Wykład 11 Całki –

Wykład 11

Całki – po raz pierwszy

Zanim przejdziemy do całek, podamy twierdzenie oraz kilka definicji - potrzebnych do dowodu twierdzenia o przedstawianiu funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych.

Jest to twierdzenie, które wchodzi w zasadzie w zakres Algebry. Ze względów dydaktycznych- zastosowania jego w całkowaniu funkcji wymiernych, zamieściliśmy to twierdzenie w tym wykładzie.

Definicja wielomianu

Wielomianem nazywamy funkcję

w:R→R

lub

w:C→C

taką, że istnieją liczby

0

, ,...,

1 _n

a a a takie, że dla każdego argumentu

x

zachodzi równość

2

0 1 2

( ) ...

_n ⁿ

.

f x = a + a x a x + + + a x Liczby a a a

₀

, , ,...,

_{1 2}

a nazywamy współczynnikami

_n

wielomianu

w.

Definicja stopnia wielomianu

Jeśli w x ( ) = a

₀

+ a x a x

₁

+

₂ ²

+ + ... a x

_n ⁿ

i a

_n

≠ to liczbę naturalną 0,

n

nazywamy stopniem wielomianu

w.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu

w

są równe 0, to stopniem wielomianu

w

nazywamy symbol

−∞.

Stopień wielomianu

w

oznaczmy symbolem deg( ). w Z definicji stopnia wielomianu wynika, że deg( w v ⋅ = ) deg( ) deg( ) w + v oraz że

deg( w v + ≤ ) max(deg( ),deg( )). w v

Definicja największego wspólnego dzielnika dwóch wielomianów

Nawiększym wspólnym dzielnikiem wielomianów

w

i

v

nazywamy wielomian

d

najwyższego stopnia spośród tych, które są jednocześnie dzielnikami

w

i

v

, którego współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej równy jest 1 (tj. wielomian unormowany).

Największy wspólny dzielnik wielomianów w v oznaczamy , nwd w v ( , ).

Twierdzenie podstawowe o największym wspólnym dzielniku

Jeśli co najmniej jeden z wielomianów

w

i

v

jest różny od zera, to istnieje dokładnie jeden największy wspólny dzielnik, każdy inny wspólny dzielnik, każdy inny wspólny dzielnik wielomianów

w

i

v

jest dzielnikiem nwd w v istnieją wielomiany , ( , ), p q , takie że

( , ) .

nwd w v = pv qw +

Dowód

Rozważmy zbiór P wszystkich niezerowych wielomianów postaci

pv qw+ .

Oczywiście

w

i

v

należą do P (o ile stopnie są nieujemne) : w = ⋅ + ⋅ 1 w 0 , v

v= ⋅ + ⋅0 w 1 .v

Wobec tego zbiór P ma co najmniej jeden element. Niech

d P∈

będzie wielomianem unormowanym najniższego stopnia spośród należących do

P.

( Jeśli do P należy wielomian stopnia α , to należy również wielomian unormowany stopnia α ). Wykażemy, że d = q w p v

₀

+

₀

jest wspólnym dzielnikiem obu wielomianów

w

i

v

. Niech w qd r = + dla pewnych wielomianów q , r , przy czym deg( ) deg( ). r < d Wtedy

0 0 0 0

( ) (1 ) .

r w qd = − = − w q q w p v + = − qq w qp v − Ponieważ deg( ) deg( ), r < d więc 0, r = co oznacza, że

d

jest dzielnikiem wielomianu

w

. Ten sam argument przekonuje nas, że wielomian

d

jest dzielnikiem wielomianu

v.

Jasne jest też, że każdy wspólny dzielnik wielomianów , w v jest dzielnikiem p v q w d

₀

+

₀

= co kończy dowód twierdzenia. ,

Definicja dzielnika właściwego

Dzielnikiem właściwym wielomianu

w

nazywamy każdy jego dzielnik stopnia dodatniego i jednocześnie mniejszego niż deg( ). w

Definicja wielomianu nierozkładalnego

Wielomianem nierozkładalnym (czyli pierwszym) nazywamy wielomian, który nie ma dzielników właściwych.

Definicja funkcji wymiernej

Funkcją wymierną nazywać będziemy funkcję, którą można przedstawić w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Jej dziedziną będzie zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych), dla których mianownik ilorazu zapisanego w postaci nieskracalnej jest różny od 0. Wypada od razu stwierdzić, że w takiej sytuacji licznik i mianownik nie mają wspólnych pierwiastków ( w zbiorze dopuszczalnych współczynników). Definicja ta nie jest całkiem zgodna z używanymi w standardowych podręcznikach szkolnych, których nie jesteśmy w stanie pojąć.

Definicja ułamków prostych

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną, której mianownik jest potęgą wielomianu nierozkładalnego, a licznik wielomianem stopnia niższego niż wielomian nierozkładalny, którego potęgą jest mianownik.

Ułamkami prostymi są więc np. funkcje 2 1 ,

x +

₂

7 1 , x x x

+

+ +

₂

13

₃₇

( 5) ,

x x

−

+ 23

₁₀₀

( x − 9) . Funkcje 3 ,

1 x x

−

−

₂

100

3 2

x

x x

+

+ + ułamkami prostymi nie są. Jasne jest, że ułamki proste są nieskracalne.

Twierdzenie o przedstawianiu funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych Każdą funkcje wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych. Przedstawienie takie jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności składników, jeśli każdy mianownik może wystąpić tylko raz, a wszystkie liczniki są różne od 0.

Dowód

Jest jasne, że każdą funkcję wymierną L

M przedstawić można w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik jest stopnia niższego niż mianownik – wystarczy podzielić licznik z resztą przez mianownik: L QM R = + , wtedy L R .

M = + Q M Druga obserwacja to stwierdzenie, że jeśli mianownik M jest iloczynem dwóch wielomianów względem pierwszych M = M M

_{1 2}

, to można funkcje wymierną zapisać w postaci sumy funkcji wymiernych o mianownikach M M Wystarczy skorzystać z twierdzenia podstawowego o

₁

,

₂

. największym wspólnym dzielniku: istnieją wielomiany L L takie, że

₁

,

₂

1 = L M

_{1 1}

+ L M

_{2 2}

,

zatem

^{1 1 2 2 2 1}

1 2 1 2

( )

R L M L M RL RL . R

M M M M M

= + = + Te uwagi pozwalają na stwierdzenie, że funkcję wymierną można przedstawić w postaci w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernych, których mianowniki mają stopnie większe niż liczniki i nie można ich przedstawić w postaci wielomianów względem pierwszych ( stosujemy indukcję względem stopnia mianownika).

Jeśli wielomianu nie można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów względem pierwszych, to musi on być potęgą wielomianu nierozkładalnego: w rozkładzie na czynniki nierozkładalne może wystąpić tylko jeden czynnik, oczywiście może on wystąpić wielokrotnie. Następnie można zmniejszać stopień licznika dzieląc go z resztą przez nierozkładalny czynnik mianownika. To kończy nieco gawędziarskie uzasadnienie istnienia rozkładu. Kolej na jednoznaczność. Załóżmy, że

₁ ¹ ₂ ²

1 2

p p ,

w w

q q

+ = + gdzie w w p p q q

₁

,

₂

, ,

_{1 2}

, ,

_{1 2}

są wielomianami przy czym deg( ) deg( ) p

_i

< q

_i

dla i = 1, 2. W tej sytuacji mamy (proszę sprawdzić) ( w

₁

− w q q

₂

)

_{1 2}

= p q

_{2 1}

− p q

_{1 2}

. Przy czym deg( q q

_{1 2}

) deg( > p q

_{2 1}

− p q

_{1 2}

), zatem

1 2

deg( w − w ) 0 < co oznacza, że w

₁

− w

₂

= czyli 0, w

₁

= w

₂

. Stąd automatycznie wnioskujemy, że

^{1 2}

1 2

p p .

q = q Co kończy dowód twierdzenia.

Warto też dodać, że rozważane bywają również nieskończone sumy ułamków prostych.

Przedstawianie funkcji w takiej postaci pozwala niejednokrotnie na zręczniejsze badanie ich własności.

Całki

Operacja odwrotna do różniczkowania nazywana jest całkowaniem. Dana funkcja traktowana jest jako pochodna pewnej funkcji, którą trzeba znaleźć. Zaczniemy od definicji.

Definicja funkcji pierwotnej czyli całki nieoznaczonej

Niech

G⊂R

będzie sumą pewnej rodziny rozłącznych przedziałów. Jeżeli : f G → R jest funkcją na zbiorze

G

, to każdą funkcję F : G → R , dla której równość '( ) F x = f x ( ) ma miejsce dla każdego

x∈G

nazywamy funkcją pierwotną lub całką nieoznaczoną funkcji . f Stosujemy oznaczenie F x ( ) = ∫ f x dx ( ) .

Zauważmy, że jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji , f to dla każdej liczby rzeczywistej

C

funkcja

F C+

też jest funkcją pierwotną funkcji f Zachodzi .

Twierdzenie o jednoznaczności funkcji pierwotnej

Jeżeli P jest przedziałem : f P → R funkcją a F i

₁

F jej funkcjami pierwotnymi, to istnieje

₂

liczba , C ∈ R taka że dla każdego

x∈ P

zachodzi równość F x

₂

( ) = F x

₁

( ) + C .

Teza wynika natychmiast z tego, że pochodną funkcji F

₂

− jest funkcja tożsamościowo F

₁

równa 0, więc funkcja F

₂

− jest stała. F

₁

Podkreślić od razu wypada, że jeśli dziedzina funkcji f nie jest przedziałem, to teza przestaje być prawdziwa. Funkcja

ln x

jest funkcją pierwotną funkcji 1

x . Niech

F x₁( ) ln .= x

Niech

2

( ) 1 ln

F x = + x dla

x>0

i F x

₂

( ) ln( = − dla x )

x<0.

Jasne jest, że 1 '( )

F x = dla każdego x 0,

x ≠ więc F jest funkcją pierwotną funkcji ln , podobnie jak

₂

F Funkcja

₁

. F

₂

− F

₁

przyjmuje jednak dwie wartości, mianowicie 0 dla

x<0

oraz 1 dla

x>0.

Nie jest więc stała na każdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji f Czasami taką funkcję nazywamy . lokalnie stałą albo przedziałami stałą. W dalszym ciągu będziemy, zgodnie z przyjętym zwyczajem, pisać

∫ f x dx F x ( ) = ( ) + C ,

jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , przy czym

C

oznaczać tu będzie zawsze funkcję lokalnie stałą, czyli funkcję, która jest stała na każdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji . f

Przykłady 1. ∫ dx x C = + . 2. ∫ e dx e

^x

=

^x

+ C . 3. cos ∫ xdx = sin x C + . 4. sin ∫ xdx = − cos x C + . 5. 1

ln .

dx x C

x = +

∫

6. 1

¹

1

a a

x dx x C

a

=

+

+

∫ + ^dla

^{a≠ −1}

i każdego

x

, dla którego funkcja x jest określona.

^a

Jeśli

a>0

jest liczbą wymierną postaci ,

2 1

k

m + , k m całkowite, to dziedziną tej funkcji jest

.

R

Jeśli

a<0

jest liczbą wymierną postaci ,

2 1

k

m + , k m całkowite, to dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0. jeśli

a>0

jest liczbą rzeczywistą innej postaci to dziedziną jest [0, ), ∞ w przypadku a < które jest w postaci 0, ,

2 1

k

m + , k m - całkowite, dziedziną jest (0, ). ∞

7. 1

₂

1 dx arctgx C .

x = +

∫ +

Te, jak i inne wzory wypada pamiętać. Nie należy jednak za wszelką cenę uczyć się ich na pamięć, jak to czynią niektórzy uczniowie i studenci. Są tablice całek ( między innymi na mojej stronie), gdzie można się z nimi zapoznać. Najważniejsze to umiejętność obliczania całek z funkcji podstawowych.

Jasne jest, że nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Niech ( ) 0 f x = dla

x≤0

i niech ( ) 1

f x = dla

x>0.

Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to dla

x≤0

mamy '( ) 0, F x = więc funkcja F jest stała na półprostej ( −∞ ,0]. Dla

x>0

mamy '( ) 1, F x = więc musi istnieć stała liczba

c

, taka, że F x ( ) = + dla każdego x c

x>0.

Ponieważ F ma być funkcją różniczkowalną w każdym punkcie, w szczególności w 0, więc musi być ( ) F x = dla c

x≤0

oraz ( ) F x = + dla x c

x>0.

Niestety tak zdefiniowana funkcja nie ma pochodnej w punkcie 0: lewostronna pochodna jest równa 0 a prawostronna 1. Jest to ilustracja ogólnego zjawiska.

Udowodniliśmy przecież, ze jeśli funkcja ma funkcją pierwotną, czyli jest pochodną pewnej funkcji, to na każdym przedziale przysługuje jej własność przyjmowania wartości pośrednich, czyli własność Darboux. Warunek ten jest jest konieczny, ale nie dostateczny. Można natomiast udowodnić

Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej

Jeśli : f P → R jest funkcją ciągłą na przedziale P , to f ma na nim funkcję pierwotną.

Dowód (

szkic: nie zdefiniowaliśmy nawet pola, tym bardziej nie wykazaliśmy żadnych jego własności ) .

Załóżmy najpierw, że funkcja f jest dodatnia. Niech x

₀

∈ P i niech

x≥0.

Niech ( ) F x oznacza pole obszaru ograniczonego z dołu odcinkiem [ , ], x x z góry wykresem funkcji f , z

₀

lewej strony prostą pionową przechodzącą przez punkt

⁰

,

0

  x

    z prawej strony – prostą pionową przechodzącą przez punkt .

0

  x

    W przypadku x x < zamiast pola analogicznego

₀

obszaru rozważamy liczbę ujemną, której wartością bezwzględną jest omawiane pole.

Wykażemy, że F x '( ) = f x ( ) w przypadku x x > pozostawiając rozważenie drugiego

₀

przypadku, całkowicie analogicznego czytelnikom.

Załóżmy, że

h>0

jest tak małą liczbą dodatnią, że

x h+ ∈ P.

W tej sytuacji. W tej sytuacji

( ) ( )

F x h + − F x jest polem obszaru ograniczonego z dołu odcinkiem [ , x x h + ], z góry – wykresem funkcji f , z lewej strony – prostą pionową przechodzącą przez ,

0

  x

    z prawej strony – prostą pionową przechodzącą przez .

0 x h +

 

 

  Ze znanego wzoru na pole prostokąta wynika, że

( ) ( )

inf{ ( ) : } F x h F x sup{ ( ) : }

f t x t x h f t x t x h

h

≤ ≤ + ≤ + − ≤ ≤ ≤ +

- obszar opisany wyżej zawiera prostokąt o wysokości inf{ ( ) : f t x t x h ≤ ≤ + } i podstawie

h

i jest zawarty w prostokącie o wysokości sup{ ( ) : f t x t x h ≤ ≤ + i podstawie }

h.

Z ciągłości funkcji f wynika, że

_h^{lim inf}₀₊

{

f t x t x h^{( ) :}

}

f x^{( )} _h^{lim sup}₀₊

{

f t x t x h^{( ) :}

}

^.

→ ≤ ≤ + = = → ≤ ≤ +

Stąd

i z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że

0

( ) ( )

lim ( )

h

F x h F x h f x

→ +

+ − = . Minimalna

modyfikacja tego rozumowania, pokazuje, że

0

( ) ( )

lim ( ).

h

F x h F x h f x

→ −

+ − = Jeśli funkcja f przyjmuje również wartości ujemne, lub tylko ujemne, to można do niej dodać liczbę dodatnią tak dużą, by wartości nowej funkcji w punktach x x x h

₀

, , + oraz wszystkich leżących między nimi – były dodatnie. Można to zrobić, bo funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest ograniczona- rozpatrujemy być może tylko część dziedziny, ale tak wolno postępować, bo interesują nas jedynie wartości przyjmowane przez nią w otoczeniu

x.

Na tym kończymy szkic dowodu.

Dowód istnienia funkcji pierwotnej ma wyjaśnić związek całki z polem. W istocie rzeczy pierwsze wzory na pola figur uzyskano już w starożytności ( koło, powierzchnia kuli itd.) Istotny postęp uzyskany został dzięki Archimedesowi. Jednak jego pomysłowe rozumowania długo musiały czekać na kontynuatorów. W praktyce następne poważne osiągnięcia w tej uzyskano dopiero dzięki zauważeniu związku liczenia pól z różniczkowaniem.

Warto też wyraźnie stwierdzić, że choć wiemy, że funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne, to jednak nie zawsze daje się je wyrazić za pomocą funkcji, którymi do tej pory operujemy, wiele z nich to tzw. funkcje nieelementarne. Ważny przykład to e

^−x2

. Jej funkcji pierwotnej nie można wyrazić za pomocą wielomianów, sinusa, kosinusa, funkcji wykładniczej, fukcji odwrotnych do wymienionych, jeśli dopuścimy działania arytmetyczne i składanie funkcji.

Tego typu twierdzenia udało się wykazać w drugiej połowie XIX wieku. Ich dowody, a nawet dokładniejsze omówienie, daleko wykraczają poza program nauczania matematyki w wyższych uczelniach, z wyjątkiem niektórych wydziałów matematyki. Wspominamy jednak o tych twierdzeniach, bo funkcja e

^−x2

jest jedna z częściej używanych w statystyce. Z przyczyn podanych przed chwilą stworzono tablice jej całek, można wybierać funkcję pierwotną tak, by jej granicą przy

x→ −∞

była liczba 0. Druga przyczyna to ostrzeżenie, że problemy wyglądające na elementarne czasem są nierozwiązywalne. Jej wiele innych funkcji tego typu, np. sin

x ,

x sin , x

² Ax⁴+Bx³+Cx²+Dx E+

przy założeniu, że wyrażenie pod

pierwiastkiem jest wielomianem stopnia 2 > i to nieszczególnie dobranym ( x

⁴

+ 2 x

²

+ nie 1

powoduje żadnych kłopotów). Często też pozornie mała zmiana zmienia zasadniczo trudność

problemu, który trzeba rozwiązać: całka z funkcji e

^−x2

jest nieelementarna, natomiast

2

1

2

2 .

x x

xe

⁻

= − e

⁻

+ C

∫

Wniosek z dowodu twierdzenia o istnieniu pochodnej funkcji ciągłej

Jeśli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale [ , ], a b F jest funkcją pierwotną funkcji ,

f to pole obszaru

x : ,0 ( ) , a x b y f x y

  

=  ≤ ≤ ≤ ≤ 

  

A

tzw.,, pole pod wykresem funkcji f ”,

równe jest ( ) F b − F a ( ).

Dowód

W dowodzie twierdzenia o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji wskazaliśmy funkcję

pierwotną F funkcji , f dla której wzór wypisany we wniosku ma miejsce. Ze względu na

twierdzenie o jednoznaczności funkcji pierwotnej różnica ( ) F b − F a ( ) nie zależy od sposobu

wyboru funkcji pierwotnej (różne funkcje pierwotne na przedziale różnią się o stałą).