Funkcje analityczne
Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne?
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
1. Sprawy organizacyjne
2. Czego będziemy się uczyć?
3. Kogo spotkamy podczas wykładów?
4. Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
5. O co w tym chodzi?
6. Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Sprawy organizacyjne
Skąd czerpać wiedzę?
Co oznacza słowo „studiować”?
| uczyć się na uczelni wyższej; być na studiach
| uważnie czytać, zgłębiać temat
| wpatrywać się uważnie
Wykładnie będzieudostępniony w formie elektronicznej. Na stronie http://students.wmi.amu.edu.pl/˜mleczko/ znajdzie się spis omówionego materiału.
T. H. Moore, E. H. Handlock Complex analysis
Londyn 1991.
J. Bak, D. J. Newman Complex analysis New York 1997.
J. Chądzyński
Wstęp do analizy zespolonej
Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999.
4
Zasady zaliczenia
Punkty przydzielane według zasady:
| test końcowy – 50%
| zaliczenie – 50%
Oceny (do zdobycia 100 pkt.):
| 50–60 pkt. – dostateczny
| 61–70 pkt. – dostateczny plus
| 71–80 pkt. – dobry
| 81–90 pkt. – dobry plus
| 91–100 pkt. – bardzo dobry
5
Czego będziemy się uczyć?
Zakres materiału
1. Wiadomości wstępne 2. Płaszczyzna zespolona 3. Funkcje zespolone
4. Wizualizacja funkcji zespolonych
5. Pochodna funkcji zespolonej. Warunki Cauchy’ego–Riemanna 6. Szeregi potęgowe
7. Funkcje specjalne i ich szeregi potęgowe 8. Wzór całkowy Cauchy’ego
9. Twierdzenie Cauchy’ego
10. Twierdzenie Liouville’a. Zasada maksimum. Twierdzenie o jednoznaczności
11. Szeregi Laurenta
12. Residua. Metody znajdowania residuów
13. Zastosowanie w analizie rzeczywistej do znajdowania całek Riemanna, całek niewłaściwych oraz sum szeregów
7
Kogo spotkamy podczas wykładów?
Postacie
Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
LeonhardEuler (1707–1783)
Jacques Salomon Hadamard (1865–1963)
Zdjęcia za wikipedią.
9
Postacie
Joseph Liouville (1809–1882)
Georg Friedrich BernhardRiemann
(1826–1866)
Karl Theodor WilhelmWeierstrass
(1815–1897)
Zdjęcia za wikipedią.
10
Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
Płaszczyzna zespolona. Liczby zespolone
| Liczby zespolone jako zbiór
C = {x + iy : x , y ∈ R, i2= −1} = {(x , y ) : x , y ∈ R} = R2
| Liczby zespolone jako struktura algebraiczna (C, +, ·)
(x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x1) + i (y1+ y2)
(x1+ iy1) · (x2+ iy2) = (x1x2− y1y2) + i (x1y2+ y1x2).
| Liczby zespolone jako przestrzeń metryczna Funkcja | · | : C → [0, ∞) dana wzorem
|x + iy | =p x2+ y2 nazywana jest modułem liczby zespolonej. Funkcja d : C × C → [0, ∞) dana wzorem
d (x1+ iy1, x2+ iy2) = |(x1+ iy1) − (x2+ iy2)|
jest odległością w C × C. 12
Liczby zespolone. Postać trygonometryczna
Re Im
t
z = r (cos t + i sin t)
r
z1= r1(cos t1+ i sin t1) z2= r2(cos t2+ i sin t2) Dodawanie liczb
z1+ z2= r1cos t1+ r2cos t2
+ i (r1sin t1+ r2sin t2) Mnożenie liczb
z1· z2= r1r2 cos(t1+ t2) + i sin(t1+ t2)
13
Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
Zajmować się będziemy funkcjami zespolonymi zmiennej rzeczywistej, czyli funkcjami
f = u + iv : A → C, gdzie A ⊂ R.
Przykład
Funkcja f : [0, 2π) → C
f (t) = cos t + i sin t.
Obrazem odcinka [0, 2π) za pomocą funkcji f jest okrąg jednostkowy.
14
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Zajmowac będziemy się funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej, czyli funkcjami
f = u + iv : A → C, gdzie A ⊂ C.
Funkcję u : R2→ R nazywana jest częścią rzeczywistą funkcji f , Funkcję v : R2→ R nazywana jest częścią urojoną funkcji f .
Przykład
Funkcja f : C → C
f (z) = a0+ a1z + a2z2+ · · · + anzn, gdzie ai∈ C, i = 0, 1, . . . , n jest zespolonym wielomianem.
15
Tematyka
# ciągłość
# całka krzywoliniowa
# szereg potęgowy
# szereg Taylora
# miejsca zerowe
# różniczkowalność
16
Obszary
Obszar– zbiór otwarty i spójny
Dysk jednostkowy
1
Pierścień
r2
r1
r0, r1∈ (0, ∞)
17
Motywacja: zastosowania w matematyce elementarnej
| Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
Zadanie
Uzasadnić wzór na sumę kosinusów kątów, czyli cos α + cos β = 2 cosα + β
2 cosα − β
2 α, β ∈ R.
18
Motywacja: zastosowania w matematyce (trochę) wyższej
| Znajdowanie granic całek niewłaściwych, sum szeregów liczbowych, skomplikowanych całek Riemanna
Zadanie
Znaleźć granicę do której zbieżna jest całka niewłaściwa Z ∞
−∞
1 1 + x4dx .
Zadanie
Znaleźć sumę szeregu
∞
X
n=0
1 1 + n2.
19
Motywacja: lepsze zrozumienie fenomenów matematyki „rzeczywistej”
Re Im
f (x ) = x21+1
−1 1
Rozważmy funkcję f (x ) = 1
x2+ 1, x ∈ R.
Jej szereg Taylora to
f (x ) =
∞
X
n=0
(−1)nx2n, |x | < 1.
Jest on zbieżny tylko dla |x | < 1!
W jaki sposób liczby ±1 związane są z wykresem i wzorem funkcji f ?
Analiza zespolona daje odpowiedź!
20
Motywacja: analiza zespolona
żródło: http://itunes.apple.com
21
Motywacja: ważne zastosowania nie tylko matematyczne
Funkcje zespolone mają ważne zastosowania np. w:
| matematyce (m.in. teorii liczb, geometrii algebraicznej)
| fizyce (m.in. hydrodynamice, termodynamice)
| naukach inżynierskich (m.in. mechanice, elektronice, lotnictwie)
22
O co w tym chodzi?
Pochodna funkcji f : R → R
Niech f : A → R, A ⊂ R, A będzie zbiorem otwartym, x0, x0+ h ∈ A.
Jeśli istnieje granica lim
h→0
f (x0+ h) − f (x0) h
istnieje i jest skończona to nazywamy jąpochodnąfunkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f0(x0).
x y
f
x0 x0+ h f(x0+h)−f(x0)
24
Pochodna funkcji f : R
2→ R
2Niech f = (f1, f2) : A → R2, A ⊂ R2, A będzie zbiorem otwartym, x0, x0+ h ∈ A. Macierz D nazywa siępochodnąliniową funkcji f , jeśli
lim
khk→0
kf (x0+ h) − f (x0) − Dh∗k
khk = 0.
Jeśli f ma pochodną, to
D =
∂f1 x1
(x0) ∂f1 x2
(x0)
∂f2 x1
(x0) ∂f2 x2
(x0)
Przypomnijmy:
khk = q
h21+ h22, h = (h1, h2) ∈ R2. Ponadto h∗oznacza transpozycję wektora h.
25
Pochodna zespolona
Niech f : A → C, A ⊂ C, z, z0∈ A. Jeśli istnieje granica
z→zlim0
f (z) − f (z0) z − z0
istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie z0.
Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie zbioru A, to mówimy, że jestholomorficzna w A.
Pochodną funkcji zespolonej można zdefiniować tak, jak pochodną funkcji rzeczywistej, gdyż w dziedzinie zespolonej można mnożyć (dzielić) elementy.
26
Zasadnicze twierdzenie Twierdzenie
Funkcja f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem, ma pochodną w punkcie z0∈ Awtedy i tylko wtedy, gdyistnieje taka liczba r > 0, że
f (z) =
∞
X
n=0
an(z − z0)n, |z − z0| < r .
Przykład
Zdefiniujmy funkcję f : R → R wzorem
f (x ) =
(e−t21, t 6= 0 0, t = 0.
Wówczas f ma pochodną dowolnego rzędu na prostej R, natomiast sze- reg Taylora funkcji f w zerze jest równy zero.
27
Warunki Cauchy’ego–Riemanna
Twierdzenie
Jeśli funkcja zespolona u + iv ma w punkcie x0+ iy0 pochodną, to spełnione są równania:
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0)
∂v
∂x(x0, y0) = −∂u
∂y(x0, y0).
Uwaga!
Powyższe twierdzenie wskazuje na to, że jeśli istnieje pochodna funkcji zespolonej, to część rzeczywista oraz urojona funkcji są ściśle ze sobą związane.
28
Twierdzenie Liouville’a
Twierdzenie
Jeśli funkcja holomorficzna na C ma oganiczony moduł, to jest funkcją stała.
Wniosek (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony ma pierwiastek.
Przykład
Funkcje sin : C → C oraz cos : C → C mają nieograniczone moduły.
29
Zasada maksimum
Twierdzenie
Niech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze A ⊂ C. Jeśli istnieje lokalne maksimum funkcji |f | w obszarze A, to f jest stała w A.
Twierdzenie (Weierstrass)
Jeśli funkcja f : A → C, A ⊂ C jest ciągłą natomiast A jest zbiorem zwartym, to f osiąga na A swoje kresy.
Wniosek
Jeśli funkcja f : A → C jest holomorficzna w A oraz ciągłą na A, to |f | osiąga na A \ A wartość największą.
30
Twierdzenie o jednoznaczności
Twierdzenie
Niech f , g : A → C będą funkcjami holomorficznymi w obszarez A. Wów- czas jeśli
f (z) = g (z), dla z ∈ D, oraz zbiór D ma punkt skupienia w A, to
f (z) = g (z) dla każdego z ∈ A.
Uwaga!
Zbiór D w powyższym twierdzeniu może być „mały”, np. może być cią- giem liczbowym mającym granicę należącą do zbioru A.
31
Co trzeba wiedzieć,
żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Oczekiwania
| Podstawowa wiedza z analizy rzeczywistej (w szczególności znajomość pojęć całki Riemanna, pochodnej rzeczywistej oraz umiejętność liczenia całek i pochodnych rzeczywistych)
| Podstawowa wiedza z topologii
33
