Szerokośćdrzewowagrafów k -zewnętrznieplanarnych APT

APT

Kraków 11 kwiecień

Szerokość drzewowa grafów k-zewnętrznie planarnych

Celem tych ćwiczeń jest wykazanie, że k kolejnych warstw grafu planarnego ma szero- kość drzewową ¬ 3k + 1.

Zakładamy, że graf planarny G jest narysowany na płaszczyźnie w taki sposób, że żadne dwie jego krawędzie się nie przecinają. Pierwszą warstwą grafu G nazywamy wszystkie wierzchołki grafu G przyległe do ściany zewnetrznej. Po usunięciu wierzchołków pierwszej warstwy, otrzymujemy graf planarny G⁰. Pierwsza warstwa grafu G⁰ jest drugą warstwą grafu G. Kolejne warstwy grafu planarnego G definiujemy analogicznie.

Graf planarny jest k-zewnętrznie planarny jeżeli składa się z ¬ k warstw.

Zadanie 1 (1p.). Wykaż, że każdy graf k-zewnętrznie planarny jest minorem grafu k- zewnętrznie planarnego o maksymalnym stopniu ¬ 3.

Niech F będzie lasem rozpinającym graf k-zewnętrznie planarny G⁰. Dla każdego wierz- chołka v ∈ V (G) definiujemy jego wagę jako liczbę różnych krawędzi e ∈ E(G) \ F , które po dodaniu do F tworzą cykl prosty zawierający wierzchołek v.

Zadanie 2 (2p.). Niech G⁰ będzie grafem k-zewnętrznie planarnym o maksymalnym stopniu ¬ 3. Wykaż, że istnieje las rozpinający F graf G⁰taki, że waga każdego wierzchołka jest ograniczona przez 3k.

Wskazówka. Indukcja po k.

Zadanie 3 (2p.). Niech G⁰ będzie grafem k-zewnętrznie planarnym o maksymalnym stopniu ¬ 3. Wykaż, że szerokość drzewowa k jest ograniczona przez 3k + 1.

Wskazówka. Skonstruuj dekompozycję drzewową z drzewem izomorficznym do drzewa skonstruowanego w poprzednim zadaniu.

Strona 1/1