Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 1b
Dynamika punktu
materialnego w jednym
wymiarze
Koniec pokazu
Dynamika punktu materialnego w R
1cz. b
Slajd podsumowania
1.8 Ruchy harmoniczne
1.9 Podsumowanie. Dynamika punktu mater ialnego w jednym wymiarze
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
1.8 Ruchy harmoniczne
Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań estetycznych
człowieka. Począwszy od Pitagorasa ludzie starają się zrozumieć na czym polega
piękno słuchanych utworów.
Na razie wystarczy, jeżeli powiemy, że powstanie doznań muzycznych jest
złożonym procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w naszym
, kx F
gdzie F jest siłą przyłożoną do struny, a x wychyleniem struny z położenia równowagi.
Zajmiemy się teraz elementarnym
procesem drgań harmonicznych źródeł dźwięku.
Szarpnięta struna drga zgodnie z prawem Hooke’a:
Zgodnie z II zasadą dynamiki
2
,
2
dt kx x m d
F
k = moduł sprężystości; stały, czyli
,
2
0
2
2
x
dt x
d
gdzie
2
.
m
k
lub ogólnej
Wzór w ramce jest podstawowym wzorem opisującym drgania harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo sprawdzić:
t A t
x sin
t A sin t B cos t .
x
A więc podsumowując, mamy:
. cos
sin
,
2
0
2 2
t B
t A
x dt x
x d
Wzór w ramce opisuje ruch szarpniętej struny lub ogólniej ruch oscylatora harmonicznego (który drga ze stałą częstością ).
Jeżeli struna jest stale „szarpana” z siłą F(t) oraz drga w ośrodku (w powietrzu), które stawia opór –cdx/dt (c = stała) to równanie drgań struny ma bardziej skomplikowaną postać:
.
2 2
t dt F
c dx dt kx
x
m d
Prawo
Newtona Prawo Hooke’a
Opór ośrodka
Siła
zewnętrzna
Aby elegancko rozwiązać to równanie, tzn.
znaleźć x(t) musimy poznać funkcję
eksponencjalną et oraz liczby zespolone.
Dodatek matematyczny
Ile wynosi pochodna funkcji at, gdzie a jest dowolną stałą?
Pochodna funkcji eksponencjalnej
Rozważmy funkcję:
1 . ln
ln
, ln
ln
,
dt dy y
dt dy dy
t y d
dt
t y d
a t
t y
a t
y t
Z drugiej strony
ln ln .
ln t a a
dt d dt
t y
d
A więc
. ln
ln
, 1 ln
a a
a dt y
dy
dt a dy y
t
czyli
a a ln a .
dt
d
t
tFunkcję eksponencjalną definiują podstawy logarytmu naturalnego. Szukamy a, dla
którego
.
, 1
ln
1a e
a e
a
Dla funkcji eksponencjalnej
e
te
te e
tdt
d ln
oraz
t tn n
e dt e
d
dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!
Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987
Rozważmy ponownie równanie ruchu oscylatora harmonicznego swobodnego, dla dowolnej funkcji y(t):
2 0 .
2
2
y t
dt
t y
d
(5)Z następującymi warunkami początkowymi:
2 ,
,
0
00
t t
t dt y
dy
. 0 0
0
, sin
2 cos
, sin
cos ,
2 0
, cos
sin
A A
t
t t
dt A t dy
t B
t dt A
t dy
B y
t B
t A
y
t 2 cos t .
y
Z drugiej strony rozwiązanie równania (5) możemy przedstawić tak (pamiętamy ): y t
dt t y d
n
n
.
t e t y
Stąd:
, ,
2
0
2
i
gdzie = jednostka urojona
i ogólne rozwiązanie równania (5) ma postać:
1
i
t e
i te
i t.
y
Bo, sprawdzając otrzymujemy:
0 .
, ,
2 0
0
t
t i t
i
dt t dy
e i
e dt i
t dy
y
A więc zgodnie z warunkiem początkowym.
Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740, Bazylea)
2 . cos
, cos
2
t i
t i
t i
t i
e t e
e e
t
Korzystając z równości
t
t
1 cos
2sin
otrzymujemy:
cos 2
2 , sin
t i t
i
t i t
i
e t e
i e t e
(ważny i bardzo przydatny wzór),
oraz
2 . sin cos
t t i
i t
i t
i t
i
e e e
e e
t i
t
. sin
cos t i t
e
i t
Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana,
Teraz wracamy do ogólnego równania struny:
.
0
kx c x F e
i tx
m
Rozwiązania szukamy w postaci:
,
Ae i t x
A nie zależy od czasu.
Oznaczenie
.
.
,
2 0
0 2
t i
t i
t i
t i
t i
A e ci F
k m
e F e
Aci
kAe e
mA
. sin
, cos
, sin
cos
0 2 0
2 0
A c F
A k F
m
A i ic F
k m
2 . ,
,
2 2
0 2 0
2 2
tg m
k
m
k m c m
k
tg c
2
1
.1 ,
,
2 2 2
0 2 2
2 2 0
2 2 2 2
2 0
2 2 2
2 2 0
2 2 2 0
2 2
m A F
m k m
m c F
m k
c A F
A c F
m k
Amplituda drgań ma maksimum dla częstości drgań siły wymuszającej:
. 2
22
0
r
(Proszę to sprawdzić!) Wartość amplitudy dla
równa się:
2 2
0 2
r
.
2
02 2 120
m
A
rF
Na szczęście
W przeciwnym przypadku
Nieskończona amplituda drgań oznacza katastrofę dla dowolnych układów drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru określającego amplitudę drgań:
.
0
A
! F m
0 2
2 1
02
2
2.
A
Możemy go zapisać tak:
F m
0
02
2 i 2 1
20
2 2 i .
A
Można, bez przesady powiedzieć, że liczby zespolone gwarantują stabilność układów
drgających, a więc gwarantują stabilność materii.
Podstawowe składniki materii:
atomy, cząstki, jądra atomowe są oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schrödingera jest równaniem dla zespolonej funkcji
.
r , t
Wzory do zapamiętania
.dx dg dg
dF dx
x g
dF
.
dx x x dg
f x
x g d
x df
x d
x g
x f
d
Pochodna funkcji złożonej:
Pochodna iloczynu funkcji:
Wzory do zapamiętania
g x
2dx .
x x dg
f x
dx g x df
dx x g
x
d f
Pochodna ilorazu funkcji:
Ponadczasowe zasady zachowania
Zasada zachowania pędu:
p
1 p
2 p
N 0 .
dt
d
V x x T 0 .
dt d
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
1.9. Podsumowanie
Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze
a. Istnieją układy inercyjne.
W układach inercyjnych spełnione są Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie jest układem inercyjnym, jednak
odstępstwo od inercyjności jest niewielkie i dlatego na Ziemi Zasady Dynamiki są
spełnione z dość dobrym przybliżeniem.
b. Istnieją siły potencjalne, to znaczy siły spełniające warunek:
dx , x x dV
F
, .
2
, ,
2 2
1
2 1
x g m x
x V x k
V
g m x
F x
k x
F
V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił potencjalnych:
2 .
1 p stała p
x V x E .
T
Zasada zachowania pędu w przypadku braku sił zewnętrznych:
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
. 1 ,
, 1 ,
1
,
4 3
2 2 0
2
i i
i i
i
e F dt kx
c dx dt
x
m d
i t c. Oscylator harmoniczny:
To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału „Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.
Spis treści
Koniec pokazu
