Definicja: Macierz n×m,n,m∈Zna ciałem K - tablica liczb z ciała K.
, , , 2 , 1
, , 2 , , 1
,
2 1
2 22
21
1 12
11
m j
n K i
a a
a a
a a
a
a a
a
A ij
nm n
n
m m
K K
K K K K K
K K
=
∈ =
=
Działania na macierzach Dodawanie:
=
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
,
=
nm n
n
m m
b b
b
b b
b
b b
b B
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
,
+ +
+
+ +
+
+ +
+
= +
nm nm n
n n n
m m
m m def
b a b
a b a
b a b
a b a
b a b
a b a B A
K
K K
K K
K K
2 2 1 1
2 2 22
22 21 21
1 1 12
12 11 11
,
Grupa abelowa.
Mnożenie przez liczbę:
α α
α
α α
α
α α
α
= α
nm n
n
m m def
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
.
Dodawanie macierzy i mnożenie przez liczbę - przestrzeń wektorowa.
Mnożenie macierzy:
p j
m b i
m j
n K i
aij ij
, , 2 , 1
, , 2 , , 1
, , 2 , 1
, , 2 , , 1
K K K
K
=
∈ =
=
∈ =
∑
=
=
m
k kj ik def
ij a b
c
1
.
Liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej. Zwykle mnożymy macierze kwadratowe i nimi dalej się zajmujemy.
Łączność mnożenia macierzy:
=
=
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑
=
=
= =
= =
n
j jl kj n
k ik jl
n
j n
k kj ik jl
n
j n
k kj
ikb c a b c a b c
a
1 1 1 1
1 1
.
Element neutralny mnożenia: A⋅I= I⋅A= A- macierz jednostkowa:
≠
=
= δ
=
=
j i
j i I
I ij ij
, 0
, 1 ,
1 0
0
0 1
0
0 0
1
K K K K K
K K
- delta Kroneckera.
Macierz transponowana:
( )
ij jiT A
A = - kolumny zamieniamy na wiersze, a wiersze na kolumny
Macierz odwrotna: A⋅A−1 = A1⋅A=I
Przykład: Macierze 2 ×2
=
+ +
+
= +
⋅
=
= − −
1 0
0 , 1
, 1 1
dt cy dz cx
bt ay bz A ax
t A z
y A x
d c
b A a
0 , , ,b c d ≠ a
= +
= +
= +
= +
1 0 0 1
dt cy
dz cx
bt ay
bz ax
−
−
= −
−
a c
b d bc A 1 ad1
ad− bc≠0
Istnienie macierzy odwrotnej wymaga spełnienia określonego warunku (dalej pokażemy, że tym warunkiem jest detA≠0), więc macierze nie tworzą
w ogólności grupy względem mnożenia.
Przykład cd.
Układu równań
= +
= +
f dy cx
e by
ax można zapisać w macierzowej postaci jako
E
AX = , gdzie , , ,
=
=
=
f E e y X x d c
b
A a a rozwiązanie zaś jako
+
−
−
= −
= −
df ce
bf de cb E ad
A
X 1 1
.
Permutacje
Definicja: Permutacja - bijekcja skończonego zbioru w siebie
{
x1,x2, ,xn} {
x (1),x (2), ,x (n)}
X = K → σ σ K σ .
σ σ
σ
= σ
σ (1) (2) (3) ( ) 3
2 1
n n K K
Przykład: Permutacja 5-cio elementowego zbioru
=
σ 2 3 4 1 5
5 4 3 2 1
Definicja: Transpozycja - permutacja polegająca na przestawieniu tylko dwóch elementów zbioru X tzn. ∃i, j σ(i)= j∧σ(j)=i oraz ∀k ≠i, j σ(k)=k.
Przykład:
=
σ 2 1 3 4 5
5 4 3 2
1 - dokonano tutaj transpozycji 1 i 2.
Twierdzenie: Każdą permutację można przedstawić jako złożenie transpozycji Dowód indukcyjny pomijam.
Rozkład permutacji na transpozycje nie jest jednoznaczny.
Twierdzenie: Każdą permutację można przedstawić jako złożenie parzystej albo nieparzystej liczby transpozycji.
Dowód indukcyjny pomijam.
Definicja: Permutacja parzysta - złożenie parzystej liczby transpozycji.
Definicja: Permutacja nieparzysta - złożenie nieparzystej liczby transpozycji.
−
−
− +
= σ
a nieparzyst permutacja
1
parzysta permutacja
1 sgn
Definicja: Wyznacznik macierzy n ×n
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
= ∑
σ
σ σ
σ 1σ(1) 2 (2) ( )
sgn
det n n
def
a a
a
A K
Iloczyn zawiera po jednym wyrazie z każdego wiersza i każdej kolumny, suma przebiega po wszystkich permutacjach drugiego indeksu.
Przykład: Macierz 2×2,
22 21
12 11
a a
a a
21 12 22
detA=a11a −a a
Przykład: Macierz 3 ×3,
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 22 22
detA=a11a a +a a a +a a a −a a a −a a a −a a a .
Własności wyznaczników
1) detA=detAT
= ∑ ∑
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ ⇒ = σ
σ n n T nn
def
a a
a A
a a
a
A sgn 1 (1) 2 (2) ( ) det sgn (1)1 (2)2 ( )
det K K
2) Wniosek z 1): własności wyznaczników dotyczące kolumn macierzy dotyczą automatycznie wierszy.
Macierz A zapisujemy jako
(
A1,A3,A3,L,An)
, Ai - i-ta kolumna3)
( )
(
i i i n) (
i i i n)
n i
i i i
A A
A A A A A A
A A A A A A
A A
A A A A A A
, , , ' , , , , , det ,
, , , , , , , det
, , , ' , , , , , det
1 1
3 3 1 1
1 3
3 1
1 1
3 3 1
K K
K K
K K
+
− +
−
+
−
+
=
+
4) det
(
A1,A3,A3,K,Ai−1,λAi,Ai+1,K,An)
=λdet(
A1,A3,A3,K,Ai−1,Ai,Ai+1,K,An)
5) wniosek z 4): det
(
A1,A3,A3,K,Ai−1,Ai =0,Ai+1,K,An)
=0wyznacznik znika jeśli choć jedna kolumna jest zerowa.
6) det
(
A1,A3,A3,K,Ai,K,Ak,K,An)
=−det(
A1,A3,A3,K,Ak,K,Aj,K,An)
wyznacznik zmienia znak przy zamianie miejscami kolumn.
7) wniosek z 5) det
(
A1,A2,A3,K,Ai = Ak≠i,K,An)
=0 wyznacznik znika jeśli dwie kolumny są sobie równe.Twierdzenie: Jeśli jedna kolumna macierzy jest kombinacją liniową pozostałych, to wyznacznik takiej macierzy znika.
Dowód: Niech A=
(
A1,A2,A3,K,An)
i A1 =α2A2 +α3A3+K+αnAn( ) ( )
(
, , , ,)
det(
, , , ,)
det(
, , , ,)
0det
, , , , det
, , , , det
3 2 3
2 3 3 3
2 2 2
3 2 3
3 2 2 3
2 1
= α
+ + α
+ α
=
α + + α + α
=
n n
n n
n
n n
n n
A A A A A
A A A A
A A A
A A A A A
A A
A A A
K K
K K
K K
K
bo w każdym wyznaczniku powtarza się jedna kolumna, a taki wyznacznik znika.
Wniosek:
(
A,A , ,Ai, ,Aj, ,An)
det(
A,A , ,Ai Aj, ,Aj, ,An)
det 1 2 K K K = 1 2 K +λ K K
Dowód
( ) ( )
( )
4 4 4 4 4
4 3
4 4 4 4 4
4 2
1 K K K
K K K K
K K
0 2
1
2 1 2
1
, , , , , , , det
, , , , , , , det ,
, , , ,
, , det
=
λ +
= λ
+
n j j
n j i n
j j i
A A A A
A
A A A A A A
A A A A A
Twierdzenie: (Cauchy’ego) detAB=detAdetB. Dowód:
=
σ
= σ
=
∑
∑ ∑ ∑
∑
=
σ
σ =
σ
=
σ σ
σ σ
σ
n
k
n k nk n
k
k k n
k
k k
n n
n
n nb a b
a b
a
AB AB
AB AB
1
) ( 1
) 2 ( 2 1
) 1 ( 1
) ( 2
) 2 ( 1 ) 1 (
2
2 2 1
1
sgn 1
) ( )
( ) ( sgn det
K K
Wyznacznik
( )
kn
k
k B B
B , , ,
det 1 2 K jest różny od zera tylko wtedy, gdy żadna z kolumn nie powtarza się, czyli zbiór indeksów
{
k1,k2,K,kn}
odpowiada permutacji zbioru{
1,2,K,n}
tzn.{
k1,k2,K,kn} {
= σ(1),σ(2),K,σ(n)}
. A zatem(
Bk ,Bk , ,Bkn)
det(
B ,B , ,B n)
sgn det(
B ,B , ,Bn)
sgn detBdet (1) (2) ( ) 1 2
2
1 K = σ σ K σ = σ K = σ .
Ostatecznie dostajemy: detAB=
∑
a1 (1)a2 (2) an (n)sgnσdetB=detAdetBσ
σ σ
σ L .
Rozwinięcie Laplace’a
Definicja: Minor Mij macierzy A, to wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A po wykreśleniu z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Przykład: Mamy macierz
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A . Minor M21, to
32 13 23 12 33 32
13 12
21 det a a a a
a a
a
M a = −
= .
Definicja: Dopełnienie algebraiczne Aij elementu aijmacierzy A: Aijdef=
( )
−1i+jMij.Przykład: Mamy macierz
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A .
32 13 23 12 33
32 13 12 1
2
21 ( 1) det a a a a
a a
a
A a =− +
−
= + .
Twierdzenie: (o rozwinięciu Laplace’a). Niech A będzie macierzą n ×n. Zachodzi wówczas równość
∑
=
=
n
i ij ijA a A
1
det .
∑
= n
i ij ijA a
1
jest rozwinięciem wyznacznika macierz A względem j-tej kolumny.
Dowód:
∑ ∑
∑
= σ
σ + σ +
− σ
− σ
+
=
σ
−
=
n
i
n n i i i i j
i ij n
i ij
ijA a a a a a
a
1 '
) ( ' ) 1 ( ' ) 1 ( ) 1 ( ' ) 1 ( ) 1 ( ' 1 1
' sgn )
1
( L L , (*)
gdzie σ' oznacza permutację zbioru {1,2,K,n}, z którego usunięto liczbę i, w zbiór {1,2,K,n}, z którego usunięto liczbę j. Porównajmy teraz wyrażenie (*) z definicją wyznacznika macierzy A tzn.
= ∑
σ
σ σ
σ 1σ(1) 2 (2) ( )
sgn
det n n
def
a a
a
A K . (**)
Widzimy, że zachodzi równość miedzy (*) i (**), jeśli parzystość permutacji σ
zbioru {1,2,K,n} zmienia się o czynnik (− )1i+j, w stosunku do permutacji σ'
zbioru {1,2,K,n}, z którego usunięto liczbę i, w zbiór {1,2,K,n}, z którego usunięto liczbę j. Aby to wykazać rozpatrujemy permutacje σ i σ'
σ
= σ σ
σ
= σ
σ (1) (2) (3) () ( )
3 2 1
n j
i
n i
K K
L
K ,
σ +
σ
− σ σ
σ
+
= −
σ (1) (2) ( 1) ( 1) ( ) 1
1 2
' 1
n i
i
n i
i
K K
L
K .
Usunięcie liczby i i σ )(i = joraz zamianę permutacji σ w permutację σ', można dokonać ustawiając liczby i i σ )(i = j na samym początku (albo samym końcu) wierszy, w których występują. Wówczas liczby te nie będą grały żadnej roli, przy wykonywaniu transpozycji w celu obliczenia parzystości σ'. Takie ustawienie liczby i wymaga ( −i 1)transpozycji, a żeby zaś ustawić liczbę j na początku wiersza potrzeba ( −j 1) transpozycji. Razem musimy wykonać
) 2
(i+ j− transpozycji, czyli parzystość zmienia się o czynnik (−1)i+j−2=(−1)i+j. Gdybyśmy liczby i i σ )(i = j chcieli ustawić na samym końcu odpowiednich wierszy, wtedy musielibyśmy wykonać, odpowiednio, (n −i) i (n − j)
transpozycji. Parzystość permutacji σ w stosunku do permutacji σ', zmieniłaby się, jak poprzednio, o czynnik (−1)2n−i−j =(−1)i+j.
Przykład: Mamy macierz
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A i dokonujemy rozwinięcia
względem pierwszej kolumny.
23 22
13 12 31 1 3 33
32 13 12 21 1 2 33
32 23 22 11 1
1 ( 1) ( 1)
) 1 (
det a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
A= − + + − + + − + .
Twierdzenie: Jeśli macierz ma postać
B C A
0 , gdzie A i Bsą macierzami kwadratowymi, a 0 oznacza macierz zerową to
B B A
C
A det det
det 0 =
.
Dowód indukcyjny:
Prawdziwość twierdzenia, gdy A(1) jest macierzą 1×1 wynika natychmiast ze wzoru na rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny. Łatwo również sprawdzić wzór, gdy A(2) jest macierzą 2 ×2. Zakładamy teraz, że twierdzenie zachodzi dla A(k) będącej macierzą k ×k. Jeśli A( +k 1) jest macierzą (k+1)×(k+1), to przeprowadzając rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny mamy
B A
B A
a B
A a B A
B a C A
k k
k k k
k
k det det det det det
det (0+1) = 11 (11) + 21 (21) + + ( +1)1 (()+1)1 = ( +1)
K .
Ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o rozwinięciu Laplace’a.
Wykład IV cd. Algebra
Macierz odwrotna
Definicja: Macierz A−1nazywa się macierzą odwrotną do A, jeśli
I A A A
A⋅ −1 = 1⋅ = .
Zbiór macierzy odwracalnych tworzy grupę (nieprzemienną) względem mnożenia.
Twierdzenie: Jeśli macierz A ma odwrotną (jest odwracalna), to detA≠0. Dowód:
A A A
A A
AA det
det 1 0
det 1
det det
det −1 = −1= ⇒ ≠ ∧ −1= .
Twierdzenie: Macierz odwrotna do A ma postać
( )
A A ij Aji
det
1 =
− (uwaga na
kolejność indeksów), gdzie Aji jest dopełnieniem algebraicznym macierzy A. Dowód:
( )
n ikj
jk ji n
j
jk ij
k i
k i A A
a A A
a
A =δ
≠
=
=
=
=
∑
∑
=
=
−
, 0
, 1 det det
1 det
1
1 1
1
Aby wyjaśnić przypadek i ≠k, rozważmy sytuację, gdy i=1, j=2. Wtedy
( ) ( )
( )
1 1
2 23
22 22
1 13
12 12
2 23
22
1 13
12
3 2
3 33
32
1 13
12
22 2 1
3 2
3 33
32
2 23
22
12 1 1 1
2 1 22
21 12 11 2 1
+
− +
−
= +
+ +
=
+
+ +
=
∑
n n
n n
nn n
n
n n
nn n
n
n n n
j
n n j
j
a a
a a
a a
a a a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a a a
a a
a a
a
a a
a a
a A a
A a A a A
L L L
L
K L
M O M M
L L
L M O M M
L L
K
W ostatniej macierzy pierwsza kolumna równa jest drugiej. W ogólności, jeśli
k
i ≠ to
∑
= n
j
jk jia A
1
reprezentuje wyznacznik macierzy, której i-ta kolumna równa jest k-tej, a taki wyznacznik znika.
Z twierdzenia wynika, że detA≠0 jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i dostatecznym odwracalności macierzy, czyli macierz A jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy gdy detA≠0.
Przykład: Macierze 2 ×2
, ,
, ,
, det
, A ad bc A11 d A12 c A21 b A22 a d
c b
A a = − = =− =− =
=
≠0
− bc
ad
−
−
= −
=
−
a c
b d bc ad A
A A A
A A 1
det 1
22 12
21 1 11
.
