Wielomiany
Zadania dla wszystkich:
1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu 𝑃(𝑥) przez wielomian 𝑄(𝑥):
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥4+ 3𝑥3− 6𝑥2+ 5𝑥 + 4, 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2;
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥6+ 2𝑥5+ 4𝑥3+ 𝑥2+ 3𝑥 − 7, 𝑄(𝑥) = 𝑥2+ 2𝑥 − 1;
c) 𝑃(𝑥) = 𝑥4− 𝑥3+ 3𝑥2+ 4𝑥 − 2, 𝑄(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥2− 𝑥 − 1.
2. Wyznacz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu:
a) 2𝑥3− 3𝑥2− 8𝑥 − 3;
b) 𝑥4+ 2𝑥3− 2𝑥2− 3𝑥 + 2;
c) 𝑥4− 4𝑥3+ 7𝑥2− 6𝑥 + 2.
Wsk. Sprawdź, czy wielomian ma pierwiastki całkowite (wymierne). (Ma)
3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu 𝑃(𝑥) = 𝑥71+ 4𝑥34+ 3𝑥21− 2𝑥8+ 5 przez wielomian:
a) 𝑄(𝑥) = 𝑥2− 1; b) 𝑄(𝑥) = 𝑥3− 𝑥.
Wsk. Można to zrobić nie wykonując dzielenia.
4. Pewien wielomian przy dzieleniu przez dwumian 𝑥 − 1 daje resztę 4, a przy dzieleniu przez dwumian 𝑥 + 2 resztę −5. Jaka jest reszta z dzielenia tego wielomianu przez wielomian 𝑥2+ 𝑥 − 2?
5. Podane wielomiany rozłóż na czynniki rzeczywiste nierozkładalne (stopnia co najwyżej 2):
a) 𝑥3− 8; b) 3𝑥4− 8𝑥3+ 6𝑥2− 1; c) 𝑥4− 4; d) 𝑥6− 64.
I kilka zadań dodatkowych (dla lubiących matematykę, czyli też dla wszystkich) 6. Podane wielomiany rozłóż na czynniki rzeczywiste nierozkładalne (stopnia co najwyżej 2):
b) 𝑥4+ 4; b) 𝑥6+ 64; c) 𝑥5− 1.
7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu 𝑃(𝑥) = 𝑥71+ 4𝑥34+ 3𝑥21− 2𝑥8+ 5 przez wielomian:
a) 𝑄(𝑥) = 𝑥2+ 1; b) 𝑄(𝑥) = 𝑥2− 2𝑥 + 1.
Wsk. Można to zrobić nie wykonując dzielenia (ale może to wymagać dodatkowej wiedzy) 8. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: √2 + √53 + √2 − √53 czy 1?
9. 𝑃 jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych. Liczby 𝑃(0) i 𝑃(1) są nieparzyste. Czy 𝑃 może mieć pierwiastki całkowite?
10. Niech 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 𝑎1)(𝑥 − 𝑎2) … (𝑥 − 𝑎𝑛) − 1, gdzie 𝑎1, 𝑎2,… 𝑎𝑛, 𝑛 ≥ 2, są różnymi liczbami całkowitymi. Udowodnij, że 𝑊(𝑥) nie jest iloczynem wielomianów stopnia co najmniej 1 o współczynnikach całkowitych.
11. Wykaż, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych 𝑊(𝑥), taki że 𝑊(2) = 5, 𝑊(5) = 14 i 𝑊(14) = 2. (Zamiast 2, 5, 14 można wziąć dowolne trzy parami różne liczby całkowite)
12. Uzasadnij, że funkcja 𝑦 = sin 𝑥 nie jest wielomianem. Podaj 5 (albo więcej) różnych argumentów.
(Jak będzie zapotrzebowanie, to dołożę więcej)
Co trzeba wiedzieć o wielomianach (o współczynnikach rzeczywistych)?
1. Wielomian stopnia 𝑛 ma co najwyżej 𝑛 pierwiastków (liczonych z krotnościami). Jest to prosty wniosek z twierdzenia Bezouta: każdy pierwiastek oznacza czynnik liniowy w rozkładzie, a takich czynników nie może być więcej niż stopień wielomianu.
2. Każdy taki wielomian jest iloczynem czynników nierozkładalnych stopnia co najwyżej 2 (w teorii; w praktyce ze znalezieniem takiego rozkładu różnie bywa).
3. Umiemy znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych (o ile takie są) – twierdzenie 2, str.239, a szczególnie wnioski str.240;
4. Rozwiązanie równania wielomianowego to to samo, co znalezienie pierwiastków tego wielomianu. W podręczniku te tematy występują oddzielnie.
5. Każde tego typu szkolne zadanie sprowadza się (prędzej czy później) do rozwiązania równania liniowego lub kwadratowego.
Jak szybko zbadać krotnos ć pierwiastka wielomianu?
To nic trudnego. Najpierw zdefiniujmy pochodną (algebraicznie, żadnych granic – Keine Grenzen) wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎2𝑥2+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 jako wielomian 𝑊′(𝑥) określony wzorem 𝑊′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1+ (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑥𝑛−2+ ⋯ + 2𝑎2𝑥 + 𝑎1. Jak widać st(𝑊′) = st(𝑊) − 1.
Na przykład: (2)′ = 0, (𝑎)′= 0 , (7𝑥 + 4)′= 7, (𝑎𝑥 + 𝑏)′ = 𝑎, (5𝑥2− 3𝑥 + 2020)′ = 10𝑥 − 3, (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏 , (𝑥4+ 4𝑥3− 13𝑥2)′= 4𝑥3+ 12𝑥2− 26𝑥. Podobnie możemy określić drugą pochodną (pochodną 2. rzędu) jako 𝑊′′(𝑥) = (𝑊′(𝑥))′ i ogólnie pochodną 𝒏-tego rzędu 𝑾(𝒏). Na przykład: 𝑊(𝑥) = 𝑥4+ 5𝑥3− 7𝑥2+ 19𝑥 + 3, 𝑊′(𝑥) = 4𝑥3+ 15𝑥2− 14𝑥 + 19,
𝑊′′(𝑥) = 12𝑥2+ 30𝑥 − 14, 𝑊(3)(𝑥) = 24𝑥 + 30, , 𝑊(4)(𝑥) = 24, 𝑊(5) i wszystkie następne są wielomianami zerowymi.
Niech liczba 𝑥0 będzie pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑥). Aby zbadać jego krotność, wystarczy obliczyć wartości kolejnych pochodnych wielomianu w tym punkcie. Pierwszy numer pochodnej, która jest różna od zera, da nam krotność pierwiastka. Dokładniej:
Twierdzenie: Jeśli 𝑊(𝑥0) = 𝑊′(𝑥0) = 𝑊′′(𝑥0) = ⋯ = 𝑊(𝑘−1)(𝑥0) = 0, ale 𝑊(𝑘)(𝑥0) ≠ 0, to liczba 𝑥0 jest 𝑘-krotnym pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑥).
Dowód: Innym razem 😊
Przykład: Wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥4− 8𝑥3+ 6𝑥2− 1 ma pierwiastki 𝑥1 = −13 i 𝑥2 = 1, które łatwo znajdziemy badając liczby wymierne „podejrzane” o bycie pierwiastkami, tzn. ±1, ±13. Zbadajmy ich krotność. Obliczmy (pierwszą) pochodną 𝑊′(𝑥) = 12𝑥3− 24𝑥2+ 12𝑥. 𝑊′(𝑥1) ≠ 0, a zatem 𝑥1 jest pierwiastkiem 1-krotnym. 𝑊′(𝑥2) = 0, więc liczymy kolejne pochodne: 𝑊′′(𝑥) = 36𝑥2− 48𝑥 + 12, 𝑊′′(𝑥2) = 0, 𝑊(3)(𝑥) = 72𝑥 − 48, 𝑊(3)(𝑥2) ≠ 0. Wreszcie. A więc 𝑥2 = 1 jest pierwiastkiem 3-krotnym. Ponieważ st(𝑊) = 4, a cztery pierwiastki już mamy (licząc z krotnościami), to mamy już wszystko i możemy np. napisać rozkład wielomianu 𝑊 na czynniki nierozkładalne:
𝑊(𝑥) = 3 (𝑥 +1
3) (𝑥 − 1)3 albo 𝑊(𝑥) = (3𝑥 + 1)(𝑥 − 1)3 (wyciągnięcie 3 przed nawias to tzw.
rozkład nieistotny, obie formy są przyjęte).
Do samodzielnego poćwiczenia:
Wyznacz pierwiastki wymierne wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥6− 𝑥5− 4𝑥4+ 2𝑥3+ 5𝑥2− 𝑥 − 2 i zbadaj ich krotność (bez dzielenia wielomianów).
A do czego jeszcze to się może przydać?
Ile cię trzeba cenić, ten tylko się dowie, kto próbował rozwiązać zadanie 7b. Jeśli się nie udało, to teraz można spróbować jeszcze raz. Powinno się udać.
A zadanie 7a to zupełnie inna historia.
[Jeśli będzie zainteresowanie, to będą kolejne odcinki]
