Statystyczne opracowanie wyników eksperymentu - zasady analizy oraz zalecenia proceduralne odniesione do niewielkiej serii pomiarów wykonywanych w laboratoriach studenckich

(1)

Badania, pomiary, diagnostyka

monitoring maszyn

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW EKSPERYMENTU

– ZASADY ANALIZY ORAZ ZALECENIA PROCEDURALNE

ODNIESIONE DO NIEWIELKIEJ SERII POMIARÓW

WYKONYWANYCH W LABORATORIACH STUDENCKICH

1. Podstawowy celem kaŜdego ćwiczenia w laboratorium studenckim - zmierzenie pewnych wielkości i następnie obliczenie na podstawie tych wyników, wartości charakterystycznego parametru lub wyznaczenie przebiegu szukanej zaleŜności funkcyjnej.

2. Efektem końcowym procedury badawczej, winien być nie tylko otrzymany wynik wartości badanej wielkości, lecz takŜe dokonana ocena jakości wykonanych pomiarów. W szczególności istotna jest odpowiedź, czy to, co zostało zmierzone ma sens, czy zastosowana metodyka pomiaru i sposób jej wykorzystania gwarantowały wiarygodność uzyskanych wyników, jaki jest poziom błędu popełniony w realizowanym doświadczeniu oraz jaki poziom ufności prezentują otrzymane wyniki końcowe.

3. Zazwyczaj przyjmuje się, Ŝe metodyka i sposób przeprowadzenia eksperymentu, w tym uŜyte środki i systemy pomiarowe, są odpowiednio dostosowane do potrzeb identyfikacji badanych zjawisk, a więc otrzymane wyniki w tym zakresie maja sens.

4. NaleŜy jednak zaznaczyć, Ŝe w praktyce pomiary nigdy nie są dokładne, gdyŜ są one obarczone błędami pomiarowymi nie do uniknięcia. Przez błąd pomiarowy rozumie się odchylenie wartości wyznaczanej w ramach eksperymentu badawczego (mierzonej bezpośrednio lub określanej w sposób pośredni na podstawie bezpośrednio mierzalnych parametrów i znanych teoretycznych zaleŜności funkcyjnych zachodzą-cych między nimi), od wartości prawdziwej.

5. Źródeł błędów jest bardzo wiele, moŜe to być między innymi wpływ warunków zewnętrznych, w których przeprowadzany jest pomiar, moŜe to być ograniczona czułość przyrządów

pomiarowych, moŜe to być wreszcie wynik przybliŜeń modelowych poczynionych w celu przeprowadzenia pomiaru.

6. Zadaniem osoby przeprowadzającej pomiar, jest kontrolowanie wszystkich moŜliwych źródeł zakłóceń, które implikują powstawanie błędów oraz ustalanie wielkości tych błędów. Aby wnioski były wiarygodne naleŜy przeprowadzić kaŜdorazowo analizę niepewności i błędów pomiaru.

Szacowanie niepewności pomiaru - wprowadzenie

Szacowanie niepewności i błędów pomiaru (cd..)

7. Przyjmuje się powszechnie, Ŝeniepewność pomiaru w granicach od 0,1% do 10% jest typowa dla doświadczeń realizowanych w laboratoriach studenckich i jest akceptowalna. Niepewność rzędu kilkunastu lub kilkudziesięciu procent, oznacza, Ŝe popełnione są istotne błędy pomiarowe i wymaga to wprowadzenia korekty do procedury badawczej, w tym konieczności zastosowania innych przyrządów i sposobu przeprowadzenia badań. Wartość niepewności mniejsza niŜ setna część procenta teŜ jest niepokojąca, bowiem taki poziom dokładności moŜna uzyskać w najlepszych laboratoriach naukowych.

8. W zdecydowanej większości przypadków badawczych, w ramach obecnie prowadzonych studenckich ćwiczeń

laboratoryjnych, wykorzystywana jest cyfrowa technika diagnostyczno-pomiarowa DSP, w tym kompu-terowe układy akwizycji i przetwarzania danych pomiarowych. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe wykorzystywanie w/w systemowych rozwiązań techniki DSP, w zakresie identyfikacji mierzonych wielkości oraz dalszych procedur ich przetwarzania, znacznie upraszcza sposób realizacji eksperymentu i moŜliwość kształtowania jakości badań w celu uzyskania wyników na oczekiwanych poziomach dokładności, niemniej zawsze zachodzi obowiązek określania poziomu ufności w odniesieniu do otrzymanych końcowych wyników. 9. Najczęściej, celem spełnienia powyŜszego wymogu, wykorzystuje się kryterium/ pojęcie niepewności

standardowej (U).

Przyjęto umowę, Ŝewynikiem pomiaru jest uzyskany liczbowy rezultat pomiaruwraz z wartością liczbową oszacowanej niepewności standardowej– obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyraŜone przy uŜyciu tej samej jednostki.

10. Niepewność standardową zaokrągla się do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi, co do pozycji z niepewnością.

Analiza przyczyn powstawania niepewności pomiarowych pozwala wyróŜnić: * niepewność wynikającą z wzorcowania torów pomiarowych,

* niepewność wynikającą z procedury realizacji eksperymentu, * orazniepewność przypadkową.

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

(2)

Niepewność wzorcowania

Niepewność wzorcowania wynika ze stosowania wzorców-przyrządów pomiarowych, które są zawsze obarczone pewną niepewnością pomiarową.

Producenci przyrządów, systemów oraz przetworników pomiarowych (np. multimetrów), mają obowiązek gwarantować taką dokładność, by wynik pomiaru wykonany za ich pomocą nie róŜnił się od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej więcej niŜ o jedną najmniejszą jednostkę zwanej działką elementarną (np. działkę wyświetlaną na wskaźniku lub działkę podziałki zaznaczonej na skali przyrządu). Przyrządy cyfrowe mają działkę elementarną równą jednostce dekady wskazującej najmniejszą wartość

∆∆∆∆

px. Przykładowo: mikroamperomierz cyfrowy wskazujący wartość 123,45µA ma działkę elementarną

∆∆∆∆

pI=0,01µA.

Obecnie powszechnie w przyrządach cyfrowych producent określa niepewność wzorcowania jako sumę, np.:

∆∆∆∆

p

x = ..% odczytu + ..%zakresu (ang. np.0.5 % of reading +0.2% of range)

lub

∆∆∆∆

p

x = ..% odczytu + n cyfry (ang. np.0.2 % of reading +2 digits).

Niepewność eksperymentatora oraz przypadkowa

Niepewnością eksperymentatora

∆∆∆∆

ex nazywamy ilościową ocenę niepewności odczytanego wyniku, a którą moŜe stanowić efekt zastosowanej w danym eksperymencie techniki identyfikacji mierzonych parametrów oraz akwizycji danych (np. bez zastosowania techniki komputerowej, lecz poprzez bezpośredni odczyt wskazań z mierników analogowych zegarowych, gdzie obserwowane są szybkie zmiany wskazań miernika i konieczny jest zapis w tabelach).

Eksperymentator jest zobowiązany sam ocenić wartość ∆∆∆∆ex. Aktualnie, w większości

ćwiczeń stanowiskowych wykorzystywana jest komputerowa technika akwizycji danych, wobec powyŜszego przyjmuje się powszechnie, Ŝe∆∆∆∆ex=0 (pod warunkiem, iŜ spełnione jest

kryterium granicy częstotliwości Nyquista i nie jest popełniany błąd aliasingu).

Niepewność przypadkowaprzy pomiarze wielkości X jest wywołana ograniczonymi zdolnościami rozpoznawczymi naszych zmysłów, naturą badanego zjawiska oraz nie-stałością warunków zewnętrznych (zakłócenia zewnętrzne). Objawia się statystycznym rozrzutem wyników, przy czym źródeł takiego rozrzutu nie da się rozróŜnić. Miarą takiego rozrzutu jest odchylenie standardowe Sx. Uniknięcie niepewności przypadkowych

nie jest moŜliwe, jednakŜe teoria błędów podaje zasady, które pozwalają ustalić ich wartość.

Ocena niepewność stosowana dla serii pomiarów – metoda A

Ocena niepewności typu A (pomiar wielokrotny)

Badania, w których istnieje moŜliwość wielokrotnego powtórzenia pomiaru, w tych samych warunkach ich realizacji, jest ze wszech miar najbardziej poŜądaną zasadą, bowiem znacznie dokładniej moŜna ocenić mierzoną wielkość i na tej podstawie estymować wartość oczekiwaną. Oznaczmy kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez xi, gdzie

indeks i oznacza numer pomiaru (i = 1, ..., n). Wówczas średnia arytmetyczna xśrz wyników

pomiarów jest dobrym oszacowaniem wartości oczekiwanej µ (wyraŜenie Z.1). Miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest wyraŜenie (Z.2).

n

x

n i i śr

∑

=

≈

1

µ

1 )

(

)

(

2

−

=

∑

n

x

S

śr i

Wielkość S(x) jest oszacowaniem tzw. odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru,a więcmiary rozproszenia mierzonej wielkości wokół jej wartości oczekiwanej.

rozproszenie wyników S(x) w serii pomiarowej (Z.2)

wartość oczekiwana µ (Z.1)

Natomiast niepewność standardową typu A, UUAA,,mierzonej wielkości x utoŜsamiamy w tym

przypadku z odchyleniem standardowym średniej S(xśr) i tak niepewność standardowa UA

opisana jest zaleŜnością (Z.3):

)

1 (

)

(

)

(

2

−

=

∑

n

x

S

U

śr i śr A

_(Z.3)

niepewność standardowa

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

(3)

Ocena niepewność – krzywe rozkładu Gaussa i Studenta

Analizując odchylenia pojedynczych pomiarów od wartości średniej - czyli róŜnice (xi-xśr) - moŜna zauwaŜyć, Ŝe nie wszystkie odchylenia są jednakowo prawdopodobne. Odchylenia duŜe są mniej prawdopodobne od

odchyleń małych. ZaleŜność prawdo-podobieństwa częstości występowania odchyleń od ich wartości nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa. Dla duŜej ilości prób (pomiarów) stosujemy rozkład Gaussa (normalny), natomiast dla małej ilości pomiarów stosujemy rozkład Studenta.

Na rys. Z1 przedstawione są wykresy obu rozkładów. Odchylenie standardowe Sx w rozkładzie Gaussa naleŜy rozumieć w tym sensie, Ŝe wartość rzeczywista X znajduje się w przedziale <x – Sx ; x + Sx>

z prawdopodobieństwem wynoszącymp, które nazywa siępoziomem ufności. Jest to wartość pola pod krzywą w granicach<x – Sx ; x + Sx>.

Uwaga: w języku wnioskowania statystycznego, uznano następujące poziomy ufności (prawdopodobieństwa):

p=0.6827≈68%, który jest powszechnie definiowany jako 1σσσσ, p=0,9545≈95%, określany jako 2σσσσ oraz

p=0,9973≈99,7%, określany jako3σσσσ(reguła trzysigmowa).

Rys. Z1. Krzywe rozkładu Gaussa i Studenta

POWIERZCHNIA CAŁEGO POLA POD FUNKCJĄ GĘSTOŚCI RÓWNA SIĘ 1

Ocena niepewność - krzywe rozkładu Gaussa i Studenta (cd)

Jak wynika z rys. Z1, krzywa Studenta jest bardziej spłaszczona w stosunku do krzywej Gaussa. Dlatego

odchylenie standardowe w rozkładzie Studenta jest tn razy większe od odchylenia standardowego

w rozkładzie normalnym. Wartość współczynnika tn - zwanego współczynnikiem krytycznym

rozkładu Studenta - zaleŜy odliczby stopnia swobody r i od poziomu ufności a (wybrane wartości

współczynnikatnpodane w tablicy ZT.1).

Liczba stopni swobody r jest liczbą wyników pomiarów n pomniejszoną o liczbę parametrów równania(lub

równań) wykorzystanych do obliczenia wartości odchyle-nia standardowego. W przypadku wielokrotnego pomiaru jednej wielkości fizycznejr = n–1. W przypadku analizy zaleŜności między dwoma wielkościami

fizycznymi, czyli takŜe w przypadku metody najmniejszej sumy kwadratów r=n-2. W miarę wzrostu liczby pomiarów (dokładniej liczby stopni swobody) róŜnice stają się coraz mniejsze i praktycznie znikają dla liczby pomiarów (liczby stopni swobody) większej od 30. Jednak w praktyce zarówno laboratoryjnej jak i inŜynierskiej, rzadko wykonuje się więcej niŜ kilka czy kilkanaście pomiarów tej samej wielkości fizycznej.

Źrodło: Tablice probabilistyczne WNT W-wa 1985

∞ ∞∞ ∞ 3,291 2,576 1,960 1,645 1,282 1,036 0,842 0,674 0,385 0,126 ∞ ∞∞ ∞ 30 3,646 2,750 2,042 1,697 1,310 1,055 0,854 0,683 0,389 0,127 30 20 3,850 2,845 2,086 1,725 1,325 1,064 0,860 0,687 0,391 0,127 20 10 4,587 3,169 2,228 1,812 1,372 1,093 0,879 0,700 0,397 0,129 10 9 4,781 3,250 2,262 1,833 1,383 1,100 0,883 0,703 0,398 0,129 9 8 5,041 3,365 2,306 1,850 1,397 1,108 0,889 0,706 0,399 0,130 8 7 5,405 3,499 2,368 1,895 1,415 1,119 0,896 0,711 0,402 0,130 7 6 5,959 3,707 2,447 1,943 1,440 1,134 0,906 0,718 0,404 0,131 6 5 6,859 4,032 2,571 2,015 1,467 1,156 0,920 0,727 0,408 0,132 5 4 8,610 4,604 2,776 2,132 1,533 1,190 0,941 0,741 0,414 0,134 4 3 12,941 5,841 3,182 2,353 1,638 1,250 0,978 0,765 0,424 0,137 3 2 31,598 9,925 4,403 2,920 1,886 1,386 1,061 0,816 0,445 0,142 2 1 636,619 63,657 12,706 6,314 3,078 1,963 1,376 1,000 0,510 0,158 1 a r 0,001 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 a r Tablica ZT.1

Wartości statystyki t-Studenta dla wybranych poziomów ufności a i liczb pomiarów n (r=n-1)

Niepewność przypadkowa - rozkład Studenta – odchylenie standardowe

W praktyce laboratoryjnej (np.. ćwiczenia w laboratorium SiUT) przyjmujemy załoŜenie, Ŝe gdy liczba n pomiarów jest niewielka (6≤≤≤≤n≤≤≤≤11), do analizy statystycznej otrzymanych rezultatów i oceny niepewności przypadkowej wartości średniejstosuje się rozkład Studenta. Wówczas odchylenie standardowe Sx wartości średniej x oblicza się ze wzoru:

)

1 (

)

(

1 2

−

⋅

=

∑

=

n

x

t

S

n k k n x

(Z.5)

Przy duŜej liczbie pomiarów (n>9), odchylenie standardowe Sx w rozkładzie Gaussa

oblicza się ze wzoru (Z.4):

)

1 (

)

(

1 2

−

=

∑

=

n

x

S

n k i śr x

(Z.4)

JeŜeli wymagana jest prawie absolutna pewność (p=0,997), Ŝe wartość rzeczywista znajduje się w przedziale określonym niepewnością pomiaru, naleŜy uŜywać potrojonej wartości odchylenia standardowego (tzw. reguła 3Sx). W analizie niepewności pomiaru przeprowadzanego dla potrzeb ćwiczeń w laboratoriach studenckich, najczęściej korzystamy z wartość 2Sx, Podsumowując moŜna powiedzieć, Ŝe wynikiem wielokrotnego pomiaru tej samej wielkości w tych samych warunkach jest średnia arytmetyczna poszczególnych rezultatów x (wzór Z1), natomiast jej niepewnością przypadkową jest maksymalne odchylenie standardowe 3Sx, obliczone ze wzoru Z4 lub Z5.

odchylenie

standardowe

Sx

warto

ś

ci

ś

redniej

x

(Z.5)

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

(4)

Ocena niepewności typu B

(pomiar jednokrotny)

Jak zaznaczono uprzednio, dość często podczas badań w laboratorium studenckim uznajemy za wystarczającejednokrotne wykonanie pomiaru. Wówczas ocenę niepewności pomiaru dokonujemy na podstawie informacji związanych z klasą przyrządu (toru pomiarowego), którym posiłkujemy się podczas badań.

Do kaŜdego przyrządu pomiarowego dołączona jest zazwyczaj informacja producenta o dokładności, z jaką mierzy dany przyrząd (często sprowadza się ona do podania tzw. błędu maksymalnego – maksymalnej róŜnicy między wynikiem poprawnego odczytu ze skali przyrządu, a wartością prawdziwą). W przypadku braku takiej informacji przyjmuje się, Ŝe dokładność∆∆∆∆sx, z jaką mierzy dany przyrząd jest równa wartości działki elementarnej.

Wtedy niepewność standardowa typu B, UB, pomiaru takim przyrządem wyraŜa się wzorem Z.6:

x

u

s _s B

=

∆

=

0 .

69

3 (Z.6)

Niepewności

w

pomiarach

pośrednich

W praktyce laboratoryjnej wielkości fizyczne bardzo często mierzone są w sposób pośredni, czyli wyznaczamy wielkości fizyczne, których nie moŜna zmierzyć w sposób bezpośredni za pomocą przyrządów (np.. moduł Yunga liny stalowej), ale znany jest przepis funkcyjny: wiąŜący wielkość y (pomiar pośredni) z innymi wielkościami x1, x2, … xn mierzonymi bezpośrednio.

)

,

(

x

1

x

2

x

n

f

y

=

K

Przykładowo, aby wyznaczyć średnią prędkość jazdy mostu suwnicy wystarczy zmierzyć czas ruchu i przemieszczenie mostu względem stałego punktu podtorza. Interesującą nas wielkość obliczymy, podstawiając wyniki naszych pomiarów do wzoru v=s/t, będącego matematycznym zapisem prawa fizycznego, wiąŜącego nieznaną prędkość ze znanymi z pomiarów przemieszczeniem i czasem (mówimy, Ŝe prędkość jest wielkością złoŜoną). Uogólnijmy teraz nasze rozwaŜania.

Jeśli wielkość y jest funkcją L zmiennych, czyli y(x1,x2…xL), to, aby wyznaczyć wartość y i niepewność pomiaru ∆∆∆∆y naleŜy zmierzyć wielkości zmiennych x1,x2…xL, oraz określić ich

niepewności maksymalne∆∆∆∆xk. Niepewność maksymalną pomiaru wielkości złoŜonej y obliczamy ze

wzoru Z.7 (prawoprawoprzenoszeniaprzenoszenianiepewnoniepewnośścici):

∑

=

∆

∂

+

∆

∂

=

∆

∂

=

∆

L k L L k

x

y

x

y

x

y

1 1 1 1

K

_(Z.7)

gdzie: k

x

y

∂

są kolejnymi pochodnymi cząstkowymi.

Niepewności

w

pomiarach

pośrednich

W praktyce, gdy funkcja ma postać iloczynu:

y

=

A

⋅

x

₁a

⋅

x

₂b

⋅

x

₃c

K

względna maksymalna niepewność pomiaru wielkości złoŜonej y(x₁, x₂, x₃,..) jest wyraŜona wzorem Z.8:

K

+

∆

+

∆

+

∆

=

∆

3 3 2 2 1 1

x

c

x

b

x

a

y

(Z.8)

Przykład: celem obliczenia energii kinetycznej mostu suwnicy jednodźwigarowej KBK w chwili najeŜdŜania na zderzak torowiska, zmierzono jej chwilową prędkość i określono masę całkowitą: v=(0,33±0,02)m/s i m=(0,5±0,02)t.

Energia kinetyczna suwnicy wynosi: 27,23[ ] 2 2 J v m E= ⋅ =

Na podstawie wzoru Z.8 mamy: ∆ =∆ +2∆ =0,1612.

v v m m E E

Oznacza to, Ŝe∆E=0,1612E=4,38[J]. Wynik końcowy ma więc postać E=(27,23±4,38)[J].

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

(5)

Minimalna liczba wyników (Ŝądaną liczebność próbki n) przy załoŜonym poziomie ufności ββββ

Minimalną liczbę wyników (Ŝądaną liczebność próbki n) przy załoŜonym poziomie ufności

ββββ

określa się z zaleŜności Z.9

:

₂

_[

₁

−

Φ

₍

_)]

<

₁

−

β

0 x

(Z.9)

gdzie: oznacza wartość dystrybuanty w punkcie x0dla

załoŜonego rozkładu teoretycznego (w tym przypadku rozkładu normalnego). Wartość argumentu x₀dladowolnie załoŜonego błędu

εεεεszacowanej wartości oczekiwanej i zadanego poziomu ufnościββββ

oblicza się z zaleŜności (Z.10):

)

(

x

₀

Φ

(Z.10)

Tablica ZT.3

Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1); x e dx x x /2 0 2 2 1 ) ( − ∞ −

∫

= Φ π

Źrodło: Tablice probabilistyczne WNT W-wa 1985

0,99520 0,99506 0,99492 0,99477 0,99461 0,99446 0,99430 0,99413 0,99396 0,99379 2,5 0,98169 0,98124 0,98077 0,98030 0,97982 0,97933 0,97882 0,97831 0,97778 0,97725 2,0 0,94408 0,94295 0,94179 0,94062 0,93943 0,93822 0,93699 0,93575 0,93448 0,93319 1,5 0,86214 0,85993 0,85769 0,85543 0,85314 0,85083 0,84850 0,84614 0,84375 0,84135 1,0 0,83891 0,83646 0,83398 0,83147 0,82894 0,82639 0,82381 0,82121 0,81859 0,81594 0,9 0,81327 0,81057 0,80785 0,80511 0,80234 0,79955 0,79673 0,79389 0,79103 0,78815 0,8 0,78524 0,78231 0,77935 0,77637 0,77337 0,77035 0,76731 0,76424 0,76115 0,75804 0,7 0,75490 0,75175 0,74857 0,74537 0,74215 0,73891 0,73565 0,73237 0,72907 0,72575 0,6 0,72241 0,71904 0,71566 0,71226 0,70884 0,70540 0,70194 0,69847 0,69497 0,69146 0,5 0,68793 0,68439 0,68082 0,67724 0,67365 0,67003 0,66640 0,66276 0,65910 0,65542 0,4 0,65173 0,64803 0,64431 0,64058 0,63683 0,63307 0,62930 0,62552 0,62172 0,61791 0,3 0,61409 0,61026 0,60642 0,60257 0,59871 0,59484 0,59095 0,58706 0,58317 0,57926 0,2 0,57535 0,57142 0,56750 0,56356 0,55962 0,55567 0,55172 0,54776 0,54380 0,53983 0,1 0,53586 0,53188 0,52790 0,52392 0,51994 0,51595 0,51197 0,50798 0,50399 0,50000 0,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 X0

1

0

=

n

−

s

x

ε

Procedury postępowania przy zapisie oraz opracowywaniu wyników

gdzie:

W wyniku pomiaru powinna być zapisana jego wartość, niepewność pomiarowa i jednostka. Teoretycznie wyniki mogą być obliczane do dowolnego miejsca rozwinięcia dziesiętnego, ale sens fizyczny mają najwyŜej dwie cyfry znaczące niepewności.

m

x

xyz

S

=

0 ,

⋅

10

x∈{1,2,K9} y,z∈{0,1,2,K9}, m

naleŜy do zbioru liczb całkowitych i jest tak dobrane, aby x znajdowało się na pierwszym miejscu po przecinku.

niepewność pomiarową zaokrąglamy do dwóch miejsc znaczących (Międzynarodowa Norma

Oceny Niepewności Pomiaru przyjmuje 2 cyfry znaczące w niepewności pomiarowej). Obowiązuje zasada, Ŝe wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca rozwinięcia dziesiętnego co niepewność.

moŜe się jednak zdarzyć, Ŝe w przypadku pojedynczych pomiarów niepewność pomiarową

zaokrąglamy pozostawiając tylko jedną cyfrę znaczącą. Trzeba pamiętać, Ŝe zaokrąglamy wynik końcowy, a nie wyniki pośrednich obliczeń!

Zaokrąglanie zaczynamy od niepewności:

obliczamy niepewność pomiarową z trzema cyframi znaczącymi x,y,z, co moŜna zapisać w postaci

Przykład zapisu (niepewność standardowa):

zapis poprawny z pomiaru masy belki nośnej dźwigara KBK-IIR(7m): a) m= 127,479kg, u(m) = 65 b) m= 127,479(65)kg, c) 127,479(0,065)kg ==== m zapis niepoprawny:

d) m = 127,479kg – nie podano niepewności; e) m = 127,48(0,065)g –ostatnie cyfry wyniku i niepewności nie są tego samego rzędu

Metoda najmniejszej sumy kwadratów

Poza spotykaną w praktyce inŜynierskiej koniecznością wykonania pomiaru wielkości fizycznej i oszacowania jej błędu, w praktyce laboratoryjnej bardzo często mamy do czynienia z koniecznością sprawdzenia czy zmierzone wielkości (zazwyczaj dwie) zaleŜą od siebie w sposób opisany teoretycznie. Sprawdzenie modelowej teoretycznej) zaleŜności pociąga za sobą wyznaczenie parametrów tej funkcji.

Teoretyczne zaleŜności funkcyjne wiąŜące wielkości fizyczne są podane równaniami najczęściej

w postaci jawnej, uwikłanej lub parametrycznej. Model fizyczny podaje ponadto zakres wartości, dla którego równanie takie nadaje się do stosowania. Zadaniem eksperymentatora jest przeprowadzenie jak największej ilości pomiarów z zakresu stosowalności równania i dopasowanie wyników pomiarów do tego równania.

Współczesne programy komputerowe pozwalają na dopasowanie najczęściej spotykanych zaleŜności fizycznych. śeby jednak zrozumieć zasady rządzące takim dopasowaniem, w praktyce stosować będziemy równanie zaleŜności fizycznej jednej zmiennej, w postaci jawnej i sprowadzone do równania linii prostej. Praktycznie kaŜdą funkcję występującą w fizyce moŜna sprowadzić do zaleŜności liniowej (zlinearyzować). Polega to na tym, aby znaną funkcję y = f(x) naleŜy przekształcić w inną funkcję Y = F(X), która będzie miała postać wielomianu pierwszego stopnia, czyli postać Y = A + BX.

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

(6)

Wykluczanie wyników skrajnych z serii pomiarowej pod kątem ewentualnego

obarczenia ich wartości duzym błedem

W przypadku, gdy któryś ze skrajnych wyników znacznie róŜni się od pozostałych, naleŜy przypuszczać, Ŝe jest on (są one) obarczony duŜym błądem. Wynik x* jest obarczony duŜym błędem i naleŜy go odrzucić z dalszej analizy, jeŜeli:

k

t

s

x

t

=

−

>

* (Z.10)

gdzie: jest wartością średnią wg. Z.1,S- oznacza pierwiastek z wariancji próbki wg. Z.2,

a

x

k

t

jest wartością krytyczną parametru

t

k(α,n)dla zadanej liczności próbki n i przyjętego poziomu istotnościαwg. tablicy ZT.4 (α=a). Podana powyŜej procedura

postępowania spełniakryteriumkryteriumChauvenetaChauveneta, który jest heurystycznym warunkiem

pozwalającym na stwierdzenie, czy dana obserwacja z próby statystycznej jest tzw. obserwacja odstającą, która powstała na skutek błędu pomiaru. Obserwację taką naleŜy odrzucić przed dalszymi analizami statystycznymi.

2,190 2,343 2,470 2,606 2,689 11 2,146 2,294 2,414 2,540 2,616 10 2,097 2,238 2,349 2,464 2,532 9 2,041 2,172 2,273 2,374 2,431 8 1,974 2,093 2,182 2,265 2,310 7 1,894 1,996 2,067 2,130 2,161 6 1,791 1,869 1,917 1,955 1,972 5 1,645 1,689 1,710 1,723 1,728 4 1,406 1,412 1,414 1,414 1,414 3 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 a n Tablica ZT.4

Eliminacja błędów grubych. Wartości krytyczne tk(αααα,n)

Wykluczanie wyników skrajnych z serii pomiarowej pod kątem ewentualnego

obarczenia ich wartości duzym błedem (cd…. – przykład)

W chwili początkowej pomiaru stanu napręŜeń w ustroju nośnym dźwigara suwnicy KBK (ćwiczenie 1), dla okresu w którym wszystkie parametrów posiadających wpływ na badaną wielkość były ustalone (warunki quaziustalone), zarejestrowano przebieg podany na rys. Z.4.

Jednak zdarzyło się, Ŝe przy którejś z kolei próbie coś zakłóciło nam pomiar, przez co znacznie róŜni się od pozostałych wyników (np. zakłócenie wartości wygenerowanego sygnału analogowego w systemie pomiarowo-diagnostycznym powstałe na skutek szkodliwego oddziaływania przemienników częstotliwości). 27.4 27.6 27.8 28 28.2 28.4 28.6 -12 -8 -4 0 4 8

Rys. Z4. Fit Results Fit 1: Polynomial 1st, gdzie z analizy danych pomiarowych w aplikacji Grapher wynika: Y = 10.72395962 - 0.1995786504 * X; number of data points used = 101, Average X = 28, Average Y = 5.13575, Standard deviation s=1.52619, Variance 2.32926, Coefficient of variation 0.29717; Minimum -9.2, Maximum 6.0002, Range 15.2002, Coefficients: Degree 0 = 10.72395962, Degree 1 = -0.1995786504, dla Degree: 0, Residual sum of squares = 232.926. R-squared = 0, dla Degree: 1, Residual sum of squares = 232.583, R-squared = 0.00146838

Wynik sprawdzenia: t=|(-9.2-5.13575)|/ 1.52619=9.393 poza zakresem, więc P=100% Ŝe jest błąd, a więc npod=1*100%=1 > 0.5 >>>>> wniosek, ten punkt naleŜy odrzucić!!

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW EKSPERYMENTU – ZASADY ANALIZY ORAZ ZALECENIA PROCEDURALNE ODNIESIONE DO NIEWIELKIEJ SERII POMIARÓW WYKONYWANYCH W LABORATORIACH STUDENCKICH

Literatura

J.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, Warszawa 1995 H.Szydłowski: Teoria pomiarów, PWN, warszawa 1981

H.Abramowicz: Jak analizować wyniki pomiarów, PWN, Warszawa 1992

K. Kozłowski, R. Zielinski, Metody opracowania i analiza wyników pomiarów; opr. dostepne na stroniehttp://www.fuw.edu.pl/FUW/analniepewn.pdf

M. Zimnal-Starnawska, Analiza niepewnosci pomiarowych w pigułce, opr. dostępne na stronie