Niezmienniki – ściąga
Mateusz Rapicki 10 września 2017
Przypuśćmy, że mamy do czynienia z procesem polegającym na wielokrotnym poddawaniu danego układu pewnej operacji. Analizując ten proces możemy użyć metody niezmienników – tzn. spróbować znaleźć jakąś wartość czy własność tego układu, która nie zmienia się w wyniku wykonywania tej operacji (lub zmienia się, ale w sposób łatwo kontrolowany – wtedy nazywamy ją półniezmiennikiem; o tym będzie przykład 3).
Przykład 1. Niech n będzie nieparzystą liczbą naturalną. Na tablicy napisano liczby: 1, 2, ..., 2n. W każdym kroku wybieramy dowolne dwie liczby napisane na tablicy (powiedzmy a i b), zmazujemy je, i zapisujemy na tablicy wartość bezwzględną ich różnicy (czyli |a − b|). Dowieść, że ostatnia liczba, jaka zostanie na tablicy, będzie nieparzysta.
Dowód. Zauważmy, że niezmiennikiem tej operacji zastępowania pary liczb ich różnicą jest parzystość sumy zapisanych liczb. Faktycznie, jeśli wybierzemy liczby a i b, przy czym a < b, to suma zapisanych liczb zmniejszy się o a + b, gdy je zmażemy, a następnie zwiększy się o b − a, gdy dopiszemy ich różnicę, czyli łącznie suma zapisanych liczb zmniejszy się o 2a, a więc o liczbę parzystą. W takim razie widzimy, że parzystość sumy zapisanych liczb nie zmienia się w żadnym kroku. Oznacza to, że parzystość sumy liczb po ostatnim kroku będzie taka sama, jak na początku. Skoro 1 + 2 + ... + 2n = n(2n + 1) jest liczbą nieparzystą, to suma liczb po ostatnim kroku (czyli ostatnia liczba pozostała na tablicy) też będzie nieparzysta.
Czasami bywa tak, że w zadaniu nie mamy żadnego procesu. Możemy wtedy sami jakiś wymyślić.
Przykład 2. Dana jest liczba naturalna n oraz liczby a1, a2, ..., an równe ±1. Ponadto wiadomo, że suma S = a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ ... + an−1ana1a2+ ana1a2a3 jest równa zero. Dowieść, że n jest podzielna przez 4.
Dowód. Wprowadźmy następującą operację: w każdym kroku wybieramy pewien wyraz ciągu równy −1 i za- stępujemy go przez +1. Wykonujemy tę operację aż do momentu, gdy wszystkie wyrazy ciągu będą równe 1.
Niezmiennikiem tej operacji jest reszta z dzielenia sumy S przez 4. Faktycznie, każdy z wyrazów ciągu pojawia się w dokładnie czterech składnikach z tej sumy. Analizując wszystkie przypadki (zależne od tego, ile z tych czterech składników jest równe 1) dochodzimy do wniosku, że w każdym kroku S zmienia się o 8, 4, 0, −4, lub −8, a więc zawsze o liczbę podzielną przez 4. Wobec tego reszta z dzielenia S przez 4 nie zmienia się w żadnym kroku.
Oznacza to, że ta reszta po ostatnim kroku będzie taka sama, jak na początku, czyli równa zero. Oczywiście po ostatnim kroku wszystkie składniki sumy będą równe 1 i będziemy mieli S = n. W takim razie n też daje resztę 0 z dzielenia przez 4.
Przykład 3. Każdy parlamentarzysta ma wśród pozostałych co najwyżej trzech nieprzyjaciół. Dowieść, że można tak podzielić parlament na dwie izby, że każdy parlamentarzysta będzie miał co najwyżej jednego nie- przyjaciela w swojej izbie.
Dowód. Utwórzmy dwie izby i na początek rozdzielmy parlamentarzystów pomiędzy nie w jakikolwiek sposób.
Wprowadźmy następującą operację: w każdym kroku wybieramy parlamentarzystę mającego więcej niż jednego nieprzyjaciela w swojej izbie i przenosimy go do drugiej izby. Wykonujemy tę operację aż do momentu, gdy każdy parlamentarzysta będzie miał co najwyżej jednego nieprzyjaciela w swojej izbie. Jeśli udowodnimy, że taki moment faktycznie nastąpi, zadanie będzie rozwiązane. Półniezmiennikiem tej operacji przenoszenia parlamen- tarzysty z jednej izby do drugiej jest łączna liczba nieprzyjaciół, jakie parlamentarzyści mają w swoich izbach.
Faktycznie, liczba ta w każdym kroku zmniejsza się. Oczywiście nie może się zmniejszać w nieskończoność, gdyż zawsze jest nieujemna. W takim razie operację tę możemy wykonać tylko skończenie wiele razy, zanim warunek, że każdy parlamentarzysta ma co najwyżej jednego nieprzyjaciela w swojej izbie, będzie spełniony.
1
