Zadanie 1. Udowodnij tożsamości zbiorów i) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C), ii) A −˙ B = B −˙ A, iii) A −˙ ∅ = A, iv) A −˙ A = ∅, v) A −˙ (B −˙ C) = (A −˙ B) −˙ C, vi) (A −˙ B) ∩ C = (A ∩ C) −˙ (B ∩ C), vii) A′ − ˙ B′ = A −˙ B, viii) (A −˙ B) −˙ B = A.
Zadanie 2. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X A−˙ B = ∅ ⇔ A = B.
Zadanie 3. Załóżmy, że zbiory A i B sa zapisane (w nieuporządkowany sposób) w listach tak, że elementy się nie powtarzają. Znajdź algorytmy zwracające sumę, przecięcie i różnice zbiorów A i B, w listach tak, że elementy się nie powtarzają.
Odp. (Python 3.7) d e f suma (A , B ): C = A . copy () f o r x in B : i f ( x not in A ): C . append ( x ) r e t u r n C d e f p r z e c i e c i e (A , B ): C =[] f o r x in A : i f x in B : C . append ( x ) r e t u r n C d e f roznica (A , B ): C =[]
f o r x in A :
i f x not in B : C . append ( x ) r e t u r n C
Zadanie 4. Niech Xn= {m ∈ Z | ∃k∈Zm= kn}. Oblicz
i) (X′ 2\ X6)′∩ X3, ii) (X6\ X3) \ X2, iii) (X2∩ X3) \ X6. Odp. X6,∅, ∅ Zadanie 5. Niech P(x) = „(2|x) ∨ (3|x)” Q(x) = „x jest liczbą pierwszą” Dla A = {1, . . . , 10} oblicz zbiory
i) {x ∈ A | ¬P (x)}, {x ∈ A | ¬Q(x)}, ii) {x ∈ A | P (x) ∧ Q(x)}, iii) {x ∈ A | P (x) ∨ Q(x)}, iv) {x ∈ A | P (x)→Q(x)}, v) {x ∈ A | P (x)↔Q(x)}. Odp. i) {1, 5, 7}, {1, 4, 6, 8, 9, 10}, ii) {2, 3}, iii) A \ {1}, iv) {1, 2, 3, 5, 7}, v) {1, 2, 3}.
Zadanie 6. Wykaż, że zachodzą równoważności i wynikania i) A ∩ B = A↔A ⊂ B,
ii) A ∪ B = B↔A ⊂ B.
iii) A ⊂ B, C ⊂ D→A ∩ C ⊂ B ∩ D, iv) A ⊂ B, C ⊂ D→A ∪ C ⊂ B ∪ D.
Zadanie 7. Podaj przykład zbiorów, dla których nie zachodzi równość (A \ B) ∪ C = A ∪ (B ∩ C).
Odp. A = B = ∅, C = {1}
Zadanie 8. Uporządkuj zbiory A, B, C według inkluzji: i) A = czworokąty, B = kwadraty, C = prostokąty,
ii) A = {x ∈ N | 2|x}, B = {x ∈ N | 12|x}, C = {x ∈ N | 4|x}, iii) A = {x ∈ N | |x − 3| < 2}, B = {x ∈ N | x2 − 6x + 5 < 0}, C = {x ∈ N | x2 = 9}. Odp. i) B ⊂ C ⊂ A, ii) B ⊂ C ⊂ A, iii) C ⊂ A = B.
Zadanie 9. Znajdź zdanie w języku logiki pierwszego rzędu spełnione do-kładnie w strukturach z
i) jednym elementem,
ii) co najmniej dwoma różnymi elementami, iii) dokładnie dwoma elementami,
iv) co najmniej trzema parami różnymi elementami, v) co najmniej n parami różnymi elementami, vi) dokładnie n parami różnymi elementami. Odp.
ii) ∃x∃y x 6= y,
iii) ∃x∃y (x 6= y) ∧ (∀z (x = z) ∨ (y = z)), iv) ∃x∃y∃z (x 6= y) ∧ (x 6= z) ∧ (y 6= z),
v) λn = ∃x1∃x2. . .∃xn V1≤i<j≤nxi 6= xj,
vi) λn∧ ¬λn+1.
Zadanie 10. Wykaż, że następujące formuły są tautologiami i) (∃y p(y)→∀z q(z))→∀y∀z (p(y)→q(z)),
ii) (∀x∃y r(x, y)→∃x∀y r(y, x))→∃x∀y (r(x, y)→r(y, x)), iii) ∀x∃y ((p(x)→q(y))→r(y))→((∀x p(x)→∀y q(y))→∃y r(y)), iv) ∀x (p(x)→∃y q(y))→∃y(∃x p(x)→q(y)).
Odp.
i) Niech A będzie dowolną strukturą. Formuła jest zdaniem, więc nie zależy od wartościowania ρ. Jeśli A 6|= (∃y p(y)→∀z q(z)), to
A|= (∃y p(y)→∀z q(z))→∀y∀z (p(y)→q(z)).
Przypuśćmy, że A |= (∃y p(y)→∀z q(z)). Oznacza, to że A 6|= (∃y p(y)) lub A |= (∀z q(z)). Pierwszy warunek jest równoważny A |= (∀y ¬p(y)). W obu przypadkach A |= ∀y∀z (p(y)→q(z)), skąd
A|= (∃y p(y)→∀z q(z))→∀y∀z (p(y)→q(z)).
Formuła jest spełniona w dowolnej strukturze A, zatem jest tautologią. Zadanie 11. Sprowadź formuły do postaci preneksowej normalnej.
i) ∃x (¬((∃y p(x, y))→(∃z q(z)→r(x)))),
ii) ∀x∀y (∃z p(x, y, z) ∧ (∃u q(x, u)→∃v q(y, v))). Odp.
i) ∃x (¬((∃y p(x, y))→(∃z q(z)→r(x)))) ≡ ∃x ((∃yp(x, y)) ∧ (∀z q(z) ∧ ¬r(x))) ≡ ≡ ∃x∀z ((∃yp(x, y)) ∧ q(z) ∧ ¬r(x)) ≡ ∃x∀z∃y (p(x, y) ∧ q(z) ∧ ¬r(x)),
ii) ∀x∀y (∃z p(x, y, z) ∧ (∃u q(x, u)→∃v q(y, v))) ≡ ∀x∀y∃z (p(x, y, z) ∧ ((∀u ¬q(x, u)) ∨ (∃v q(y, v)))) ≡ ∀x∀y∃z∀u∃v (p(x, y, z) ∧ (¬q(x, u) ∨ q(y, v))).
Zadanie 12. Niech sygnatura Σ składa się z symboli zmiennych x, y, z sym-boli funkcyjnych f, g jednoragumetowych, symbolu relacyjnego r dwuargu-mentowego i symbolu s trzyargudwuargu-mentowego. Która z formuł
i) r(x, y) ∨ r(y, x), ii) r(x, y) ∧ r(y, x),
iii) s(x, y, z) ∨ s(y, z, x) ∨ s(z, x, y), iv) ∀x (r(x, x)→r(g(x), g(x)),
v) ∀x∃y r(x, y), vi) ∃y∀x r(x, y), vii) ∃x∀y r(x, y),
viii) ∀x∀y (y = f (x)→s(y, y, x)), ix) ∀x∀y (y = f (x)↔s(y, y, x)),
x) ∀y∃x (y = f (x)), xi) ∀y∃x (y = g(x)),
xii) ∀x∀y (f (x) = f (y)→x = y), xiii) ∀x∀y (g(x) = g(y)→x = y), xiv) ∃x r(x, f (f (x))),
xv) ∀x r(x, f (f (x))), xvi) ∀x r(x, f (f (f (x)))),
xvii) (∀x∀y (r(x, y)→r(y, x))) →∃x s(x, x, x), xviii) ∀x∀y ((∃z (r(x, z) ∧ r(z, y))) →r(x, y)) ,
jest spełniona w strukturze A, gdzie A = {1, 2, 3} przy wartościowaniu ρ(x) = 3, ρ(y) = ρ(z) = 2, jeśli fA(1) = 3, fA(2) = 1, fA(3) = 2 gA(1) = 3, gA(2) = 1, gA(3) = 1 rA= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}. sA = {(3, 3, 1), (1, 1, 2), (2, 2, 3), (1, 1, 1)}.
Odp. i) tak ii) nie iii) tak iv) tak v) tak vi) tak vii) nie viii) tak ix) nie x) tak xi) nie xii) tak xiii) nie xiv) tak xv) nie xvi) tak xvii) tak xviii) tak xix) tak
