[slajdy]

(1)

Maksymalny przepªyw

Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK)

Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.1 Programu Operacyjnego

(2)

Kontekst

Cel:

Modelowanie za pomoc¡ grafu skierowanego sieci przepªywowej:

badanie procesu przemieszczania si¦ pewnego materiaªu w sieci; materiaª kr¡»y w sieci od ¹ródªa (miejsca wytworzenia) do uj±cia (miejsca zu»ycia);

¹ródªo wytwarza materiaª ze staª¡ szybko±ci¡, z tak¡ sam¡ szybko±ci¡ jest on zu»ywany w uj±ciu;

przepªyw w danym punkcie systemu = szybko±¢, z jak¡ materiaª przemieszcza si¦ przez ten punkt.

(3)

Kontekst

Przykªady sieci przepªywowych:

przepªyw cieczy w ruroci¡gach,

przepªyw cz¦±ci na liniach monta»owych, przepªyw pr¡du w sieciach energetycznych, przepªyw informacji w sieciach komunikacyjnych, transport towarów z fabryki do odbiorcy/magazynu.

(4)

Kontekst

Kraw¦d¹ (skierowana) grafu = kanaª, którym co± pªynie. Ka»dy kanaª ma ustalon¡ przepustowo±¢.

Wierzchoªki ró»ne od ¹ródªa i uj±cia s¡ punktami, w których zbiegaj¡ si¦ kanaªy (przepªyw nie jest w tych punktach zatrzymywany).

Szybko±¢ wpªywania do wierzchoªka = szybko±¢ wypªywania z niego (wªasno±¢ zachowania przepªywu, por. prawo Kirchhoa).

(5)

Problem

Problem (nieformalnie)

Dla danej sieci przepªywowej znale¹¢ maksymalny przepªyw, tj. najwi¦ksz¡ szybko±¢, z jak¡ mo»e nast¦powa¢ przepªyw ze ¹ródªa do uj±cia bez naruszenia przepustowo±ci kanaªów.

Innymi sªowy: z jak¡ maksymaln¡ szybko±ci¡ ¹ródªo mo»e produkowa¢ materiaª, aby zostaª on dostarczony do uj±cia bez naruszenia zasad.

(6)

Sie¢ przepªywowa

Denicja

Sie¢ przepªywowa(krótko: sie¢) = graf skierowany G = (V , E) z funkcj¡ wagi c : E → R+ zwan¡przepustowo±ci¡.

Dodatkowo:

przepustowo±¢ rozszerzamy na wszystkie pary wierzchoªków kªad¡c c(u, v) = 0, gdy (u, v) /∈ E,

wyró»niamy dwa wierzchoªki: ¹ródªos i uj±ciet,

o grae G zakªadamy, »e ka»dy wierzchoªek le»y na pewnej drodze ze ¹ródªa do uj±cia.

(7)

Sie¢ przepªywowa przykªady

Prosty przykªad: -20 -10 -15 w g wg wg wg s a b t

Przepustowo±¢ w sieci mo»emy reprezentowa¢ w formie tablicy (analogicznie do wagowej macierzy s¡siedztwa). Tutaj:

c s a b t s 0 20 0 0 a 0 0 10 0 b 0 0 0 15 t 0 0 0 0

(8)

Sie¢ przepªywowa przykªady

Przykªad II. * 16 H H H H j 13 -12 -14 H H H H j 20 * 4 ? 10 6 4 9 6 7 w g w g w g w g w g w g s b a d c t

(9)

Przepªyw

Denicja

Przepªyww sieci G = dowolna funkcja f : V × V → R speªnia-j¡ca warunki:

1 Warunek przepustowo±ci:

∀_u,v∈V f (u, v) ≤ c(u, v).

2 Warunek sko±nej symetryczno±ci:

∀_u,v∈V f (u, v) = −f (v, u).

3 Warunek zachowania przepªywu:

∀_{u∈V \{s,t}} X

v∈V

f (u, v) = 0.

Wielko±¢ f (u, v) nazywamyprzepªywem netto z wierzchoªka u do v.

(10)

Przepªyw

Lemat

Dla dowolnego przepªywu f w sieci G zawsze mamy:

1 ∀_u∈V f (u, u) = 0,

2 warunek zachowania przepªywu mo»emy zapisa¢ równowa»nie

jako ∀v∈V \{s,t} P

u∈V f (u, v) = 0,

3 gdy (u, v) /∈ E ani (v, u) /∈ E, to f (u, v) = f (v, u) = 0.

Udowodnimy tez¦ 3, pozostaªe zostawiamy jako ¢wiczenie. (u, v) /∈ E, (v, u) /∈ E ⇒ c(u, v) = 0 = c(v, u), st¡d (z w-ku przepustowo±ci): f (u, v) ≤ c(u, v) = 0 i f (v, u) ≤ c(v, u) = 0 oraz ze sko±nej symetryczno±ci f (u, v) = −f (v, u). Zatem f (u, v) ≤ 0 oraz f (u, v) ≥ 0, czyli f (u, v) = 0. Podobnie f (v, u) = 0.

(11)

Przepªyw

Uwaga

Istotne s¡ warto±ci dodatnie przepªywu netto. Jedynie wówczas materiaª faktycznie przepªywa przez dany kanaª. Warto±ci 0 i ujemne maj¡ charakter pomocniczy.

(12)

Przepªyw

Przykªad I. Rozwa»my sie¢

-20 -10 -15 w g wg wg wg s a b t c s a b t s 0 20 0 0 a 0 0 10 0 b 0 0 0 15 t 0 0 0 0

i funkcj¦ f : V × V → R zdeniowan¡ przy pomocy tablicy:

f s a b t s 0 6 0 0 a −6 0 6 0 b 0 −6 0 6 t 0 0 −6 0

Czy f jest przepªywem? Warunki przepustowo±ci i sko±nej

symetryczno±ci s¡ w oczywisty sposób speªnione. Sprawd¹my w-k zachowania przepªywu dla wierzchoªka u = a:

X v∈V

f (u, v) = f (a, s) + f (a, a) + f (a, b) + f (a, t) = −6 + 0 + 6 + 0 = 0

(13)

Przepªyw

Konwencja: Dla uproszczenia na diagramie b¦dziemy zaznacza¢ (oprócz przepustowo±ci) tylko dodatnie warto±ci przepªywu netto w postaci

f (u, v)/c(u, v)

(pozostaªe warto±ci przepªywu nietrudno odtworzy¢). W przykªadzie I: -6/20 -6/10 -6/15 w g wg wg wg s a b t c s a b t s 0 20 0 0 a 0 0 10 0 b 0 0 0 15 t 0 0 0 0 f s a b t s 0 6 0 0 a −6 0 6 0 b 0 −6 0 6 t 0 0 −_{6 0}

(14)

Przepªyw dodatni

Denicja

Dodatni przepªyw netto wpªywaj¡cy do v ∈ V : |f_→+_v| = X

u∈V ; f (u,v)>0

f (u, v).

Denicja

Dodatni przepªyw netto wypªywaj¡cy z v ∈ V : |f_v→+ | = X

u∈V ; f (v,u)>0

f (v, u). Uwaga

Wªasno±¢ zachowania przepªywu ⇔ ∀_{v∈V \{s,t}} |f+

(15)

Przepªyw dodatni

Przykªad I. -6/20 -6/10 -6/15 w g wg wg wg s a b t |f_→+_a| =6, |f_a→+ | =6, |f_→+_b| =6, |f_b→+ | =6.

(16)

Przepªyw dodatni

Przykªad II. * 11/16 H H H H j 8/13 -12/12 -11/14 H H H H j 15/20 * 4/4 ? 10 6 1/4 4/9 6 7/7 w g w g w g w g w g w g s b a d c t

Je»eli f (u, v) = 0 dla (u, v) ∈ E, piszemy tylko przepustowo±¢ (10 zamiast 0/10 powy»ej).

Sprawdzamy, »e funkcja f zadana przez powy»sze warto±ci speªnia wªasno±¢ zachowania przepªywu (w terminach przepªywu

dodatniego):

|f_→+_a| =12 = |f_a→+ |, |f_→+_c| =19 = |f_c→+ |, |f_→+_b| =12 = |f_b→+ |, |f_→+_d| =11 = |f_d→+ |. Jest to wi¦c przepªyw (pozostaªe wªasno±ci oczywiste).

(17)

Maksymalny przepªyw

Denicja

Warto±¢ przepªywuf to liczba |f | = X

v∈V

f (s, v).

Przepªyw f nazywamymaksymalnym, gdy jego warto±¢ jest naj-wi¦ksza spo±ród wszystkich przepªywów.

Uwaga

Z wªasno±ci przepªywu wynika, »e |f | = P

v∈V f (v, t). Problem maksymalnego przepªywu

(18)

Maksymalny przepªyw

Przykªad I. -6/20 -6/10 -6/15 w g wg wg wg s a b t |f | = 6.

atwo zauwa»y¢, »e nie jest to przepªyw maksymalny. Maksymalny przepªyw ma warto±¢ 10: -10/20 -10/10 -10/15 w g wg wg wg s a b t |f | = 10.

(19)

Maksymalny przepªyw

Przykªad II. * 11/16 H H H H j 8/13 -12/12 -11/14 H H H H j 15/20 * 4/4 ? 10 6 1/4 4/9 6 7/7 w g w g w g w g w g w g s b a d c t |f | = 11 + 8 = 15 + 4 = 19.

Zauwa»my, »e na pierwszy rzut oka nie jest ªatwo stwierdzi¢ czy jest to przepªyw maksymalny. Wskazanie maksymalnego przepªywu równie» wymaga chwili zastanowienia.

Okazuje si¦, »e problemy zwi¡zane z maksymalnym przepªywem (istnienie, poprawno±¢ algorytmów, wªasno±¢ stopu...) s¡ do±¢ gª¦bokie. Skupimy si¦ na gªównych ideach i opisie samego al-gorytmu. Po szczegóªow¡ analiz¦ odsyªamy np. do ksi¡»ki [1] ze spisu literatury do wykªadu (T. H. Cormen et al.).

(20)

Metoda

Metoda Forda-Fulkersona rozwi¡zywania problemu maksymalnego przepªywu jest podstaw¡ kilku algorytmów o ró»nych zªo»ono±ciach. Ogólny schemat:

start od przepªywu netto f (u, v) = 0, dla wszystkich u, v ∈ V ( ⇒ |f | = 0);

w ka»dej iteracji zwi¦kszamy warto±¢ przepªywu znajduj¡c pewn¡ drog¦ powi¦kszaj¡c¡;

droga powi¦kszaj¡ca = droga z s do t, po której mo»na przesªa¢ wi¦kszy przepªyw.

FordFulkersonMethod(G, c, s, t) 1 begin

2 zainicjuj f na 0;

3 while istnieje droga powi¦kszaj¡ca pdo

4 powi¦ksz przepªyw f wzdªu» p; 5 returnf

(21)

Sieci residualne

Nieformalnie: sie¢ residualna (dla danej sieci przepªywowej i przepªywu) = graf skªadaj¡cy si¦ z kraw¦dzi, które dopuszczaj¡ wi¦kszy przepªyw netto.

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªad I. Dla sieci G z przepªywem f :

-6/20 -6/10 -6/15 w g wg wg wg s a b t

mamy jedn¡ drog¦ powi¦kszaj¡c¡p w sieci residualnej Gf: -14 -4 -9 6 6 6 w g wg wg wg s a b t z przepustowo±ci¡ residualn¡ cf(p) = 4. -10/20 -10/10 -10/15 w g wg wg wg s a b t

(28)

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªad I. Dla sieci G z przepªywem f :

-6/20 -6/10 -6/15 w g wg wg wg s a b t

mamy jedn¡ drog¦ powi¦kszaj¡c¡p w sieci residualnej Gf: -14 -4 -9 6 6 6 w g wg wg wg s a b t z przepustowo±ci¡ residualn¡ cf(p) = 4.

Przepªyw f0 _{powstaªy z f po powi¦kszeniu wzdªu» p:} -10/20 -10/10 -10/15 w g wg wg wg s a b t

(29)

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªad II. Dla sieci G z przepªywem f :

mamy dwie drogi powi¦kszaj¡ce w Gf:

(30)

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªad II. Dla sieci G z przepªywem f :

mamy dwie drogi powi¦kszaj¡ce w Gf:

(31)

Poprawno±¢

Twierdzenie

Je±li f jest przepªywem w sieci G = (V , E), to nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

1 Przepªyw f w sieci G jest maksymalny.

2 Sie¢ residualna G_f nie zawiera dróg powi¦kszaj¡cych.

Pytanie: czy zawsze po sko«czonej liczbie kroków otrzymamy sie¢ Gf bez dróg powi¦kszaj¡cych?

Mo»na pokaza¢, »e tak jest, gdy

przepustowo±¢ jest caªkowitoliczbowa lub

zawsze wybieramy najkrótsz¡ (w sensie liczby kraw¦dzi) drog¦ powi¦kszaj¡c¡, np. algorytmem BFS.

(32)

Algorytm

Podsumowanie: algorytm Forda-Fulkersona znajdowania maks. przepªywu. FordFulkerson(G, c, s, t)

1 begin

2 for ka»da (u, v) ∈ V×Vdof[u, v] := 0;

3 whileistnieje droga p z s do t w sieci residualnej Gf do

4 begin

5 cf(p) := min{cf(u, v) : (u, v) ∈ p}; 6 for ka»da (u, v) ∈ pdo

7 begin 8 f[u, v] := f[u, v] + cf(p); 9 f[v, u] := −f[u, v] 10 end 11 end; 12 return f 13 end;

Wiersz 3: (a) skonstruuj sie¢ Gf zgodnie z denicj¡,

Liczba kroków mo»e zale»e¢ od warto±ci maksymalnego przepªywu |f_max|. Przykªadowo, gdy |f_max| =106, a w ka»dym kroku

przepustowo±¢ residualna drogi powi¦kszaj¡cej wynosi 1, to algorytm wykona 106 _kroków!

Ale pokazuje si¦, »e gdy wybieramy najkrótsze drogi powi¦ksza-j¡ce (przy u»yciu BFS, wówczas algorytm ten nazywa si¦ te» al-gorytmem Edmondsa-Karpa) zªo»ono±¢ algorytmu nie zale»y od warto±ci |fmax|i wynosi O(|V | · |E|2).

Istniej¡ te» algorytmy o zªo»ono±ciach O(|V |2_{· |}_{E|) oraz O(|V |}3₎

(47)

Uwagi

Inne warianty problemu:

Sie¢ z wieloma ¹ródªami i uj±ciami. Problem mo»na sprowadzi¢ do wersji standardowej poprzez:

dodanie super¹ródªa oraz kraw¦dzi z niego do oryginalnych ¹ródeª o przepustowo±ciach ∞,

dodanie superuj±cia oraz kraw¦dzie do niego z oryginalnych uj±¢ o przepustowo±ciach ∞.

(48)

Problem

Dodatek: przykªad problemu, który mo»na sprowadzi¢ do problemu maksymalnego przepªywu.

G = (V , E) graf nieskierowany.

Def. Skojarzenie w grae G = ka»dy podzbiór kraw¦dzi M ⊆ E taki, »e dla ka»dego v ∈ V co najwy»ej 1 kraw¦d¹ z M jest incydentna z v.

Def. Skojarzenie maksymalne w G = skojarzenie o najwi¦kszej liczbie kraw¦dzi.

Ograniczymy si¦ do przypadku, gdy graf G jest dwudzielny (tj. V mo»na podzieli¢ na V = L ∪ R, L, R zbiory rozª¡czne a wszystkie kraw¦dzie z E prowadz¡ mi¦dzy L i R).

(49)

Przykªad

Graf dwudzielny H H H H H H @ @ @ @ @ @ H H H H H H @ @ @ @ @ @ w g w g w g w g w g w g w g w g w g L R

(50)

Przykªad

Skojarzenie o liczno±ci 2 H H H H H H @ @ @ @ @ @ H H H H H H @ @ @ @ @ @ w g w g w g w g w g w g w g w g w g L R

(51)

Przykªad

Skojarzenie o liczno±ci 3 (maksymalne)

H H H H H H @ @ @ @ @ @ H H H H H H @ @ @ @ @ @ w g w g w g w g w g w g w g w g w g L R

(52)

Zastosowania

Przykªady zastosowa« problemy równolegªego dost¦pu do zasobów (na wyª¡czno±¢):

prace ↔ maszyny, procesy ↔ procesory, zaj¦cia ↔ sale, kojarzenie maª»e«stw.

(53)

Algorytm naiwny

Problem maksymalnego skojarzenia wydaje si¦ dosy¢ prosty. Nasuwaj¡cy si¦ algorytm mógªby polega¢ na nast¦puj¡cej strategii zachªannej:

Szkic algorytmu

Dopóki to mo»liwe, rozbudowuj skojarzenie dodaj¡c kolejne kraw¦dzie zgodnie z rosn¡cymi (niemalej¡cymi) stopniami ich wierzchoªków.

Dokªadniej: w ka»dym kroku wybierz nieskojarzony wierzchoªek v o minimalnym stopniu i, spo±ród wszystkich kraw¦dzi {v, w} takich, »e w jest nieskojarzony, wybierz t¦ z w o minimalnym stopniu.

(54)

Algorytm naiwny

Przykªad. H H H H H H @ @ @ @ @ @ H H H H H H w g w g w g w g w g w g w g w g w g w g

Idea rozwi¡zania: konstrukcja sieci przepªywowej, w której przepªywy odpowiadaj¡ skojarzeniom.

G = (V = L ∪ R, E) nieskierowany graf dwudzielny sie¢ G0 _{= (V}0_,_E0₎ _{(graf skierowany) tak¡, »e V}0₌_{V ∪ {s, t} oraz}

E0 ₌ _{(_{s, u) : u ∈ L}}

∪ {(u, v) : u ∈ L, v ∈ R, {u, v} ∈ E} ∪ {(v, t) : v ∈ R}.

Przepustowo±¢ c przyjmujemy równ¡ 1 dla ka»dej kraw¦dzi z E0_.

Lemat. Je»eli f jest maksymalnym przepªywem w G0 _to

odpowiadaj¡ce mu skojarzenie M w G jest maksymalne (oraz |M| = |f |).

(62)

Przykªad

Maksymalne skojarzenie H H H H H H @ @ @ @ @ @ H H H H H H @ @ @ @ @ @ w g w g w g w g w g w g w g w g w g L R

(63)

Przykªad

Odpowiadaj¡cy mu maksymalny przepªyw

H H H H H j -@ @ @ @ @ R -H H H H H j @ @ @ @ @ R - * * -H H H H H j @ @ @ @ @ R Z Z Z Z Z ~ XX XX_X_z : > w g w g w g w g w g w g w g w g w g w g w g s t L R - = przepªyw 1/1 = przepªyw 0/1

(64)

-Ko«cowe uwagi

Zªo»ono±¢ omówionego algorytmu znajduj¡cego maksymalne skojarzenie przy pomocy przepªywu wynosi O(|V ||E|). Istniej¡ inne, bardziej efektywne algorytmy poszukiwania maksymalnego skojarzenia, np. algorytm Hopcrofta-Karpa (ze zªo»ono±ci¡ O(p|V ||E|)).

Algorytm Hopcrofta-Karpa i inne najbardziej popularne bazuj¡ na podobnych technikach (drogi powi¦kszaj¡ce), ale s¡ te» inne podej±cia, np. oparte na algorytmach szybkiego mno»enia macierzy i in.

[slajdy]

Maksymalny przepªyw

Kontekst

Kontekst

Kontekst

Problem

Sie¢ przepªywowa

Sie¢ przepªywowa  przykªady

Sie¢ przepªywowa  przykªady

Przepªyw

Przepªyw

Przepªyw

Przepªyw

Przepªyw

Przepªyw dodatni

Przepªyw dodatni

Przepªyw dodatni

Maksymalny przepªyw

Maksymalny przepªyw

Maksymalny przepªyw

Metoda

Sieci residualne

Sieci residualne

Przykªady sieci residualnych

Przykªady sieci residualnych

Droga powi¦kszaj¡ca

Droga powi¦kszaj¡ca

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Przykªady dróg powi¦kszaj¡cych

Poprawno±¢

Algorytm

Algorytm  przebieg I

Algorytm  przebieg I

Algorytm  przebieg I

Algorytm  przebieg I

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Algorytm  przebieg II

Uwagi

Uwagi

Uwagi

Problem

Przykªad

Przykªad

Przykªad

Zastosowania

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Algorytm naiwny

Maksymalne skojarzenie a przepªyw

Przykªad

Przykªad

-Ko«cowe uwagi

Sie¢ przepªywowa przykªady

Sie¢ przepªywowa przykªady

Algorytm przebieg I

Algorytm przebieg I

Algorytm przebieg I

Algorytm przebieg I

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II

Algorytm przebieg II