10.9.2019, kl 2b
Liczby zespolone - zawody grupowe Zadanie 1. Oblicz (a) (
√ 3+3i)40 (√
3+i)20 , (b) (√
3 − 2 + i)10. Zadanie 2. Wyraź cos 5x jako wielomian od cos x i sin x.
Zadanie 3. Znajdź wzór na n1cos α +n2cos(2α) +n3cos(3α) + . . ., Zadanie 4. Udowodnij tożsamości
(a) Pn−1k=1cos2kπn = −1, (b) Pnk=0cos(kx) = sin
(n+1)x 2 cosnx2 cosx2 ,
Zadanie 5. Udowodnij, że suma kwadratów długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1 wynosi n2.
Zadanie 6. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że
|z| = 1 =
z z + z
z
.
Zadanie 7. Oblicz wartości wyrażeń: (a) cosπ7+ cos3π7 + cos5π7 , (b) cos2 π18+ cos2 5π18+ cos2 7π18. Zadanie 8. Naszkicuje zbiory w C: (a) {z : 1 ¬ |z − i| ¬ 2}, (b) {z : 1 ¬ | Re iz| < 2}.
Zadanie 9. Udowodnij, że (a) |z1+ z2| |z1| − |z2|, (b) ||z1| − |z2|| ¬ |z1− z2|,
Zadanie 10. Rozwiąż równania (a) z4 = z, (b) z3 = −z, (c) z2 = 3+4i, (d) z2 = z, (e) z3 = 4z, (f) z3+ |z|2+ z = 0, (g) (z + i)(z − i)2(iz − 1)3 = 64.
Zadanie 11. Udowodnij, że 2+3iz6z−i ¬ 1 wtedy i tylko wtedy, gdy |z| ¬ 13.
Zadanie 12. Dane są liczby zespolone z1, z2, z3 takie, że |z1| = |z2| = |z3| i z1 + z2 + z3 = 0.
Udowodnij, że z21 + z22+ z32 = 0.
Zadanie 13. Liczba 1+z+z1−z+z22 jest rzeczywista. Udowodnij, że z ∈ R lub |z| = 1.
Zadanie 14. Niech r > 0. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f : {z : |z| = r} → R określonej wzorem f (z) =
z +1z .
Zadanie 15. Rozwiąż w liczbach zespolonych równania:
(a) |z| + |z − 1| + |z − 2| + |z − 3| = 4, (b) |z − 1| + |z + 1| + |z − i| + |z + i| = 4,
(c) |z − |z + 1|| = |z + |z − 1||,
Zadanie 16. Wykaż, że (2 + i)n nie jest liczbą rzeczywistą przy żadnym n.
