GPS i teorie względności

(1)

GPS i teorie względności

(GPS – Global Positioning System)

Włodzimierz Salejda, Instytut Fizyki PWr

e-mail: wlodzimierz.salejda@pwr.wroc.pl www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/

XIII DFN’2010,

Wrocław, 21 września 2010

(2)

GPS i teorie względności

Plan wykładu

1. Przesłania wykładu ― wprowadzenie 2. Budowa i funkcjonowanie GPS

3. Wyznaczanie położenia obiektu 4. Zastosowania

5. Podsumowanie

(3)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu ―

wprowadzenie do teorii względności

(4)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Żyjemy w świecie czterowymiarowym zwanym czasoprzestrzenią.

Każde wydarzenie, zjawisko ―

zwane zdarzeniem ― ma 4 współrzędne:

(R,ct) ― położenie + „czas”

(x,y,z,ct)

(5)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Prędkość fali elektromagnetycznej c

― w tym światła ― w inercjalnych układach odniesienia jest stała c=299 792 458 m/s.

W artość zaokrągloną 300 000 000 m/s.

Nie zależy ani od ruchu odbiornika ani od ruchu nadajnika.

Sprzeczność ze zdrowym rozsądkiem i codziennym doświadczeniem, zadziwia, zdumiewa, nieintuicyjna ― cecha fal elektromagnetycznych

Fundamentalny postulat szczególnej teorii względności A. Einsteina

(6)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Prędkość fali elektromagnetycznej

c=300 000 000 m/s jest ogromna

W czasie 0,13s okrąża Ziemię wzdłuż równika

W czasie 1ms pokonuje 300 km (Wrocław-Łódź) W czasie 1µs pokonuje 300 m

W czasie 1ns pokonuje 30 cm

(7)

Ogólna teoria względności A. Einsteina

Metryka

Właściwości fizyczne czasoprzestrzeni

Układ współrzędnych przestrzenno-czasowych

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

(8)

Ogólna teoria względności

Rozwiązanie równań Einsteina

Metryka

Pozwala obliczać:

• orbity satelit, planet, komet,

• tempo upływu czasu.

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

(9)

Ogólna teoria względności

Rozwiązanie równań Einsteina

Czas nie jest wielkością absolutną!!!

Nie upływa w równym tempie!!!

Tempo upływu czasu zależy od ruchu zegara oraz od grawitacji!!!

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Metryka

(10)

GPS i teorie względności

Czymże jest czas?

Czas?

(11)

GPS i teorie względności Czymże jest czas?

Słynna odpowiedź św. Augustyna

(Aureliusz Augustyn z Hippony 354-430)

„Jeśli nikt mnie o to nie pyta, wiem!

Jeśli pytającemu usiłuję

wytłumaczyć, nie wiem!

(12)

GPS i teorie względności

Czas i historia sztuki

Co to jest czas?

Odpowiedź wybitnego malarza XX wieku

w jego obrazach

(13)

GPS i teorie względności

Czas — wizje malarskie Salvatore Dali (1)

Salvatore Dali

The Persistence of Memory, 1931 The Persistence of Memory, 1931 The Persistence of Memory, 1931 The Persistence of Memory, 1931

Trwałość pamięci Trwałość pamięciTrwałość pamięci Trwałość pamięci

(14)

Wariacje malarskie S. Dali na temat czasu i pamięci

(15)

One Second Before Awakening from a Dream Caused by the

Flight of a Bee Around a Pomegranate, 1944 Jedna sekunda przed

wybudzeniem spowodowanym lotem pszczoły wokół drzewa

granatu, 1944, Salvatore Dali

Jedna sekunda według S. Dali

(16)

GPS i teorie względności

Czymże jest czas?

Odpowiedź fizyki/fizyków

Podstawowa wielkość fizyczna w SI

Czwarta współrzędna 4-ro wymiarowej

czasoprzestrzeni — rewolucyjna

idea A. Einsteina

(17)

GPS i teorie względności Czymże jest czas?

Koncepcja klasyczna czasu absolutnego

— wedle I. Newtona czas jest wielkością bezwzględną, absolutną niezależną od

przestrzeni i jakichkolwiek czynników

fizycznych; upływa, w jednakowym tempie dla wszystkich we Wszechświecie

niezależnie od układu odniesienia

(18)

GPS i teorie względności Czymże jest czas?

W teorii względności czas i przestrzeń są traktowane równoprawnie, tworzą 4-

wymiarową czasoprzestrzeń

(czas to czwarta

współrzędna obok współrzędnych przestrzennych).

Czas nie ma charakteru absolutnego; tempo upływu czasu zależy od stanu ruchu zegarów

i od pola grawitacyjnego.

Pojęcie jednoczesności zdarzeń zależy od układu odniesienia

(19)

GPS i teorie względności

Ogólna teoria względności określa metrykę

czasoprzestrzeni, tj. związki czasu i przestrzeni z polem grawitacyjnym i rozkładem materii.

Tempo upływu czasu zależy od rozkładu materii.

Niezmiennicze ― niezależne od wyboru układu odniesienia ― są odległości między zdarzeniami w czasoprzestrzeni

a nie przedziały

czasu lub odległości przestrzenne.

(20)

Odpowiedź fizyka/inżyniera

Czas to jedna z 6 wielkości podstawowych w SI.

Jednostką czasu jest sekunda ― jest to czas trwania 9 192 631 770 okresów drgań fali elektromagnetycznej

emitowanej przez spoczywające atomy cezu o liczbie atomowej 133 w temperaturze 0K podczas przejść

elektronów atomów cezu z określonego stanu wzbudzonego atomu do stanu podstawowego

GPS i teorie względności

Czymże jest czas?

^λ≅_{3,3 cm}

(21)

Atomowe zegary cezowe Mierzą czas z dokładności 2 nanosekund na dobę, tj. jednej sekundy na 1,4 milionów lat.

Najnowsze zegary (USA, Francja)

osiągają dokładność jednej sekundy na 17 milionów lat; jest to najdokładniejsza realizacja jednostki wielkości mierzalnej, jaką kiedykolwiek skonstruował człowiek.

Są stosowane w sieciach telefonii komórkowej oraz w Internecie.

Konstrukcja zegara w Szwajcarii, który mierzy czas z dokładnością do jednej sek. na 30 milionów lat.

GPS i teorie względności

Czymże jest czas?

(22)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Odległość między zdarzeniami

w 4-wymiarowym świecie ― w czasoprzestrzeni ―

określa metryka.

Skorzystamy z tej metryki dla przypadków:

•Satelity poruszającego się w płaszczyźnie w stałej odległości od środka Ziemi

•Odbiornika GPS umieszczonego na powierzchni

Ziemi

(23)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Niechaj satelita ma zegar pokładowy i w czasie dτ ― mierzonym na jego pokładzie ―

zakreśla kąt dϕ. Wtedy dwa położenia satelity ― początkowe i po czasie dτ ― dzieli odległość

określona metryką czasoprzestrzeni równa

(24)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu Wyjaśnienie oznaczeń

prędkość światła

czas własny satelity

kwadrat odległości w

czasoprzestrzeni masa

Ziemi stała

grawitacji

czas upływający w

„nieskończoności”

odległość od środka Ziemi

droga kątowa satelity

(25)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Przekształcenie: dzielimy obie strony przez kwadrat (cdτ)

prędkość światła

kwadrat odległości w

czasoprzestrzeni masa

Ziemi stała

grawitacji

czas upływający w

droga kątowa satelity

(26)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Otrzymujemy

kwadrat odległości w czasoprzestrzeni

masa Ziemi stała

grawitacji

czas upływający w

ν_{=rdϕ/dt –}

prędkość satelity

(27)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Otrzymujemy

czas własny

satelity masa Ziemi stała

grawitacji

potencjał pola grawitacyjnego Ziemi odległość od

środka Ziemi

(28)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Wniosek: upływ czasu zależy od pola grawitacyjnego i prędkości obiektu (satelita, odbiornik GPS)

czas własny

grawitacji

potencjał pola grawitacyjnego Ziemi

(29)

GPS i teorie względności

Zgodnie z ogólną teorią względności nie istnieje:

Wyróżniony układ odniesienia

Czas absolutny; tempo upływu czasu zależy od:

ruchu zegara,

pola grawitacyjnego.

(30)

GPS i teorie względności

Budowa i funkcjonowanie GPS

(31)

GPS i teorie względności

Satelitarne systemy pozycjonowania (SSP)

Istniejące SSP

1.GPS ― jednostka zarządzająca: Departament Obrony USA; inicjacja systemu: 1974 r.; pełna gotowość do działania od 1994 r.;

udostępnienie użytkownikom cywilnym: 1993 r.;

R. Reagan, prezydent USA, podjął tę decyzję w 1983 r. po zestrzeleniu w pobliżu wyspy Sachalin 1 IX 1983 przez myśliwiec ZSRR pasażerskiego samolotu Boeing-747 Korean

Airlines z 269 osobami na pokładzie!

2. GLONASS (ГЛОНАСС; ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система; Globalnaja Nawigacionnaja Sputnikowaja Sistiema) ― j. zarządzająca: Min. Obrony Rosji;

inicjacja systemu: 1982 r.; pełna gotowość do działania od 1996 r.

SSP w „budowie”

GALILEO ― system cywilny, jednostka zarządzająca UE i Europejska Agencja Kosmiczna; inicjacja systemu: 2005 r.; pełna gotowość do działania od 2012 r.

(32)

GPS i teorie względności

Satelitarne systemy pozycjonowania

Dwie podstawowe usługi SSP

1. Określenie z podaną niepewnością miejsca przebywania (położenia obiektu: długość i szerokość geograficzna, wysokość nad poziomem morza).

2. Określenie z podaną niepewnością czasu, w którym

dokonano pomiaru współrzędnych miejsca przebywania.

(33)

GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS

Elementy strukturalne

Segment kosmiczny, orbitalny (pajęczyna satelitarna):

• 24 lub więcej satelitów orbitujących w 6 różnych płaszczyznach nachylonych do płaszczyzny równika pod kątem 55

^o

lub 63

^o(wzajemne do siebie pod kątem 60^o) ,

• wysokość 20 162 km, czas obiegu Ziemi 11h58min,

• każdy satelita ma 4 zegary atomowe mierzące czas z dokładnością do 4 nanosekund(!) na dobę;

• każdy satelita gra własną piosenkę, tj. wysyła kodowane sygnały.

Taka konstelacja zapewnia użytkownikowi systemu kontakt z 5, 6, 7 lub 8 satelitami niezależnie od miejsca położenia na Ziemi w dowolnym czasie.

(34)

(35)

Elementy strukturalne (c.d.)

Segment stacji naziemnych: monitorują funkcjonowanie i położenia satelitów, synchronizuje pokładowe i naziemne zegary

atomowe, steruje funkcjonowaniem GPS.

5 stacji pomiarowych: główna w Colorado Springs (USA) + 4 bezobsługowe w paśmie równikowym: na Hawajach, Wyspie Wniebowstąpienia na Atlantyku, Kwajalein na Pacyfiku, Diego Garcia na Oceanie

Indyjskim.

(36)

GPS i teorie względności

Wyznaczanie położenia obiektu. Jak działa GPS?

Segment 4 naziemnych stacji monitorujących

• odmierza i mierzy bardzo dokładnie CZAS;

• monitoruje trajektorie satelitów oraz wysyła informacje o ich parametrach; znajomość

dokładnego położenia satelitów w przestrzeni

jest niezbędna.

(37)

Elementy segmentu naziemnego Stacje monitorujące i sterujące GPS

http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm Wyspa Wniebowstąpienia, Ocen Atlantycki Hawaje, Ocen Wielki

Wyspa Diego Garcia, Ocen Indyjski

Kwajalein, Ocen Wielki Stacja główna, Colorado

Springs, USA

(38)

Segment użytkowników to ważny element naziemnego GPS.

Składa się z odbiorników GPS i społeczności użytkowników.

GPS i teorie względności

Budowa i funkcjonowanie GPS

(39)

GPS i teorie względności

Budowa i funkcjonowanie GPS. Odbiorniki GPS

(40)

Naukowcy, laboratoria naukowe, sportowcy, farmerzy (USA), żołnierze, piloci, ratownicy, turyści, kierowcy samochodów dostawczych i transportowych, firmy transportowe (dyspozytorzy), systemy penitencjarne, żeglarze, drwale, strażacy, geografowie, geodeci

już dziś używają odbiorników GPS, co zwiększa ich produktywność, czyni życie bezpieczniejszym i łatwiejszym.

GPS i teorie względności

Budowa i funkcjonowanie GPS. Wybrani użytkownicy

(41)

GPS i teorie względności

Wyznaczanie położenia obiektu

(42)

(43)

GPS i teorie względności

Układ współrzędnych (WGS-84)

ECEF ― Earth-Centered Earth-Fixed

Prostokątny układ o początku w środku Ziemi, oś OZ jest osią dobowego obrotu Ziemi,

płaszczyzna OXY jest płaszczyzną równikową,

oś OX przecina równik w punkcie o szer. i dł. geogr. 0^o

oś OY przecina równik w punkcie o szer. 0^o i wsch. dł. geogr. 90^o

(44)

Układ ECFC

Ekliptyka

Rysunek z pracy J.B. Rogowski, M. Kłęk

http://uczelniawarszawska.pl/upl/1233741384.pdf

Układ ECFC

(45)

GPS i teorie względności

Układ współrzędnych (WGS-84)

ECEF ― Earth-Centered Earth-Fixed

Układ wirujący wokół osi OZ wraz z Ziemią, której dobowa prędkość kątowa

7,292 115 1467·10

^-5

rad/s

Prędkości punktów na powierzchni Ziemi

Na równiku: vmax=464 m/s; we Wrocławiu 334 m/s (szer. geog. Θ=51^o)

v(Θ)=[464 · cos(Θ)] m/s

(46)

GPS i teorie względności

Odbiornik GPS wyznacza

odległość d

_i

do i-tego satelity ze wzoru

d

_i

= PRĘDKOŚĆ × CZAS

przy założenie stałej wartości prędkości fal elektromagnetycznych

(47)

GPS i teorie względności

Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?

Wyznaczanie odległości d₁, d₂, d₃ i d₄:

d_i= c × (∆ti), gdzie i = 1, 2, 3, 4 numerują kolejne satelity, od których odbiornik zarejestrował sygnały.

Czynnikami decydującymi o dokładności d₁, d₂, d₃ i d₄ są:

1. Pomiary czasów przebiegu sygnału ∆t1, ∆t2, ∆t3 i ∆t4. 2. Znajomość prędkości rozchodzenia się fal

elektromagnetycznych w atmosferze ziemskiej.

(48)

GPS i teorie względności

GPS przesyła do odbiornika położenie r₁ pierwszego satelity oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.

Znając r₁, odbiornik wyznacza czas ∆t₁przebiegu sygnału oraz odległość d₁ odbiornika od pierwszego satelity.

Gdzie znajduje się w ECFC nasz odbiornik?

Gdzieś na sferze S

₁

o:

1.Środku w punkcie r

₁

chwilowego położenia satelity

2.Promieniu d

₁

.

(49)

GPS i teorie względności

Gdzieś na sferze S₂ o:

1. Środku w punkcie r2 chwilowego położenia drugiego satelity.

2. Promieniu d2.

Odpowiedź dokładniejsza:

Na okręgu O

_1,2

, który wyznaczają punkty przecięcia się sfer S

₁

i S

₂

.

GPS przesyła do odbiornika położenie r₂ drugiego satelity oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.

Znając r₂, odbiornik wyznacza czas ∆t₂przebiegu sygnału oraz odległość d₂ odbiornika od drugiego satelity.

(50)

GPS i teorie względności

Gdzieś na sferze S₃ o:

1. Środku w punkcie r₃ chwilowego położenia trzeciego satelity.

2. Promieniu d₃.

Odpowiedź precyzyjniejsza:

W jednym z punktów r

_3,1

lub r

_3,2

, w których sfera S

₃

przecina okrąg O

_1,2

.

GPS przesyła do odbiornika położenie r3 trzeciego satelity oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.

Znając r3, odbiornik wyznacza czas ∆t³przebiegu sygnału oraz odległość d3 odbiornika od trzeciego satelity.

(51)

GPS i teorie względności

Gdzieś na sferze S₄ o:

1. Środku w punkcie r₄ chwilowego położenia czwartego satelity.

2. Promieniu d₄.

Odpowiedź dokładna/precyzyjna:

W jednym punkcie, w którym cztery sfery S

₁

, S

₂

, S

₃

i S

₄

przecinają się!

GPS przesyła do odbiornika położenie r4 czwartego satelity oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.

Znając r4, odbiornik wyznacza czas ∆t⁴przebiegu sygnału oraz odległość d4 odbiornika od czwartego satelity.

(52)

GPS i teorie względności

Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu − ilustracja geometryczna

Prosta animacja działania GPS

(53)

GPS i teorie względności

Matematyczny algorytm pozycjonowania

Wyznaczenie czasoprzestrzennego położenia odbiornika na powierzchni Ziemi (czterowektora) (TZ,R_Z) wymaga

rozwiązania układu 4 równań względem 4 niewiadomych:

( ) ² ^,

2 2

i Z

i

Z r c T t

R − = −

gdzie i = 1, 2, 3, 4 a t_i oraz r_i są czasem i położeniem i-tego satelity;

dane te satelity przesyłają do odbiornika.

Położenie (T_Z,R_Z) wyznacza odbiornik GPS rozwiązując układ czterech powyższych równań względem 4 niewiadowych, tj. (T_Z,R_Z), gdzie R_Zjest

wektorem o trzech współrzędnych w ECFC: R_Z^(x) , R_Z^(y) , R_Z^(z) .

(54)

GPS i teorie względności

Dokładność pozycjonowania od 1 V 2000 r.

• około 10 metrów w kierunku poziomym

• około 20 metrów w kierunku pionowym

• około 20 nanosekund

GPS za pomocą bardziej zaawansowanych

narzędzi zwiększa się dokładnośc do kilku metrów

Fizyczna granica dokładności bez pomiaru fazy fali, to długość fali nośnej równa

c/f=3·10

⁸

[m/s]/1,5·10

⁹

[Hz] = 0,2 m = 20 cm

Większe dokładności pozycjonowania

wymagają pomiaru fazy fali nośnej

(55)

GPS i teorie względności

Podsumowanie

Położenie obiektu jest wyznaczane w oparciu o dane przesyłane do

odbiornika z co najmniej 4 satelitów.

Konieczna jest bardzo precyzyjna

znajomość (efemeryd) położenia 4 satelitów i czasów wysłania przez nie sygnałów

elektromagnetycznych.

(56)

GPS i teorie względności

GPS odmierza czas z dokładnością 4•10

^-9

sekundy na dobę!

DLACZEGO?

Szybkości (tempa) upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich

nie są sobie równe!!!

Różnice te ― podczas jednej doby ― osiągają wartość kilkudziesięciu

mikrosekund!!!

(57)

GPS i teorie względności

GPS odmierza czas z dokładnością 4•10^-9 sekundy na dobę!

Niepewność 1 mikrosekundy pomiaru czasu w przeliczeniu na odległość daje wartość

niepewności położenia 300 m.

Niepewność 10 mikrosekundy pomiaru czasu w przeliczeniu na odległość daje wartość

niepewności położenia 3 km.

Takie rozbieżności czyniłyby GPS

bezużytecznym!

(58)

GPS i teorie względności

Widoczna jest konieczność bardzo dokładnej

synchronizacji zegarów satelitarnych i naziemnych?

Jakie są przyczyny nierównego tempa upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich?

Ile wynoszą rzeczywiste różnice czasu?

Jak je wyznaczamy?

Jak zostały uwzględnione przez projektantów GPS?

(59)

GPS i teorie względności

Efekty teorii względności Einsteina

1. Pole grawitacyjne wpływa na tempo upływu czasu

Przestrzenne rozdzielenie zegarów atomowych na powierzchni Ziemi i na orbitach powoduje, że

zegary atomowe na powierzchni Ziemi idą

wolniej, tj. spóźniają się względem satelitarnych

― znajdują się w silniejszym polu grawitacyjnym,

które spowalnia tempo upływu czasu

(60)

GPS i teorie względności

2. Ruch zegara wpływa na tempo upływu mierzonego przez niego czasu — zegary atomowe orbitalne i ziemskie są w ciągłym

ruchu, co powoduje, że zegary satelit idą wolniej, tj. spóźniają się względem zegarów

ziemskich, spoczywających w ECFC

(61)

GPS i teorie względności

3. Efekt Sagnac’a — dobowy ruch obrotowy Ziemi oraz ruch orbitalny satelitów; wnoszą niepewności pomiaru czasu rzędu 200 ns

(na dobę)

4. Efekt grawitomagnetyczny — dobowy obrót

pola magnetycznego Ziemi, wpływa na tempo

upływu czasu; poprawki są rzędu pikosekund

(10

^-12

sekundy) na dobę i są do zaniedbania!

(62)

GPS i teorie względności

Efekty teorii względności — zajmiemy się

oszacowaniem wpływu dwóch pierwszych ― 1) pola grawitacyjnego,

2) ruchu zegarów

na tempo upływu czasu.

Przywołamy slajd wyświetlony wcześniej

(63)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Tempo upływu czasu zależy od pola grawitacyjnego i prędkości obiektu (satelita, odbiornik GPS)

czas własny

grawitacji

potencjał pola grawitacyjnego Ziemi

(64)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

Dzielimy 2 przez 3

(65)

GPS i teorie względności

Najważniejsze przesłania wykładu

(66)

GPS i teorie względności

Szacowanie wartości grawitacyjnego przesunięcia dla zegarów nieruchomych

(1-x)^1/2 ≈ 1-x/2; R^S = 26,6 tys. km; d_Z= GM_Z/(R_Zc²) = 6,95•10^-10 i d_s.= GM_Z/(R_Sc²) = 1,67•10^-10, otrzymujemy

( ) ¹ ^,

2 1 1 2

d d

2 2

S

Z

d d D

c R

GM c

R

GM f

u f

_Z _S

S

Z Z

S

= − + = − − = −

=

= τ τ

gdzie D=(d_Z— d_s)>0. Zatem u<1, zegar na Ziemi spóźnia się!

Stosunek częstości zegara na orbicie i na Ziemi f_S/f_Z=1 — D<1.

Innymi słowy sygnał wysłany z satelity o częstotliwości f_S odbierany na powierzchni Ziemi ma częst. f_Z= f_S/(1-D)> f_S.

Częstotliwość sygnału rośnie

Czas na orbicie płynie szybciej!!!!

Przesunięcie ku fioletowi!!!

(67)

O ile w ciągu doby spieszą względem ziemnych zegary na orbicie?

Zegary na orbicie spieszą się

względem ziemnego, które idą wolniej.

Tempo upływu czasu jest na orbicie większe, bo T

_Z

/T

_S

= f

_S

/f

_Z

= 1 — D < 1, gdzie D= 5,28•10

^-10

. W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów

osiąga wartość

∆t= D·3600 ·24 s = 45 600 ns = 45,6 mikrosekund.

W tym czasie światło przebywa odległość

∆l = 13 690 m, tj. ponad 13,5 km

(68)

GPS i teorie względności

Jakiego rzędu są efekty kinematyczne?

Uwzględniamy tylko ruch zegara ziemskiego i satelitarnego

v^S = 3 874 m/s, v^Z = 465 m/s; (1-x)^1/2 ≈ 1-x/2

( )

¹ ^,

2 1 1 2

1 2 d

d ² ²

2 2

2

S Z Z

S v v B

c c

v c

v f

u f S Z

S

Z + = + − = +

−

=

= τ

τ

i B=8,2·10^-11>1, zegar na Ziemi spieszy się! Stosunek częstości zegara na orbicie i na Ziemi f_S/f_Z=1 + B >1. Innymi słowy sygnał wysłany z satelity o częstotliwości f_S odbierany na

powierzchni Ziemi ma częst. f_Z= f_S/(1+B) < f_S.

Częstotliwość sygnału maleje Czas na orbicie płynie wolniej!!!!

Przesunięcie ku czerwieni!!!

( ) ⁰

2

1

₂ ₂

2

− >

= v

^S

v

^Z

c

B

(69)

O ile w ciągu doby spieszą względem ziemnych zegary na orbicie?

Zegary na Ziemie spieszą się

względem orbitalnego, które idą wolniej.

Tempo upływu czasu jest na orbicie mniejsze, bo T

_Z

/T

_S

= f

_S

/f

_Z

= 1 + B > 1, gdzie B= 8,2·10

^-11

.

W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów osiąga wartość

∆t= B·3600 ·24 s = 7 804 ns = 7,1 mikrosekund.

W tym czasie światło przebywa odległość

∆l = 2 130 m, tj. ponad 2 km

(70)

GPS i teorie względności

Jakiego rzędu są wspomniane 2 efekty relatywistyczne?

Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskich i

satelitarnym (efekt przesunięcia częstości ku fioletowi i czerwieni)

jest rzędu ∆t ≈39 000 ns = 39 mikrosekund.

W rezultacie zegar atomowy na orbicie spieszy względem ziemnego (idzie szybciej) o 39 mikrosekund na dobę.

W tym czasie światło przebywa odległość ∆l = 11 700 m ≈ 12 km.

. 1 1

2 2

2 1 2

2 2 2

2 2

2

− + + = − + >

−

= D B

c v c

R

GM c

v c

R

GM

S

S Z Z

Z Z

S Z

d d

τ

(71)

GPS i teorie względności

Jakiego rzędu są wyniki końcowe podejścia uwzględniającego wymienione efekty?

Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskich i satelitarnym jest rzędu ∆t= 38 580 ns/24 h =38,58 mikrosekund na dobę.

Oznacza to, że zegar atomowy satelity spieszy się względem ziemnego (idzie szybciej) o 38,58 mikrosekund na dobę.

Jak rozwiązano technicznie ten problem w GPS?

Nominalna częstotliwość pracy systemu wynosi 10,23 MHz.

Zmniejszono więc częstotliwość pracy zegarów satelitów do wartości

( )

. MHz 43

995 999

229 ,

10 MHz 23

, 10 10

4647 ,

4

1

¹⁰

=

×

−

⁻

(72)

Udokładnianie GPSa

W celu udokładnienia pomiaru czasu (oprócz przesunięcia częstości ku fioletowi i czerwieni) i zwiększenia

dokładności pozycjonowania GPS, używa się bardziej zaawansowanych metryk przestrzeni okołoziemskiej uwzględniających:

efekt Sagnaca,

rzeczywisty kształt Ziemi, która nie jest idealną kulą,

dynamikę pola grawitacyjnego i magnetycznego Ziemi wynikającego z jej ruchu obrotowego względem osi

północ-południe.

(73)

GPS i teorie względności

Możliwe zastosowania

1. Rodzice są informowani na bieżąco (on

line), gdzie przebywają ich niepełnoletnie lub pełnoletnie dzieci. I odwrotnie!

2. Żona (mąż) monitoruje (on line) poczynania męża (żony).

3. Uczniowie, studenci wiedzą czy

nauczyciel/nauczycielka lub pani/pan

profesor przyjdzie lub nie na lekcję lub

wykład.

(74)

4. Członkowie GOPR są natychmiast

informowani o zejściu lawiny i dokładnym miejscu położenia przysypanych turystów.

5. Prezydent RP monitoruje na bieżąco wyjazdy ministra spraw zagranicznych rządu

Najjaśniejszej.

6.

Dyktator niedemokratycznego państwa śledzi ruchy przeciwników politycznych. I vice versa.

7.

Pociski rakietowe (np. balistyczne, typu Patriot itp) wysłane przez państwo/organizację X trafiają ze 100%

skutecznością w cel. A innego/innej nie!

GPS i teorie względności

(75)

8. Bezzałogowe samoloty transportują ludzi.

9. Przestępcy, recydywiści, pedofile są monitorowani; nie mają możliwości

zbliżania się do swoich ofiar lub świadków przestępstwa.

10. Kurator sądowy (PC) śledzi na bieżąco, ruchy swoich podopiecznych.

11. Nie ma spornych problemów o miedzę (Sami

Swoi, Kargul podorał miedzę i zawłaszczył nieco ziemi Pawlaków) .

GPS i teorie względności

(76)

12. Polacy nie giną masowo w wypadkach drogowych. Ruch drogowy jest

bezkolizyjny. Firmy ubezpieczające kierowców i pasażerów od następstw

nieszcześliwych wypadków drogowych i odpowiedzialności cywilnej znikają z rynku i bankrutują.

Nie zdajemy egzaminów na prawa jazdy?!

GPS i teorie względności

(77)

Czy w niedalekiej przyszłości

może istnieć takie społeczeństwo?

GPS i teorie względności

(78)

GPS i teorie względności Stwierdzenia końcowe

Funkcjonalność GPS i każdego innego SSP oparta jest na z synchronizowanej pracy systemu

zegarów atomowych, które mierzą czas z dokładnością do nanosekund na dobę, co ze

względu na ogromną prędkość fal

elektromagnetycznych zapewnia precyzyjne pozycjonowanie obiektów na powierzchni Ziemi,

morzach i oceanach, w powietrzu i w wodach.

(79)

GPS i teorie względności

Stwierdzenia końcowe

GPS i każdy inny SSP funkcjonuje dzięki temu, że superdokładne pomiary czasu na odległych i ruchomych zegarach atomowych są w trybie

ciągłym korygowane z uwzględnieniem przewidywań teorii względności

Alberta Einsteina!

(80)

GPS i teorie względności

GPS i każdy inny system satelitarnego pozycjonowania działa efektywnie dzięki

temu, że jego pomysłodawcy, projektanci i konstruktorzy uwzględnili

efekty przewidziane teorią względności

Alberta Einsteina!

(81)

GPS i teorie względności GPS XXI wieku

SYPOR (GALILEO)

System POzycjonowania Relatywistecznego (GALILEO)

Podsystem naziemnych stacji kontrolnych będzie przeniesiony w przestrzeń kosmiczną.

Układem odniesienia (układem współrzędnych)

będzie układ satelitarny!

(82)

GPS i teorie względności

Optical cloks (Optyczne zegary)

http://physicsweb.org/articles/world/18/5/8/1#PWopt4_05-05 Encyclopedia of Laser Physics and Technology

http://www.rp-photonics.com/optical_clocks.html

Przyszłe SSP będą

mierzyły czas za pomocą

zegarów optycznych z dokładnością

do 10^-12sekundy (pikosekund)

na dobę!

Pozwoli to pozycjonować

obiekty na Ziemi i w przestrzeni

okołoziemskiej z co najmniej

centymetrową dokładnością!

(83)

GPS i teorie względności

Dziękuję za uwagę!

(84)

GPS − Albert Einstein na orbicie okołoziemskiej

Dziękuję za uwagę!

(85)

Dziękuję za uwagę!

(86)

Dziękuję za uwagę!

(87)

Dziękuję za uwagę!

(88)

Dziękuję za uwagę!

(89)

GPS i teorie względności

Czym jest/będzie GALILEO, SSP?

System operacyjny:

• wykonujący − określone specyfikacją techniczną − usługi dla użytkowników systemu,

• zapewniający ciągłość i niezawodność

usług.

(90)

GPS i teorie względności

Po co buduje się SSP? Do czego służą?

Dlaczego wydaje się mld €/$ na ich uruchomienie i funkcjonowanie? Koszt Galileo to ponad 3,5 mld €.

Cele

1. Poznawczy − dokładne określenie kształtu i struktury Ziemi, zmian w czasie jej kształtu i struktury, co wpływa na właściwości pola

grawitacyjnego, tj. przestrzeni okołoziemskiej .

2. Praktyczny − możliwie dokładne określenie położenia obiektu w czasie i przestrzeni, co jest kluczowym

elementem technologii przyszłości.

(91)

GPS − Albert Einstein na orbicie okołoziemskiej.

GPS a teoria względności Alberta Einsteina

W celu udokładnienia pozycjonowania przez GPS wzbogacono go o tzw.

różnicowy GPS (Differential GPS) oraz

system referencyjnych stacji naziemnych,

co umożliwia określenie położenia

z dokładnością rzędu metrów!

(92)

GPS i teorie względności

Jak pozycjonuje GPS?

Korekty

Kwestią najważniejszą jest dokładny pomiar czasu. GPS

wyznacza czas potrzebny fali na przebycie drogi od satelitów do odbiornika uwzględniając m.in.:

różne wartości prędkości rozchodzenia się fal

elektromagnetycznych w warstwach atmosfery,

teorię względności A. Einsteina

(93)

GPS i teorie względności

Korekcja odległości

Korekta wyznaczonych wartości odległości uwzględnia strukturę atmosfery ziemskiej

Prędkość fal elektromagnetycznych jest stała w ośrodku jednorodnym (np. w próżni). Fale elektromagnetyczny z satelity docierają do odbiornika GPS poprzez przestrzeń okołoziemską przechodząc po drodze przez jonosferę (obszar zjonizowanych cząsteczek gazu) oraz przez

troposferę, w której zawarta jest para wodna. Powoduje to określone niepewności w „pomiarze” odległości.

(94)

GPS i teorie względności

Korekcja odległości

Niepewności dotyczące prędkości fal

elektromagnetycznych są uzględniane i na podstawie przyjętych modeli

jonosfery oraz troposfery są wyznaczane stosowne poprawki/korekty odległości

d

₁

, d

₂

, d

₃

i d

₄

dzielących obiekt od 4 lub większej liczby

satelitów.

(95)

GPS i teorie względności

GPS odmierza czas z dokładnością 4•10^-9 ⁼4 nanosekundy ^na

dobę. Co to praktycznie oznacza?

Doba ma 24 • 3600 • 10⁹ = 8,64 • 10¹³ nanosekund ≈ 10¹⁴ns.

Niepewność względna pomiaru czasu wynosi

Oznacza to, że pomiar wielkości 10¹⁴ wykonano z dokładnością do 5.

Niepewność względna wyrażona w procentach wynosi (5_•10^-12)%

100 10

5 10

10 4,63 8,64

4

14 14 12

13

= ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

−

(96)

GPS − Albert Einstein na orbicie okołoziemskiej Animacja działania GPS

Prosta animacja działania GPS

(97)

GPS i teorie względności

DLATEGO, że

efekty przewidziane przez A. Einsteina są rzędu

setek i tysięcy nanosekund!

Szybkości (tempa) upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich

nie są sobie równe!!!

(98)

GPS i teorie względności Metryka Schwarzschilda

2 ,

1

2

2 2

2

c v c

t c

s  −



 



 Φ

+

 =



 





d d

gdzie Φ = G MZ /r jest potencjałem Newtona pola

grawitacyjnego Ziemi, t czasem mierzonym w inercjalnym układzie odniesienia umieszczonym w nieskończoności,

ν

prędkością styczną obiektu na orbicie kołowej; ds to przedział czasoprzestrzenny, c − prędkość światła.

(99)

GPS i teorie względności

Zastosujemy metrykę Schwarzschilda dwukrotnie, tj. do zegara na

powierzchni Ziemi i na orbicie; z otrzymanych wyrażeń tworzymy iloraz

gdzie τ_Z(τ_S) to czas mierzony na Ziemi (satelicie), M_Z—masa Ziemi, R_Z(R_S) — promienie trajektorii kołowych zegara na powierzchni Ziemi (na orbicie); G − stała grawitacyjna;

dokładność ilorazu i tym samym GPS jest rzędu O(1/c²)

2 , 1

1 2

2 2 2

2 2 2 2

c v c

R GM

c v c

R GM

S

S Z

Z

Z Z

−

 =





 



S Z

d d

τ

(100)

GPS i teorie względności

Jakiego rzędu są efekty kinematyczne?

Przesunięcie kinematyczne częstości w stronę czerwieni.

Uwzględniamy tylko ruch zegara ziemskiego i satelitarnego

v^S = 3 874 m/s, v^Z = 465 m/s; (1-x)^1/2 ≈ 1-x/2

( )

¹ ^,

2 1 1 2

1 2 d

d ² ²

2 2

2

S Z Z

S v v B

c c

v c

v f

u f S Z

S

Z + = + − = +

−

=

τ τ

i B=8,2·10^-11. Oznacza to, że stosunek częstotliwości zegara na

orbicie i na Ziemi wynosi fS/fZ=1 + B>1. Zegary atomowe na orbicie spóźniają się (idą wolniej); czas na zegarach szybciej poruszających się idzie wolniej!

Przesunięcie ku czerwieni!

( ) ⁰

2

1

₂ ₂

2

− >

= v

^S

v

^Z

c

B

(101)

GPS i teorie względności

Jakiego rzędu są efekty relatywistyczne?

Przesunięcie ku czerwieni powoduje, że zegar na orbicie spóźnia się względem ziemskiego (idzie

wolniej), bo f

S

/f

Z