Wykład IV

FIZYKA I

Wykład IV

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (I)

Środek masy

𝑅_ś𝑚 = σ_𝑖=1^𝑁 𝑚_𝑖Ԧ𝑟_𝑖

σ_𝑖=1^𝑁 𝑚_𝑖 = σ_𝑖=1^𝑁 𝑚_𝑖Ԧ𝑟_𝑖 𝑀

𝑅_ś𝑚 = ^׬0

𝑀𝑟𝑑𝑚Ԧ

׬₀^𝑀𝑑𝑚 = ¹

𝑀׬₀^𝑀 Ԧ𝑟𝑑𝑚=¹

𝑀׬₀^𝑉 Ԧ𝑟𝑑𝑉

𝜌 = lim

∆𝑉→0

∆𝑚

∆𝑉 = 𝑑𝑚 𝑑𝑉

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (II)

Oś obrotu i moment bezwładności

r dm

m_i r_i





M

dm r

I





i

i i

m r I

1 2

Moment bezwładności punktu materialnego lub bryły sztywnej pełni w ruchu obrotowym dokładnie tę samą rolę, jak masa tych ciał w ruchu postępowym. Moment bezwładności, który oznaczamy dużą literą I (od inertia), opisuje sposób rozkładu masy wokół osi obrotu.

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (III)

Ruch obrotowy – zasady dynamiki Newtona Moment pędu

v m r

p r

L     







 L ^  I _ ^ L ^  I ˆ _ ^

Siła - moment siły

0 





 

 

 



















v m v

dt p r d

dt p r d

dt p r d dt

L d

M F

dt r p r d

dt L

d    

 









 ^Jeśli zewnętrzny moment siły, to jej ^{do bryły przyłożony jest}

moment pędu zmienia się.

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (IV)

Ruch obrotowy – zasady dynamiki Newtona



 ^{  }



 



 



I M

I M

M M

dt M L

M d

ˆ

0











Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu krzywoliniowego (obrotowego )

Składowa zewnętrznego momentu siły, równoległa do osi obrotu

ustalonej w układzie inercjalnym (lub przechodzącej przez środek

masy), działającego na obracające się ciało równa jest iloczynowi

momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego względem tej

osi.

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (V)

 



 ^{ }



k

m v m r

E

2 1 2

1  



Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się dookoła nieruchomego środka masy nazywamy energią rotacyjną i wyrażamy wzorem:

) 2

2 2

2 (

1

x z zx z

y yz y

x xy zz

zz yy

yy xx

xx

k

I I I I I I

E               

Dla bryły o dowolnym kształcie:

2

2

1 I  E



Dla bryły o symetrii sferycznej:

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (VI)

Toczenie bez poślizgu

Toczenie bez poślizgu jest specyficznym rodzajem ruchu bryły sztywnej, będącym złożeniem ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego wokół środka masy.

Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (VII)

Toczenie bez poślizgu

Ruch postępowy:

Ruch obrotowy:

Oraz:

Ostatecznie:

P F

ma 

sin  

PR I  

 R a 

1

sin sin

mR I a g

R mg ma I









   

Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (VIII)

Toczenie bez poślizgu

Z twierdzenia Steinera:



 F R sin I 

Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia przechodząca przez punkt styku bryły z równią):

mR

I I

 

Więc:

2

2

sin

mR I

R mgR

a     

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (IX)

Bryła sztywna wprawiona w obrót dookoła osi środkowej o największym lub najmniejszym momencie bezwładności (są to osie główne) zachowuje kierunek tej osi w trakcie ruchu w przestrzeni. Te dwie osie główne są to tak zwane swobodne osie obrotu.

Bryła wprawiona w obrót dookoła osi o pośrednim momencie bezwładności w ruchu postępowym koziołkuje. Kierunek osi obrotu zmienia swój kierunek w przestrzeni.

Ciała swobodnie ustawiające się w przestrzeni w trakcie obrotów dążą do takiego ustawienia się, żeby obrót następował dookoła osi o możliwie największym momencie bezwładności.

Taka konfiguracja jest stabilna ze względu na małe zaburzenia, np.

pojawiające się zaburzające momenty sił próbujące

zmienić chwilową oś obrotu.

Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (X)

Obroty bryły sztywnej wokół osi zmiennej w czasie

1. przechodzącej przez jeden ustalony punkt bryły (obrót nieswobodny) 2. przechodzącej przez ŚM ciała (obrót swobodnej bryły sztywnej).

W przypadku (1) będziemy zakładać, że ustalony punkt bryły spoczywa w układzie inercjalnym U. W przypadku (2) ŚM spoczywa w układzie inercjalnym.

W obu przypadkach wprowadzimy układ współrzędnych kartezjańskich U’ związanych ze ŚM bryły sztywnej. Kierunek osi U’ będzie pokrywał się z osiami głównymi bryły. W U’

tensor bezwładności będzie diagonalny. Układ U’ będzie obracał się względem inercjalnego układu U z prędkością kątową ω.

'

' L

dt L L d

dt

M  d    







 

 

 





' ' '

' '

'

, ,

' ' '

, , )

(

, ,

) (

z z y y x x

z y x

z y

x

I I

I I

L t

M M

M t

M

























 







Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (XI)

Obroty bryły sztywnej wokół osi zmiennej w czasie

ROWNANIA EULERA

 

 





' '

'

' ' '

' '

' '

' ' '

' '

' '

y x x

y z

z z

z x z

x y

y y

z y y

z x

x x

I dt I

I d M

I dt I

I d M

I dt I

I d M





































Pojęcia podstawowe i historia Ruch obrotowy bryły sztywnej (XII)

Obroty bryły sztywnej wokół osi zmiennej w czasie Dla M=0 oraz Ixx=Iyy=Izz=I

 

 

  ^const

dt I d

I dt I

I d

const const

dt I d

I dt I

I d

const dt

I d I

dt I I d

z z

z y

x x

y z

z

y y

y z

x z

x y

y

x x

x z

y y

z x

x









































' '

' '

' '

' '

'

' '

' '

' '

' '

'

' '

' '

' '

' '

'

0 0 0



































Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XIII)

Zasada zachowania momentu pędu

const L

dt L

M 

  d       0

0

Jeśli działa siła centralna: F    r  f (r )

const L

dt L r d

f r r F

r

M                   0

0 )

(

W inercyjnym układzie odniesienia:

 









































N

n

n n

CM CM

N

n

n CM

n N

n

n CM

n n N

n

n n n

v m P

P R

J v

R m v

R r

m L

obrotu oś

L L v

r m L

1

1 1

1

, )

(

 





 

 

 





 

 

J_CM moment pędu względem środka masy, R_CM x P moment pędu środka masy względem początku układu

Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XIV)

Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XV)

L _koła -L _koła L _statyw

statyw koło koło

statyw

statyw statyw

koło koło

statyw koło

statyw koło

koło

statyw koło

koło

po przed

I I

I I

L L

L L

L

L L

L

L L









2 2

2

















  







Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XVI)

Precesja to obrót wektora momentu pędu pod wpływem momentu sił zewnętrznych.

S

F=mg R

L=I



Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XVII)

 



















I mgr L

mgr dt

d

dt mgr L d

dt L d

dt L d d

L dL

mgr dt L

g d m r

M dt L

d

P

  



















sin sin

sin sin

 sin



 



Pojęcia podstawowe i historia

Ruch obrotowy bryły sztywnej (XVII)

Gdy oś momentu pędu nie pokrywa się z

osią symetrii bąka, na ruch precesyjny osi

symetrii nakłada się nutacja o okresie T

.

Oś symetrii bąka zakreśla wtedy linię

wężykowatą