Statystyka Matematyczna 2008/2009 - Ćwiczenia 1 Prawdopodobieństwo Zadanie 1
Prowadzimy obserwację na izbie porodowej w szpitalu i odnotowujemy sekwencję urodzeń dziewcząt i chłopców. Przypuśćmy, Ŝe szansa urodzenia dziewczynki wynosi p (ile ta wielkość wynosi?).
Część A
1. Ile wynosi prawdopodobieństwo P1, Ŝe pierwsze dziecko, które się narodzi będzie dziewczynką?
2. Ile wynosi prawdopodobieństwo P2, Ŝe najpierw urodzi się chłopak, a po nim dziewczynka?
3. ...
4. Ile wynosi prawdopodobieństwo Pk, Ŝe zaobserwujemy sekwencję, w której urodzi się najpierw k − 1 chłopców, a dopiero po nich dziewczynka?
5. Sprawdź, czy uzyskany rozkład Pk(p) jest poprawnie unormowany.
6. Naszkicuj rozkład Pk(p) jako funkcję wartości zmiennej losowej k dla róŜnych wartości parametru p.
7. Naszkicuj logarytm rozkładu Pk(p) jako funkcję wartości zmiennej losowej k.
8. Wyprowadź wyraŜenie na dystrybuantę F n
( )
=P(
k≤n)
. 9. Naszkicuj jej kształt jako funkcję liczby n.Część B
Przypuśćmy, Ŝe interesują nas sekwencje, które prowadzą do urodzenia się dwóch dziewczynek.
1. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe wśród dwójki urodzonych dzieci będą dwie dziewczynki?
2. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe wśród trójki urodzonych dzieci będą dwie dziewczynki, przy czym trzecim dzieckiem będzie dziewczynka (pierwsza dziewczynka moŜe się narodzić jako pierwsze lub drugie dziecko)?
3. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe wśród czwórki urodzonych dzieci będą dwie dziewczynki, przy czym czwartym dzieckiem będzie dziewczynka (pierwsza dziewczynka moŜe się narodzić jako pierwsze lub drugie lub trzecie dziecko)?
4. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe druga dziewczynka urodzi się jako k-te dziecko (pierwsza dziewczynka moŜe się narodzić jako pierwsze lub drugie lub trzecie ... lub k − 1 dziecko)?
5. Naszkicuj uzyskany rozkład Pk(p).
Część C – dla ambitnych do domu
Wzorując się na powyŜszym, wyprowadź wyraŜenie na prawdopodobieństwo Pk(p,n), Ŝe n-ta dziewczynka urodzi się jako k-te dziecko.
Zadanie 2 (prawdopodobieństwo geometryczne)
Tadeusz i Zosia umówili się w kawiarni miedzy 17:00 a 18:00. Obydwoje są bardzo dumni i nie zamierzają czekać dłuŜej niŜ 15 minut na partnera. Jaka jest szansa na to, Ŝe randka dojdzie do skutki, jeśli zarówno Zosi jak i Tadziowi na tyle brakuje punktualności, Ŝe moment pojawienia się kaŜdego z nich w kawiarni moŜna traktować jako przypadkowy między wyznaczonymi godzinami?
Zadanie 3 (gęstość prawdopodobieństwa)
Znajdź gęstość prawdopodobieństwa znalezienia oscylatora harmonicznego w pozycji x mierzonej od punktu równowagi, jeśli amplituda jego drgań wynosi A. Naszkicuj kształt tej funkcji i kształt dystrybuanty.
Zadanie 4
Pewna osoba dysponująca liczbą n kluczy, z których tylko jeden pasuje do jej domu, próbuje dostać się do mieszkania. Z powodów, których tylko moŜemy się domyślać, wybiera ona losowo dowolny klucz i próbuje otworzyć drzwi. W przypadku niepowodzenia, próbuje następny klucz, wybierając go z puli, która pozostała, dzięki czemu unika ona powtarzania próby z kluczami, które nie pasują. Znajdź prawdopodobieństwo Pk, Ŝe trafi ona na właściwy klucz w pierwszej, drugiej, trzeciej, ... , k-tej próbie. Sprawdź, czy suma znalezionych prawdopodobieństw wynosi jeden.
RozwiąŜ to samo zadanie, zakładając, Ŝe sprawdzony klucz wraca do puli wszystkich kluczy, a więc moŜe być wylosowany ponownie.
Zadanie 5
Przychodzimy na przestanek, na który co 4 minuty przyjeŜdŜa autobus linii A, a co 6 minut autobus linii B. Zakładając, Ŝe autobusy kursują niezaleŜnie od siebie, znajdź prawdopodobieństwo Ŝe:
a) pierwszy autobus jaki przyjedzie będzie linii A, b) w ciągu trzech minut przyjedzie jakiś autobus.
Zadanie 6 (prawdopodobieństwo geometryczne)
Wybieramy na chybił-trafił cięciwę przecinającą okrąg o promieniu
jednostkowym. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe jej długość będzie większa niŜ 3 ?
R = 1
3
3 2
R = 1 2
