KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

KINEMATYKA: opis ruchu ciał bez wnikania w związki mię- dzy ruchem a jego przyczyną (opis geometryczny).

RUCH CIAŁA: zjawisko zmiany położenia ciała w czasie względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome

RUCH JEST POJĘCIEM WZGLĘDNYM UKŁAD ODNIESIENIA 

Z I E M I A

MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciała odbywa się z prędko- ściami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA CZAS: pojęcie pierwotne

CZAS JEST NIEZALEŻNY OD MATERII I PRZESTRZENI.

CZAS JEST NIEODRACALNY.

JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda

KINEMATYKA PUNKTU

OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU 1. Współrzędne prostokątne (kartezjańskie).

2. Wektor wodzący.

3. Naturalny – współrzędna łukowa wzdłuż toru.

4. Inny – współrzędne biegunowe, walcowe, sferyczne.

PODSTAWOWE POJĘCIA

– TOR PUNKTU (trajektoria): linia ciągła, będąca miejscem geometrycznym kolejnych położeń ruchomego punktu w przestrzeni.

– RÓWNANIA RUCHU PUNKTU: x = x(t) y = y(t) z = z(t).

– promień (wektor) wodzący: r = r(t), r = x(t) i + y(t) j + z(t) k r_x = x(t) r_y = y(t) r_z = z(t).

– RÓWNANIE TORU PUNKTU: równanie krzywej otrzymanej z równań ruchu po wyeliminowaniu czasu t.

– CHWILOWOŚĆ RUCHU: badanie parametrów ruchu (po- łożenie, droga, prędkość, przyspieszenie w określonej chwili

czasu t).

Styczna do toru Normalna do toru

Wektor prędkości

MOŻLIWOŚCI OPISU RUCHU PUNKTU W PŁASZCZYŹNIE Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie

r = f₁(t)  = f₂(t) x = r cos y = r sin

Współrzędne biegunowe w przestrzeni

r = f₁(t)  = f₂(t)  = f₃(t) x = r sin cos

y = r sin cos

z =r cos

Współrzędne walcowe

r' = f₁(t)  = f₂(t) z = f₃(t) x = r' cos y = r' sin z  z

Równanie ruchu punktu na torze

s = f(t)

A₀



t = 0, s = 0



s(t) – droga

Z równanie ruchu w prostokątnym układzie współrzędnych obli- cza się współrzędne wektora prędkości i przyspieszenia.

PRĘDKOŚĆ PUNKTU

PRĘDKOŚĆ =

h km s

m CZASU PRZYROST

DROGI PRZYROST

Przyrost promienia – wektora (droga) r r₂(t₂) r₁(t₁)





 Prędkość średnia:









h , km s m t

v_sr r

 

Prędkość chwilowa:

r ( t )

dt r d t lim r v

t 0

 



 



 

 





Zapis wektorowy:

v = v

_x

i + v

_y

j + v

_z

k

dt z v dz

dt y v dy

dt x v dx

z y x



















2 z 2 y 2

x v v

v

v   

v ) v z , v cos(

v, ) v y , v cos(

v , ) v x , v

cos(  ^x   ^y   ^z

PRZYSPIESZENIE PUNKTU

PRZYSPIESZENIE = ₂

s m CZASU

PRZYROST

PRĘDKOŚCI PRZYROST

1

A

śr

O A

1

2

M₁

v₂ v

1 a v₂

v

aśr

v1 ^a v Tor punktu

Hodograf v₂

Przyspieszenie:

– zmiana wartości prędkości – zmiana kierunku wektora

prędkości ^{2 1}

v v

v   







Przyspieszenie średnie:

















 

 ₂

sr s

m s

s m t

a v

 

Przyspieszenie chwilowe: v(t) r(t) dt

v d t a lim v

0 t



 





 





 

 





a = a

x

i + a

y

j + a

z

k

dt z z d dt a dv

dt y y d dt a dv

dt x x d dt

a dv

2 2 z

z

2 2 y

y

2 2 z

x































a a²_x a²_y a²_z

) a x , a cos(

a , ) x , a cos(

a , ) x , a

cos(  ^z   ^z   ^z

.

Hodograf – krzywa wyznaczana przez położenie końca wektora pręd- kości

Opis ruchu za pomocą współrzędnej łukowej

Chwila początkowa t = 00 Tor punktu

s(t)

A

Współrzędna łukowa

Środek krzywizny Prom

ień k rzyw

izny 

a

t

a

_n

a

v

_Styczna do toru Normalna do toru

Współrzędna łukowa: s(t) Wektor prędkości: v

Wektor przyspieszenia: a

Składowa styczna wektora przyspieszenia: a t

Składowa normalna wektora przyspieszenia: a n

Wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany zgodnie z na- rastającymi wartościami s: 

Wektor jednostkowy normalnej do toru (normalna główna): n Prędkość punktu:  

dt v ds

Przyspieszenie punktu: a  a_t a_nn dt

v  ds, dt

a_t  dv ,  v² a_n

2 2

n

t a

a

a   , a_n  0  ruch prostoliniowy Współrzędna łukowa: ^{s }



^{t v(t)dt  s}

0

0 , s₀  s(t  0). Równanie ruchu:

s = s(t)

PODZIAŁ RUCHU:

RUCH PUNKTU:

– prostoliniowy

– po okręgu (ruch harmoniczny prosty) – dowolny (krzywoliniowy

RUCH BRYŁY:

– postępowy – obrotowy – płaski – kulisty – ogólny

Każdy z w/w ruchów może być:

1. przyspieszony niejednostajnie (a lub a) 2. przyspieszony jednostajnie (a = const) 3. jednostajny (v = const)

4. opóźniony jednostajnie (-a = const) 5. opóźniony niejednostajnie (-a lub -a)

t [czas]

v

v₀ v = const, a = 0

a = const

-a = const a

-a a

-a

Prędkość początkowa

RÓWNANIA RUCHU PROSTOLINIOWEGO

Równanie ruchu: x = x(t)

) t ( x ) t ( v a a )

t ( dt x v dx

v _x     _x   

RUCH JEDNOSTAJNY:

v = const  a = 0

1 t

0 t

0

C t v dx v dx v

x 







  

Warunek początkowy:

t = 0 x = x₀ C₁ = x₀ x = x₀ + vt

x

x₀

t₁ x₁

t

^t1

t v

v = const

droga przebyta w czasie (0, t1)

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY:

a = const



^



^{  }





v

v

t

0

0

0

at v v dt

a dv dt

a dv

 



^{      }





t

0

t

0

2 0

0 0

x

x 2

t at v x x dt

) at v ( vdt dx

dt v dx

0

x

t

x₀

t₁

t

v

t₁ v₀

droga przebyta w czasie (0, t1)

a

t

a = const

0 A

x

x₀

x(t)

v a₀ a₀

v₀

a > 0  ruch jednostajnie przyspieszony, a < 0  ruch jednostajnie opóźniony.

Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego:

Droga:

2 t at v x

x

2 0

0

 



Prędkość:

v  v

₀

 at

Przyspieszenie: a = const

Wykresy ruchu punktu materialnego przedstawiono za pomocą programu Excel.

x0 = 0 [m]

v0 = 2 [m/s]

a0 = 1 [m/s²]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 2 1

1 2,5 3 1

2 6,0 4 1

3 10,5 5 1

4 16,0 6 1

5 22,5 7 1

6 30,0 8 1

7 38,5 9 1

8 48,0 10 1

9 58,5 11 1

10 70,0 12 1

x0 = 0 [m]

v0 = -2 [m/s]

a0 = 1 [m/s²]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 -2 1

1 -1,5 -1 1

2 -2,0 0 1

3 -1,5 1 1

4 0,0 2 1

5 2,5 3 1

6 6,0 4 1

7 10,5 5 1

8 16,0 6 1

9 22,5 7 1

10 30,0 8 1

WYKRESU RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONEGO

Wykres prędkości [m/s]

0 2 4 6 8 10 12 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prędkość [m/s]

Wykres drogi

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Droga [m]

Wykres przyspieszeń [m/s2]

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Przyspieszenie [m/s2]

Wykres prędkości [m/s]

-4 -2 0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prędkość [m/s]

Wykres drogi

-5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Droga [m]

Wykres przyspieszeń [m/s²]

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Przyspieszenie [m/s2]

x0 = 0 [m]

v0 = 2 [m/s]

a0 = -1 [m/s²]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 2 -1

1 1,5 1 -1

2 2,0 0 -1

3 1,5 -1 -1

4 0,0 -2 -1

5 -2,5 -3 -1

6 -6,0 -4 -1

7 -10,5 -5 -1

8 -16,0 -6 -1

9 -22,5 -7 -1

10 -30,0 -8 -1

x0 = 50 [m]

v0 = -2 [m/s]

a0 = -1 [m/s²]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 50,0 -2 -1

1 47,5 -3 -1

2 44,0 -4 -1

3 39,5 -5 -1

4 34,0 -6 -1

5 27,5 -7 -1

6 20,0 -8 -1

7 11,5 -9 -1

8 2,0 -10 -1

9 -8,5 -11 -1

10 -20,0 -12 -1

Wykres prędkości [m/s]

-4 -2 0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prędkość [m/s]

Wykres drogi

-35,0 -30,0 -25,0 -20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Droga [m]

Wykres prędkości [m/s]

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Przyspieszenie [m/s2]

Wykres prędkości [m/s]

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prędkość [m/s]

Wykres drogi

-30,0 -20,0 -10,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Droga [m]

Wykres prędkości [m/s]

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Przyspieszenie [m/s2]

RUCH KRZYWOLINIOWY

RÓWNANIE RUCHU: s = s(t)

dt ds t

s t

v s

v

lim

0 t

 

 



 











– wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany zgodnie z narastającymi wartościami s

n – wektor jednostkowy normalnej głównej PRĘDKOŚĆ PUNKTU:   

dt v ds

2 2

2 2

y 2 y 2

x v v (x) (y) (z)

dt v

v  ds         

dt z v dz dt y

v dy dt x

v_x  dx   _y    _z   

WSPÓŁRZĘDNA ŁUKOWA DLA DANEJ PRĘDKOŚCI v(t):



^











 ^t

0

s0

dt ) t ( v s dt

v dt ds

v ds

s₀ = s(0) w chwili t = 0 PRZYSPIESZENIE PUNKTU:





 

 v

v

dt v d dt

dv dt

v

a  d   

 

 

 a a_t a_nn







2 n 2

t a

a

a  

PRZYSPIESZENIE STYCZNE:

dt a_t  dv

PRZYSPIESZENIE DOŚRODKOWE:

 ²

n

a v

Ruch prostoliniowy  an = 0











  















Pochodna funkcji wektorowej zmiennej skalarnej t (czas)

RUCH PUNKTU PO OKRĘGU

 X

Y

t

r n

v

a a

a A 0

Parametry punktu A:

v – prędkość liniowa, styczna do toru an – przyspieszenie dośrodkowe

(normalne)

a – przyspieszenie styczne t

a - przyspieszenie wypadkowe Równanie ruchu: s = f(t), droga: s = r  s = r  (t)

Prędkość punktu po okręgu:

dt rd dt

v  ds  

Prędkość kątowa:

 

 



 



 s

rad dt

d 

_

v  r  

Prędkość kątowa w funkcji obrotów n [obr/min]:

30 n 60

n 2  





Przyspieszenia w ruchu po okręgu dla  = r = const:





 

 



 r

dt r d dt r d dt

a dv ₂

2

t ,





 ₂ s

1 – przyspieszenie kątowe

r r

a v ²

2

n     , a a_t² a_n² r ² ⁴ .

RUCH HARMONICZNY PROSTY

Punkt M – ruch jednostajny po okręgu

Badanie ruchu punktu M’ – rzutu punktu M na oś X

Ruch punktu M’ – ruch prostoliniowy po torze X. Równanie ruchu M’

w czasie t, liczonym od t = 0 (punkt w położeniu A):

x = R·cos(φ +φ0) = R·cos(t + φ₀).

Jest to równanie

ruchu harmonicznego prostego.

0

Prędkość ruchu harmonicznego prostego:

) sin(

dt R

v  dx    t₀ .

Przyspieszenie ruchu harmonicznego prostego:

x ω )

t cos(ω ω

dt R dx dt

a dv ₂ ² ₀ ²

2         



 .

Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia:

Ruch punktu M’ jest ruchem okresowym. Ruch, w którym na- stępuje okresowa zmiana współrzędnej w zakresie od +R do –R

nazywa się ruchem drgającym.

Punkt 0 wokół którego odbywają się drgania – środek drgań.

Amplituda drgań – największa odległość punktu od środka drgań (tutaj: – R).

Okres drgań – przedział czasu T, w którym punkt wychodzący z punktu M₀ wraca do niego.

Faza drgań – kąt φ = ·t.

Stałą  określająca zmiany fazy w jednostce czasu – częstość kątowa (kołowa) drgań.



 2

T .

a

Wzory na ruch po torze i na ruch obrotowy promienia wodzącego OA

RUCH KRZYWOLINIOWY

ZE STAŁYM PRZYSPIESZENIEM (rzut ukośny) a const

0 x

a_x    a_y  y  a

1

x x C

v    v_y  y  at C₂

3

1 t C

C x   

4 2

2

C t 2 C

y  at   

Warunki brzegowe:

0 0

t x

) x

( _  (y)_t0  y₀







 _

 (x) v cos

) v

( _{x t 0}  _{t 0 0} (v_y)_t0 (y)_t0 v₀ sin Stałe całkowania:

0 4 0

3

0 2 0

1

y C x

C

sin v

C cos

v C

















Równania ruchu:

2 t at ) sin v

( y y

t ) cos v

( x x

2 0

0

0 0



















Równanie toru (parabola):

2 2 0

2 0 0

0 (x x )

cos v

2 tg a

) x x ( y

y 

 









Przypadki szczególne:

 rzut ukośny (poziomy)

 rzut pionowy

Przykład rzutu ukośnego przedstawiony za pomocą programu Excel:

DANE WEJŚCIOWE:

22 m/s; 9,81 m/s²

45 ⁰ = 0,785398 rad

x y

0 0,00

2 1,92

4 3,68

6 5,27

8 6,70

10 7,97

12 9,08

14 10,03

16 10,81

18 11,43

20 11,89

22 12,19

24 12,33

26 12,30

28 12,11

30 11,76

32 11,24

34 10,57

36 9,73

38 8,73

40 7,57

42 6,25

44 4,76

46 3,11

48 1,30

50 -0,67

kąt rzutu  

przyspieszenie =

RZUT UKOŚNY

prędkość początkowa v0 =

RZUT UKOŚNY

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 [m]

[m]

KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY

RUCH PŁASKI RUCH KULISTY RUCH ŚRUBOWY

CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI

) t ( r r )

t ( r r )

t ( r

r_A _A _B _B _C _C

   

Z warunku aby 3 punkty nie leżały na jednej prostej:

d r

r c

r r b

r

r_B _A  _C _A  _C _B 



2 2 C B 2

C B

2 C B

2 2 C A

2 C A

2 C A

2 2 B A 2

B A 2

B A

d ) z z ( ) y y ( ) x x (

c ) z z ( ) y y

( ) x x

(

b ) z z ( ) y y

( ) x x

(





































x_A,B,C, y_A,B,C, z_A,B,C współrzędne punktów A, B, C (9) Więzy: 3 równania (b, c, d = const)

CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI MA 6 STOPNI SWOBODY (9 – 3 = 6)

RUCH POSTĘPOWY

W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się po identycznych torach, w każdej chwili posiadają takie same

prędkości i przyspieszenia (wartość, kierunek i zwrot).

Dla analizy ruchu postępowego wystarczy określenie ruchu jednego punktu ciała.

Przykłady ruchu postępowego Inne przykłady:

– ruch tłoka w cylindrze, – ruch klatki dźwigu,

– nieruchomo siedzący pasażer autobusu (pociągu).

RUCH OBROTOWY

W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno związane z ciałem pozostają nieruchome wyznaczając

nieruchomą oś obrotu ciała.

C₁

r

v

C₁

r

v

a

n

at

a

Rozkład prędkości i przyspieszeń w płaszczyźnie pro- stopadłej do osi obrotu ciała.

Dla punktu C: równanie ruchu:

s  r   ( t )

Prędkość punktu: r (t)

dt rd dt

v  ds     .

Prędkość kątowa: 



 

 s

rad dt

d

30 n 60

n 2  



 .

Przyspieszenie styczne:      r dt

r d dt

a_t dv _.

Przyspieszenie kątowe: 



 

 ₂

s rad dt

d .

Przyspieszenie dośrodkowe: r

r r r

a v ²

2 2 2

n       

Przyspieszenie wypadkowe:

a  r  

²

 

⁴

(Porównaj ruch punktu po okręgu)

RUCH PŁASKI

Analiza ruchu płaskiego sprowadza się do badania ruchu jednego przekroju ciała, będącego figura płaską.

Dowolne przemieszczeni figury płaskiej może być dokona- ne za pomocą obrotu wokół punktu zwanego chwilowym

środkiem obrotu.

RUCH PŁASKI JAKO CHWILOWY RUCH OBROTOWY

TWIERDZENIE O RZUTACH PRĘDKOŚCI

Rzuty prędkości dwóch punktów A i B ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

A

B

v

Z

AZ

vA BZ

v B

v

 

W każdej chwili t rzut prędkości v_A na prostą AB równa się rzutowi prędkości vB na tą prostą.

BZ

AZ

v

v 

^→

v

_A

cos   v

_B

cos 

Przykłady ruchu płaskiego

TOCZENIE SIĘ KOŁA PO LINII POZIOMEJ BEZ POŚLIZGU Koło (tarcza) o promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej linii. Środek koła A jest w ruchu jednostajnym, punkt styku C jest chwilowym środkiem obrotu.

Dla danej prędkości v_A(t) otrzymuje się:

r . ) t ( ) a

t ( ) t ( r ,

) t ( ) v

t ( ),

t ( dt v

) t (

a_A  dv^A  _A _A  ^A     ^A Dla znanych funkcji ω(t) oraz ε(t) otrzymuje się:

. r ) t ( ) t ( a , r ) t ( ) t (

v_A   _A  

C

v_A a_A







(t)



(t)

r r r

A A

C C

v_A(t) vA(t)



a_A A

2 3 1

Trzy przypadki toczenia się krążka bez poślizgu:

1. Ruch jednostajny (rys. 1):

. 0 a

, r v

0 ) t ( ,

const )

t

(     _A  _A 



2. Ruch jednostajnie przyspieszony (rys. 2):



^t



^{r, a r.}

v ,

const )

t ( , t )

t

( ₀      _A  ₀  _A 



3. Ruch jednostajnie opóźniony (rys. 3):



( )t



r, a r. v

, const )

t ( , t ) ( )

t

( ₀       _A  ₀   _A 



Prędkości punktów na obwodzie koła wyznacza się metodą superpozycji (wyznaczając składową postępową wektora vA) lub metodą chwilowego środka obrotu. Przyspieszenia wyznacza się metodą superpozycji (skła- dowa postępowa wektora aA).

W przypadku toczenia się koła z poślizgiem, w punkcie styku koła z linią pozioma należy uwzględnić „prędkość poślizgu”  0. Powoduje to zmia- nę położenia chwilowego środka obrotu C.

RUCH PŁASKI SKŁADA SIĘ Z CHWILOWEGO RUCHU POSTĘ- POWEGO ORAZ CHWILOWEGO RUCHU OBROTOWEGO

0 A 0

A

v v

v   





OA v

v_A0 ^{ }OA ^ _A0 ^{ }

 



Chwilowa prędkość kątowa względem bieguna

dt

 d

 = const

AO O

A a a

a  





n AO t

AO

AO a a

a  





Całkowite przyspieszenie punktu A:

n AO t

AO O

A a a a

a   







Prędkość dowol- nego punktu A

Prędkość bieguna 0 (prędkość ruchu postępowego)

Prędkość punktu A względem bieguna 0 (prędkość ruchu obrotowego)

Przyspieszenie punktu A

Przyspieszenie bieguna O Przyspieszenie w chwilowym ruchu obrotowym wokół bieguna A

Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne

RUCH ZŁOŻONY PUNKTU

OXYZ – nieruchomy układ osi współrzędnych O’X’Y’Z’ – ruchomy układ osi współrzędnych Ruch bezwzględny punktu A względem OXYZ: V Ruch względny punktu A względem O’X’Y’Z’: V_w

Ruch unoszenia punktu układu ruchomego O’X’Y’Z’

względem nieruchomego OXYZ: V_u

Prędkość bezwzględna punktu A w ruchu złożonym jest wypad- kową prędkości unoszenia 

V_u i prędkości względnej  V_w.

u

w V

V V  





Przyspieszenie w ruchu złożonym:

C u

w

a a

a

a    







Przyspieszenie Coriolisa – dodatkowe przyspieszenie, wynika- jące z jednoczesności ruchu względnego i ruchu unoszenia.

Przyspieszenie Coriolisa a_C

= 0 w ruchu unoszenia prostolinio- wym oraz gdy wektor 

jest równoległy do wektora v_w .

Przyspieszenie

względne Przyspieszenie

unoszenia

Przyspieszenie Coriolisa

Prędkość względna Prędkość unoszenia