Fizyka czarnych dziur W. P. Frolow, I. D. Nowikow

################################################################################

Fizyka czarnych dziur

W. P. Frolow, I. D. Nowikow

Tytuł oryginału : „Φизика черных дыр” Наука 1986

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2011-01-10 Tłumaczenie całości książki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wprowadzenie do tłumaczenia.

( Na wstępie zobacz tekst pt. „Podstawy Ogólnej Teorii Względności (OTW)” )

Zagadnienie czarnych dziur jako obiektów kosmiczny ma kilka „składowych”. W pierwszej kolejności należałoby wskazać na teoretyczne aspekty tego zagadnienia. Jak wiadomo równania klasycznej teorii grawitacji dopuszczają ewentualność pojawienia się obiektu, którego pole grawitacyjne jest na tyle silne, aby promienie świetlne poruszające się w jego pobliżu zostały nieuchronnie wychwycone, lub równoważną sytuacje, w której promienie wysyłane z jego powierzchni nigdy nie mogłyby uciec ku oddalonemu obserwatorowi ( John Michell, Laplace ).

Równania OTW również przewidują istnienie takich obiektów tłumacząc nadto dokładniej subtelności fizyczne takiego obiektu. ( pierwsze rozwiązanie równań pola Einsteina, w którym pojawia się osobliwość metryki oraz horyzont zdarzeń zostało uzyskane, przez Schwarzschilda.

Czarną dziurę opisywaną taką metryką nazywamy, „schwarzschildowską czarną dziura”, mówimy również o czasoprzestrzeni Schwarzschilda ).

W aspekcie teoretycznym należałoby umieścić również zagadnienie realnego powstawania czarnych dziur. Cóż, bowiem z tego, że teoria dopuszcza ( nie zabrania) istnienia takich obiektów, skoro nie znamy fizycznego mechanizmu ich powstania. Przez długi czas sądzono, bowiem (właściwie aż do lat 50-tych XX wieku ), że czarne dziury są jedynie czysto teoretyczną możliwością, nie realizowaną przez naturę. Drugim filarem teoretycznym, na którym spoczywa teoria czarnych dziur, jest dokładne poznanie mechanizmów powstawania i ewolucji gwiazd ( astrofizyka relatywistyczna ). Po przeanalizowaniu modeli teoretycznych procesów zachodzących we wnętrzu gwiazd ( synteza termojądrowa ) w skład, których wchodziły symulacje stabilności hydrodynamicznych, procesów transportu promieniowania, modele syntezy pierwiastków itp. Na pewnym etapie takich badań, stało się jasne, że jest całkowicie prawdopodobne, że czarna dziura będzie końcowym etapem jednej ze ścieżek ewolucji gwiazdy. (Chandrasekhar, Oppenheimer, Snyder )

Od tej chwili następuje burzliwy okres rozwoju matematycznych podstaw teorii czarnych dziur. ( dokładna analiza możliwych własności czarnych dziur – m.in. teoretyczne prace grupy Wheelera, rozwiązanie uzyskane przez P. R. Kerra, rozwiązanie T. Newmana, twierdzenia o osobliwościach Penrose –Hawking ).

W kręgu zainteresowania fizyków ( astronomów ) pojawia się zagadnienie obserwacyjnego potwierdzenia istnienia czarnych dziur. Pojawia się, zatem kolejna składowa omawianego tematu – problem astronomicznych możliwości obserwacji czarnych dziur. ( czarna dziura jako jądro galaktyki, czarna dziura w układzie podwójnym )

Ważnym etapem na drodze obserwacyjnego potwierdzenia istnienia czarnych dziur był okres bujnego rozwoju

instrumentalnej bazy astronomicznej ( radioastronomii, astronomii rentgenowskiej ), którego kwintesencją było odkrycie pulsarów, kwazarów, źródeł promieniowania rentgenowskiego oraz układów podwójnych gwiazd (neutronowych).

Dzisiaj dysponujemy niezbitymi dowodami na to, że czarne dziury są jak najbardziej realnymi obiektami kosmicznymi i Bardzo często odgrywają kluczową role w kształtowaniu dynamiki np. galaktyk.

Powstanie czarnej dziury w wyniku grawitacyjnego zapadania gwiazdy jest tylko jedną z teoretycznych możliwości jej kosmicznego zaistnienia. Oprócz takiej ścieżki, teoretycy rozpatrują możliwości istnienia pierwotnych czarnych dziur, mikroczarnych dziur, jak również możliwości ich sztucznego stworzenia w laboratorium.

W swym pierwotnym sensie czarna dziura jest ostatnim stadium ewolucji gwiazdy. Gwiazda rodzi się w wyniku grawitacyjnego zapadania obłoku materii międzygwiazdowej ( pyłu, mieszaniny gazu głównie wodoru i helu, drobnych odłamków materii planetarnej ). Wraz ze wzrostem ciśnienia rośnie temperatura wnętrza takiego kurczącego się obiektu, osiągając w pewnym momencie temperaturę wystarczająca do zainicjowania procesów jądrowych. W wyniku spalania wodoru powstaje hel, a w procesie tym zostaje uwolniona energia. W stadium tym gwiazda osiąga stan równowagi, w którym ubytek energii wskutek promieniowana jest równoważony przez termojądrowe spalanie wodoru. Ciśnienie rozgrzanej plazmy równoważy ściskające siły grawitacyjne dążące do zmiażdżenia gwiazdy.

Proces spalania ( przemiany ) pierwiastków w wyniku reakcji termojądrowych kończy się, kiedy cały zapas paliwa zostanie przemieniony w pierwiastki z grupy żelaza. Dalsza ewolucja gwiazdy zależy od jej masy początkowej.

W zależności od takiej masy możemy spodziewać się powstania następujących zwartych obiektów kosmicznych ( compact objects )

Białe karły – siła grawitacyjna równoważona jest przez ciśnienie zdegenerowanego gazu elektronów

Gwiazdy neutronowe - siła grawitacyjna równoważona jest przez ciśnienie zdegenerowanego gazu neutronów i oddziaływań silnych.

Masy obiektów kompaktowych mogą być porównywalne z masą Słońca, przy promieniach wynoszących od tysięcy kilometrów ( białe karły ) do kilkunastu kilometrów ( gwiazdy neuronowe ). Odpowiednio promień grawitacyjny tych obiektów zaczyna być porównywalny z ich promieniem geometrycznym.

Ciśnienie gazu Fermiego i oddziaływania jądrowe mogą zrównoważyć siły grawitacyjne tylko, jeśli masa zapadającego się obiektu jest mniejsza ( w przybliżeniu ) od dwóch mas Słońca ( bez uwzględnienia rotacji ).

( dla białych karłów jest to tzw. masa Chandrasekhara 1,4 M☼ ) Przypomnijmy podstawowe fakty dotyczące czarnych dziur.

Czarna dziura Schwarzschilda ( stacjonarna, statyczna, sferycznie symetryczna -czarna dziura ) opisywana jest metryką o postaci ( jedna z możliwych spotykanych postaci w układzie jednostek c = G = 1 ) :

ds2 = - [ 1 – ( 2M/r )] dt2 + [ 1 – ( 2M/r )] –1 dr2 + r2dΩ2 dΩ2 = dθ2 + sin2θ dφ2 - metryka sfery dwuwymiarowej

Metryka Schwarzschilda ma osobliwość współrzędnych przy r = 2M, oraz osobliwość fizyczną przy r = 0. Osobliwość współrzędnych możemy wytransformować przechodząc do innego układu współrzędnych. Osobliwość fizycznej nie można usunąć poprzez zmianę układu współrzędnych, a co najważniejsze, kluczowe parametry czasoprzestrzeni dla punktu r = 0 stają się nieskończone ( np. składowe tensora krzywizny ). Mówimy, że metrykę Schwarzschilda możemy przedłużyć aż do punktu istotnie osobliwego. Zazwyczaj też rozróżniamy obszar zewnętrzny i wewnętrzny metryki opisującej czarną dziurę, przyjmując za granicę takiego podziału sferę r = 2M ( horyzont zdarzeń )

W początkowym okresie rozwoju OTW nie przywiązywano uwagi do istnienia osobliwości r = 2Mgdyż sądzono, że dla wszystkich ciał promień grawitacyjny jest dużo mniejszy niż promień geometryczny np. dla Słońca promień

grawitacyjny wynosi 3 [km], dla Ziemi 0,89 [cm], a dla neutronu 10-54 [cm]. Jak widać dla tych ciał leży on w obszarze czasoprzestrzeni, w którym nie obowiązują próżniowe rozwiązania równań Einsteina ( w szczególności rozwiązanie Schwarzschilda )

Kluczowym elementem dla analizy własności czasoprzestrzeni wokół czarnych dziur jest analiza zachowania ( trajektorii ) cząstek próbnych fotonów lub cząstek o niezerowej masie spoczynkowej.

Zazwyczaj wyróżnia się ruch radialny – zgodny z kierunkiem prostopadłym do powierzchni horyzontu zdarzeń, oraz ruch orbitalny – o kierunku stycznym do powierzchni horyzontu zdarzeń. Analiza taka pozwala ocenić własności metryczne czasoprzestrzeni wokół rozważanej czarnej dziury. Rozróżniamy również wielkości, które opisywane są przez tzw. oddalonego obserwatora ( obserwator w nieskończoności ) od wielkości, które opisuje obserwator współporuszający się z cząstką próbną ( zazwyczaj chodzić będzie o czas ). W pierwszym przypadku dokonując pomiarów czasu, mówimy o czasie współrzędnościowym ( aparent time ) ( czasie mierzonym przez oddalonego obserwatora ) i odpowiednio o czasie własnym ( propter time ).

W czasoprzestrzeni Schwarzschilda czas własny dany jest wzorem : τ = τ0 - 4/3 M ( r/2M)3/2

Jak można sprawdzić wielkość ta dobrze zachowuje się dla wielkości r = 2M Czas współrzędnościowy dany jest zależnością :

τ = τ - 4 M ( r/2M)1/2 + 2M ln {[ sqrt( r/2M) + 1 ] / [ sqrt( r/2M) - 1 ] } dąży do nieskończoności przy r → 2M

Dwa rodzaje czasu w opisie własności czarnej dziury.

Jeżeli czarna dziura powstaje w wyniku niesfrycznego kolapsu, to wszystkie deformacje horyzontu zdarzeń zostają szybko wygładzone poprzez wypromieniowanie fal grawitacyjnych. Obrazowo mówimy, że powierzchnia horyzontu zdarzeń wibruje ( mody quasi normalne ) pozbywając się wszelkich niesferycznych zaburzeń.

Zgodnie obrazowym stwierdzeniem Wheeler’a ostatecznie powstała czarna dziura „nie ma włosów” tj. bez względu na pierwotne własności materii tworzącej czarną dziurę jej końcowe własności opisywane są przez tylko trzy parametry : masę M, moment pędu J, ładunek elektryczny Q.

W konsekwencji istnieją tylko cztery ścisłe rozwiązania równań Einsteina opisujące rozwiązania będące opisem metryki czarnej dziury.

1) Rozwiązanie Schwarzschilda (1916) – statyczna sferycznie symetryczna czarna dziura o masie M.

2) Rozwiązanie Reissner’a-Nordström’a (1918 ) – statyczna, sferycznie symetryczna naładowana czarna dziura o masie M i ładunku elektrycznym Q.

3) Rozwiązanie Kerr’a (1963) – stacjonarna, osiowosymetryczna czarna dziura, o masie M i momencie pędu J.

4) Rozwiązanie Kerr’a-Newmana’a (1965) – stacjonarna, osiowosymetryczna naładowana czarna dziura o masie M , ładunku Q i momencie pędu J.

Rozwiązanie 4) jest rozwiązaniem najbardziej ogólnym. We współrzędnych Boyer’a-Linddquist’a metryka ta ma postać : ds2 = - [ 1 – ( 2M/ Σ )] dt2 – 4Mra ( sin2θ / Σ) dtdθ + [ r2 + a2 + (2Mra2 sin2θ / Σ ) ] sin2θdφ2 + ( Σ/∆)dr2 + Σ dθ2 gdzie : ∆ = r2 – 2Mr + a2 + Q2 , Σ = r2 + a2 cos2θ , a = J/M – moment pędu przez jednostkę masy.

Horyzont zdarzeń opisywany jest przez równanie : r+ = M + sqrt ( M2 – Q2 – a2 )

Parametry M, J, Q nie mogą być dowolne, Ładunek elektryczny i moment pędu nie może przekroczyć wartości odpowiadającej zanikowi horyzontu zdarzeń.

Diagram czasoprzestrzenny pokazujący formowanie się czarnej dziury w procesie sferycznego kolapsu.

Formowanie się czarnej dziury w procesie niesferycznie symetrycznego kolapsu.

Jak już wspomniano, metryka Schwarzschilda nie zależy od czasu tzn. opisuje czasoprzestrzeń statyczną. Metryka Kerra jest metryką stacjonarną o symetrii osiowej.

Definicja. Mówimy, że czasoprzestrzeń jest stacjonarna, jeżeli dopuszcza istnienie czasowego wektora Killinga ξi ,który nie jest ortogonalny do rodziny hiperpowierzchni przestrzennych tj. wektor Killinga związany jest z symetrią polegająca na przesunięciu w czasie.

Definicja. Mówimy, że czasoprzestrzeń jest statyczna, jeśli jest stacjonarna i istnieje przestrzennopodobna hiperpowierzchnia, · do której czasowe pole wektorów Killinga ξi jest ortogonalne.

Wektory Killinga w czasoprzestrzeni statycznej spełniają równanie : ξ[ i; j ξk ] = 0

Twierdzenie Birkhoffa. Sferycznie symetryczne pole grawitacyjne w próżni jest polem statycznym.

Przejdźmy teraz do wyjaśnienia w jaki sposób można „wytransformować” osobliwość współrzędnych r =2M, w metryce Schwarzschilda.

Flamm pierwszy zwrócił uwagę ,że geometria dwuwymiarowego przekroju czasoprzestrzeni Schwarzschilda : t = const. θ = π/2 określona elementem metrycznym :

ds2 = [ 1 – ( 2M/r )] –1 dr2 + r2dφ2

pokrywa się z wewnętrzną geometrią na dwuwymiarowej powierzchni zanurzonej w trójwymiarowej przestrzeni płaskiej, która opisywana jest przez obrotową parabole daną równaniem :

z2 = 8M( r – 2M )

Geometria dwuwymiarowego przekroju czasoprzestrzeni Schwarzschilda

To oznaczałoby, że osobliwość r =2M może być wyeliminowana jeśli zamiast współrzędnej r podstawimy nową współrzędną z. Jednak jak można się dalej przekonać w ten sposób nie można całkowicie wyeliminować osobliwości współrzędnych, która pojawia się teraz dla z = 0. Kolejny krok wykonał Eddington wprowadzając nowy rodzaj

współrzędnych ( współrzędne Eddingtona-Finkelsteina – zobacz odpowiedni fragment tekstu wymienionego na początku niniejszego wprowadzenia ). Jednak Eddington nie do końca zrozumiał wyników swojej pracy i dopiero Lemaitre wyraźnie podkreślił, że tzw. osobliwość Schwarzschilda jest osobliwością związaną z nieudanym wyborem układu współrzędnych i nie ma charakteru fizycznego.

Dalszy krok należy do Synge’a, który zauważył, że przedłużenie rozwiązania Schwarzschilda wykonane przez Eddingtona i Lemaitre’a nie jest pełne. Pełna czasoprzestrzeń Schwarzschilda opisywana jest przez współrzędne Kruskala.

W tłumaczeniu książki uwzględniono pewne uzupełnienia i poprawki pochodzące z nowszego, angielskiego wydania tłumaczonej książki.

„Black hole physics : Basic concepts and new developments” -- Valeri P. Frolov, Igor. D. Novikov 1997

Literatura dodatkowa.

1) „Astrofizyka relatywistyczna” -- Marek Demiański WN-PWN 1991 2) „Grawitacja – wprowadzenie do ogólnej teorii względności” -- James B. Hartle WUW 2010 3) „Teoretyczne podstawy kosmologii” -- M. Heller PWN 1988 4) „Osobliwy wszechświat” -- M. Heller PWN1991

5) „Black Holes: Theory and Observation” -- Friedrich W. Hehl Claus Kiefer Ralph J.K. Metzler (Eds.) Springer 1998

6)”Black Holes” -- Dr. P.K. Townsend

University of Cambridge 1997 7) “Black holes, white dwarfs and neutron stars - -- S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky, the physics of compact objects” tłumaczenie rosyjskie Mir 1985 8) “The mathematical theory of black holes” -- S. Chandrasekhar

tłumaczenie rosyjskie Mir 1986 9) „The physics of stars” -- A. C. Phillips

John Wiley & Sons 1994

10) “Czarne dziury i ich termodynamika” -- D. W. Sciama ; PF tom 30, zeszyt 3 1979 11) „Wstęp do fizyki czarnych dziur” -- R. U. Sexl ; PF tom 25, zeszyt 4 1974

***********************************************************************************************

Przedsłowie.

Jednym z najdziwniejszych wniosków wypływających z teorii grawitacji Einsteina jest możliwość istnienia czarnych dziur – obiektów posiadających tak silne pole grawitacyjne, że żadne ciała fizyczne, żadne sygnały (* oczywiście oprócz samej grawitacji – przypis własny *) nie mogą wyrwać się z ich wnętrza. Chociaż czarne dziury nie zostały póki, co odkryte, mamy poważne argumenty uważać, że niektóre z badanych w chwili obecnej obiekty astrofizyczne są właśnie czarnymi dziurami.

(* Today after great improvements in the quantity and quality of the observational material, our confidence that we observe the manifestation of black holes in at least a few binaries is almost a hundred per cent. Moreover, impressive progress in optical, radio, and X-ray astronomy greatly bolstered the evidence for supermassive black holes (up to several billion solar mass) in the centers of galaxies. – cytat uzupełniający z wydania angielskiego *)

Dowód istnienia czarnych dziur oraz zbadanie ich własności miałoby znaczenie daleko wychodzące poza ramy

astrofizyki, ponieważ sprawa dotyczy nie tyle odkrycia, kolejnego, być może bardzo dziwnego obiektu astrofizycznego, ale chodzi o sprawdzenie poprawności naszych wyobrażeń tyczących się własności przestrzeni i czasu w ekstremalnie silnych polach grawitacyjnych.

Badania teoretyczne, własności czarnych dziur i możliwych następstw hipotezy ewentualnego ich istnienia zaczęły się bardzo intensyfikować na początku lat 70-tych XX w. Jednocześnie z badaniem tych osobliwości czarnych dziur, które były ważne dla zrozumienia ich możliwych astrofizycznych własności ujawniono szereg nieoczekiwanych

prawidłowości, którymi charakteryzują się oddziaływania fizyczne w obecności czarnych dziur.

W chwili obecnej mamy stosunkowo pełny obraz własności czarnych dziur, ich możliwych astrofizycznych własności oraz osobliwości różnych fizycznych zjawisk zachodzących w czarnych dziurach. Nadto, ujawniono głęboki związek między teorią czarnych dziur a takimi, na pierwszy rzut oka dalekimi gałęziami fizyki jak termodynamika, teoria informacji i mechanika kwantowa. W ostatnim dwudziestoleciu na styku teorii grawitacji, astrofizyki, klasycznej i kwantowej teorii pola sformował się jako nowy i samodzielny dział fizyki, zwany „fizyką czarnych dziur”.

Celem przedstawionej książki jest zaznajomienie czytelnika z fizyka czarnych dziur, z metodami, które się w niej wykorzystuje oraz z podstawowymi wynikami tej stosunkowo młodej i szybko rozwijającej się dziedziny nauki.

Główną uwagę skierowano na zagadnieniach, które były opracowane stosunkowo niedawno i nie weszły jeszcze dostatecznie szeroko do podręczników, to, co znane jest od dawna staraliśmy się wyłożyć krótko i jasno.

(* Pewne osobne aspekty fizyki czarnych dziur rozpatrują np. Markow (1970, 1973*), Penrose (1973*), Carter (1973a), DeWitte (1975) *)

Staraliśmy się, aby wykład był dostępny nie tylko dla specjalistów, ale również dla szerokiego kręgu fizyków i astrofizyków, nie posiadających specjalistycznej wiedzy dotyczącej fizyki czarnych dziur.

Autorzy starali się przede wszystkim dotykać fizycznej istoty zjawisk a dopiero potem przechodzić do metod

matematycznych je opisujących. Cel ten podyktowany jest przez charakter dobranego materiału jak i istotę poruszanych problemów. Staraliśmy się również stronić od zbytniej ścisłości przy formułowaniu i dowodzie różnorodnych twierdzeń dotyczących czarnych dziur. Często zamiast pełnego dowodu wprowadzamy jedynie zarys jego idei oraz pokazujemy kolejne etapy jego rozwinięcia, podając jako podsumowanie odsyłacz do oryginalnej pracy, w której zawarto dokładne wyprowadzenie. Jest to związane nie tylko z tym, że istnieje piękna monografia Penrose’a (1968), Hawkinga i Ellisa (1973) oraz Chandrasekhar’a (1983) w znacznym stopniu uzupełniające pominięty materiał, ale bardziej z tym, że w naszej ocenie zbytnia ścisłość utrudnia zrozumienie głównych fizycznych idei, leżących u podstaw własności czarnych dziur.

Zmuszeni byliśmy prawie w całości opuścić materiał związany z astrofizycznymi aspektami teorii czarnych dziur.

Ograniczona objętość nie pozwoliła włączyć do niniejszej monografii w sposób pełny, przeglądu pewnych specjalnych zagadnień odnoszących się do omawianego tematu, a które same w sobie mogłyby stanowi przedmiot oddzielnej książki.

W takich sytuacjach ograniczamy się do odsyłacza ku oryginalnej pracy.

(* W angielskim wydaniu rozwinięto wiele z pominiętych lub tylko zarysowanych problemów – przypis własny *) I. D. Nowikow, W. P. Frolow

Rozdział 1 .

Wprowadzenie. ( Krótka historia fizyki czarnych dziur – w wyd. ang.)

Czarną dziurą nazywamy obszar czasoprzestrzeni, w którym pole grawitacyjne jest tak silne, że nawet światło nie może wydostać się z tego obszaru i uciec ku nieskończoności.

Czarna dziura powstaje przy ściśnięciu ciała o masie M do wymiarów mniejszych niż tzw. „promień grawitacyjny”

( gravitional radius ) : rg = 2GM/c2 ( G – stała grawitacji Newtona, c – prędkość światła w próżni )

Prędkość konieczna, aby opuścić brzeg czarnej dziury i odlecieć ku nieskończoności ( druga prędkość kosmiczna ) w przypadku czarnej dziury jest równa prędkości światła. Jeżeli uwzględnimy fakt, że prędkość światła jest prędkością graniczną dla każdej prędkości rozprzestrzeniania się fizycznych sygnałów, to łatwo dojdziemy do wniosku o niemożliwości wyjścia sygnałów i cząstek, poza granicę obszaru leżącego wewnątrz czarnej dziury. W ramach klasycznej teorii grawitacji Einsteina wniosek ten nosi absolutny charakter, co wynika z tego, że oddziaływanie grawitacyjne jest oddziaływaniem uniwersalnym. W roli ładunku grawitacyjnego występuje masa, wartość, której jest proporcjonalna do całkowitej energii układu. Dlatego tez wszystkie obiekty posiadające energię, biorą udział w oddziaływaniu grawitacyjnym.

Aby opisać czarną dziurę koniecznym jest posłużenie się teorią grawitacji Einsteina – ogólną teorią względności ( OTW) (* Pewne problemy czarnych dziur w nieeinsteinowskich teoriach grawitacji omówiono np. w : Will (1981 ) *)

Na pierwszy wzgląd, złożoność tych równań, związana po części z ich istotną nieliniowością , wydaje się nie dawać nadziei na jakiekolwiek opis własności czarnych dziur. Okazało się jednak, że już niedługo po swym zaistnieniu każda czarna dziura będzie stacjonarna a jej pole grawitacyjne opisane jest jednoznacznie przez niewielką liczbę parametrów : jej masę, moment pędu, wartość ładunku elektrycznego (* i/lub wartość ładunku magnetycznego, jeśli przyjąć

teoretyczną możliwość jego istnienia – przypis własny *).

Fizyczna przyczyna takiej zadziwiającej własności czarnych dziur jest taka, że tylko pewne specyficzne konfiguracje fizycznych pól ( w tym i grawitacyjnego ) mogą być stacjonarne w nadzwyczaj silnym polu grawitacyjnym czarnej dziury.

Ponieważ żadne sygnały nie mogą wyjść z czarnej dziury, a ciała fizyczne i promieniowanie mogą do niej wpadać, powierzchnia czarnej dziury odgrywa rolę pewnego rodzaju jednokierunkowej membrany, a granicę czarnej dziury w czasoprzestrzeni nazywamy „horyzontem zdarzeń” ( event horizon ) i jest on powierzchnią świetlną ( lightlike surface ).

Utworzenie się czarnej dziury oznacza pojawienie się nietrywialnej struktury przyczynowej ( causal structure ) w czasoprzestrzeni. Wszystkie te osobliwości czarnych dziur prowadzą do tego , że badanie ich oddziaływania z fizycznymi polami oraz materią jak i między sobą wymaga rozwinięcia nowych metod.

Chociaż samo pojęcie ”czarna dziura” zostało wprowadzone, przez Wheeler'a w okolicach 1968 roku, pytaniem o możliwość istnienia podobnych obiektów w ramach newtonowskiej teorii grawitacji zajmowali się Michell i Laplace już w końcu XVIII wieku [ zobacz Barrow, Silk (1983), Nowikow (1985*) ].

W ramach OTW z problemem tym zetknięto się już w roku utworzenia tej teorii, po tym jak Schwarzschild (1916) otrzymał pierwsze dokładne rozwiązanie ( sferycznie symetryczne) równań Einsteina w próżni. Rozwiązanie to oprócz osobliwości w centrum symetrii ( przy r =0 ), posiadało jeszcze jedną osobliwość na powierzchni promienia

grawitacyjnego ( przy r = rg ). Potrzebowano więcej niż trzydzieści lat zanim w wyniku analizy „nieoczekiwanych”

własności rozwiązania Schwarzschilda, ( w której uczestniczyli tacy uczeni jak : Flamm (1916), Weyl (1917), Eddington (1924), Lemaitre (1933) (czytaj - lemetr ), Einstein, Rossen (1935) ) osiągnięto głębsze zrozumienie struktury

czasoprzestrzeni w silnym polu grawitacyjnym i znaleziono pełne rozwiązanie rozpatrywanych zagadnień

[ Synge (1950), Finkelstein (1958), Fronsdal (1959), Kruskal (1960), Szekers (1960), Nowikow (1963*, 1964*a)].

Na to, że okres pełnego zrozumienia tych własności był taki długi wpłynęło przede wszystkim ogólne mniemanie o niemożliwości istnienia w przyrodzie ciał o rozmiarach porównywalnych z ich promieniem grawitacyjnym Podobny punkt widzenia reprezentował w szczególności i twórca OTW. Jednak w latach 30-tych XX wieku po pracach Landaua Baade’go, Zwicky’ego i Oppenheimer’a , w których pokazano możliwość istnienia gwiazd neutronowych, dla których promień tylko niewiele przewyższa ich promień grawitacyjny, zainteresowanie własnościami ciał silnie zwartych bardzo wzrosło. (* Warto również podkreślić wkład pracy znakomitego fizyka hinduskiego pochodzenia Chandrasekhar’a W tym celu warto zapoznać się z książką „Imperium Gwiazd” – Artur I. Miller , Albatros 2006 – przypis własny *) Obraz kolapsu grawitacyjnego, masywnej gwiazdy, prowadząca do powstania czarnej dziury, po raz pierwszy był opisany przez Oppenheimer’a i Syndera ( 1939 ).

Następnym ważnym okresem w rozwoju poglądów na czarne dziury jest przełom lat 60-tych i 70-tych XX wieku, kiedy to po pracach Synge’a, Kruskala i innych, – które dotyczyły pełnego rozwiązania Schwarzschilda oraz pracy, Kerra (1963) – która dotyczyła rozwiązania opisującego pole grawitacyjne obracającej się czarnej dziury , rozpoczyna się czas intensywnych prac teoretycznych, dotyczących ogólnych własności czarnych dziur i ich klasycznych oddziaływań.

W tym czasie udowodniono pewne twierdzenia ( obecnie zaliczające się do klasycznych ) mówiące o :

- „braku włosów” u czarnych dziur. ( tj. o nie istnieniu dla czarnych dziur, żadnych innych, indywidualnych własności oprócz masy, momentu pędu i ładunku )

- istnieniu osobliwości wewnątrz nich - wzroście ich pola powierzchni

Te, oraz inne wyniki pozwoliły zrozumieć, jakościowo obraz powstawania czarnej dziury i jej możliwą dalszą ewolucje i jej oddziaływanie z materią oraz innymi klasycznymi polami fizycznymi. Wiele z tych wyników było zaprezentowanych z znanych monografiach : Misner’a, Thorne’a Wheeler’a (1973), Hawking’a , Ellis’a (1973)

Pod koniec lat 60-tych , po odkryciu pulsarów ( gwiazd neutronowych ) przed astrofizykami pojawiło się pytanie o możliwości zaobserwowania czarnych dziur. Analiza spadku ( akreacji ) materii na pojedynczą czarną dziurę oraz na czarne dziury wchodzące w skład układów podwójnych, pozwoliła wykazać, że takie układy mogą być silnymi źródłami promieniowania rentgenowskiego. [ Nowikow, Zeldowicz (1966), Szkłowski (1967*), Burbridge (1972) ]. Rozwinięcie astronomii rentgenowskiej oraz obserwacje uzyskane dzięki sztucznym satelitom rentgenowskim , rozpoczęte w latach 70-tych pozwoliły ujawnić szereg źródeł tego promieniowania, jedno z nich położone w gwiazdozbiorze Łabędzia ( Cyg X-1) jest ( według wszelkich prawdopodobieństw ) czarną dziurą.

Długoletnie badania tego obiektu, trwające już ok. 15 lat, dają cały czas nowe potwierdzenia powyższego

przypuszczenia. W obecnych latach istnieje już kilkanaście podobnych „kandydatów” na czarne dziury. Prócz tego, mamy poważne powody sądzić, że czarne dziury są obecne w jądrach kwazarów i aktywnych galaktyk ( a być może i we wszystkich jądrach galaktyk ) [ Blandford, Thorne ( 1979), Rees (1982) ]

(* Two recent discoveries - one by astronomers using the Hubble Telescope [Ford et al. A994), Harms et al.

A994)], the other by radioastronomers [Miyoshi et al. A995)] - gave clear evidence for huge black holes in the centers of galaxies. In both cases observations revealed disks of gas orbiting the central objects, and it is possible to give robust arguments

that these objects can be nothing but supermassive black holes

.

W chwili obecnej problem ten, noszący bardziej matematyczny charakter – związany z całkowaniem równań geodezyjnych i budowa rozkładu względem funkcji własnych, inwariantnych operatorów falowych w metryce Kerra, został w znacznej mierze rozwiązany. Otrzymane wyniki numeryczne przedstawione są w książce Chandrasekhar’a (1983) „Matematyczna teoria czarnych dziur”.

Jeszcze nie ucichły echa „sensacyjnego” prawdopodobnego odkrycia czarnej dziury (Cygnus X-1), a już pojawił się nieoczekiwany wynik związany z praca Hawking’a ( 1974, 1975), który jeszcze bardziej skupił uwagę fizyków na badaniu czarnych dziur. Okazało się, że niestabilność próżni w silnym polu grawitacyjnym, czarnej dziury prowadzi do tego, że są one źródłem promieniowania, jeśli masa czarnej dziury jest stosunkowo mała to może ona się rozpaść w czasie mniejszym niż czas życia wszechświata. Takie „małe” czarne dziury przyjęło nazywać się „pierwotnymi”

( primordial black holes ), jak sądzimy, mogły one powstawać tylko na bardzo wczesnych etapach ewolucji

wszechświata ( Zeldowicz, Nowikow (1966*, 1967*), Hawking (1971a) ]. Odkrycie pierwotnych czarnych dziur lub produktów ich rozpadu pozwoliłoby uzyskać cenną informacje o procesach fizycznych zachodzących we wszechświecie na wczesnych etapach jego ewolucji.

Odkrycie Hawking’a pociągnęło za sobą ciąg wielu prac, w których badane były specyficzne własności efektów kwantowych w czarnych dziurach. Oprócz szczegółowego opisu efektów związanych z kreacją cząstek rzeczywistych wylatujących ku nieskończoności, w ostatnich latach osiągnięto znaczny postęp w rozumieniu efektu polaryzacji próżni w pobliżu czarnych dziur. Efekt ten jest ważny dla zbudowania zupełnie kwantowego „parującej” czarnej dziury.

(* oprócz tych zagadnień warto podkreślić role czarnych dziur w badaniu promieniowania grawitacyjnego, układy podwójne są, bowiem bardzo silnym ich źródłem, ponadto czarne dziury wprowadzają do fizyki koncepcje „z zasady nieobserwowalnego obszaru” , która to stanowi ciekawe pole dla filozoficznych interpretacji metodologii fizyki, a teorie z cechowaniem wprowadzają koncepcje czarnych dziur o pewnym ładunku „kolorowym” – przypis własny *)

Książka ta poświęcona jest systematycznemu wyłożeniu fizyki czarnych dziur. Dążyliśmy, aby wyłożony materiał był dostępny oraz w sposób prosty i poglądowy wprowadzał pewne ważne pojęcia i problemy. W pierwszej kolejności

odnosi się to do rozdziału 2, w nim, bowiem wykładamy podstawowe własności najprostszej – sferycznie symetrycznej czarnej dziury. Tam też zapoznajemy czytelnika z własnościami czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury.

W rozdziale trzecim rozpatrzono rozprzestrzenianie się słabych pól fizycznych w otoczeniu czarnej dziury. Szczególną uwagę skupiono na ewolucji słabych pól grawitacyjnych. Zagadnienie to jest ważne dla problemu stabilności czarnej dziury względem zewnętrznych zaburzeń, jak również dla problemu promieniowania grawitacyjnego wytwarzanego przez ciał ( i pola ) poruszające się wokół czarnych dziur. Rozpatrujemy również pytanie o powstanie czarnej dziury przy kolapsie ciała charakteryzującego się małymi odchyleniami od symetrii sferycznej.

Rozdział czwarty poświęcony jest zaznajomieniu z ważnymi własnościami rotującej czarnej dziury, jak również czarnej dziury posiadającej ładunek elektryczny.

Rozdział piąty zawiera wykład ogólnej teorii niestacjonarnych czarnych dziur i wyników dotyczących osobliwości w czarnych dziurach.

W rozdziale szóstym dowodzimy twierdzenia jednoznaczności dla stacjonarnych czarnych dziur.

Rozdział siódmy poświęcony jest metodom analizy pól elektromagnetycznych w pobliżu stacjonarnej czarnej dziury, jest ona oparta na 3+1-rozbiciu czasoprzestrzeni.

W rozdziale ósmym omawiamy różnorakie fizyczne efekty w polu czarnych dziur : superradiacja, przesunięcie energii własnej naładowanych cząstek, wzajemne przekształcanie się fal : elektromagnetycznej i grawitacyjnej, jak również ruch i deformacja czarnych dziur w polu zewnętrznym i ich oddziaływanie wzajemne.

Rozdział dziewiąty i dziesiąty poświęcony jest fizyce kwantowej czarnych dziur. W rozdziale dziewiątym rozpatrujemy ogólne rozwiązanie zagadnienia kreacji cząstek w polu stacjonarnej czarnej dziury. W rozdziale dziesiątym zebrano wyniki dotyczące polaryzacji próżni w otoczeniu czarnej dziury.

Analogia termodynamiczna w fizyce czarnych dziur omówiona jest w rozdziale jedenastym.

W rozdziale dwunastym rozpatrzono zagadnienia związane ze struktura czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury.

W rozdziale trzynastym zebrano materiał odnoszący się do pierwotnym czarnym dziurą, teorii białych dziur i światów półzamkniętych i możliwej roli elementarnych czarnych dziur w grawitacji kwantowej.

Książkę kończy się zastosowaniem, w którym wyłożono pewne wnioski z geometrii riemannowskiej w OTW i przytaczamy pewne najważniejsze wzory wykorzystane w podstawowym tekście.

Znaki w definicji ds2, tensora krzywizny i tensora Ricciego pokrywają się z wyborem znaków z książki Misner’a, Thorne’a, Wheeler’a (1973). W rozdziale drugim i trzecim wszystkie wzory wypisano ze stałymi c, G.

Od rozdziału czwartego, w którym przechodzimy do bardziej złożonego materiału, przy którym wypisanie stałych wymiarowych sprawiałoby, że wyrażenia stawałyby się bardziej nieczytelne, wszędzie ( za wyjątkiem wzorów końcowych i osobnych przypadków ) wykorzystujemy układ jednostek : c =G = ħ = 1.

Rozdział 2 . Sferycznie symetryczna czarna dziura

§ 2.1 Sferycznie symetryczne pole grawitacyjne.

Analizę fizycznych własności czarnych dziur rozpoczniemy od najprostszego przypadku, w którym czarna dziura i jej pole grawitacyjne są sferycznie symetrycznymi.

Sferycznie –symetryczne pole grawitacyjne ( czasoprzestrzeń ze sferycznie symetrycznym 3-wymiarową podprzestrzenią ) opisane jest we wszystkich podręcznikach OTW [ zobacz np. Landau, Lifszyc(1973*),

Misner, Thorne, Wheeler (1973) ] Dlatego też ograniczymy się tylko do podania potrzebnych dalej wyników. Napiszmy wyrażenie dla kwadratu interwału w oddali od silnych pól ciążenia ( tj. tam gdzie słuszna jest STW ), wykorzystując sferyczny układ współrzędnych ( r, θ, φ) :

ds2 = - c2dt2 + dl2 = -c2dt2 + dr2 + r2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.1.1) gdzie : c – prędkość światła , dl – odległość w trójwymiarowej przestrzeni.

Rozpatrzmy teraz zakrzywioną czasoprzestrzeń, zachowując jednak wymóg przestrzennej symetrii sferycznej.

Czasoprzestrzeń nie jest obowiązkowo pusta, może być w niej materia i pola fizyczne ( oczywiście powinny mieć one również sferyczną symetrię, jeśli rozpatrujemy ich ciążenie ). Można pokazać [ zobacz np. Misner, Thorne, Wheeler (1973) ], że interwał w tym przypadku zawsze może być zapisany

( przy odpowiednim wyborze współrzędnych ( x0, x1, θ, φ ) ) w postaci :

ds2 = g00( x0, x1)( dx0 )2 + g11( x0, x1) ( dx1 )2 + ( x1 )2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.1.2) (* Ściśle mówiąc metryka o ogólnej postaci opisywana jest wyrażeniem (2.1.6). Wzór (2.1.2) jest słuszny za wyjątkiem powierzchni osobliwych na których : ∂g~22 / ∂ x~0 = ∂g~22 / ∂ x~1 = 0 *)

W wyrażeniu tym różne od zera są tylko te składowe, tensora metrycznego, które były różne od zera w wyrażeniu (2.1.1) dla płaskiej czasoprzestrzeni. Składowe g00 i g11 zależne są tylko od współrzędnych x0, x1a nie od θ i φ.

Współrzędne w których wyrażenie dla g22 zapisywane są w postaci ( x1)2 nazywają się „współrzędnymi krzywiznowymi” ( curvature coordinates ). Zwykle dla współrzędnej x1 wybieramy oznaczenie r

[ analogicznie do wyrażenia (2.1.1) ] , a dla x0 / c ≡ t ( „czas” ).Dalej zobaczymy , że wewnątrz czarnej dziury taki wybór oznaczeń nie zawsze jest logiczny.

Jeżeli sferyczne pole grawitacyjne rozpatrujemy nie w próżni, to w przestrzennym układzie odniesienia, określanym przez współrzędne x1,θ , φ materia, ogólnie mówiąc porusza się ( radialnie ) tj. obecne są strumienie energii (energy flow ). W pewnych sytuacjach dogodnie jest wybrać inne układy odniesienia np. współporuszające się ( comoving frame of reference ) ( w których strumienie energii nie występują ) lub inne jednak dalej sferycznie-symetryczne. Wszystkie takie układy posiadają następującą własność. Punkty składające się na dowolny układ odniesienia, poruszają się radialnie względem innego układu odniesienia. Związek między różnymi układami odniesienia, zachowujący własności

sferycznej symetrii, zadany jest przekształceniami :

x~0 = x~0 ( x0, x1 ) (2.1.3)

x~1 = x~1 ( x0, x1 ) (2.1.4)

θ~ = θ ; φ~ = φ (2.1.5)

Tyldą oznaczono współrzędne w nowym układzie odniesienia. Wyrażenie (2.1.4) opisuje radialny ruch punktów w nowym układzie odniesienia ( o współrzędnych x~1 = const. ) względem starego układu. Po wybraniu wyrażenia (2.1.4) zadającego nowy układ współrzędnych , wybór wyrażenia (2.1.3), określający współrzędną czasową w nowym układzie może być dokonany w ten sposób aby składowa g~01 nie pojawiała się i ogólne wyrażenie dla ds2 będzie miało postać : ds2 = g~00 ( x~0, x~1 ) (dx~0 )2 + g~11 ( x~0, x~1 ) (dx~1 )2 + g~22 ( x~0, x~1 ) (dθ~2 + sin2θ~ dφ2 ) (2.1.6) Zauważmy, że wyrażenie dla g~22 może być zapisane w postaci :

sqrt ( g~22 ) = x1( x~0 , dx~1 ) (2.1.7)

gdzie : x1= x1( x~0, x~1) jest rozwiązaniem (2.1.3) , (2.1.4) względem x1. Opisuje ono radialny ruch cząstek w starym układzie ( o współrzędnych x1 = const. ) względem nowego.

§ 2.2 Sferycznie-symetryczne pole grawitacyjne w próżni.

Rozpatrzmy teraz sferyczne pole grawitacyjne w próżni. Rozwiązanie równań Einsteina dla tego przypadku zostało znalezione przez Schwarzschilda (1916) i ma następująca postać :

ds2 = - [ 1 – ( 2GM/c2r )] c2dt2 + [ 1 – ( 2GM/c2r )] –1 dr2 + r2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.2.1) G – stała grawitacji Newtona, M – masa źródła pola

Najważniejszą własnością tego rozwiązania jest to, że nie zależy ono od współrzędnej czasowej t, a tylko od r oraz określane jest przez jeden parametr M – masą całkowitą źródła ciążenia, zadającego pole. Nawet jeśli w źródle pola istnieją ruchy radialne ( zachowujące sferyczną symetrię ) pole w próżni -poza materią – pozostaje stałe [ to stwierdzenie nosi nazwę „twierdzenia Birkhoffa (1923) ]. W oddali od centrum ciążenia ( przy r →∞ ) czasoprzestrzeń przechodzi w płaską czasoprzestrzeń Minkowskiego o metryce (2.1.1). Współrzędne t, r. θ, φ w których zapisano wyrażenie (2.2.1) nazywamy „współrzędnymi Schwarzschilda”, a układ odniesienia przez nie obrazowany – „układem odniesienia Schwarzschilda”. W małym otoczeniu każdego punktu przestrzeni możemy wprowadzić dla zwykłych pomiarów długości, lokalny kartezjański układ współrzędnych (x, y, z) :

δx = √g11 dr = [ 1 – ( 2GM/c2r )] –1/2 dr (2.2.2)

δy = √g22 dθ = r dθ (2.2.3)

δz = √g33 dφ = r sinθ dφ (2.2.4)

Czynnik [ 1 – ( 2GM/c2r )] –1/2 we wzorze (2.2.2) opisuje zakrzywienie trójwymiarowej przestrzeni.

Czas fizyczny τ, upływający w danym punkcie r, określony jest wyrażeniem :

dτ = ( √-g11/ c ) dx0 = √-g11dt = [ 1 – ( 2GM/c2r )] –1/2 dt (2.2.5) Daleko od centrum ciążenia ( przy r →∞ ) mamy : dτ = dt , t – jest czasem fizycznym obserwatora w nieskończoności.

Przy mniejszych wartościach r , czas τ upływa wolniej w porównaniu z czasem t w nieskończoności.

Przy r → 2GM/c2 otrzymamy dτ → 0.

Obliczymy teraz przyspieszenie swobodnie spadającego ciała, spoczywającego początkowo w układzie Schwarzschilda ( lub posiadającego małą prędkość początkową v << c ). Wykorzystując wzory (z.63) ( zobacz Dodatek), znajdujemy : F = sqrt( Fi Fi ) = GM / r2 [ 1 – ( 2GM/c2r )] 1/2 (2.2.6) Przyspieszenie to ma kierunek radialny. Przy r → 2GM/c2 przyspieszenie staje się nieskończone. Osobliwość upływu czasu przy r → 2GM/c2 [ zobacz (2.2.5)] i osobliwość w wyrażeniu (2.2.6) pokazuje, że w układzie odniesienia Schwarzschilda przy tej wartości r mamy osobliwość fizyczną. (* Wyrażenie (2.2.6) określa przyspieszenie, a ℑ = Fm siłę działającą na ciało o masie m, mierzoną przez obserwatora ulokowanego w pobliżu tego ciała w punkcie r0.

Jeżeli ciało zawieszone jest na nieważkiej, absolutnie sztywnej nici, to wartość siły na swobodnym końcu tej nici w punkcie r1 jest równa :

ℑ1 = ℑ0 sqrt [ g00 (r0 ) / g00 (r1 ) ]

Przy dążeniu r0 do 2GM/ c2 , ℑ0 → ∞ , podczas gdy ℑ1 okazuje się być skończona *)

Wartość : r = rg ≡ 2GM/ c2 nazywamy „promieniem Schwarzschilda” ( lub promieniem grawitacyjnym )( gravitational radius ), sferę o promieniu rg – nazywamy sferą Schwarzschilda ( Schwarzschild sphere ). Dalej dokładnie rozpatrzymy fizyczny sens osobliwości przy r = rg , teraz jedynie podamy kilka uwag.

Układ odniesienia Schwarzschilda, nie deformuje się [ gαβ nie zależy od t, g0i = 0, Dik = 0 ; zobacz (z.60) ].

Może on być wyobrażony jako siatka współrzędnościowa „zespawana” z nieważkich , sztywnych prętów, zapełniających przestrzeń wokół czarnej dziury. Względem tej siatki możemy badać ruch cząstek jak również ewolucje pól fizycznych w różnych jej punktach. Siatka Schwarzschilda w pewnym stopniu przypomina siatkę sztywnych współrzędnych w sztywnej przestrzeni Newtona. Oczywiście geometria 3-wymiarowej przestrzeni Schwarzschilda wokół centrum ciążenia jest nieeuklidesowa w odróżnieniu od euklidesowej przestrzeni nierelatywistycznej przestrzeni Newtona.

Jednak, generalnie własności tych przestrzeni są bardzo podobne, co pozwala na uruchomienie pewnych intuicji.

(* W paragrafie 4.2 omówimy dokładni te zagadnienia *)

Kiedy mówimy o ruchu cząstek w polu Schwarzschilda lub o ewolucji pól rozumiemy to jako analogię ruchu i ewolucji w przestrzeni newtonowskiej (* Przypomnijmy, że w ogólnym przypadku niesferycznych pól grawitacyjnych,

zmieniających się w czasie, nie można wprowadzić niezmiennej 3-przestrzeni, przez co tracimy poglądowe wyobrażenia i obliczenia *). Obecność promienia krytycznego rg , w sferycznym polu w próżni na którym przyspieszenie spadku swobodnego staje się nieskończone, pokazuje, że dla r ≤ rg nie możemy wprowadzić wspomnianej wcześniej sztywnej, niedeformującej się siatki, w tym obszarze nie istnieje już niezdeformowana przestrzeń – analog przestrzeni

newtonowskiej. Fakt, że na rg wielkość F staje się nieskończona podpowiada nam, że przy r ≤ rg wszystkie układy powinny być niesztywne, w tym sensie, że gαβ powinny zależeć od czasu, układy powinny deformować się ( wszystkie ciała powinny spadać ku centrum )W dalszej części przekonamy się ,że jest tak w istocie.

Zauważmy, że wskazane nietypowe własności nie oznaczają, że geometria 4-wymiarowej czasoprzestrzeni posiada jakąś osobliwość typu nieskończonej krzywizny lub podobnych. Dalej zobaczymy, że czasoprzestrzeń jest tam zupełnie regularna a nietypowość rg oznacza osobliwość tylko w układzie odniesienia Schwarzschilda tj. oznacza niemożliwość przedłużenia tego układu jako sztywnej, niedeformującej się siatki.

Na zakończenie podkreślimy, że wielkość rg jest skrajnie mała, nawet dla ciał niebieskich. Dla masy równej masie Ziemi : rg = 0,9 [cm], dla masy równej masie Słońca rg = 3[km]. Przy r >> rg pole Schwarzschilda staje się zwykłym newtonowskim polem grawitacyjnym o przyspieszeniu spadku swobodnego F = GM/r2, a zakrzywienie 3-wymiarowej przestrzeni jest skrajnie małe. Ponieważ wymiary zwykłych ciał niebieskich są dużo, dużo większe niż rg to pole wokół nich jest polem newtonowskim. (* wyjątek stanowią czarne dziury i gwiazdy neutronowe *) Wewnątrz tych ciał rozwiązanie Schwarzschilda nie może być zastosowane i pole ciążenia również jest polem newtonowskim.

(* tj. opisywane jest przez rozwiązania równania Poissona – przypis własny *)

Jak zobaczymy dalej sferyczna czarna dziura pojawia się kiedy nierotujące sferyczne ciało zostanie ściśnięte do wymiarów mniejszych niż jego promień grawitacyjny. Zanim jednak rozważymy ten proces musimy zaznajomić się z prawami ruchu radialnego , cząstek próbnych w polu Schwarzschilda.

§ 2.3 Ruch radialny, cząstek próbnych w polu

.

(* radial motion of test particles in the Schwarzschild field **)

Rozpatrzmy na początku ruch wzdłuż promienia, fotonu poruszającego się jak wiadomo zawsze z prędkością c.

Według tego prawa poruszają się dowolne cząstki ultrarelatywistyczne. Dla takich cząstek ds = 0. Dla ruchu radialnego : dθ = dφ = 0. Podstawiając do (2.2.1) ds = dθ = dφ = 0 znajdujemy prawo ruchu :

dr/dt = ± c [ 1 + ( rg/ r ) ] (2.3.1)

Przypomnijmy, że dr/dt – jest to prędkość zmiany r wraz z upływem t, dalekiego obserwatora ( a nie czasu fizycznego τ w danym punkcie ) tj. jest to prędkość współrzędnościowa a nie fizyczna. Prędkość fizyczna jest to zmiana fizycznej odległości dx [ zobacz (2.2.2) ] w czasie fizycznym τ [ zobacz (2.2.5) ] :

dx/dτ = ± ( √g11 dr / √-g00 dt ) = ± c

Oczywiście fizyczna prędkość fotonu ( w dowolnym układzie odniesienia ) jest zawsze równa c.

Z punktu widzenia dalekiego obserwatora ( według jego zegara )zmiana fizycznej odległości radialnej dx z upływem czasu t, jest dna wzorem :

dr/dt = ± c [ 1 + ( rg/r ) ]1/2 (2.3.2)

Zatem, dla dalekiego obserwatora promień w pobliżu rg porusza się coraz wolniej, przy r →rg otrzymamy dx/dt → 0 W sposób oczywisty odzwierciedla to zwolnienie upływu czasu w pobliżu rg (2.2.5).

Ile czasu ( według dalekiego obserwatora ) potrzebuje foton aby poruszając się od r = r1 osiągnąć rg ? Aby obliczyć ta wartość scałkujemy (2.3.1) :

t = [ ( r1 – r ) / c ] + ( rg /c) ln[ ( r1 – rg ) / ( r – rg ) ] + t0 (2.3.3) gdzie : r1 – położenie fotonu w chwili t0 .

Wyrażenie (2.3.3) pokazuje, ze przy r → rg , t → ∞. Z jakiegokolwiek r1 rozpoczynałby swój spadek, foton, według zegara dalekiego obserwatora , czas t – w jakim foton osiągnie rg jest nieskończony.

Jak zmienia się energia fotonu przy poruszaniu się po promieniu ?

Energia jest proporcjonalna do częstości. Rozpatrzmy zmianę takiej częstości. Niech w pewnym punkcie : r = r1

zachodzi emisja sygnału o interwale ∆t. Ponieważ pole jest statyczne, to wyemitowane sygnały dochodzą do obserwatora o położeniu r = r2 o tym samym interwale ∆t. Interwały czasu własnego w tych dwóch punktach dane są zależnością :

∆τ1/∆τ2 = sqrt [ -g00 (r1)∆t / -g00 (r2 )∆t1]

a częstości ω mają się tak :

ω1/ω2 = ∆τ1/∆τ2 = sqrt [ g00 (r2) / g00 (r1 ) ] = sqrt[ 1- (rg/r2 ) / 1- (rg/r1) ] (2.3.4) Częstość kwantu zmniejsza się przy wychodzeniu z pola ciążenia i zwiększa się przy ruchowi ku centrum.

Zjawiska te nazywają się odpowiednio : grawitacyjnym przesunięciem ku czerwieni i ku fioletowi.

(* red and blue –shift *)

Rozpatrzmy ruch radialny cząstek nie relatywistycznych w próżni. Na początku zbadamy ruch swobodny , kiedy na cząstki nie działają żadne niegrawitacyjne siły ( spadek swobodny, ruch po geodezyjnej ). Całkowanie równania dla geodezyjnych w przypadku dθ = dφ = 0[ zobacz Bogorodski (1962*) ] prowadzi do wyrażenia :

dr/dt = ± c [ 1- (rg/r ) ] [ (E/mc2 )2 – 1 + (rg/r) ]1/2 / ( E/mc2 ) (2.3.5) gdzie : E – stała ruchu, opisująca energię całkowita cząstki, włączając w to jej masę spoczynkową m.

(* Energia cząstki w stacjonarnym ( tj. niezależnym od czasu ) polu grawitacyjnym jest zachowana. To prawo zachowania jest konsekwencją twierdzenia Noether.

Jeżeli uµ – jest 4-prędkością cząstki o masie m, poruszającej się swobodnie w stacjonarnym polu grawitacyjnym ( tj. ∂gµν /∂x0 = 0 ) to prawo zachowania energii ma postać : E = - mc2 uµ ξµ (t) = - mc2u0 ; ξµ (t) – jest wektorem Killinga generującym transformacje przesunięcia w czasie. W statycznym polu grawitacyjnym (tj. goi = 0 ), energia : E = - mc2 ( -g00 ) u0 jest zawsze dodatnia w obszarze, w którym g00 < 0. i obszarze takim możemy zapisać : E = mc2 sqrt( -g00 ) / sqrt [ 1 – (v/c)2 ] , v – fizyczna 3-prędkość ( zmiana fizycznej odległości w fizycznym czasie ) : v2 = gij dxi dxj / -g00 dt2

Dla ruchu radialnego w metryce Schwarzschilda :

E = mc2√A / sqrt [ 1 – (r^• /A )2 ] ; A = 1 - (rg/r2 ) ; r^• = dr/ c(dt)

Z tej relacji wynika (2.3.5) – dopisano z wydania angielskiego *)

Jeżeli cząstka spoczywa poza polem grawitacyjnym w nieskończoności, to : E = mc2.

W ogólnym przypadku wielkość E/mc2 może być albo mniejsza albo większa od jedności, ale E dla cząstki poza sferą o promieniu rg, jest zawsze dodatnia.

Na dużych odległościach r >> rg dla cząstek nie relatywistycznych | (E - mc2 ) / mc2 | << 1i wyrażenie (2.3.5) przepiszemy do postaci :

½ m (dr/dt2 ) = ( E -mc2 ) + (GMm /r ) (2.3.6)

Wielkość : Έ = E - mc2 jest energią cząstki w teorii newtonowskiej (gdzie do energii nie dodaje się masy spoczynkowej) i całe wyrażenie (2.3.6) przyjmuje postać prawa zachowania energii w teorii newtonowskiej.

Przypomnijmy ponownie, że w wyrażeniu (2.3.5) dr/dt – jest prędkością współrzędnościową ( a nie fizyczną ).

Prędkość fizyczna mierzona przez obserwatora, spoczywającego w układzie Schwarzschilda, znajdującym się w pobliżu swobodnie spadającej cząstki, jest dana zależnością :

v = dx/dτ = sqrt( g11/ | g00 | ) = ± c [ (E/mc2 )2 – 1 + (rg/r) ]1/2 / ( E/mc2 ) (2.3.7) Jeśli spadająca cząstka zbliża się do rg, to prędkość fizyczna v = dx/dt, cały czas będzie wzrastała i przy r → rg

będziemy mieli v → c. Prędkość dx/dt względem zegara oddalonego obserwatora będzie dążyła do zera przy r → rg , podobnie jak w przypadku ruchu fotonu. Fakt ten odzwierciedla zwolnienie czasu przy r → rg.

Ile czasu ( na zegarze oddalonego obserwatora ) potrzebuje cząstka aby z punktu r = r1 dotrzeć do rg ?

Czas takiego ruchu określony jest przez scałkowane wyrażenie (2.3.5). Całka ta jest rozbieżna przy r → rg. Wynik ten nie powinien dziwić ponieważ nawet dla świtała : ∆t → ∞ przy r → rg , a jak wiadomo szybciej niż światło nic porusza się nie może. Oprócz tego charakter rozbieżności ∆t dla spadającego ciała jest taki sam jak dla fotonu, ponieważ prędkość fizyczna v → c przy r → rg. Oczywistym jest, że jakiekolwiek były by siły działające na cząstkę, czas ∆t osiągnięcia rg , zawsze będzie nieskończony ponieważ w tym przypadku, zawsze v < c.

Zatem zarówno spadek swobodny jak również ruch w kierunku rg, z dowolnym przyspieszeniem zawsze będzie trwał nieskończony czas względem zegara oddalonego obserwatora.

Powróćmy teraz do spadku swobodnego. Jaki jest czas ∆T osiągnięcia rg , wskazywany na zegarze związanym z spadającym ciałem ?

Możemy go znaleźć ze wzoru : r1

∆T = (1/c)

∫

rg

Podstawmy w wyrażeniu dla ds (2.2.1) cdθ = dφ = 0 , otrzymamy : r1

∆T = (1/c)

∫

Aby obliczyć ∆T podstawimy w (2.3.8) dr/dt z (2.3.5). Łatwo pokazać, że całka jest zbieżna, a ∆T jest skończone.

Dla przypadku szczególnego : E = mc2 , kiedy cząstka spada z drugą prędkością kosmiczną ( tj. dr/dt = 0 przy r → ∞) otrzymujemy czasu spadku od r1 do r :

∆T = 2/3 ( rg /c) [ (r1/rg )3/2 - (r /rg )3/2 ] (2.3.9)

Widzimy, że dla dalekiego obserwatora czas spadku ∆t jest nieskończony, podczas gdy czas spadku ∆T odmierzany przez zegar spadającego obserwatora jest skończony. Z fizycznego punktu widzenia jest to na pierwszy rzut oka nieoczekiwany wynik, możemy go jednak interpretować następująco :

Zegar umieszczony na spadającej cząstce zwalnia w porównaniu z zegarem w nieskończoności – wynika to po pierwsze z zwolnienia czasu w polu grawitacyjnym (2.2.5) a po drugie z dylatacji czasu Lorentza, kiedy prędkość zegara dąży do prędkości światła przy r → rg . Dlatego interwał nieskończony względem t może być skończony względem T.

§ 2.4 Czasoprzestrzeń wewnątrz sfery

.

Fakt, że czas własny spadającej do sfery Schwarzschilda cząstki jest skończony sugeruje sposób, budowy układu odniesienia, który można przedłużyć ( extended ) do r < rg

(* Historycznie, pierwszy układ odniesienia bez osobliwości na sferze rg , został skonstruowany przez Painleve’a ( 1921) i Gullstrand’a (1922). Otrzymany jest on poprzez transformacje :

CT = ct + f(r) ; df/dr = ± ( 1/ 1 - rg ) sqrt( rg / r)

Metryka Schwarzschilda we współrzędnych ( T, r, θ, φ) jest dana : ds2 = - [ 1 – ( rg /r )] c2dT2 ± 2sqrt( rg / r)dr cdT + dr2 + r2 dφ2

Metryka o tej postaci jest regularna przy r = rg – dopisano z wydania angielskiego *)

W pierwszej kolejności należy związać układ odniesienia ze swobodnie spadającym ciałem. Przy tym, na promieniu r =rg w takim układzie nie pojawi się nieskończone przyspieszenie F oraz odpowiadające mu nieskończone siły, ponieważ cząstki swobodnie spadają i F są wszędzie równe zeru. Najprostszy układ odniesienia tej postaci składa się z swobodnie spadającej cząstki, posiadającej w przestrzennopodobnej nieskończoności ( spatial infinity ) zerową prędkość [ układ odniesienia Lemaitre’a (1933) , zobacz również Ryłow (1961*) ]. Ruch tych cząstek opisuje równanie (2.3.9) Aby przejść do tego układu odniesienia, w charakterze współrzędnej czasowej, wybierzemy czas T odmierzany na zegarze spadającej cząstki. W pewnej chwili T = const. ( niech T = 0 ), zbiór spadających cząstek znajduje się na różnych r1.

W charakterze współrzędnej radialnej w układzie odniesienia związanym ze zbiorem cząstek, możemy wybrać ich wartości r1 , znacząc cząstki niezmieniającym się parametrem r1.

Zatem, kwadrat interwału w układzie swobodnie spadających cząstek zapiszemy w postaci ;

ds2 = -c2dT2 + { r1dr12 / rg [ ( r1 /rg )3/2 – 3/2 (cT/ rg ) ]3/2 } + [ ( r1 /rg )3/2 – 3/2 (cT/ rg ) ]4/3

rg2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.4.1)

W charakterze współrzędnej radialnej w rozpatrywanym układzie dogodnie jest wykorzystać nie r1, a wielkość :

R = 2/3 rg ( r1 / rg )3/2 (2.4.2)

Kwadrat interwału (2.4.1) możemy teraz przepisać następująco :

ds2 = -c2dT2 + { dR2 / [ 3/2 ( R – cT) /rg ]3/2 } + [ 3/2 ( R – cT) /rg ]4/3 rg2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.4.3) Układ odniesienia o interwale (2.4.3) to układ Lemaitre’a , nie ma on żadnych na sferze Schwarzschilda. Aby się o tym przekonać, zapiszemy w jawnej postaci związek między współrzędnymi Schwarzschilda i Lemaitre’a :

r = [ 3/2 ( R – cT) /rg ]3/2 rg (2.4.4)

t = (rg /t) { 3/2 (r /rg )3/2 - 2(r /rg )1/2 + ln [ ( (r /rg )1/2 + 1 ) / ( (r /rg )1/2 – 1) ] + (R /rg ) } (2.4.5) Przyrównując w (2.4.4) r = rg , znajdujemy równanie dla umiejscowienia sfery Schwarzschilda w układzie Lemaitre’a :

rg = 3/2 ( R – cT ) (2.4.6)

Wyrażenia dla wszystkich gαβ w (2.4.3) na sferze Schwarzschilda są regularne i nie posiadają żadnych osobliwości.

Obliczenie wszystkich różnych od zera inwariantów krzywizny 4-wymiarowej czasoprzestrzeni również wskazują na brak na sferze Schwarzschilda jakichkolwiek osobliwości. Układ odniesienia Lemaitre’a jest przedłużany dla r < rg.

Czasoprzestrzeń we współrzędnych (R, T)- Lemaitre’a pokazano na rysunku 1 ( współrzędne kątowe : θ, φ nie są istotne ze względu na symetrię ).

Rys. 1 Czasoprzestrzeń Schwarzschilda w układzie Lemaitre’a. Linią przerywaną oznaczono linie r = const.

ABC – linia świata fotonu, spadającego do czarnej dziury. W punktach A, B, C pokazano odcinki świata fotonów poruszających się w przeciwnych kierunkach.

Omawiany układ współrzędnych możemy przedłużać aż do r = 0 tj. [ zobacz (2.4.4)] R = cT. W punkcie tym mamy już osobliwość istotną czasoprzestrzeni – nieskończoną krzywiznę. Widać to chociażby z tego faktu, że inwariant krzywizny Rαβγδ Rαβγδ → ∞ przy R – cT → 0. Nieskończoność tego inwariantu oznacza nieskończoność sił pływowych. ( tidal forces )

Jak widać z rysunku 1 każda swobodnie spadająca cząstka cR = const. w układzie Lemaitre’a porusza się wraz z upływem T do mniejszych r. W skończonym czasie T, cząstka osiąga rg , spadając dalej aż do osiągnięcia osobliwości istotnej r = 0 (* fakt , że linie r = const. we współrzędnych R, T wyobrażone są przez linie proste, związany jest ze specjalnym wyborem R [ zobacz (2.4.2) ]. Tym w szczególności tłumaczy się wybór współrzędnej R zamiast r *) Nie można przedłużyć czasoprzestrzeni poza osobliwość bowiem nieskończone siły pływowe rozrywają dowolną cząstkę. W pobliżu r =0 istotne są efekty kwantowe, pola grawitacyjnego – będziemy o tym mówili w rozdziale 12.

Na rys. 1 naniesiono również linie świata radialnych promieni świetlnych. Określamy je z (2.4.3) przez warunek : ds = 0 , dθ = dφ = 0 :

c (dT/dR) = ± [ rg / 3/2( R – cT) ]1/3 (2.4.7)

Położenie stożków świetlnych na rys. 1, pokazuje czemu sfera Schwarzschilda odgrywa szczególną rolę w układzie odniesienia Schwarzschilda a w ogólności w sferycznie symetrycznym polu ciążenia. Problem w tym, że przy r >rg linie świata r = const. ( teraz i dalej przyjmujemy, że θ = const. , φ = const. ) leżą wewnątrz stożka świetlnego tj. są one czasopodobne ; linie r = rg pokrywają się z linią świata fotonu tj. jest świetlną, przy r < rg linie świata r= const. są przestrzennopodobne.

Teraz powinno być jasne dlaczego układ Schwarzschilda zbudowany z cząstek o r = const. ni może być przedłużony dla r < rg .

Rozpatrywana sytuacja okazuje się charakterystyczna dla OTW i odróżnia ją od zwykłej teorii pola w płaskiej przestrzeni. Aby rozwiązać równania Einsteina musimy wybrać określony układ współrzędnych. W tym celu

wprowadzamy pewne dodatkowe warunki ustalające postać metryki. Przy tym w związku z możliwą złożoną globalną strukturą czasoprzestrzeni w OTW ( np. jej nietrywialną topologią ) nie można, ogólnie mówiąc zagwarantować, że wybrane współrzędne pokrywają całą czasoprzestrzeń. Właśnie z taką sytuacją spotykamy się powyżej, przy próbie pełnego opisu sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni we współrzędnych (2.12).

Ogólna własność, pozwalającą sprawdzić, czy otrzymane rozwiązanie rzeczywiście opisuje całą czasoprzestrzeń czy tylko jej część polega na badaniu zachowania cząstek próbnych oraz promieni światła. Jeżeli w skończonym czasie własnym ( lub przy skończonej wartości parametru afinicznego w przypadku fotonów ) niektóre z cząstek osiągają

„granicę” wybranego układu współrzędnych, a fizyczne osobliwości w tych punktach „brzegowych” nie wystąpią, to układ taki jest niepełny. Zmieniając warunki współrzędnościowe i przechodząc do metryki (2.4.1), udało się nam pokryć większa część czasoprzestrzeni i w szczególności opisać możliwe zdarzenia, zachodzące pod obszarem promienia grawitacyjnego.

Omówieniem zagadnienia związanego z tym czy układ współrzędnych Lemaitre’a istotnie jest zupełnym i czy metryka (2.4.1) istotnie opisuje całą czasoprzestrzeń odłożymy do paragrafu 2.7, w tej chwili powrócimy do omówienia własności sfery Schwarzschilda oraz obszaru czasoprzestrzeni leżącego wewnątrz niej. [ Ogólne omówienie tych problemów, patrz Hawking, Ellis (1973) ]

Istota osobliwości sfery Schwarzschilda może być omówiona następująco.

Z punktów o r > rg promień świtała poruszający się ku większym wartością r ( w prawo na rys. 1 ) uchodzi ku

przestrzennej nieskończoności. Dla punktów o r < rg promienie poruszające się zarówno w prawo jak i lewo poruszają się w kierunku mniejszych r, nie uchodząc ku przestrzennopodobnej nieskończoności, „zbierają” się one w osobliwości

r =0. Linia świata dowolnej cząstki musi leżeć wewnątrz stożka świetlnego, dlatego przy r < rg wszystkie cząstki zmuszone są poruszać się do r =0 – jest to kierunek ku przyszłości. Ruch w kierunku większych wartości r w obszarze r < rg jest niemożliwy. [ zobacz Finkelstein (1958) ]. Podkreślimy, że to co powiedzieliśmy odnosi się nie tylko do swobodnie spadających cząstek ( tj. poruszających się po geodezyjnej ) ale również do cząstek posiadających dowolne przyspieszenie. Żadne promieniowanie, żadne cząstki nie wychodzą ku dalekiemu, zewnętrznemu obserwatorowi z pod sfery Schwarzschilda.

Wielkość r w (2.2.1) określiliśmy w ten sposób aby : g22 = r2 tj. jako współrzędną radialną w układzie współrzędnych krzywizny [ zobacz (2.1.1) ]. Podobnie, formalnie określamy r również wewnątrz sfery Schwarzschilda, chociaż w tym przypadku linia r =const. jest przestrzennopodobna i nie może służyć jako przestrzenna współrzędna radialna. Przy r < rg wielkość g22 jest zawsze zależna od czasu - w sposób monotoniczny w dowolnym układzie określanym zależnościami (2.1.3) – (2.1.5). Wszystkie układy odniesienia przy r < rg są niestateczne, a oba radialne promienie świetlne poruszają się ku mniejszym r ( tj. ku mniejszym g22 ). Obszar czasoprzestrzeni o takiej własności nazywamy

„T-obszarem” ( T-regions )[ Nowikow (1962*a , 1964*a) ]. Obszar czasoprzestrzeni wewnątrz sfery Schwarzschilda nazywamy „R-obszarem” ( R-regions )

Aby dokładniej omówić R- i T-obszary rozpatrzmy czasoprzestrzeń o symetrii sferycznej. Przy tym może ona zawierać materie ( Tαβ ≠ 0 ) lub być pusta. Zgodnie z definicją sferycznie symetrycznego pola grawitacyjnego jego metryka zawsze być zapisana w postaci (2.1.2). Jeżeli w otoczeniu rozpatrywanego punktu, linia świata x1 = const. , θ = const.

φ = const. jest czasopodobna, to rozpatrywany punkt należy do T-obszaru.

Zajmijmy się teraz sferycznie symetrycznym polem grawitacyjnym w próżni.

Oprócz już rozpatrywanego układu odniesienia Lemaitre’a, dla badania obszaru zarówno wewnątrz i zewnątrz sfery Schwarzschilda wykorzystuje się i inne układy odniesienia. ( pewne z nich wprowadzimy teraz lub w dalszych

paragrafach ).

W pierwszej kolejności powrócimy do układu współrzędnych (2.2.1). Na sferze Schwarzschilda układ ten jak pokazaliśmy w paragrafie 2.2 jest osobliwy. Jednak przy r dużo mniejszym niż rg współczynniki metryczne g22 są regularne. Czy układ ten posiada jakikolwiek fizyczny sens przy r < rg ?

Okazuje się , że ma [ Nowikow (1961*) ]. Współrzędna r w tej chwili ( przy r < rg ) mie może być, jak pokazano wcześniej, radialna przestrzenną współrzędną. Jednak może ona odgrywać rolę współrzędnej czasowej, co prosto wynika z wyrażenia (2.2.1), gdzie współczynnik przy dr2 zmienia znak przy przejściu przez sferę Schwarzschilda i przy

r < rg jest ujemny. Z drugiej strony współrzędna t może teraz służyć jako radialna współrzędna przestrzenna a współczynnik przy dt2 jest dodatni dla r < rg . Zatem współrzędne r i t przy r < rg zamieniają się rolami.

Zmieniając oznaczenia : r = -cT~ , t = R/c i przepiszemy (2.2.1) do postaci :

ds2 = - [ ( rg / -cT~ ) – 1]-1 c2dT~2 + [ ( rg / -cT~ ) – 1] dR~2 + c2 T~2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.4.8)

0 < -cT~ < rg ; - ∞ < R~ < ∞ (2.4.9)

Układ odniesienia (2.4.8) – (2.4.9) może być zrealizowany przez swobodne próbne cząstki, poruszające się po

geodezyjnych wewnątrz sfery r = rg. Trójwymiarowe cięcie T~ = const. posiada nieskończoną rozciągłość przestrzenną względem współrzędnej R~ , a wzdłuż współrzędnej θ i φ jest ono zamknięte i globalnie stanowi iloczyn topologiczny sfery S2 i prostej R1. Trójwymiarowa objętość tego cięcia jest nieskończona. Układ jest niestacjonarny jest on ściskany wzdłuż θ i φ ( promień sfery zmniejsza się od rg do 0 ) a rozszerza się wzdłuż R~. Czas własny jej istnienia jest

skończony : 0

τ =

∫

rg / c

Linie świata cząstek R~ = const. obrazują układ, pokazany na rys. 2 we współrzędnych Lemaitre’a (2.4.3). Z rysunku tego widać, że cząstki poruszają się wewnątrz sfery Schwarzschilda i ich układ w żadnym przypadku nie stanowi przedłużenia układu Schwarzschilda dla r < rg ( jego linie świata r = const. pokazane są na rys 2. )

Rys. 2 Linie świata cząstek R~ = const. Rys. 3 Czasoprzestrzeń Schwarzschilda we współrzędnych obrazujących układ odniesienia (2.4.9) Eddingtona-Finkelsteina na (2.4.12) : V = const – linie świata we współrzędnych Lemaitre’a fotonów, spadających ku r = 0 ; 1,2,3 – linie świata fotonów poruszających się w kierunku przeciwnym ( w porównaniu z V = const. )

Czas i przestrzenny kierunek radialny, w tych układach zamienia się miejscami.

Wprowadzimy teraz układ odniesienia, który historycznie był pierwszym ze zbudowanych układów, nie posiadający osobliwości na rg [ Eddington (1924), Finkelstein (1958) ]. Układ ten związany jest z fotonami swobodnie

poruszającymi się radialnie. Równanie ruchu fotonów określone jest wyrażeniem (2.3.3). Dla fotonów poruszających się ku centrum, wartość r zmniejsza się w miarę upływu czasu. Wyrażenie (2.3.3) dla takich fotonów można przepisać do postaci :

t = - (r /c) – ( rg /c) ln | (r / rg ) – 1 | + (V/c) (2.4.11) gdzie : V – stała, charakteryzująca współrzędną radialną fotonu dla ustalonej chwili czasu t.

W wyrażeniu (2.4.11) pod logarytmem naturalnym stawiamy znak modułu, który zapewnia nam stosowalność tego wyrażenia również dla r < rg , (* należy zawsze pamiętać, że współrzędne r i t zmieniają swój charakter przy r < rg *) Jeżeli weźmiemy zbiór fotonów przy ustalonym t i przypiszemy każdemu fotonowi numer V, który w dalszym ciągu nie będzie się zmieniał przy jego ruchu, to podobnie jak to było w przypadku ruchu nierelatywistycznej cząstki [ zobacz (2.3.9) ] gdzie w charakterze nowej współrzędnej radialnej wybraliśmy r1, teraz możemy wybrać V w charakterze innej , nowej współrzędnej. Istnieje oczywiście i zasadnicza różnica – żaden obserwator nie może poruszać się razem z fotonem i w tym sensie nowy układ nie podpada właściwie pod definicje „układu odniesienia”. Jednak w pewnych przypadkach taki „układ”, złożony z fotonów próbnych. Będzie dogodnym. Należy tylko zawsze pamiętać, że V jest współrzędną świetlną (lightlike ) ( nie przestrzenną ani nie czasową ). W charakterze drugiej współrzędnej można wybrać współrzędną r. Wtedy, różniczkując (2.4.11) i podstawiając otrzymane wyrażenie dla dt do (2.2.1), znajdujemy : ds2 = - [ 1 - ( rg / r ) ] dV2 + 2dVdr + r2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (2.4.12) Wyrażenie to jest regularne na r = rg. W istocie bowiem współczynnik przy dV2 zeruje się na rg ale obecność członu 2dVdr zapewnia nieosobliwość tego układu współrzędnych. Czasoprzestrzeń we współrzędnych V, r przedstawiono na rys. 3, uwzględniono przy tym, że układ jest nieortogonalny i linie współrzędnościowe tworzą między sobą stały kąt 45°

( na płaszczyźnie V, r )

(* Wprowadzona współrzędna V nazywana jest zwykle „czasem przyspieszonym” (advanced time ), możemy również wprowadzić współrzędną u , zwaną „czasem opóźnionym” ( retarded time ) – cytat uzupełniający z wydania

angielskiego *)

§ 2.5 Zawężające się ( kurczące się ) i rozszerzające się T-obszary.

Rozpatrzone wyżej własności układów odniesienia wewnątrz sfery Schwarzschilda w T-obszarze są dziwaczne.

Widzimy, że wszystkie te układy koniecznie muszą się kurczyć względem kierunków θ i φ, a współczynnik g22 , powinien zmniejszać swoją wartość z czasem ( co jest równoważne zmniejszaniu się r w czasie ). Fakt ten możemy sformułować jako nieunikniony ruch ku osobliwości r =0 wszystkich promieni świetlnych i wszystkich cząstek w T-obszarze. Jednak wiemy, że równania Einsteina są inwariantne względem zmiany znaku czasu. Wszystkie

wprowadzone wzory pozostają rozwiązaniami równań Einsteina jeśli dokonać zamiany : t → - t, T → -T, T~ → -T~ , V → -U , gdzie U numeruje promienie wchodzące ( U = 2t – V ).

Jednak taka zamiana jest równoważna jest zmianie kierunku upływu czasu na przeciwny. A to znaczy, że możliwe są układy odniesienia ( np. Lemaitre’a, Eddingtona ) rozszerzające się z pod sfery Schwarzschilda i zbudowane przez cząstki wylatujące z osobliwości w T-obszarze, przenikające zatem sferę Schwarzschilda i uciekające ku

nieskończoności ( rys. 4, 5 )