora pr¦dko±ci przy przej±ciu mi¦dzy inercjalnymi ukªadami odniesienia mo»na zapisa¢ w postaci

V → V0 _{= LV L}−1_{, (2.12)}

gdzie L jest macierz¡ transformacji. Wzór (2.12) oznacza, »e macierz tensora pr¦dko±ci podlega przeksztaªceniu podobno±ciowemu. Wiadomo za± [12], »e przy przeksztaªceniach podobno±ciowych sumy diagonalnych minorów T rjV

pozostaj¡ niezmiennicze, a wi¦c warunki (2.10) s¡ takie same w ka»dym ukªadzie odniesienia. S¡ one równie» niezmiennicze ze wzgl¦du na dowolne zmiany wspóªrz¦dnych czasoprzestrzennych. Dlatego mog¡ by¢ u»yte do sfor-muªowania ogólnie kowariantnego planu dla mechaniki klasycznej.

2.2 Konstrukcja tensora pr¦dko±ci

W niniejszym rozdziale zostanie zaprezentowana ogólna metoda konstrukcji tensora pr¦dko±ci. B¦dziemy z niej korzysta¢ wyprowadzaj¡c postaci tego tensora dla przypadku dwuwymiarowego, trójwymiarowego i czterowymia-rowego. Nie wprowadzamy tutaj jakiejkolwiek szczególnej postaci transfor-macji (np. transfortransfor-macji Galileusza lub Lorentza), a jedynie zakªadamy jej liniowo±¢.

Rozwa»my zatem liniow¡ transformacj¦ przeprowadzaj¡c¡ pewien ukªad wspóªrz¦dnych S opisywany wspóªrz¦dnymi xµ _{do ukªadu S}0 _opisywanego

wspóªrz¦dnymi xµ0

i poruszaj¡cego si¦ wzgl¦dem S z pr¦dko±ci¡ u:

xµ→ xµ0 = Lµ_ν0(u) xν (2.13)

oraz transformacj¦ do niej odwrotn¡, czyli przeprowadzaj¡c¡ ukªad S0

w ukªad S: xα0 → xα _{= L}α β0(−u) xβ 0 , (2.14)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Konstrukcja tensora pr¦dko±ci gdzie α, β, µ, ν ∈ {0, 1, 2, 3}. Z równa« (2.13) oraz (2.14) wynika równie», »e

L(−u) = L−1_{(u). (2.15)}

Zastosujemy teraz transformacj¦ Lν

µ do tensora pr¦dko±ci Vµν. Przechodz¡c

z inercjalnego ukªadu odniesienia S do ukªadu S0 _{poruszaj¡cego si¦ wzgl¦dem}

S z pr¦dko±ci¡ u tensor pr¦dko±ci przyjmuje ksztaªt

V_νµ(v) → V_νµ00(v0) = Lµ 0

µ(u)Vνµ(v)Lνν0(u),

lub w postaci macierzowej

V0 _{→ V}0_(v0_{) = L (u) V (v)L}−1_{(u) = L (u) V (v)L (−u) , (2.16)}

gdzie ostatnia równo±¢ wynika wprost z równania (2.15), za± v0 _oznacza

pr¦d-ko±¢ punktu materialnego w ukªadzie S0_{. Nasze podstawowe zaªo»enie}

za-wiera si¦ w »¡daniu, aby funkcyjna posta¢ tensora pr¦dko±ci byªa taka sama  czyli form-niezmiennicza  dla ka»dego ukªadu wspóªrz¦dnych. Zaªo»e-nie to wynika wprost z oczywistego faktu, »e zale»no±¢ tensora pr¦dko±ci od klasycznej pr¦dko±ci powinna by¢ identyczna w ka»dym ukªadzie odniesienia. Oznacza to, »e

V0(v0) = V (v0). (2.17)

W ten sposób prawo transformacyjne (2.16) staje si¦ ukªadem równa« funk-cjonalnych dla elementów macierzowych macierzy V . Aby otrzyma¢ to rów-nanie w jawnej postaci, zauwa»my »e skªadowe pr¦dko±ci transformuj¡ si¦ w nast¦puj¡cy sposób vk0 = L k0 0 (u) + Lk 0 j (u) vj L0 0(u) + L0j(u) vj . (2.18)

Powy»szy wzór wynika z faktu, »e ró»niczki wspóªrz¦dnych dxν _{transformuj¡}

si¦ nast¦puj¡co: dxµ0 = Lµ0 ν (u)dxν, a zatem dx00 = L0_ν0(u)dxν oraz dxk0 = Lk_ν0(u)dxν,

dzi¦ki czemu dostaniemy, »e

vk0 = dxk 0 dx00 = Lk0 ν (u)dxν L00 ν(u)dxν = L k0 0 (u)dx0+ Lk 0 j (u)dxj L00 0(u)dx0+ L0 0 j (u)dxj , (2.19)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci a po podzieleniu licznika i mianownika przez dx0 _{otrzymujemy (2.18). Zatem}

podstawiaj¡c (2.18) do (2.16) z uwzgl¦dnieniem (2.17) otrzymamy równania funkcjonalne w jawnej postaci

V (v0_{) = L (u) V (v) L (−u) . (2.20)}

Rozwi¡zania tych równa« znajdujemy stosuj¡c standardow¡ metod¦. Naj-pierw do (2.19) podstawiamy v = 0 (vj _{= 0) i otrzymujemy wektor v}0

o skªadowych vk0 = Lk 0 0(u) L00 0(u) . _(2.21)

Bior¡c pod uwag¦, »e w primowanym ukªadzie odniesienia cz¡stka spoczywa-j¡ca w ukªadzie nieprimowanym (dla której v = 0) porusza si¦ z pr¦dko±ci¡

−u _otrzymujemy

vk0

= −uk_,

sk¡d

V (−u) = L (u) V (0) L (−u) . _(2.22)

Kolejnym krokiem jest zamiana w (2.22) znaków pr¦dko±ci u → −u:

V (u) = L (−u) V (0) L (u) ,

a na koniec zamieniamy u na v, w rezultacie otrzymuj¡c

(v) = L (−v) V (0)L (v) , (2.23)

gdzie macierz V (0) po prawej stronie powy»szego równania skªada si¦ wy-ª¡cznie ze staªych elementów Vµ

ν (0)niezale»nych od pr¦dko±ci. Warto±ci tych

wspóªczynników zostan¡ wyznaczone z dodatkowych warunków, które musi speªnia¢ tensor pr¦dko±ci.

2.3 Dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci

2.3.1 Przypadek relatywistyczny

Wyznaczenie ksztaªtu tensora pr¦dko±ci b¦dzie polega¢ na wykorzystaniu wszystkich wªasno±ci tensora pr¦dko±ci omówionych w poprzednich rozdzia-ªach. Analiz¦ rozpoczniemy od najprostszego przypadku dwuwymiarowego tensora pr¦dko±ci. Jak si¦ oka»e, rozwi¡zanie problemu dwuwymiarowego

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci bardzo uªatwi otrzymanie tensorów pr¦dko±ci w wy»ej wymiarowych czaso-przestrzeniach.

Rozpoczynaj¡c rozwa»ania dotycz¡ce tensora pr¦dko±ci w czasoprzestrzeni dwuwymiarowej zakªadamy ogóln¡ posta¢ macierzy kwadratowej 2 × 2 jako reprezentacj¦ takiego tensora:

V (β) = Ã V0 0(β) V10(β) V1 0(β) V11(β) ! , (2.24)

gdzie elementy powy»szej macierzy s¡ funkcjami pr¦dko±ci v ³β = v c

´

. Bior¡c pod uwag¦, »e macierz transformacji Lorentza dla dwuwymiarowej czaso-przestrzeni [13] ma posta¢ L(β) = γ Ã 1 −β −β 1 ! ,

gdzie γ = (1 − β2₎−1/2_{, z równania (2.23) wynika, »e macierz tensora}

pr¦d-ko±ci przyjmie ksztaªt

V (β) = γ2 Ã 1 β β 1 ! Ã V0 0 V10 V1 0 V11 ! Ã 1 −β −β 1 ! , (2.25)

gdzie wszystkie elementy Vµ

ν s¡ staªe. Po wykonaniu mno»enia macierzowego

tensor pr¦dko±ci mo»na przedstawi¢ jako

V (β) = γ2 Ã V0 0 + β (V01− V10) − β2V11 V10+ β (V11− V00) − β2V01 V1 0 + β (V00− V11) − β2V10 V11+ β (V10− V01) − β2V00 ! , (2.26) gdzie staªe elementy V0

0, V10, V01 oraz V11 zostan¡ wyznaczone z dodatkowych

warunków, jakie musi speªnia¢ tensor pr¦dko±ci. Šatwo zauwa»y¢, »e wszys-tkie dodatkowe warunki omówione w rozdziale 2.1 nie zale»¡ od warto±ci β. Wynika to z faktu, »e V (β) zwi¡zana jest z V (0) transformacj¡ podobno±-ciow¡ (2.25), a warunki przyj¦te w rozdziale 2.1 s¡ niezmiennicze wzgl¦dem takich transformacji. Dla przypadku β = 0 powinien by¢ speªniony warunek

dx1 _{= 0, czyli wektor}

Ã

dx0

0 !

jest wektorem wªasnym macierzy V (0). Otrzymujemy zatem à V0 0 V10 V1 0 V11 ! à dx0 0 ! = 0, (2.27)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci sk¡d wynika, »e

V0

0dx0 = 0 oraz V01dx0 = 0

dla dowolnego dx0_{, czyli}

V₀0 = V₀1 = 0. (2.28)

Dodatkowo, wykorzystuj¡c warunek (2.10) otrzymujemy, »e

trV = 0 ⇒ V₀0+ V₁1 = 0, (2.29) co w poª¡czeniu z (2.28) daje warto±¢ V1

1 = 0. Zatem po podstawieniu

wyz-naczonych powy»ej warto±ci staªych parametrów macierz (2.26) przyjmuje posta¢ V (β) = γ2 Ã −βV0 1 V10 −β2_V0 1 βV10 ! = γ2_V0 1 Ã −β 1 −β2 _β ! , _(2.30) gdzie V0

1 jest dowoln¡ liczb¡ ró»n¡ od zera. Korzystaj¡c z tej postaci tensora

pr¦dko±ci oraz ze wzoru (2.6) otrzymujemy, »e

dx1 _{= βdx}0_.

Warto zauwa»y¢, »e otrzymana macierz V (β) jest macierz¡ nilpotentn¡ [12], gdy» speªnia warunek

V2_{(β) = 0.}

Oznacza to m.in., »e równanie (2.6) po pomno»eniu przez Vµ

ν (β) sprowadza

si¦ do to»samo±ci 0 = 0.

2.3.2 Przypadek nierelatywistyczny

Dla porównania, przeprowadzaj¡c takie samo rozumowanie dla transformacji Galileusza G(v) = Ã 1 0 −v 1 ! z równania (2.23) otrzymamy V (v) = Ã 1 0 v 1 ! Ã V0 0 V10 V1 0 V11 ! Ã 1 0 −v 1 ! ,

a zatem po wykonaniu mno»enia macierzowego macierz tensora V (v) przyjmie posta¢ V (v) = Ã V0 0 − vV10 V10 V1 0 + v(V00 − V11) − v2V10 V11+ vV10 ! .

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci Bior¡c pod uwag¦ warunki opisywane równaniami (2.28) i (2.29) otrzymu-jemy, »e V (v) = Ã −vV0 1 V10 −v2_V0 1 vV10 ! = V₁0 Ã −v 1 −v2 _v ! . (2.31)

I tym razem macierz tensora pr¦dko±ci jest macierz¡ nilpotentn¡.

Nale»y równie» zaznaczy¢, »e w przypadku nierelatywistycznym nie u»y-wamy zmiennej x0 _{= ct, lecz zmiennej x}0 _{= t. Prowadzi to do innej}

wymia-rowo±ci odpowiednich tensorów pr¦dko±ci. Przej±cia od relatywistycznego (2.30) do nierelatywistycznego tensora (2.31) nie mo»na uzyska¢ drog¡ przej-±cia granicznego c → ∞, lecz prostym podstawieniem

γ = 1, β = v. (2.32)

2.4 Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci

2.4.1 Przypadek relatywistyczny

Konstruuj¡c tensor pr¦dko±ci dla trójwymiarowej czasoprzestrzeni b¦dziemy korzysta¢ z zasady redukcji, która mówi, »e przy redukcji rozmaito±ci n-wymiarowej do rozmaito±ci ni»ej wymiarowej tensor pr¦dko±ci musi przyj¡¢ posta¢ wyprowadzon¡ dla przestrzeni ni»ej wymiarowej. Tutaj zatem naszym gªównym zaªo»eniem b¦dzie fakt, »e trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci musi da¢ si¦ sprowadzi¢ do tensora dwuwymiarowego w przypadku, gdy pr¦dko±¢ w jednym kierunku przestrzennym b¦dzie znika¢.

Ogólna posta¢ macierzy tensora pr¦dko±ci 3 × 3 ma ksztaªt

V (β) =    V0 0(β) V10(β) V20(β) V1 0(β) V11(β) V21(β) V2 0(β) V12(β) V22(β)   , (2.33) gdzie Vµ ν (β) := Vνµ(βx, βy).

Na pocz¡tku zauwa»my, »e ze wzgl¦du na fakt, i» dxµ _{= (dx}0_{, 0, 0) jest}

wektorem wªasnym macierzy tensora pr¦dko±ci dla β = 0, z równania    V0 0(0) V10(0) V20(0) V1 0(0) V11(0) V21(0) V2 0(0) V12(0) V22(0)       dx0 0 0   = 0 (2.34)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci wynika, »e V0

0(0) = V01(0) = V02(0) = 0, gdy» równanie (2.34) musi by¢

speªnione dla dowolnego dx0_{. Zatem V (0) przyjmie form¦}

V (0) =    0 V0 1 V20 0 V1 1 V21 0 V2 1 V22   . (2.35)

Bior¡c pod uwag¦, »e trójwymiarowa macierz transformacji Lorentza [13] ma posta¢ L(β) =         γ −γβx −γβy −γβx 1 + δβx2 δβxβy −γβy δβxβy 1 + δβy2         , gdzie δ = γ−1

β2 , z równania (2.23) otrzymujemy, »e

V (β) =         γ γβx γβy γβx 1 + δβx2 δβxβy γβy δβxβy 1 + δβy2                 0 V0 1 V20 0 V1 1 V21 0 V2 1 V22                 γ −γβx −γβy −γβx 1 + δβx2 δβxβy −γβy δβxβy 1 + δβy2         , (2.36)

czyli poszczególne skªadowe s¡ dane nast¦puj¡cymi wyra»eniami:

V0 0(β) = −γ2βx ³ V0 1 + βxV11+ βyV12 ´ −γ2βy ³ V₂0+ βxV21+ βyV22 ´ , (2.37) V₁0(β) = γ³1 + δβ_x2´ ³V₁0+ βxV11+ βyV12 ´ +γ (δβxβy) ³ V0 2 + βxV21+ βyV22 ´ , (2.38)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci V0 2(β) = γ ³ 1 + δβ2 y ´ ³ V0 2 + βxV21+ βyV22 ´ +γ (δβxβy) ³ V0 1 + βxV11+ βyV12 ´ , (2.39) V1 0(β) = −γβx h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12 i −γβy h γβxV20+ ³ 1 + δβ_x2´V₂1+ δβxβyV22 i , (2.40) V₁1(β) = ³1 + δβ_x2´ hγβxV10+ ³ 1 + δβ_x2´V₁1+ δβxβyV12 i +δβxβy h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22 i , (2.41) V1 2(β) = δβxβy h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12 i +³1 + δβ2 y ´ h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22 i , (2.42) V2 0(β) = −γβx h γβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 1 i −γβy h γβyV20 + δβxβyV21+ ³ 1 + δβ_y2´V₂2i, (2.43) V₁2(β) = ³1 + δβ_x2´ hγβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ_y2´V₁2i +δβxβy h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 i , (2.44) V2 2(β) = δβxβy h γβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 1 i +³1 + δβ2 y ´ h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 i . (2.45) Dokonamy teraz analizy powy»szych wyra»e« w oparciu o zasad¦ re-dukcji, która mówi, »e przy sprowadzeniu ruchu w trzech wymiarach do ruchu w dwóch wymiarach, czyli je±li β = (β, 0) lub β = (0, β), odpowiadaj¡ce so-bie elementy macierzy (2.24) i (2.33) musz¡ by¢ soso-bie równe.

Aby zasada redukcji byªa speªniona, w wyra»eniu na V0

0(β)w (2.37) staªe

V1

1 i V22 musz¡ znika¢, gdy» w przeciwnym razie element V00(β)b¦dzie

zawie-raª wyrazy kwadratowe w β, których nie zawiera odpowiedni element V0 0(β)

w dwuwymiarowej czasoprzestrzeni. Dodatkowo, poniewa» suma wszystkich diagonalnych minorów drugiego rz¦du ma si¦ równa¢ zeru, minor drugiego

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci rz¦du _¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 V1 2 V2 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

macierzy (2.35) musi znika¢, poniewa» pozostaªe diagonalne minory drugiego rz¦du s¡ równe 0. Oznacza to, »e co najmniej jeden z elementów V1

2 lub V12

ma warto±¢ równ¡ zero.

We¹my teraz pod uwag¦ transformacj¦ obrotu O(α) dan¡ macierz¡

O(α) =    1 0 0 0 cos α sin α 0 − sin α cos α   . (2.46)

Poddaj¡c transformacji obrotu macierz tensora pr¦dko±ci dla β = 0, z odpowied-nika równania (2.23) dla obrotu o k¡t α otrzymujemy

V (α) =    1 0 0 0 cos α − sin α 0 sin α cos α       0 V0 1 V20 0 0 V1 2 0 V2 1 0       1 0 0 0 cos α sin α 0 − sin α cos α   , (2.47) sk¡d wynika, »e V (α) =                0 V10cos α −V0 2 sin α V0 1 sin α +V0 2 cos α 0 −V21sin α cos α −V2 1 sin α cos α V1 2 cos2α −V2 1 sin2α 0 −V21sin2α +V2 1 cos2α V1 2 sin α cos α +V2 1 sin α cos α                . (2.48)

Posta¢ macierzy (2.48) wyra¹nie wskazuje na fakt, »e ewentualnie niezeru-j¡cy si¦ element V1

2 lub V12 nie jest geometrycznym obiektem znanym z teorii

reprezentacji grupy obrotów, gdy» nie transformuje si¦ jak skalar. Nale»y zatem zaªo»y¢, »e obie staªe V1

2 oraz V12 musz¡ znika¢. Zatem ostatecznie

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci posta¢ V (β) =                −γ2_(β xV10+ βyV20) γ(1 + δβ2 x)V10 +γδβxβyV20 γ(1 + δβ2 y)V20 +γδβxβyV10 −γ2_β x(βxV10+ βyV20) γβx(1 + δβx2)V10 +γδβ2 xβyV20 γβx(1 + δβy2)V20 +γδβ2 xβyV10 −γ2_β y(βxV10+ βyV20) γβy(1 + δβx2)V10 +γδβxβy2V20 γβy(1 + δβy2)V20 +γδβxβy2V10                . (2.49) Równocze±nie z (2.48) wynika, »e elementy V0

1 i V20s¡ skªadowymi pewnego

wektora wzgl¦dem grupy obrotów. Oznaczaj¡c ten wektor przez W , posta¢ macierzy (2.49) mo»na zapisa¢ bardziej przejrzy±cie jako

V (β) =         −γ2_{βW γ (V}0 1 + δβxβW ) γ (V20+ δβyβW ) −γ2_β xβW γβx(V10+ δβxβW ) γβx(V20+ δβyβW ) −γ2_β yβW γβy(V10+ δβxβW ) γβy(V20+ δβyβW )         , (2.50) gdzie βW = βxV10+βyV20. Oznacza to, »e równanie Vνµ(β) dxν = 0sprowadza

si¦ do jednego równania

−γ2_{βW dx}0_{+ γ}³_V0 1 + δβxβW ´ dx1_{+ γ}³_V0 2 + δβyβW ´ dx2 _{= 0,}

które musi by¢ speªnione dla dowolnego wektora W . Przyjmuj¡c zatem

W = (0, V0 2) dostajemy γβyV20dx0 + δβxβyV20dx1+ ³ V0 2 + δβy2V20 ´ dx2 _{= 0,} natomiast dla W = (V0 1, 0) mamy γβxV10dx0+ ³ V0 1 + δβx2V10 ´ dx1_{+ δβ} xβyV10dx2 = 0. Po uproszczeniu przez γV0

2 oraz γV10 dostajemy ukªad równa«

δβxβydx1+ ³ 1 + δβ2 y ´ dx2 _{= γβ} ydx0, ³ 1 + δβ2 x ´ dx1_{+ δβ} xβydx2 = γβxdx0,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor pr¦dko±ci którego rozwi¡zaniami s¡

dx1 = βxdx0 oraz dx2 = βydx0. (2.51)

Jak zatem wida¢, formalizm tensora pr¦dko±ci odtwarza relacj¦ (2.4). Šatwo mo»na równie» sprawdzi¢, »e macierz (2.50) jest macierz¡ nilpotentn¡.

2.4.2 Przypadek nierelatywistyczny

W przypadku transformacji Galileusza jej macierz w trójwymiarowej czaso-przestrzeni ma posta¢ G(v) =    1 0 0 −vx 1 0 −vy 0 1   .

Post¦puj¡c analogicznie jak w przypadku relatywistycznym otrzymujemy nast¦puj¡c¡ posta¢ macierzy tensora pr¦dko±ci dla przypadku nierelatywisty-cznego V (v) =    −(vxV10+ vyV20) V10 V20 −vx(vxV10+ vyV20) vxV10 vxV20 −vy(vxV10+ vyV20) vyV10 vyV20    lub w skróconym zapisie

V (v) =    −vW V0 1 V20 −vxvW vxV10 vxV20 −vyvW vyV10 vyV20   , (2.52)

gdzie vW = vxV10+vyV20. Równie» i w tym przypadku z dowolno±ci

dwuwek-tora W z równania (2.6) wynikaj¡ dwa zwi¡zki typu (2.51).

Na koniec naszych rozwa»a« dotycz¡cych trójwymiarowego tensora pr¦d-ko±ci nale»y zaznaczy¢, »e macierz relatywistycznego tensora (2.50) w granicy nierelatywistycznej, czyli przy zaªo»eniu, »e c → ∞, nie sprowadza si¦ do macierzy (2.52). Przej±cie od relatywistycznego (2.50) do nierelatywisty-cznego tensora (2.52) uzyskuje si¦ podstawiaj¡c w (2.50)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci

2.5 Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci

2.5.1 Przypadek relatywistyczny

Tworz¡c czerowymiarowy tensor pr¦dko±ci b¦dziemy przeprowadza¢ analo-giczne rozumowanie, jak w poprzednim rozdziale. B¦dziemy równie» korzys-ta¢ z zasady redukcji.

Ogólny ksztaªt czterowymiarowego tensora pr¦dko±ci dany jest macierz¡ 4 × 4 postaci V (β) =      V0 0(β) V10(β) V20(β) V30(β) V1 0(β) V11(β) V21(β) V31(β) V2 0(β) V12(β) V22(β) V32(β) V3 0(β) V13(β) V23(β) V33(β)     , (2.54) gdzie Vµ ν (β) := Vνµ(βx, βy, βz).

Poniewa» wektor (dx0_{, 0, 0, 0) jest wektorem wªasnym macierzy (2.54) dla}

β = 0, zatem      V0 0(0) V10(0) V20(0) V30(0) V1 0(0) V11(0) V21(0) V31(0) V2 0(0) V12(0) V22(0) V32(0) V3 0(0) V13(0) V23(0) V33(0)           dx0 0 0 0     = 0, (2.55)

co natychmiast implikuje, »e V0

0(0) = V01(0) = V02(0) = V03(0) = 0, gdy»

ukªad równa« (2.55) musi by¢ speªniony dla dowolnego dx0_{. Zatem macierz}

(2.54) przyjmie posta¢ V (0) =      0 V0 1 V20 V30 0 V1 1 V21 V31 0 V2 1 V22 V32 0 V3 1 V23 V33     . (2.56)

Nast¦pnie, korzystaj¡c ze wzoru (2.23) oraz czterowymiarowej postaci trans-formacji Lorentza [13] L(β) =              γ −γβx −γβy −γβz −γβx 1 + δβx2 δβxβy δβxβz −γβy δβxβy 1 + δβy2 δβyβz −γβz δβxβz δβyβz 1 + δβz2              ,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci gdzie δ = γ−1 β2 , otrzymamy V (β) =              γ γβx γβy γβz γβx 1 + δβx2 δβxβy δβxβz γβy δβxβy 1 + δβy2 δβyβz γβz δβxβz δβyβz 1 + δβz2                           0 V0 1 V20 V30 0 V1 1 V21 V31 0 V2 1 V22 V32 0 V3 1 V23 V33                           γ −γβx −γβy −γβz −γβx 1 + δβx2 δβxβy δβxβz −γβy δβxβy 1 + δβy2 δβyβz −γβz δβxβz δβyβz 1 + δβz2              . (2.57)

Po wykonaniu mno»enia powy»szych macierzy ostatecznie otrzymamy nast¦pu-j¡ce elementy macierzy V (β):

V₀0(β) = −γ2βx ³ V₁0+ βxV11+ βyV12+ βzV13 ´ −γ2βy ³ V₂0+ βxV21 + βyV22+ βzV23 ´ −γ2_β z ³ V0 3 + βxV31+ βyV32+ βzV33 ´ , V₁0(β) = γ³1 + δβ_x2´ ³V₁0+ βxV11+ βyV12+ βzV13 ´ +γδβxβy ³ V₂0+ βxV21+ βyV22+ βzV23 ´ +γδβxβz ³ V0 3 + βxV31+ βyV32+ βzV33 ´ , V₂0(β) = γδβxβy ³ V₁0+ βxV11+ βyV12+ βzV13 ´ +γ³1 + δβ_y2´ ³V₂0+ βxV21+ βyV22+ βzV23 ´ +γδβyβz ³ V₃0+ βxV31+ βyV32+ βzV33 ´ ,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci V0 3(β) = γδβxβz ³ V0 1 + βxV11+ βyV12+ βzV13 ´ +γδβyβz ³ V0 2 + βxV21+ βyV22+ βzV23 ´ +γ³1 + δβ2 z ´ ³ V0 3 + βxV31+ βyV32+ βzV33 ´ , V1 0(β) = −γβx h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12+ δβxβzV13 i −γβy h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22+ δβxβzV23 i −γβz h γβxV30 + ³ 1 + δβ2 x ´ V1 3 + δβxβyV32 + δβxβzV33 i , V1 1(β) = γ ³ 1 + δβ2 x ´ h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12+ δβxβzV13 i +γδβxβy h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22+ δβxβzV23 i +γδβxβz h γβxV30+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 3 + δβxβyV32 + δβxβzV33 i , V1 2(β) = γδβxβy h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12+ δβxβzV13 i +γ³1 + δβ2 y ´ h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22+ δβxβzV23 i +γδβyβz h γβxV30+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 3 + δβxβyV32+ δβxβzV33 i , V1 3(β) = γδβxβz h γβxV10+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 1 + δβxβyV12+ δβxβzV13 i +γδβyβz h γβxV20+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 2 + δβxβyV22+ δβxβzV23 i +γ³1 + δβ2 z ´ h γβxV30+ ³ 1 + δβ2 x ´ V1 3 + δβxβyV32+ δβxβzV33 i , V₀2(β) = −γβx h γβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ_y2´V₁2+ δβyβzV13 i −γβy h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 + δβyβzV23 i −γβz h γβyV30+ δβxβyV31 + ³ 1 + δβ2 y ´ V2 3 + δβyβzV33 i , V₁2(β) = γ³1 + δβ_x2´ hγβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ_y2´V₁2+ δβyβzV13 i +γδβxβy h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 + δβyβzV23 i +γδβxβz h γβyV30+ δβxβyV31 + ³ 1 + δβ2 y ´ V2 3 + δβyβzV33 i ,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci V2 2(β) = γδβxβy h γβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 1 + δβyβzV13 i +γ³1 + δβ2 y ´ h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 + δβyβzV23 i +γδβyβz h γβyV30+ δβxβyV31+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 3 + δβyβzV33 i , V2 3(β) = γδβxβz h γβyV10+ δβxβyV11+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 1 + δβyβzV13 i +γδβyβz h γβyV20+ δβxβyV21+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 2 + δβyβzV23 i +γ³1 + δβ2 z ´ h γβyV30+ δβxβyV31+ ³ 1 + δβ2 y ´ V2 3 + δβyβzV33 i , V3 0(β) = −γβx h γβzV10 + δβxβzV11+ δβyβzV12+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 1 i −γβy h γβzV20+ δβxβzV21+ δβyβzV22+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 2 i −γβz h γβzV30+ δβxβzV31+ δβyβzV32+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 3 i , V3 1(β) = γ ³ 1 + δβ2 x ´ h γβzV10+ δβxβzV11+ δβyβzV12+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 1 i +γδβxβy h γβzV20+ δβxβzV21+ δβyβzV22+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 2 i +γδβxβz h γβzV30+ δβxβzV31+ δβyβzV32+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 3 i , V3 2(β) = γδβxβy h γβzV10+ δβxβzV11 + δβyβzV12+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 1 i +γ³1 + δβ2 y ´ h γβzV20+ δβxβzV21+ δβyβzV22+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 2 i +γδβyβz h γβzV30+ δβxβzV31+ δβyβzV32+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 3 i , V₃3(β) = γδβxβz h γβzV10+ δβxβzV11+ δβyβzV12+ ³ 1 + δβ_z2´V₁3i +γδβyβz h γβzV20+ δβxβzV21+ δβyβzV22+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 2 i +γ³1 + δβ2 z ´ h γβzV30+ δβxβzV31+ δβyβzV32+ ³ 1 + δβ2 z ´ V3 3 i .

Kozystaj¡c z zasady redukcji dla przypadków, kiedy jedna ze skªadowych pr¦dko±ci znika, czyli gdy β = (βx, βy, 0), β = (βx, 0, βz) lub β = (0, βy, βz)

otrzymamy, »e jedynymi nieznikaj¡cymi elementami macierzy (2.56) s¡ ele-menty V0

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci czterowymiarowej redukuje si¦ do postaci

V (β) =              −γ2_{² γ(V}0 1 + δβx²) γ(V20+ δβy²) γ(V30+ δβz²) −γ2_β x² γβx(V10+ δβx²) γβx(V20+ δβy²) γβx(V30+ δβz²) −γ2_β y² γβy(V10+ δβx²) γβy(V20+ δβy²) γβy(V30+ δβz²) −γ2_β z² γβz(V10+ δβx²) γβz(V20+ δβy²) γβz(V30+ δβz²)              , (2.58) gdzie ² = βW = βxV10+ βyV20+ βzV30.

Tak»e i w tym przypadku dowolno±¢ wektora W prowadzi do zwi¡zków

dx1 _{= β}

xdx0,

dx2 = βydx0, (2.59)

dx3 = βzdx0.

2.5.2 Przypadek nierelatywistyczny

Dla porównania, macierz tensora pr¦dko±ci dla transformacji Galileusza danej macierz¡ G(v) =      1 0 0 0 −vx 1 0 0 −vy 0 1 0 −vz 0 0 1      ma nastepuj¡cy ksztaªt V (v) =      −(vxV10+ vyV20+ vzV30) V10 V20 V10 −vx(vxV10 + vyV20+ vzV30) vxV10 vxV20 vxV30 −vy(vxV10+ vyV20+ vzV30) vyV10 vyV20 vyV30 −vz(vxV10+ vyV20+ vzV30) vzV10 vzV20 vzV30     

lub w notacji analogicznej do notacji macierzy (2.58)

V (v) =      −vW V0 1 V20 V10 −vxvW vxV10 vxV20 vxV30 −vyvW vyV10 vyV20 vyV30 −vzvW vzV10 vzV20 vzV30     , (2.60)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Czterowymiarowy tensor pr¦dko±ci gdzie vW = vxV10+ vyV20 + vzV30. Šatwo mo»na sprawdzi¢, »e i tym razem

otrzymujemy zwi¡zki (2.59). Równie» i w tym przypadku w granicy niere-latywistycznej c → ∞ relatywistyczna macierz tensora pr¦dko±ci (2.58) nie sprowadza si¦ do nierelatywistycznej macierzy (2.60). Przej±cie od postaci re-latywistycznej (2.58) do postaci nierere-latywistycznej (2.60) nast¦puje w wyni-ku podstawienia (2.53) uzupeªnionego dodatkowo przez warunek

βz = vz.

W zako«czeniu tego rozdziaªu jeszcze raz podkre±lamy fakt, »e nie korzys-taj¡c z poj¦cia czasu wªasnego otrzymali±my kowariantny formalizm, który w ka»dym ukªadzie odniesienia prowadzi do zwi¡zków (2.59).

Rozdziaª 3

Dynamika

3.1 Tensor p¦du

W niniejszym rozdziale zajmiemy si¦ konstrukcj¡ tensorowego obrazu dy-namiki w analogii do cz¦±ci kinematycznej, w której wprowadzili±my tensor pr¦dko±ci. W tym celu postulujemy istnienie nowego obiektu tensorowego, który nazwiemy tensorem p¦du Πµ

ν(t). Wybór mieszanego tensora jest

podyk-towany faktem, »e chcieliby±my, aby zwi¡zek pomi¦dzy tensorem pr¦dko±ci

Vµ

ν (t) i Πµν(t) odzwierciedlaª znany klasyczny zwi¡zek pomi¦dzy pr¦dko±ci¡

v(t) oraz p¦dem p(t). Zatem odpowiednikiem klasycznego równania ruchu

dp(t)

dt = F (x, t) (3.1)

b¦dzie równanie

∂µΠµν(x, t) = Φν(x, t). (3.2)

Nale»y tutaj zaznaczy¢, »e nie znamy oraz nie zakªadamy a priori relacji pomi¦dzy klasyczn¡ siª¡ F znan¡ z dynamiki newtonowskiej a czterowek-torem Φν, zatem t¦ wielko±¢ b¦dziemy traktowa¢ jako wpªyw zewn¦trza na

ciaªo.

W celu uzyskania rozwi¡za« równania (3.2) nale»y skonstruowa¢ tensor p¦du Πµ

ν(v), co uczynimy w nast¦pnym rozdziale. Niestety, w odró»nieniu

od tensora pr¦dko±ci Vµ

ν (v), nie mo»emy w tym przypadku nakªada¢

do-datkowych warunków na macierz tensora p¦du. B¦dziemy zatem wyznacza¢ jego ksztaªt gªównie w oparciu o reguªy transformacyjne oraz warunki wypªy-waj¡ce z »¡dania, aby dynamika stworzona przy u»yciu obrazu tensorowego zawieraªa wyniki otrzymywane w ramach dynamiki Newtona.

O tensorze pr¦dko±ci w STW Konstrukcja tensora p¦du

3.2 Konstrukcja tensora p¦du

W ogólno±ci tensor p¦du Πµ

ν(v)b¦dzie reprezentowany przez macierz

kwadra-tow¡ Π(v) =       Π0 0(v) Π01(v) · · · Π0n(v) Π1 0(v) Π11(v) · · · Π1n(v) ... ... ... ... Πn 0(v) Πn1(v) · · · Πnn(v)      ,

której elementy s¡ pewnymi funkcjami pr¦dko±ci v zmiennej w czasie. Aby je wyznaczy¢, skorzystamy z relacji transformacyjnej dla tensora mieszanego. Przy przej±ciu z inercjalnego ukªadu odniesienia S do ukªadu inercjalnego S0_,

który porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ u wzgl¦dem S, tensor p¦du Πµ

ν(v)transformuje

si¦ analogicznie do wyznaczonego wcze±niej tensora pr¦dko±ci, czyli Πµ ν(v) → Πµ 0 ν0(v0) = Lµ 0 µ(u)Πµν(v)Lνν0(u), (3.3)

co w zapisie macierzowym odpowiada równaniu

Π(v) → Π0(v0) = L(u)Π(v)L(−u). (3.4)

Przyjmuj¡c, »e funkcje Π(v) s¡ niezmiennicze co do ksztaªtu (tzn. form-inwariantne), czyli »e

Π0_(v0_{) = Π(v}0_),

otrzymujemy równanie funkcjonalne dla Π(v) w postaci

Π(v0_{) = L(u)Π(v)L(−u), (3.5)}

gdzie v0 _{jest pr¦dko±ci¡ punktu materialnego w ukªadzie S}0_{, za± v jest jego}

pr¦dko±ci¡ w ukªadzie S. Post¦puj¡c analogicznie jak w przypadku tensora pr¦dko±ci w rozdziale 2.2 otrzymujemy rozwi¡zanie równania (3.5) w postaci

Π(v) = L(−v)Π(0)L(v), (3.6)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du

3.3 Dwuwymiarowy tensor p¦du

3.3.1 Przypadek nierelatywistyczny

Rozwa»ania rozpoczniemy od dwuwymiarowego przypadku nierelatywisty-cznego, w którym b¦dziemy korzysta¢ w równaniu (3.6) z transformacji Galileusza w postaci G(v) = Ã 1 0 −v 1 ! .

Ze wzoru (3.6) otrzymujemy wówczas Π(v) = Ã 1 0 v 1 ! Ã Π0 0 Π01 Π1 0 Π11 ! Ã 1 0 −v 1 ! , (3.7)

co po wykonaniu mno»enia daje Π(v) = Ã Π0 0− vΠ01 Π01 Π1 0+ v (Π00 − Π11) − v2Π01 Π11+ vΠ01 ! . (3.8)

Poniewa» w wyra»eniu tym wyst¦puje wyª¡cznie zale»no±¢ od czasu (nie ma zale»no±ci od wspóªrz¦dnych przestrzennych), wzór (3.2) prowadzi do równa-nia ∂0Π0ν(v) = Φν, (3.9) czyli Φ0 = ∂0Π00(v) = ∂0 ³ Π0 0 − vΠ01 ´ = − ˙vΠ0 1 (3.10) oraz Φ1 = ∂0Π01(v) = ∂0Π01 = 0. (3.11)

Zatem w tym przypadku, aby odtworzy¢ klasyczne newtonowskie równanie ruchu, musimy przyj¡¢, »e

Π0 1 = m,

oraz

Φ0 = −F, (3.12)

gdzie m jest mas¡ punktu materialnego, a F jest klasyczn¡ siª¡ Newtona w dwuwymiarowej czasoprzestrzeni. Wybór znaku w (3.12) jest podyktowany rozwa»aniami w wy»ej wymiarowych czasoprzestrzeniach.

Z postaci macierzy (3.8) oraz z równa« (3.10) i (3.11) wynika, »e na dy-namik¦ ma wpªyw jedynie element Π0

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du (3.10). Poniewa» inne skªadowe tensora p¦du nie bior¡ udziaªu w proce-sach dynamicznych, mog¡ pozostawa¢ dowolne. Ka»dy ich szczególny wybór b¦dzie prowadziª do tej samej dynamiki. W szczególno±ci, mo»emy je wybra¢ tak, aby byª speªniony zwi¡zek

Π(v) = mV (v),

który jest tensorowym odpowiednikiem klasycznego wektorowego zwi¡zku pomi¦dzy p¦dem a pr¦dko±ci¡

p(t) = mv(t).

Pami¦taj¡c, »e nierelatywistyczny dwuwymiarowy tensor pr¦dko±ci ma posta¢

V (v) = V0 1 Ã −v 1 −v2 _v ! ,

analogiczny do niej ksztaªt macierzy tensora p¦du uzyskamy, je±li jedynym niezerowym elementem macierzy (3.8) b¦dzie Π0

1 i wtenczas Π(v) = Π0 1 Ã −v 1 −v2 _v ! . _(3.13)

Fakt, »e w rozpatrywanym przypadku Φ1 = 0, skªania nas do przyj¦cia

w ogólnym przypadku, »e to skªadowa Φ0odgrywa kluczow¡ rol¦ w dynamice,

a skªadowe Φk b¦d¡ wielko±ciami pomocniczymi zapewniaj¡cymi

kowariant-no±¢ formalizmu.

3.3.2 Przypadek relatywistyczny

W przypadku zastosowania w równaniu (3.6) transformacji Lorentza postaci

L(β) = γ Ã 1 −β −β 1 ! otrzymamy, »e Π(β) = γ2 Ã 1 β β 1 ! Ã Π0 0 Π01 Π1 0 Π11 ! Ã 1 −β −β 1 ! , (3.14)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du co po wykonaniu mno»enia macierzowego po prawej stronie równania (3.14) daje wzory na poszczególne skªadowe tensora p¦du:

Π(β) = γ2 Ã Π0 0 + β(Π10− Π01) − β2Π11 Π01 + β(Π11− Π00) − β2Π10 Π1 0 + β(Π00− Π11) − β2Π01 Π11 + β(Π01− Π10) − β2Π00 ! . (3.15) Zgodnie z równaniem (3.9) dostajemy zatem

Φ0 = ∂0Π00(β) = ∂0γ2 h Π0 0+ β(Π10 − Π01) − β2Π11 i = γ4 ˙βh³_{1 + β}2´ ³_Π1 0− Π01 ´ + 2β³Π0 0− Π11 ´i , (3.16) Φ1 = ∂0Π01(β) = ∂0γ2 h Π0 1+ β(Π11 − Π00) − β2Π10 i = γ4 ˙βh³_{1 + β}2´ ³_Π1 1− Π00 ´ + 2β³Π0 1− Π10 ´i .

Jak wida¢, w ogólno±ci wszystkie staªe b¦d¡ mie¢ wpªyw na dynamik¦, gdy» wszystkie wyst¦puj¡ w pierwszym z równa« (3.16).

Dla ilustracji roli parametrów Πµ

ν rozpatrzmy ogólny przypadek dynamiki,

dla której Φ0 = const. Wówczas caªkuj¡c pierwsze równanie (3.16)

otrzy-mamy

γ2h_Π0

0+ β(Π10 − Π01) − β2Π11

i

= Φ0t + C, (3.17)

gdzie C jest staª¡ caªkowania, a st¡d z warunku pocz¡tkowego dla t = 0 otrzymujemy, »e C = γ2 0 h Π0 0+ β0(Π10− Π01) − β02Π11 i ,

gdzie β0 oraz γ0 s¡ warto±ciami dla chwili t = 0. Je±li za»¡damy dodatkowo,

»eby β0 = 0 (czyli γ0 = 1), wtenczas

C = Π0

0. (3.18)

Podstawienie (3.18) do (3.17) i dokonanie prostych przeksztaªce« prowadzi do równania β2³_Φ 0t + Π00 − Π11 ´ + β³Π1 0− Π01 ´ − Φ0t = 0. (3.19)

Rozwi¡zania tego równania maj¡ posta¢

β± = (Π0 1− Π10) ± q (Π0 1− Π10)2+ 4Φ0t (Φ0t + Π00− Π11) 2 (Φ0t + Π00− Π11) . (3.20)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du W standardowym formalizmie Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci z wykorzys-taniem czasu wªasnego [14] w przypadku dziaªania staªej siªy F otrzymuje si¦ nast¦puj¡ce rozwi¡zania równania ruchu dla pr¦dko±ci:

β_±ST W = ± s

F2_t2

m2_c2_{+ F}2_t2 (3.21)

Je±li za»¡damy, aby równanie (3.19) równie» posiadaªo tylko dwa symetryczne rozwi¡zania, to musimy przyj¡¢, »e

Π0 1 = Π10.

Zatem ostatecznie w tym przypadku otrzymujemy

β±= ±

s

Φ0t

Φ0t + Π00− Π11

. (3.22)

Rozwi¡zanie to automatycznie speªnia warunek pocz¡tkowy β(0) = 0.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 v/c t

Rysunek 3.1: Porównanie zale»no±ci β(t) (zielony) i βST W_{(t) (czerwony).}

Przyj¦to tutaj F = 1, Φ0 = 1, m2c2 = 1, Π00− Π11 = 1. Skala osi czasu jest

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du Nale»y tutaj podkre±li¢, »e asymptotyczne zachowania rozwi¡za« (3.21) i (3.22) s¡ identyczne, tzn.: lim t→∞β ST W ± = lim_t→∞β± = ±1 oraz lim t→0β ST W ± = lim_t→0β± = 0.

Jak wida¢ z równania (3.22), staªa Π1

1 jest staª¡ renormalizacyjn¡ dla staªej

Π0

0, zatem bez uszczerbku dla ogólno±ci rozwa»a« mo»emy zaªo»y¢ jej warto±¢

równ¡ 0. Wtenczas macierz (3.15) przyjmie posta¢ Π(β) = γ2 Ã Π0 0 Π01− βΠ00− β2Π01 Π0 1+ βΠ00 − β2Π01 −β2Π00 ! . (3.23)

Powy»sz¡ macierz mo»emy równie» przedstawi¢ jako Π(β) = γ2Π0₀ Ã 1 −β β −β2 ! + Π0₁ Ã 0 1 1 0 ! , (3.24)

gdzie druga z macierzy po prawej stronie równania (3.24) jest staªa w czasie. Przy zaªo»eniu, »e Π0

1 = Π01oraz Π11 znika, równania (3.16) przyjm¡ posta¢

Φ0 = ∂0Π00(β) = ∂0γ2Π00 = 2γ4˙ββΠ0₀, (3.25) Φ1 = ∂0Π01(β) = ∂0γ2 ³ −βΠ0 0 ´ = −γ4˙β³_{1 + β}2´_Π0 0.

Dla porównania ze standardowym formalizmem Szczególnej Teorii Wzgl¦d-no±ci przypomnijmy, »e w tym formali¹mie równanie ruchu [14] jest dane jako F = dp dt = mc ˙β (1 − β2₎3/2 = γ 3_{mc ˙β,} a st¡d ˙β = γ−3 F mc.

O tensorze pr¦dko±ci w STW Dwuwymiarowy tensor p¦du Podstawiaj¡c to wyra»enie do (3.25) otrzymujemy

Φ0 = 2γ F mcβΠ 0 0, (3.26) Φ1 = −γ F mc ³ 1 + β2´Π0₀.

Wida¢ st¡d, »e »¡danie, aby ˙β w naszym i standardowym formali¹mie byªo takie same, prowadzi do wniosku, »e dla staªej w czasie siªy F skªadowa Φ0

nie jest staªa w czasie i na odwrót. Natomiast ruch jednostajny ( ˙β = 0) w obu formalizmach zachodzi równocze±nie.

Nietrywialn¡ cz¦±¢ macierzy (3.24) mo»na równie» przedstawi¢ za pomoc¡ znanych wielko±ci relatywistycznych, takich jak energia i p¦d:

E = γmc2_, p = γmcβ. Otrzymujemy wówczas Π(β) = Π00 m2_c4 Ã E2 _−Epc Epc −p2_c2 ! + Π0 1 Ã 0 1 1 0 ! . (3.27)

Nale»y tutaj nadmieni¢, »e  jak zostaªo powiedziane wy»ej  mo»liwy jest równie» wybór innego szczególnego ksztaªtu macierzy relatywistycznego tensora p¦du, a co za tym idzie  innego opisu dynamiki. Analogicznie do rozwi¡zania nierelatywistycznego mo»emy zaªo»y¢, »e zwi¡zek macierzy tensora p¦du i tensora pr¦dko±ci jest odpowiednikiem klasycznego zwi¡zku pomi¦dzy odpowiednimi wektorami

Π(β) = mV (β), (3.28) gdzie V (β) = γ2_V0 1    −β 1 −β2 _β   . (3.29)

Zatem aby odtworzy¢ równanie (3.28) nale»y przyj¡¢, »e ogólna posta¢ macierzy tensora p¦du (3.15) sprowadza si¦ do macierzy

Π(β) = γ2_Π0 1    −β 1 −β2 _β   , (3.30)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor p¦du gdzie  jak pokazali±my dla przypadku nierelatywistycznego  staª¡ Π0 1

mo»na uto»samia¢ z mas¡ m punktu materialnego. Šatwo mo»na zauwa»y¢, »e posta¢ tensora (3.30) otrzymuje si¦ w przypadku, gdy w (3.15) wszystkie staªe oprócz Π0

1 znikaj¡. Wtenczas równania (3.16) przyjm¡ nast¦puj¡c¡

form¦:

Φ0 = −γ4

³

1 + β2´ ˙βΠ0₁,

Φ1 = 2γ4β ˙βΠ01.

3.4 Trójwymiarowy tensor p¦du

3.4.1 Przypadek nierelatywistyczny

Dla trójwymiarowego tensora p¦du w przypadku zastosowania transformacji Galileusza G(v) =    1 0 0 −vx 1 0 −vy 0 1    (3.31) ze wzoru (3.6) otrzymujemy Π(v) =    1 0 0 vx 1 0 vy 0 1       Π0 0 Π01 Π02 Π1 0 Π11 Π12 Π2 0 Π21 Π22       1 0 0 −vx 1 0 −vy 0 1   , (3.32)

co po wykonaniu mno»enia daje Π(v) =    Π0 0− vP Π01 Π02 Π1 0+ vx(Π00− Π11) − vyΠ12− vxvP Π11+ vxΠ01 Π12+ vxΠ02 Π2 0− vxΠ21+ vy(Π00− Π22) − vyvP Π21+ vyΠ01 Π22+ vyΠ02   , (3.33) gdzie vP = vxΠ01+vyΠ02. Nast¦pnie korzystaj¡c ze wzoru (3.9) otrzymujemy,

»e

Φ0 = ∂0Π00(v) = ∂0(Π00− vxΠ01− vyΠ02)

= − ˙vxΠ01− ˙vyΠ02,

Φ1 = ∂0Π01(v) = ∂0(Π01) = 0, (3.34)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor p¦du Poniewa» z denicji

˙v = F

m,

zatem mo»emy zapisa¢ Φ0 jako funkcj¦ klasycznej siªy F :

Φ0 = − Fx mΠ 0 1− Fy mΠ 0 2.

Równie» fakt, »e Φ1 = Φ1 = 0, potwierdza nasze przypuszczenie, »e Φ0 jest

t¡ skªadow¡ Φν(v), która okre±la dynamik¦, a skªadowe Φ1 i Φ2 s¡ wyª¡cznie

kontrolerami wªasno±ci transformacyjnych.

Rozwa»my teraz transformacj¦ obrotu O(α) w postaci macierzy

O(α) =    1 0 0 0 cos α sin α 0 − sin α cos α   . (3.35)

Dziaªaj¡c macierz¡ transformacji obrotu na macierz tensora p¦du dla β = 0, z odpowiednika równania (2.23) dla obrotu o k¡t α otrzymujemy

Π(α) =    1 0 0 0 cos α − sin α 0 sin α cos α       Π0 0 Π01 Π02 Π1 0 Π11 Π12 Π2 0 Π21 Π22       1 0 0 0 cos α sin α 0 − sin α cos α   , (3.36)

sk¡d po wykonaniu mno»enia macierzowego po prawej stronie (3.36) dosta-jemy Π(α) =              Π0

0 Π01cos α − Π02sin α Π01sin α + Π02cos α

Π1 0cos α −Π2 0sin α Π1 1cos2α + Π22sin2α −(Π1 2+ Π21) sin α cos α Π1 2cos2α − Π21sin2α +(Π1 1− Π22) sin α cos α Π1 0sin α +Π2 0cos α Π2 1cos2α − Π12sin2α +(Π1 1− Π22) sin α cos α Π2 2cos2α + Π11sin2α +(Π1 2+ Π21) sin α cos α              . (3.37) Powy»sza posta¢ tensora p¦du jednoznacznie wskazuje, »e element Π0 0

jest niezmiennikiem transformacji obrotu, a elementy Π0

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor p¦du transformuj¡ si¦ pod wpªywem obrotów jak skªadowe wektora. Elementy Π1

1,

Π1

2, Π21i Π22nie transformuj¡ si¦ jak znane obiekty w teorii reprezentacji grupy

obrotów. Natomiast przy zaªo»eniu, »e Π1

1 = Π22 oraz Π21 = −Π12 otrzymamy,

»e caªa cz¦±¢ przestrzenno-przestrzenna macierzy tensora pr¦dko±ci skªada si¦ z niezmienników: Π(α) =         Π0

0 Π01cos α − Π02sin α Π01sin α + Π02cos α

Π1 0cos α − Π20sin α Π11 Π12 Π1 0sin α + Π20cos α −Π12 Π11         . (3.38) Bior¡c teraz pod uwag¦ »¡danie, a»eby

Π(v) = mV (v) oraz maj¡c w pami¦ci, »e

V (v) =    −vW V0 1 V20 −vxvW vxV10 vxV20 −vyvW vyV10 vyV20   ,

macierz (3.33) przyjmie posta¢ Π(v) =    vP Π0 1 Π02 −vxvP vxΠ01 vxΠ02 −vyvP vyΠ01 vyΠ02   , (3.39) gdzie vP = vxΠ01+ vyΠ01.

3.4.2 Przypadek relatywistyczny

W przypadku zastosowania w równaniu (3.6) transformacji Lorentza

L(β) = γ         γ −γβx −γβy −γβx 1 + δβx2 δβxβy −γβy δβxβy 1 + δβy2         (3.40)

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor p¦du otrzymamy, »e Π(β) =         γ γβx γβy γβx 1 + δβx2 δβxβy γβy δβxβy 1 + δβy2                 Π0 0 Π01 Π02 Π1 0 Π11 Π12 Π2 0 Π21 Π22                 γ −γβx −γβy −γβx 1 + δβx2 δβxβy −γβy δβxβy 1 + δβy2         , _(3.41)

co po wykonaniu mno»enia macierzowego po prawej stronie równania (3.14) daje wzory na poszczególne skªadowe tensora p¦du:

Π0 0(β) = γ2(Π00+ βxΠ10+ βyΠ20) −γ2_β x ³ Π0 1+ βxΠ11+ βyΠ21 ´ −γ2_β y ³ Π0 2+ βxΠ12+ βyΠ22 ´ , Π0₁(β) = −γ2βx(Π00+ βxΠ10+ βyΠ20) +γ³1 + δβ2 x ´ ³ Π0 1+ βxΠ11+ βyΠ21 ´ +γδβxβy ³ Π0 2+ βxΠ12 + βyΠ22 ´ , Π0₂(β) = −γ2βy(Π00+ βxΠ10+ βyΠ20) +γδβxβy ³ Π0₁+ βxΠ11 + βyΠ21 ´ +γ³1 + δβ2 y ´ ³ Π0 2+ βxΠ12+ βyΠ22 ´ , Π1₀(β) = γhγβxΠ00+ ³ 1 + δβ_x2´Π1₀+ δβxβyΠ20 i −γβx h γβxΠ01+ ³ 1 + δβ_x2´Π1₁+ δβxβyΠ21 i −γβy h γβxΠ02+ ³ 1 + δβ_x2´Π1₂ + δβxβyΠ22 i ,

O tensorze pr¦dko±ci w STW Trójwymiarowy tensor p¦du Π1 1(β) = −γβx h γβxΠ00+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 0+ δβxβyΠ20 i +³1 + δβ2 x ´ h γβxΠ01+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 1+ δβxβyΠ21 i +δβxβy h γβxΠ02+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 2+ δβxβyΠ22 i , Π1 2(β) = −γβy h γβxΠ00+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 0 + δβxβyΠ20 i +δβxβy h γβxΠ01+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 1+ δβxβyΠ21 i +³1 + δβ2 y ´ h γβxΠ02+ ³ 1 + δβ2 x ´ Π1 2+ δβxβyΠ22 i , Π2 0(β) = γ h γβyΠ00+ δβxβyΠ10+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 0 i −γ2_β x h γβyΠ01+ δβxβyΠ11 + ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 1 i −γ2_β y h γβyΠ02+ δβxβyΠ12+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 2 i , Π2 1(β) = −γβx h γβyΠ00+ δβxβyΠ10+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 0 i +³1 + δβ2 x ´ h γβyΠ01+ δβxβyΠ11+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 1 i +δβxβy h γβyΠ02+ δβxβyΠ12+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 2 i , Π2 2(β) = −γβy h γβyΠ00 + δβxβyΠ10+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 0 i +δβxβy h γβyΠ01+ δβxβyΠ11+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 1 i +³1 + δβ2 y ´ h γβyΠ02+ δβxβyΠ12+ ³ 1 + δβ2 y ´ Π2 2 i .

Korzystaj¡c z zasady redukcji mo»na pokaza¢, »e trójwymiarowym odpowied-nikiem macierzy (3.23) b¦dzie macierz

Π(β) =                γ2_Π0 0 γ (Π0 1+ δβxβP ) −γ2_β x(Π00+ βP ) γ (Π0 2 + δβyβP ) −γ2_β y(Π00+ βP ) γ (Π0 1+ δβxβP ) +γ2_β x(Π00 − βP ) −γ2_β2 xΠ00 γ (βxΠ02 − βyΠ01) −γ2_β xβyΠ00 γ (Π0 2+ δβyβP ) +γ2_β y(Π00− βP ) γ (βyΠ01− βxΠ02) −γ2_β xβyΠ00 −γ2_β2 yΠ00                , (3.42)