Wojciech Maćkowiak 8 czerwca 2004 roku
Algebra
1. Definicja działania n-elementowego, łącznego, przemiennego, elementu neutralnego, odwrotnego, rozdzielności działań, algebry, algebry określonego typu, podalgebry, homomorfizmu i izomorfizmu grup.
2. Jądro i obraz homomorfizmu ϕ: G1→ G2to odpowiednio podgrupy grup G1, G2.
3. Definicja produktu kartezjańskiego grup i działania w nim, zbioru generatorów grupy i rzędu elementu grupy. 4. Grupa permutacji Sn jest generowana przez elementy rzędu 2.
5. Twierdzenie Calyley’a. 6. Definicja podgrupy normalnej.
7. Podgrupa H jest normalna ⇐⇒ ∀g∈GgHg−1⊆ H.
8. Definicja g1≡ g2⇐⇒ g1g2−1∈ H (relacja równoważności), warstwy lewo i prawostronnej.
9. Wszystkie warstwy są równoliczne. 10. Definicja indeksu podgrupy. 11. Twierdzenie Lagrange’a.
12. Definicja grupy ilorazowej (G/H, [e], ·).
13. Jeżeli HC G, to ϕ: G → G/H, gdzie ϕ(g) = gH = [g] jest homomorfizmem, ker ϕ jest podgrupą normalną. 14. (Twierdzenie o izomorfizmie) Jeżeli f : G G1jest homomorfizmem i surjekcją, to G/ ker f ' G1.
15. Definicja grupy alternującej, grupy prostej, normalizatora zbioru.
16. Twierdzenie Thomsona - każda grupa skończona rzędu nieparzystego nie jest prosta. 17. NH(M ) jest podgrupą grupy H.
18. Moc klasy podziorów sprzężonych ze zbiorem M za pomocą elementów z podgrupy H jest równa |G : NH(M )|.
19. Definicja komutatora, komutanta i centrum grupy.
20. [G, G]C G; G/[G, G] jest abelowa; jeżeli G jest abelowa, to [G, G] = e. 21. Definicja działania grupy G na zbiorze X, definicja G-zbioru.
22. Działanie grupy G na zbiorze X jest zadane ⇐⇒ istnieje odwzorowanie G × X → X takie, że ∀x∈Xex = x,
∀f,g∈G∀x∈Xg(f x) = (gf )x.
23. Definicja orbity i grupy izotropii punktu, działania tranzytywnego, relacji równow. x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈Ggx = x.
24. Gx jest podgrupą G; G(x) i G(y) są albo równe albo rozłączne; jeżeli y = gx, to gGxg−1= Gy.
25. Jeżeli X jest skończony, to ∀x∈X|G| = |Gx| · |G(x)|.
26. Moc skończonego zbioru X, na którym działa p-grupa, to |X| = |XG| mod p.
27. Definicja grupy rozwiązalnej i twierdzenie Thomsona - każda grupa rzędu nieparzystego nie jest rozwiązalna. 28. Twierdzenie Sylowa.
29. Jeżeli |G| = pn· m, (p, m) = 1, p jest pierwsza, to S
p|m i Sp= 1 mod p, Sp to ilość p-podgrup Sylowa w G.
30. Niech |G| = pq, wtedy G jest abelowa postaci Zpq. Jeżeli q ≡ 1 mod p to istnieją takie grupy nieabelowe.
31. Definicja grupy abelowej skończenie generowanej, sumy prostej podgrup, grupy wolnej.
32. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest sumą prostą (produktem) skończonej ilości grup cyklicznych skończonych i nieskończonych.
33. Zbiór elementów skończonego rzędu grupy abelowej skończenie generowanej jest pogdrupą. 34. Jeżeli A jest skończenie genrowana, to podgrupa elementów torsyjnych Atjest skończona.
35. Podgrupa B skończenie generowanej wolnej grupy abelowej A jest wolna. 36. Skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest wolna.
37. Jeżeli A jest skończenie generowaną grupą abelową, to A = At⊕ A/At.
38. Jeżeli |A| = m1· m2, (m1, m2) = 1, to A = m1A ⊕ m2A.
39. Każda skończona p-grupa abelowa jest izomorficzna z Apr1
1 ⊕ . . . ⊕ Ap rs s , gdy |A| = p r1 1 · . . . · prss. 40. Jeżeli b ∈ A, kkb 6= 0 i ma rząd pm, to b ma rząd pm+k. Jeżeli b.
41. Definicja i własności pierścienia, dzielnika zera, homomorfizmu pierścieni, ideału, pierścienia ilorazowego. 42. Każde jądro homomorfizmów pierścieni jest ideałem. Jeżeli f : R1→ R2, to Im(f ) ' R1/ ker(f ).
43. Definicja dziedziny ideałów głównych, charakterystyki ciała K, ideału generowanego przez zbiór A. 44. Przekrój, suma, iloczyn ideałów przemiennych z „1” jest ideałem.
45. Definicja pierścienia szeregów formalnych, wielomianów, stopnia i jego własności, wielomianu unormowanego. 46. f, g ∈ R[x], g unormowany. Wtedy ∃q,r∈R[x]f = g · q + r, oraz deg(r) < deg(g).
47. Jeżeli K jest ciałem, to K[x] jest dziedziną ideałów głównych.
48. Definicja dziedziny, pierścienia funkcji wielomianowych, pierwiastka wielomianu, ideału pierwszego. 49. Twierdzenie B´ezouta. a jest pierwiastkiem f ⇐⇒ (x − a)|f .
50. Ideał I jest pierwszy ⇐⇒ R/I jest dziedziną.
51. Definicja ideału maksymalnego, liczb stowarzyszonych. 52. Każdy pierścień przemienny z „1” ma ideał maksyamlny. 53. Ideał m ⊂ R jest maksymalny ⇐⇒ R/m jest ciałem. 54. Chińskie twierdzenie o resztach i wnioski.
55. Definicja systemu multiplikatywnego, pierścienia ułamków i działania w nim, lokalizacji pierścienia, 56. Jeżeli λ: R → RS, ϕ: R → R1, to ∃!ψ: RS → R1. λ: R → RS jest „1-1” ⇐⇒ ∀x6=06=y∈Sx · y 6= 0 w R.
57. Homomorfizm λ: R → RS jest „1-1” ⇐⇒ żaden element z S nie jest dzielnikiem zera w R.
58. Definicja elementu nierozkładalnego i prostego, pierścienia z jednoznacznością rozkładu. 59. Element p ∈ P jest pierwszy ⇐⇒ ideał (p) jest pierwszy.
60. R dziedzina z jednoznacznym rozkładem ⇐⇒ każdy element 6= 0 nieodwracalny jest iloczynem elmentów nierozkładalnych oraz każdy element nierozkładalny jest pierwszy.
61. R dziedzina ideałów głównych, wtedy ∀a∈Rnieodwracalny i a 6= 0, a jest iloczynem elementów nieodwracalnych.
62. Dziedzina ideałów głównych jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. 63. Jeżeli R jest dziedziną ideałów głównych, to d = N W D(a, b) ⇐⇒ (d) = (a, b). 64. Jednoznaczość rozkładu w pierścieniach wielomianów – twierdzenie Gaussa.
65. Definicja pierścienia Euklidesowego, każdy pierścień Euklidesowy jest dziedziną ideałów głównych. 66. Definicja ciała algebraicznie domkniętego i algebraicznego domknięcia. Zasadnicze twierdzenie algebry. 67. Jedyne nierozkładalne wielomiany C[x] to wielomiany liniowe,
68. Każde ciało jest zawarte w ciele algebraicznie domkniętym. 69. Istnieje liczba pierwsza p taka, że |K| = pn dla pewnego n. 70. Każde ciało skończone ne jest algebraicznie domknięte.
71. Definicja modułu, podmodułu, homomorfizmów modułów, modułów ilorazowych, reprezentacji grupy. 72. Istnienie pierw. wielomianu jest równoważne z istnieniem pierw. wielomnianu o wsp. przy xn−1równym 0. 73. Wzory na pierwiastki równania sześciennego; jeżeli ∆ = 0 to równanie ma pierwiastki wielokrotne.
74. Zależność rozwiązań równania sześciennego od znaku ∆.
