Z ADANIA OPTYMALIZACYJNE DLA MATURZYSTÓW ZDAJ ˛ ACYCH

(1)

zadania.info – N^{AJWI ˛}^EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z ADANIA OPTYMALIZACYJNE DLA MATURZYSTÓW ZDAJ ˛ ACYCH

ROZSZERZENIE

ZADANIE 1

Dany jest okr ˛ag o ´srodku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okr˛egów: jeden o ´srodku S₁ i promieniu x oraz drugi o ´srodku S2 i promieniu 2x, o których wiadomo, ˙ze spełniaj ˛a jednocze´snie nast˛epuj ˛ace warunki:

– rozwa ˙zane dwa okr˛egi s ˛a styczne zewn˛etrznie;

– obydwa rozwa ˙zane okr˛egi s ˛a styczne wewn˛etrznie do okr˛egu o ´srodku S i promieniu 18;

– punkty: S, S1, S2nie le ˙z ˛a na jednej prostej.

Pole trójk ˛ata o bokach a, b, c mo ˙zna obliczy´c ze wzoru Herona P =

qp(p−a)(p−b)(p−c), gdzie p – jest połow ˛a obwodu trójk ˛ata.

Zapisz pole trójk ˛ata SS₁S2 jako funkcj˛e zmiennej x. Wyznacz dziedzin˛e tej funkcji i oblicz długo´sci boków tego z rozwa ˙zanych trójk ˛atów, którego pole jest najwi˛eksze. Oblicz to najwi˛eksze pole.

ZADANIE 2

Rozwa ˙zmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójk ˛atne o obj˛eto´sci V =2. Wyznacz dłu- go´sci kraw˛edzi tego z rozwa ˙zanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

ZADANIE 3

Rozpatrujemy wszystkie mo ˙zliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Ka ˙zda z tych listewek ma kształt prostopadło´scianu o podsta- wie kwadratu o boku długo´sci x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

10−2x

x x

6 6

1

(2)

zadania.info – N^{AJWI ˛}^EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

a) Wyznacz obj˛eto´s´c V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcj˛e zmiennej x.

b) Wyznacz dziedzin˛e funkcji V.

c) Oblicz t˛e warto´sć x, dla której zbudowany szkielet jest mo˙zliwie najci˛e ˙zszy, czyli kiedy funkcja V osi ˛aga warto´sć najwi˛eksz ˛a. Oblicz t˛e najwi˛eksz ˛a obj˛eto´sć.

ZADANIE 4

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które mo ˙zna wpisa´c okr ˛ag, spełniaj ˛ace warunek: suma długo´sci dłu ˙zszej podstawy a i wysoko´sci trapezu jest równa 2.

a) Wyznacz wszystkie warto´sci a, dla których istnieje trapez o podanych własno´sciach.

b) Wyka ˙z, ˙ze obwód L takiego trapezu, jako funkcja długo´sci a dłu ˙zszej podstawy trapezu, wyra ˙za si˛e wzorem L(a) = ^4a²⁻_a^8a⁺⁸

c) Oblicz tangens k ˛ata ostrego tego spo´sród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

ZADANIE 5

Rozpatrujemy wszystkie prostopadło´sciany o obj˛eto´sci 8, których stosunek długo´sci dwóch kraw˛edzi wychodz ˛acych z tego samego wierzchołka jest równy 1:2 oraz suma długo´sci wszystkich dwunastu kraw˛edzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowi- tej prostopadło´scianu jako funkcj˛e długo´sci jednej z jego kraw˛edzi. Wyznacz dziedzin˛e tej funkcji. Oblicz wymiary tego spo´sród rozpatrywanych prostopadło´scianów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

ZADANIE 6

Tworz ˛aca sto ˙zka ma długo´sć b. Wyznacz wysoko´sć tego sto˙zka, którego obj˛eto´sć jest najwi˛eksza. Oblicz obj˛eto´sć tego sto ˙zka.

ZADANIE 7

Na bokach BC, CA i AB trójk ˛ata ABC wybrano punkty K, L, M takie, ˙ze BK

KC = ^CL

LA = ^AM

MB =k, gdzie k ∈ (0,+_∞).

Wyznacz warto´s´c k, dla której stosunek pola trójk ˛ata KLM do pola trójk ˛ata ABC jest najmniejszy.

ZADANIE 8

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysoko´sć i promie ń podstawy tego walca, którego obj˛eto´sć jest najwi˛eksza. Oblicz t˛e najwi˛eksz ˛a obj˛e- to´sć.

ZADANIE 9

Suma długo´sci wszystkich kraw˛edzi prostopadło´scianu jest równa 4M, a jedna z jego ´scian na pole powierzchni trzy razy wi˛eksze od innej ´sciany tego prostopadło´scianu. Oblicz ja- ka jest powierzchnia całkowita tego prostopadło´scianu, je ˙zeli jego obj˛eto´s´c jest najwi˛eksza mo ˙zliwa.

Rozwi ˛azania zada ´n znajdziesz na stronie HTTPS

://

ZADANIA

.

INFO

/5944_6660R

2