1 Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
1. Sprawd¹, czy poni»sze zbiory wektorów tworz¡ bazy przestrzeni R3:
(a) [1, 0, 3], [2, 1, 1], [3, 1, 0]; (b) [1, 2, 3], [1, 1, 1], [2, 3, 4];
(c) [3, 2, 1], [0, 0, 1]; (d) [1, 1, 3], [1, 1, 0], [0, 3, 0], [3, 4, 5].
2. Sprawd¹, dla jakich warto±ci x ∈ R poni»sze zbiory wektorów tworz¡ bazy przestrzeni R3:
(a) [1, 3, 4], [2, 1, 5], [1, 8, x]; (b) [1, 2, 3], [3, 4, 9], [1, x, 3]; (c) [1, x, 1], [0, 0, 1], [x, 2x, 3x]; (d) [3, 1, 4], [2, 2, 5], [5, 4x, 7x]. 3. Wska» dwie ró»ne bazy przestrzeni V nad ciaªem k, o ile:
(a) V = R[x]2, k = R; (b) V = M2(k), k dowolne; (c) V = T2(k), k dowolne; (d) V = Q( √ 2), k = Q; (e) V = C, k = R; (f) V = C2, k = R (g) V = { [x1, x2, x3] ∈ R3 : x1= 0 }, k = R; (h) V = { [x1, x2] ∈ R2 : x1 = x2}, k = R.
4. Uzasadnij, »e przestrze« R6 posiada podprzestrzenie o wymiarach 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5. Wska» podprzestrzenie przestrzeni M4(R) wymiaru 3 i 13, oraz podprzestrze« wymiaru 2
zawieraj¡c¡ macierz z M4(R) o trzech niezerowych wspóªczynnikach.
6. Znajd¹ baz¦ przestrzeni:
(a) lin({ [1, 0], [0, 2], [1, 1] }) ⊆ R2; (b) lin({ [1, 0, 1], [0, 2, 3] }) ⊆ R3;
(c) lin({ [0, 4, 10], [0, 2, 5] }) ⊆ R3; (d) lin({ [1, 2, 3], [1, 0, 0], [0, 4, 6] }) ⊆ R3;
(e) lin({ x2+ 1, x, 2x + 1 }) ⊆ R[x]; (f) lin({ x2+ 2, 7, 2x2}) ⊆ R[x];
(g) linnh 1 0 0 0 i ,h20 21 i,h09 21io⊆ M2(R); (h) lin 1 2 3 0 0 0 , 3 2 1 0 0 0 ⊆ M3×2(R).
7. Sprowad¹ do postaci górnoschodkowej a nast¦pnie po górnoschodkowej postaci caªkowicie zredukowanej nast¦puj¡ce macierze:
A1 = h3 6 1 2 i, A2 = h1 1 3 1 2 4 i, A3 = h1 −1 3 −3 4 −4 11 −9 i, A4 = h1 1 1 1 1 2 4 4 4 4 i, A5 = 0 2 1 1 1 2 , A6 = 1 2 2 1 3 2 2 4 4 , A7 = 2 4 1 2 1 4 3 1 4 4 2 4 , A8 = 0 0 0 3 3 0 0 6 6 6 0 3 3 3 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 8. Dla ka»dego i ∈ {1, . . . , 8}, znajd¹ baz¦ podprzestrzeni liniowej w Rnzadanej macierzowym
ukªadem równa« Ai· x = 0, gdzie Ai oznacza macierz z poprzedniego zadania za± x jest
wektorem niewiadomych (podprzestrze« t¡ oznaczamy dalej symbolem Xi).
9. Niech V = { [x1, x2, x3] ∈ R3 : x1+ x2+ x3= 0 }oraz W = { [x1, x2, x3] ∈ R3 : x1 = 0 }.
Wyka», »e R3= V + W oraz zbadaj, czy suma algebraiczna V + W jest sum¡ prost¡.
10. Wyznacz wymiary przestrzeni V0, V00, V0+ V00 oraz V0∩ V00, o ile:
(a) V0 = X 2, V00= lin({ [1, 1, 1] }); (b) V0= X6, V00= lin({ [1, 1, 1], [−4, 0, 2] }); (c) V0 = X 3, V00= lin({ [7, 7, 0, 0] }); (d) V0= X7, V00= lin({ [1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1] }); (e) V0 = X 4, V00= X8; (f) V0= X4, V00= lin({ [0, −2, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0] }). 11. Znajd¹ bazy przestrzeni V0∩ V00 dla poszczególnych par V0, V00 z poprzedniego zadania.
2 12. Niech U1 = lin({ x2, x3+ 1 }) ⊆ R[x]4. Podaj przykªad podprzestrzeni U2 ⊆ R[x]4 taki, »e
dim(U1⊕ U2) = 4 oraz 1 + 2x + 3x2+ 4x3+ 5x4∈ U/ 1⊕ U2.
13. Poni»ej dane s¡ wektory v1, v2, w1, w2, w3 w przestrzeni R3. Wyka», »e v1, v2 s¡
linio-wo niezale»ne, a w1, w2, w3 generuj¡ R3. Nast¦pnie sprawd¹, który spo±ród wektorów
w1, w2, w3 mo»na doª¡czy¢ do v1, v2, aby razem tworzyªy baz¦ R3.
(a) v1 = [1, 1, 1], v2 = [3, 4, 5], w1 = [1, 1, 2], w2= [2, 0, 1], w3= [4, 3, 1];
(b) v1 = [1, 3, 2], v2 = [4, 5, 1], w1 = [1, 2, 1], w2= [1, 4, 7], w3= [3, 5, 2].
14. Poni»ej dane s¡ wektory v1, v2 w przestrzeni R3 (odp. R[x]2). Znajd¹ taki wektor v3 ∈ R2
(odp. v3∈ R[x]2), aby zbiór {v1, v2, v3} byª baz¡ przestrzeni R3 (odp. R[x]2). Czy mo»na
to zrobi¢ tylko na jeden sposób?
(a) v1= [7, 0, 0], v2 = [1, 2, 0]; (b) v1 = [1, 1, 1], v2= [0, 2, 5];
(c) v1= [1, 2, 3], v2 = [3, 2, 1]; (d) v1 = 3, v2= 2x2;
(e) v1= x2+ 2, v2 = 9x; (f) v1 = x2+ x + 1, v2= x + 1.
15. Znajd¹ takie wektory x, y ∈ R4, aby zbiór {x, y, [1, 1, 0, 0], [1, 2, 3, 0]} byª baz¡ przestrzeni
R4. Czy znalezione wektory x, y mo»na zast¡pi¢ wektorami x + y, x − y?
16. Znajd¹ uzupeªniaj¡ce skªadniki proste dla kilku wybranych podprzestrzeni z zada« 6 i 8. 17. Znajd¹ wspóªrz¦dne elementu [3, 6] ∈ R2 w nast¦puj¡cych bazach przestrzeni R2:
(a) [0, 1], [1, 0]; (b) [1, 1], [0, 3]; (c) [1, 2], [2, 1]; (d) [4, 4], [1, 0]. 18. Znajd¹ wspóªrz¦dne elementu x2 + 2x + 1 ∈ R[x]
2 w nast¦puj¡cych bazach przestrzeni
R[x]2:
(a) x2, x, 1; (b) 3x2, 2x, 17;
(c) x2+ 2x + 1, x, 2; (d) x2+ x, x, x2+ x + 1.
19. Znajd¹ wspóªrz¦dne elementuh1 2 3 i
i
∈ M2(C) w nast¦puj¡cych bazach przestrzeni M2(C):
(a) h1 0 0 0i, h 0 1 0 0 i, h 0 0 1 0 i, h 1 1 1 1 i; (b) h i 0 0 i i, h 0 i 0 0 i, h 0 0 i 0i, h 0 0 0 2ii.
20. Znajd¹ wspóªrz¦dne elementu 2+4√2 ∈ Q(√2)w nast¦puj¡cych bazach przestrzeni Q(√2) nad ciaªem Q: (a) √2, 1; (b) 10, 2 +√2; (c) 1 1+√2, 1 + √ 2; (d) 2 1−√2, 2 2+2√2.
21. W bazie B = (x1, x2, x3)przestrzeni liniowej V wektor x ma wspóªrz¦dne 2, 3, 0. Sprawd¹,
czy bazami tej przestrzeni s¡ ukªady (x, x1, x2) oraz (x, x2, x3).
22. Wyznacz macierz przej±cia od bazy B0 do B w przestrzeni V , o ile:
(a) V = R2, B0 z 17.(a), B z 17.(d); (b) V = R2, B0 z 17.(b), B z 17.(c);
(c) V = R[x]2, B0 z 18.(a), B z 18.(b); (d) V = M2(C), B0 z 19.(a), B z 19.(b);
(e) V = Q(√2), B0 z 20.(a), B z 20.(b); (f) V = Q(√2), B0 z 20.(b), B z 20.(c). 23. Wyznacz macierz przej±cia od bazy B0 do B w przestrzeni V wykorzystuj¡c macierze
przej-±cia od bazy standardowej w V do baz B0 oraz odpowiednio B, o ile:
(a) V = R2, B0 z 17.(b), B z 17.(c); (b) V = R2, B0 z 17.(c), B z 17.(d);
(c) V = R3, B0 = ( [1, 0, 0], [2, 1, 1], [3, 1, 0] ), B = ( [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 2] ).
24. Macierz przej±cia od bazy B0 do B = ( [4, 7], [9, 7] ) jest równah1 4
2 1 i. Znajd¹ baz¦ B 0.
