Wykład 9
Liniowa geometria analityczna w R3 Definicja 1 Wektorem zaczepionym −−−→
P1P2 nazywamy uporządkowaną parę punktów (P1, P2). P1
nazywamy początkiem wektora lub punktem zaczepienia, P2 - końcem wektora.
Wprowadzamy relację równoważności w zbiorze wektorów zaczepionych:
wektory zaczepione−−→ P Q i−→
ST są w relacji ∼ wtedy i tylko wtedy, gdy
(Qx− Px, Qy− Py, Qz− Pz) = (Tx− Sx, Ty− Sy, Tz− Sz), gdzie Tx - współrzędna x-owa punktu T .
Definicja 2 Wektor swobodny jest to klasa abstrakcji relacji ∼: [a, b, c] = [(0, 0, 0), (a, b, c)]∼. Uwaga. Wektory swobodne −→a i−→
b są równe jeśli ich współrzędne są równe:
−
→a =−→
b ⇔ ax= bx ∧ ay = by ∧ az= bz. Oznaczenia. |−→a | - długość wektora, |−→a | =q
a2x+ a2y+ a2z. Definicja 3 Wektor −→a nazywamy wersorem, gdy |−→a | = 1.
Kąt między niezerowymi wektorami −→a i −→
b : Jeśli −→a = [−−−→
P1P2]∼ i −→
b = [−−−→
P1P3]∼, to kąt między wektorami −→a i−→
b (ozn. ](−→a ,−→
b )) jest to mniejszy z kątów utworzonych przez półproste P1P2i P1P3. Jeśli półproste P1P2 i P1P3 pokrywają się, to](−→a ,−→
b ) = 0. Jeśli P2 i P3 leżą na jednej prostej po przeciwnych stronach P1, to ](−→a ,−→
b ) = π.
Działania: [ax, ay, az] + α · [bx, by, bz] = [ax+ α · bx, ay+ α · by, az+ α · bz], α ∈ R.
Definicja 4 Iloczyn skalarny niezerowych wektorów −→a i−→
b jest to liczba rzeczywista (ozn. −→a ◦−→ b ) równa: |−→a | · |−→
b | · cos ](−→a ,−→
b ). Jeśli −→a =−→ 0 lub −→
b =−→
0 , to przyjmujemy −→a ◦−→ b = 0.
Własności iloczynu skalarnego 1. |−→a ◦−→
b | ¬ |−→a | · |−→ b | 2. −→a ◦−→
b =−→ b ◦ −→a 3. (−→a +−→
b ) ◦ −→c = −→a ◦ −→c +−→ b ◦ −→c 4. (λ · −→a ) ◦−→
b = λ · (−→a ◦−→ b )
5. −→a ◦ −→a 0, −→a ◦ −→a = 0 ⇔ −→a =−→ 0 6. jeśli −→a = [ax, ay, az],−→
b = [bx, by, bz], to −→a ◦−→
b = axbx+ ayby+ azbz. Definicja 5 Wektory −→a i −→
b są ortogonalne, jeśli −→a ◦−→ b = 0.
Uwaga. Jeśli −→a 6=−→ 0 i−→
b 6=−→
0 , to −→a i−→
b są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy są prostopadłe.
Definicja 6 Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów −→a i −→
b nazywamy wektor −→c taki, że 1. |−→c | = |−→a | · |−→
b | · sin ](−→a ,−→ b ) 2. −→c jest ortogonalny do −→a i do −→
b
1
3. jeżeli −→c 6= −→ 0 , to
ax bx cx ay by cy az bz cz
> 0, tzn. układ (−→a ,−→
b , −→c ) ma orientację zgodną z układem OXY Z.
Jeśli −→a =−→ 0 lub−→
b =−→
0 , to przyjmuje się −→c =−→ 0 . Oznaczenie. −→a ×−→
b - iloczyn wektorowy.
Uwaga. |−→a | · |−→
b | · sin ](−→a ,−→
b ) to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach −→a i−→ b . Własności iloczynu wektorowego
1. −→a ×−→ b =−→
0 dla −→a 6=−→ 0 i −→
b 6=−→
0 ⇔ wektory −→a i−→
b są kolinearne (tzn. −→a = λ ·−→ b ) 2. −→a ×−→
b = −−→ b × −→a 3. (−→a +−→
b ) × −→c = −→a × −→c +−→ b × −→c 4. (λ · −→a ) ×−→
b = λ · (−→a ×−→ b ) 5. jeśli −→a = [ax, ay, az],−→
b = [bx, by, bz], to −→a ×−→ b =
ay az
by bz
, −
ax az
bx bz
,
ax ay
bx by
=
=
−
→i −→ j −→
k ax ay az bx by bz
, gdzie−→ i ,−→
j ,−→
k - wersory osi (odpowiednio) OX, OY , OZ.
Definicja 7 Iloczynem mieszanym wektorów −→a ,−→
b , −→c nazywamy liczbę (−→a ×−→ b ) ◦ −→c : (−→a ×−→
b ) ◦ −→c =
ax ay az bx by bz cx cy cz
.
Uwaga. |(−→a ×−→
b ) ◦ −→c | - objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach −→a ,−→ b , −→c . Płaszczyzna w R3
Ax + By + Cz + D = 0 - równanie ogólne płaszczyzny, gdzie A2+ B2+ C2> 0 i −→n = [A, B, C] - wektor normalny płaszczyzny (wektor prostopadły do płaszczyzny).
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0:
d(P0, π) = |Ax0+ By0+ Cz0+ D|
√A2+ B2+ C2 . Położenie dwóch płaszczyzn:
Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn π1 i π2o równaniach:
A1x + B1y + C1z + D1= 0 A2x + B2y + C2z + D2= 0 badamy korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego:
1. π1 i π2są równoległe (i różne), gdy r
A1 B1 C1
A2 B2 C2
= 1 i r
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
= 2
2. π1 i π2pokrywają się, gdy r
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
= 1
3. π1 i π2 są nierównoległe, gdy r
A1 B1 C1
A2 B2 C2
= 2. Wtedy przecinają się wzdłuż prostej l :
A1x + B1y + C1z + D1= 0
A2x + B2y + C2z + D2= 0 - równanie krawędziowe prostej.
2
Pęk płaszczyzn Dana jest prosta l :
A1x + B1y + C1z + D1= 0
A2x + B2y + C2z + D2= 0 Przez prostą l przechodzą inne płaszczyzny (pęk płaszczyzn). Można je opisać równaniem:
λ · (A1x + B1y + C1z + D1) + µ · (A2x + B2y + C2z + D2) = 0, gdzie λ2+ µ2> 0.
Prosta w R3
Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P0(x0, y0, z0) i równoległej do wektora
−
→v = [vx, vy, vz]
l :
x = x0+ t · vx
y = y0+ t · vy z = z0+ t · vz
, t ∈ R
3
