Wykład II Algebra

Wykład II Algebra

Ciało liczb zespolonych

Liczby zespolone - rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych, w którym rozwiązywalne są wszelkie równania kwadratowe.

Heurystyczne wprowadzenie liczb zespolonych Algebraiczna postać liczb

ib a

z  , aRez część rzeczywista, bImz część urojona, i² 1 (i 1, bo prowadzi do sprzeczności: 1i²  1 1 11) liczba rzeczywista a: zai0

Działania na liczbach zespolonych

2 2 2 1 1

1 a ib , z a ib

z    

Dodawanie: z₁z₂ a₁a₂ i(b₁b₂)

Liczba z’ przeciwna do z: zz'0i00z'z aib

Odejmowanie: z₁z₂ z₁(z₂)

Mnożenie liczb: z₁z₂ a₁a₂ b₁b₂i(a₁b₂ b₁a₂)

Liczba

z

1 odwrotna do z: 1 1 0 1 ¹ _{2 2 2 2} b a i b b a

a i z

z z

 

 









Dzielenie:

2 1 2 1

: 1 z z z

z 

liczba zsprzężona do z: zaib sprzężenie sumy: z₁z₂ z₁z₂

sprzężenie iloczynu: z₁z₂ z₁ z₂

Geometryczna interpretacja liczby zespolonej

Wykład II cd. Algebra

Moduł liczby z: z  zz  a² b² 0

, 

 z

z R

Moduł sumy liczb zespolonych

2 2 1 2 2 1 2

1 z (a a ) (b b )

z     

2 2 2 2 2 1 2 1 2

1 z a b a b

z     

Nierówność trójkąta: z₁z₂  z₁  z₂

Moduł iloczynu liczb zespolonych: z₁z₂  z₁ z₂

Trygonometryczna postać liczby zespolonej

)

sin

(cos   

 z i

z



z z z

z Im

sin Re ,

cos 

 cos(

) sin(

) 

2 1 2

1

z  z z     i   

z

(cos()coscossinsin, sin()sincoscos)

 cos(

) sin(

) 

2 1 2

1

z z

z z z

i

z                

Wzór de Moivre’a









 z i z n i n

z^{n n n n}

 ^{cos   i sin } 

^{ cos( n  )  i sin( n  )}

) 2 sin(

sin cos 2 ), 2 cos(

sin cos

2  ² ²    

n

Wykład II cd. Algebra

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastek n-tego stopnia liczby z to liczba w taka, że zwⁿ. Twierdzenie:

Jeśli z0, to istnieje n różnych pierwiastków n-tego stopnia liczby z.

Dowód Niech w w(cosisin) i z  z(cosisin)

cos( ) sin( )  (cos sin)

 w n i n z z i

w^{n n}









 cos( ) Re( ) cos )

Re(wⁿ wⁿ n z z









 sin( ) Im( ) sin )

Im(wⁿ wⁿ n z z

Z











 z n k k

wⁿ , 2 ,

1/ 2

, , 0,1, ( 1)

n k

w z k n

n

 



   

Przykład

1

3 

 z

n



 



 



 



  



 



  

sin 3 cos 3

1 3 z i

w



 



 



 



 





 



 

 3

sin 2 3

cos 2

2 3 z i

w



 



 



 



 





 



 

 3

sin 4 3

cos 4

3 3 z i

w

Wykład II cd. Algebra

Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych (konstrukcja Hamiltona)

 ^{R R} 

R

R

C    z  ( a , b ) : a  , b 

Działania

) , ( ),

,

( _{1 1 1 2 2}

1 a b z a b

z  

Dodawanie: z₁z₂ (a₁a₂,b₁b₂)

Liczba z’ przeciwna do z: zz'(0,0)z'z(a,b)

Odejmowanie: z₁z₂ z₁(z₂)

Mnożenie liczb: z₁z₂ (a₁a₂ b₁b₂,a₁b₂ a₂b₁)

Liczba

z

1 odwrotna do z: 



 







 



 1 _{2 2} , _{2 2}

) 0 , 1 1 (

b a

b b

a a z

z z

Dzielenie:

2 1 2 1

: 1 z z z

z 

liczba rzeczywista a: (a,0)

liczba urojona b: ( b0, ) (i=(0,1)) C jest ciałem (wykazać).

Zasadnicze twierdzenie algebry

Każde równanie stopnia n o współczynnikach zespolonych

0 0

1 1

1    

a _ z ^ a z a z

a_n ⁿ _n ⁿ  ,

ma co najmniej jeden, a maksymalnie n różnych pierwiastków w ciele liczb zespolonych.