Liczby zespolone
Wykªad nr 1 • Podstawowe de nicje i wªasno±ci
• Posta¢ algebraiczna i sprz¦»enie
• Moduª i argument
• Posta¢ trygonometryczna
B¦dziemy stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zbiorów liczbowych: N = {1, 2, 3, . . . } - zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, ±1, ±2, . . . } - zbiór liczb caªkowitych, Q =
np
q : p ∈ Z, q ∈ N
o
- zbiór liczb wymiernych, R - zbiór liczb rzeczywistych,
C - zbiór liczb zespolonych.
Oznaczenia tych zbiorów pochodz¡ od pocz¡tkowych liter wy-razów w j¦zyku angielskim i niemieckim:
Notka historyczna 1. Pierwsze próby opisania liczb zespolo-nych miaªy miejsce w XVI wieku. Jako pierwszy Cardano* wykorzystuje formalnie symbol √−1 do obliczania pierwiastków rzeczywistych stopnia trzeciego (patrz wzory Cardana). Liczby zespolone byªy odt¡d stosowane do oblicze«, cho¢ ich istnienie wywoªywaªo liczne spory. Jak podaje Laurence Young w 1820 roku studenci in»ynierii w Pary»u wzniecili bunt przeciwko licz-bom zespolonym twierdz¡c, »e s¡ one zupeªnie bezu»yteczne, a ponadto w ogóle nie istniej¡. Nie dziwi zatem fakt, »e trzy wieki wcze±niej Cardano zostaª uwi¦ziony po zarzutem uprawia-nia czarnej magii. Pierwsz¡ ±cisª¡ teori¦ liczb zespolonych podaª w XIX wieku Gauss. Jego interpretacja liczb zespolonych oraz wprowadzona symbolika s¡ stosowane wspóªcze±nie.
De nicja 1. (liczba zespolona, pªaszczyzna zespolona)
Liczb¡ zespolon¡ nazywamy uporz¡dkowan¡ par¦ liczb rzeczy-wistych, np. (x, y), (u, v), (a, b). Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z, w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych ozna-czamy przez C (z ang. Complex). Mamy zatem
C = {z = (x, y) : x, y ∈ R} .
Uwaga 1. Liczb¦ zespolon¡ z = (x, y) przedstawiamy na pªasz-czy¹nie w postaci punktu o wspóªrz¦dnych (x, y) lub w postaci wektora o pocz¡tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (x, y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn¡ zespolon¡. Wektor o pocz¡tku w punkcie (0, 0)
Rysunek 2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. wiczenie 1. Narysowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej liczby: a) z1 = (3, 2);
b) z2 = (−3, 1); c) z3 = (−2, 0); d) z4 = (0, −2).
De nicja 2. (równo±¢, suma i iloczyn liczb zespolonych) Niech z1 = (x1, y1),z2 = (x2, y2) b¦d¡ liczbami zespolonymi. 1. Równo±¢ liczb zespolonych okre±lamy przez warunek:
z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2 i y1 = y2. 2. Sum¦ liczb zespolonych okre±lamy wzorem:
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2). 3. Iloczyn liczb zespolonych okre±lamy wzorem:
Rysunek 3. Interpretacja geometryczna sumy liczb zespolonych. Rysunek 4. Konstrukcja iloczynu liczb zespolonych.
wiczenie 2. Niech z1 = (0, 1),z2 = (3, −4) oraz z3 = ( √
2, −3). Obliczy¢
a) z1 + z2, z2 + z3; b) z1 · z2,z2 · z3 .
De nicja 3. (ró»nica i iloraz liczb zespolonych)
Niech z1 = (x1, y1),z2 = (x2, y2) b¦d¡ liczbami zespolonymi. 1. Ró»nic¦ liczb zespolonych okre±lamy wzorem:
z1 − z2 = (x1 − x2, y1 − y2). 2. Iloraz liczb zespolonych okre±lamy wzorem:
z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = x1x2 + y1y2 x22 + y22 , x2y1 − x1y2 x22 + y22 ! , o ile z2 6= 0 (tzn. x2 6= 0 i y2 6= 0).
Rysunek 5. Interpretacja geometryczna ró»nicy liczb zespolo-nych. wiczenie 3. Obliczy¢: a) (4, −1) − (−3, 5); b) (−5, 6) − (1, −4); c) (−1, 2) (3, 4) ; d) (0, −6) (0, 2) .
Uwaga 2. Wszystkie reguªy czterech podstawowych dziaªa«
algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mno»enie i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych obowi¡zuj¡ tak»e w zbiorze liczb zespolonych. W szczególno±ci prawdziwe s¡ wzory skróconego mno»enia, wzór dwumianowy Newtona, wzory na sum¦ wyrazów ci¡gu arytmetycznego i geometrycznego itp.
Twierdzenie 1. (zbiór liczb rzeczywistych jako podzbiór zbioru liczb zespolonych)
Liczby zespolone postaci (x, 0), gdzie x ∈ R, maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci: 1. (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0); 2. (x1, 0) − (x2, 0) = (x1 − x2, 0); 3. (x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0); 4. (x1, 0) (x2, 0) = x1 x2, 0 ! , gdzie x2 6= 0.
Uwaga 3. Z wªasno±ci tych wynika, »e zbiór R = {(x, 0) : x ∈ R}e
mo»na uto»samia¢ ze zbiorem liczb rzeczywistych R. B¦dziemy pisali x zamiast (x, 0).
De nicja 4. Liczb¦ zespolon¡ (0, 1) nazywamy jednostk¡ urojon¡ i oznaczamy j¡ przez i, zatem
i := (0, 1).
wiczenie 4. Uzasadni¢, »e liczba i jest rozwi¡zaniem równania z2 + 1 = 0.
Uwaga 4. Zauwa»my, »e z powy»szego ¢wiczenia wynika, »e i2 = −1.
Twierdzenie 2. (posta¢ algebraiczna liczby zespolonej)
Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z = (x, y) mo»na przedstawi¢ w postaci: z = x + iy,
gdzie x, y ∈ R natomiast i jest jednostk¡ urojon¡. Liczb¦ x na-zywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ (z ªac. realis) liczby z, liczb¦ y nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ (z ªac. imaginalis) liczby z. Stosu-jemy oznaczenia:
Rysunek 7. Osie rzeczywista i urojona na pªaszczy¹nie zespo-lonej.
Rysunek 8. Interpretacja geometryczna postaci algebraicznej liczby zespolonej.
Uwaga 5. Dziaªania takie jak dodawanie, odejmowanie, mno»e-nie, dzielenie wykonywanie na liczbach zespolonych danych
w postaci algebraicznej wykonujemy jak na wyra»eniach alge-braicznych, pami¦taj¡c o tym, »e i2 = −1 (st¡d te» bierze si¦ nazwa tej postaci liczby zespolonej). Przy dzieleniu przez liczb¦ zespolon¡ x + iy, gdzie x, y ∈ R, nale»y dzieln¡ i dzielnik po-mno»y¢ przez liczb¦ x − iy, aby w mianowniku uzyska¢ liczb¦ rzeczywist¡.
Twierdzenie 3. (o równo±ci liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone s¡ równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich cz¦±ci rzeczywiste i urojone s¡ równe, tzn.
z1 = z2 ⇐⇒ Re z1 = Re z2 i Im z1 = Im z2.
wiczenie 6. Wyznaczy¢ wszystkie liczby zespolone speªniaj¡ce podane warunki: a) z2 + 4i = 0; b) Re z − 3 Im z = 2; c) Re(iz) > 1; d) z + 2 i − 1 = 3z + i 2 + i ; e) z2 − 6z + 10 = 0.
De nicja 5. (sprz¦»enie liczby zespolonej)
Sprz¦»eniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazy-wamy liczb¦ zespolon¡ z okre±lon¡ wzorem:
z := x − iy.
Liczba sprz¦»ona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii wzgl¦dem osi Re z.
Rysunek 9. Interpretacja geometryczna sprz¦»enia liczby zespo-lonej.
wiczenie 7. Rozwi¡za¢ równania: a) 2z + (3 − i)z = 5 + 4i;
De nicja 6. (moduª liczby zespolonej)
Moduªem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ wzorem:
|z| :=
q
x2 + y2.
Uwaga 6. Moduª liczby zespolonej jest uogólnieniem warto±ci bezwzgl¦dnej liczny rzeczywistej. Geometrycznie moduª liczby zespolonej z jest odlegªo±ci¡ punktu z od pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych. Moduª ró»nicy liczb zespolonych z1, z2 jest dªu-go±ci¡ odcinka ª¡cz¡cego punkty z1 i z2 pªaszczyzny zespolonej.
Rysunek 10. Interpretacja geometryczna moduªu liczby zespo-lonej.
Rysunek 11. Interpretacja geometryczna moduªu ró»nicy liczb zespolonych.
wiczenie 8. Obliczy¢ moduªy podanych liczb zespolonych: a) z = −i; b) z = −1 + √3i; c) z = 1 2 − √ 3 2 i; d z = −5 − 12i.
Twierdzenie 4. (wªasno±ci moduªu liczby zespolonej)
Dla dowolnych z, z1, z2 ∈ C prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci: 1. |z| = |z| = |−z|; 2. z · z = |z|2; 3. |z1 · z2| = |z1| · |z2|; 4. z1 z2 = |z1| |z2|, o ile z2 6= 0.
Rysunek 12. Interpretacje geometryczne równa« i nierówno±ci z moduªem. a) |z − z0| = r; b) |z − z0| 6 r; c) |z − z0| < r; d) |z − z0| > r; e) |z − z0| > r; f) r 6 |z − z0| 6 R; g) |z − z1| = |z − z2|; h) |z − z1| < |z − z2|; i) |z − z1| > |z − z2|.
wiczenie 9. Korzystaj¡c z interpretacji geometrycznej
moduªu ró»nicy liczb zespolonych narysowa¢ zbiory liczb zespo-lonych speªniaj¡cych podane warunki:
a) |z + i| = 3; b) |2iz + 6| 6 4; c) 2 < |z + 2 − i| 6 3; d) |z + 5| = |3i − z|; e) z − 3 z − 3i > 1; f) z + i z2 + 1 6 1; g) |z + 2 − i| 6 |z|.
De nicja 7. (argument liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej z nazywamy ka»dy k¡t ϕ ∈ R speªniaj¡cy ukªad równa«:
cos ϕ = Re z |z| , sin ϕ = Im z |z| .
Ten spo±ród argumentów danej liczby z, który speªnia warunek 0 6 ϕ < 2π nazywamy argumentem gªównym i oznaczmy przez arg z. Ka»dy argument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma posta¢
Uwaga 7. Argumenty liczby zespolonej z s¡ miarami zorientowa-nych k¡tów nachylenia wektora wodz¡cego liczby z do osi rze-czywistej. Argument gªówny liczby zespolonej z jest najmniejsz¡ nieujemn¡ miar¡ zorientowanego k¡ta nachylenia wektora wo-dz¡cego liczby z do osi rzeczywistej.
Rysunek 13. Argumenty liczby zespolonej.
Rysunek 14. Argument gªówny liczby zespolonej.
wiczenie 10. Znale¹¢ argumenty gªówne podanych liczb zespolonych:
Twierdzenie 5. (wªasno±ci argumentu)
Dla dowolnych niezerowych liczb zespolonych z, z1, z2 prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce warunki:
1. arg (z1z2) = arg z1 + arg z2,
2. arg zn = n arg z dla dowolnego n ∈ N, 3. arg z1
z2 = arg z1 − arg z2.
Rysunek 15. Interpretacje geometryczne równa« i nierówno±ci z argumentem:
a) arg z = α;
b) α < arg z 6 β; c) arg (z − z0) = α;
wiczenie 11. Narysowa¢ zbiory liczb zespolonych, które speªniaj¡ podane warunki:
a) arg z = π 4; b) arg (z + i) = π, c) arg (−z) = 2π 3 ; d) arg (1 z) = 5π 6 ; e) arg (z) = 3π 4 ; f) π 2 6 arg (z) < 3π 2 ; g) π 6 6 arg (2 + i − z) 6 π; h) π 4 < arg (z) 6 3π 4 ; i) π 6 6 arg ( 1 z) < π 2; j) −π 6 arg (z + 1) 6 π;
Twierdzenie 6. (posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej) Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z, mo»na przedstawi¢ w postaci:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie r > 0 jest moduªem liczby z, natomiast ϕ ∈ R jest jednym z jej argumentów.
wiczenie 12. Zapisz podane liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: a) z = −1; b) z = 1 + i; c) z = −1 2 − √ 3 2 i.
Twierdzenie 7. (wzór de Moivre'a*)
Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r > 0,ϕ ∈ R oraz niech n ∈ N. Wtedy
zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ).
wiczenie 13. Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a obliczy¢ po-dane pot¦gi liczb zespolonych:
a) (1 + i)10; b) (√3 − i)60; c) (√2i − √2)44.
wiczenie 14. Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a wyprowadzi¢ wzory na: a) sin 3ϕ; b) cos 4ϕ.
De nicja 8. (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem zespolonym stopnia n ∈ N z liczby z nazywamy ka»d¡ liczb¦ ξ ∈ C, tak¡ »e
ξn = z,
i oznaczamy podobnie jak pierwiastek rzeczywisty symbolem
n
√ z.
Twierdzenie 8. (wzór na pierwiastki liczby zespolonej)
Ka»da liczba zespolona z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r > 0,ϕ ∈ R ma dokªadnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków jest postaci: n √ z = {ξ0, ξ1, . . . , ξn−1}, gdzie ξk = √n r cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ n
Uwaga 8. Zbiór pierwiastków stopnia n > 3 z liczby zespolonej z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = |z| oraz ϕ = arg z pokrywa si¦ ze zbiorem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu qn |z| i ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych.
wiczenie 15. Obliczy¢ i narysowa¢ pierwiastki z podanych liczb zespolonych: a) √3 8i; b) √6 −27; c) 4 r −12 + √ 3 2 i; d) 8 √ 1. wiczenie 16. Rozwi¡za¢ podane równania kwadratowe: a) z2 + 3z + 3 − i = 0;
