Synteza regulatora typu "DEADBEAT" dla układów 2-D

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ_______ *984

S eria: AUTOMATYKA z . 74 Kr koi'.""¿"i O*

Tadeusz K aczorek P o lite c h n ik a W arszawska

SYNTEZA REGULATORA TYPU "DEADBEAT" DLA UKŁADÓW 2-D'

S t r e s z c z e n i e . Sform ułow ano i udow odniono.-w arunki d o s ta te c z n e i s t n i e n i a r e g u l a t o r a ty p u " d e a d b e a t" d la dwuwymiarowych (2 -D ) układów lin io w y c h d y s k r e tn y c h . Podano a lg o ry tm wy z n a c z e n ia m a c ie rz y w ielom ianow ych o p is u ją c y c h te n r e g u l a t o r .

1. W stęp

P roblem s te r o w a n ia p raw ie id eQ lŁ eg o ( d e a d b e a t c o n t r o l ) ( t j . z uchybem zerowym po skończonym c z a s i e b y ł ro z p a try w a n y w w ie lu p ra c a c h [ 2 , 5 , 7 , 8 , 1 0 , 1 3 , 1 5 , 1 6 ] . Kowe sfo rm u ło w an ie i ro z w ią z a n ie z a g a d n ie n ia s y n te z y r e g u la to r a ty p u " d e a d b e a t" d l a układów lin io w y c h s ta c j o n a r n y c h p r z e d s t a wił K ucera w p r a c y [ 7 ] . P o d e jś c ie t o z o s t a ł o n a s t ę p n i e r o z w in ię te w pracach [ 2 , 8 , 1 5 ] .

Układom wielowym iarow ym , a w s z c z e g ó ln o ś c i układom dwu i tró jw y m ia rowym (2-D i 3-D ) p o św ięco n o o s t a t n i o w ie le p r a c . W arunki k o n ie c z n e i d o s ta te c z n e i s t n i e n i a r e g u l a t o r a ty p u " d e a d b e a t" d la układów 2-D z jednym w e jśc ie m i jednym w y jściem z o s t a ł y podane w p ra c y [5] . Celem t e j pracy j e s t u o g ó ln ie n ie t e j m etody n a p rz y p a d e k układów 2-D o w ie lu w e jśc ia c h i w y jś c ia c h .

N iech B ę d z ie zb io rem m a c ie r z y Y iielom ianow ych zm iennych d^,d2 o w ym iarach mxn i w s p ó łc z y n n ik a c h r z e c z y w is t y c h . Weźmy pod uwagę m acierze w ielo m ia n o w e o t e j sam ej l i c z b i e w ie r s z y X t Rmq[d^ ,d 2J , S , ¿2^] t a k i e , że t*=q+l >/ m )/ 1 o ra z m a c ie rz z n ic h zbudowaną o p o s ta c i

D =

[x : s]

6Rm t[ d 1 , d 2] ( 1 )

D e fin ic ja [18]

M acierze X ,5 nazywamy zerow o le w o s t r o n n ie p ie r w s z e (ZLP), j e ż e l i n ie i s t n i e j e p a ra ( d ^ ,d 2 ) b ęd ą ca zerem w s z y s t k i c h minorów s t o p n ia o m a c ie r z y U .K acierze X ,B o t e j sam ej l i c z b i e kolumn nazywamy zerow o p r a w o str o n n ie pierw sze (Z P P ); j e ż e l i m a c ie r z e transponow nne T , 3 1 są ZLP*

T w ierdzenie 1 [1 8 ]

M acierze X ,3 s ą ZLP w ted y i t y l k o w te d y , gdy i s t n i e j ą m a cierze wielom ianowe I eRqm[d 1 ,d 2l ’ ^ eR lm [d 1 ,d 2] ta k iB » **

XT + W - I m , ( 2 )

przy czym I J e s t m a c ie rz ą je d n o s tk o w ą m -te g o s t o p n i * .

(2)

116 T . K a c z o r e k

T w ierd ze n ie 2 [18]

I s t n i e j ą m a cie rz e w ielom ianow e X £ ,dg] , 7 <,Rlm [d l »d 2]

C2 6R t - m , t [ d 1 - d2 l ' D2 eR t , t - m [ d 1 ' d 2] i a k i e ’ . y . i j .

c,

x : d_

7 : 2

^{I t} ^{(3 )}

"Z

w tedy i ty lk o w ted y , gdy m a c ie rz e s ą ZLP.

2 . Sform ułow anie z a d a n ia

Dany j e s t o b ie k t 2-D o p is a n y równaniem

Ay = Eu + C , (4 )

p rz y czym y £ R ^ (d .^ , d 2 ) i u fcR.^Cd.j , d 2 ) s ą tr a n s f o r m a ta m i Z odpow iednio y ( i , j ) i u ( i , j ) będącym i fu n k c ja m i zm iennych d 1=z^'1, d 2=Zg2 t « d j j i B .d g ] , C t Rn i [ d i « (i2] ; a Rn k i d l » d 2^ *’e s t zb io rem m a c ie rz y wymier

nych zm iennych d^ i d2 o w ym iarach mxk i w sp ó łc z y n n ik a c h r z e c z y w is ty c h . Zakładam y, że m a c ie rz A j e s t o d w ra c a ln a . Dana j e s t ró w n ie ż k l a s a B ygn a- łów o d n i e s i e n i a r e R m1( d 1 , d 2 ) o p is a n a równaniem

F r = G. (5 )

p rz y czym F 6S Bm[d1 , a 2 ] i 0 ć R ^ [*-, , d 2] •

W ektory C i G z a l e ż ą od warunków brzegow ych o b ie k tu i odpow iednio g e n e r a to r a sygnałów o d n i e s i e n i a . Z m ie n ia ją c w aru n k i brzegow e g e n e r a to r a sygnałów o d n i e s i e n i a , t j . w e k to r G otrzym ujem y c a ł ą k la s ę sygnałów o d n i e s i e n i a , o k r e ś lo n ą m a c ie rz ą F .

Poszukiw ać będziem y r e g u l a t o r a lin io w e g o o p is a n e g o równaniem

Pu = -Qy+Rr+S > (6 )

p rz y czym P eR l l [ d 1 ,d ^j , Q t R lm[ d 1 , d 2] , R &Rl n [d 1 »d 2l * S t R l l [ d 1»d2] 8 S z a le ż y od warunków brzegow ych r e g u l a t o r a .

Z adanie s y n te z y r e g u l a t o r a ty p u " d e a d b e a t" d l a układów 2-D można sform ułow ać n a s tę p u j ą c o : Dane s ą m a c ie rz e A ,3 i F ; w yznaczyć m a cie rz e P,Q i R ta k , a b y .u c h y b ś l e d z e n i a e = r - y o ra z u b y ły w ek to ra m i w ielom iano

wymi zm iennych d^ i d 2 d la dow olnych w ektorów C,G i S.

3 . R ozw iązanie z a d a n ia T w ierd ze n ie 3

Z adanie s y n te z y r e g u l a t o r a ma ro z w ią z a n ie j e ż e l i : 1) A,B s ą ZLP.

2 ) F j e s t prawym d z i e ln i k ie m A, t j . i s t n i e j e A0 e Rmm[ d 1 ,d ^j t a k i e , że A=AoF, p rz y czym detA Q=c^O, a c n i e z a le ż y od d., i d g .

(3)

S ynte za r e g u l a t o r a t y p u " d e a d b e a t " d l a u k ła d ó w 2 - D . U L

Dowód

Z z a ło ż e n ia 1) i . tw ie r d z e n ia 2 w y n ik a , że i s t n i e - j ą : A2 e R^-,[d1 ,0^] , B2 ł , d 2] ’ P fcRl l f d 1 Q eRlmCd 1 , d 2l ’ P2 6 Rtntn[d 1 , d 2l d

Q2 £Rlm [d 1 *d 2] t a k i e * że

A B

Q -P

p 2 b2i Q2 -A2

m o

( 7 )

Biorąc pod uw agę, że AB2 =BA2 o ra z p o d s ta w ia ją c ( 5 ) i y = B2A"1u+A"1C

do ( 6 ) otrzym amy

u = a2 (pa2+qb2 ) - 1 (r p_1g+s-qa- 1c) ( 8 )

e = r - y = [xm-B 2 CPA2+QB2 ) " 1R ]p " 1G - [ l nl-B 2(PA2+QB2 )~ 1Q] A"1C -

■D /'■O, . \ *"1 C - b2(pa2+qb2 ) _ ,s Z (7 ) mamy

PA2+QB2= I 1 , P2A+B2Q=Im , A2Q=Q2 A P o d sta w ia ją c (1 0 ) do ( 8 ) i ( 9 ) otrzymamy

u = a2r p“ 1g+a2s-q2c

= [ V B2R]^p^{- 1}^g^-^p²^c^-^b²^s

( 9 )

(

^{1 0}

)

(1 1) ( 1 2 ) Zauważmy, że B^=A0 B j e a t m a c ie rz ą w ielom ianow ą d l a k a ż d e j m a c ie rz y

«.«1

w ielom ianowej B. Z z a l e ż n o ś c i [abJ=Ao[p b^] o ra z z w arunku 1) w y n ik a , że P, B^ s ą ZLP. Z ró w n a n ia

r B„' l o M . 0

oraz z t w ie r d z e n ia 2 w ynika w ię c , że i s t n i e j ą R Rlm [d 1 , d2 l 4 Bllf*1 T2 fcRmm fd 1 , d 2] ’ R2 fc Rlm [d 1 ,d 2] t a k i e > **

> B3 T2 B2 =

rO

SKł»

(1 3 )

R -T R2 -fL2 L° xi

Z (13) mamy

t2p+b2r - I m oraz

R2P * AgR

P o d sta w ia ją c ( 1 5 ) i ( 1 4 ) do ( 1 1 ) i (1 2 ) otrzymamy u « HRjG+AgS-OgC

(1 4 ) ( 1 5 )

oraz e * TgG—PgC-BgS

(4)

118 T. Kaczorek

Stw ierdzam y w ię c , że u i e s ą w ek to ram i w ielom ianowym i zm iennych i dj d la dowolnych w ektorów C,G i S . O

Z porów nania ( 7 ) i (1 3 ) w y n ik a, że można p r z y ją ć Q=R.

4 . A lg o r y tm

J e ż e l i w aru n k i 1 ) 1 2 ) tw ie r d z e n ia 3 s ą s p e ł n i o n e , w ted y m a cie rz e I i Q=R można w yznaczyć k o r z y s t a j ą c z n a s tę p u j ą c e g o a lg o ry tm u :

k ro k 1.

K o rz y s ta ją c z d z i a ł a ń e le m e n ta rn y c h n a kolum nach i w ykonując p r z e k s z ta łc e n ie

1

•

• •

l ---

\ 0 ' Xm I 0 — ► v \ T ' v 2

v3 ' \ ' T a

wyznaczamy A2=U4 * S2"~^2*

krok 2.

K o r z y s ta ją c z d z i a ł a ń e le m e n ta rn y c h n a w ie r s z a c h i w ykonując p r z e k s z t a ł c e n i e

i i : o m • • « • • • • b2 : o

h : Ti o : t3 : v 4

: '2

* • • • •

wyznaczamy ro z v /ią z a n ie P=V^, Q=Vg ró w n a n ia PA2 + q b 2 = I j

(

¹⁶

)

(17!

(16) R ozw iązanie rów n an ia (1 8 ) można ró w n ie ż w yznaczyć k o r z y s t a j ą c z a lg o ry tm u podanego w p ra c y [6] ( z w ła s z c z a w ty c h p rz y p a d k a c h , w któryci zaw odzi a lg o ry tm o p a r ty n a d z i a ł a n i a c h e l e m e n ta r n y c h ) .

5 . P rz y k ła d

R ozw iązać z a d a n ie s y n te z y r e g u l a t o r a d la r 0 i

A = P B = (1Si

Łatwo s p r a w d z ić , że m a c ie rz e (1 9 ) s ą ZLP a Aq= I2 . k rok 1.

K o r z y s ta ją c z d z i a ł a ń e le m e n ta rn y c h n a kolum nach wykonujemy p r z e k s z t a ł c e n i e

(5)

Synteza r e g u l a t o r a t y p u " d e a d b e a t " d l a u k ł a d ó w ?-D

a • • • • • « «: b

:

⁰

m •

• • • • • • •

o : i.

Wobec te g o

krok 2 .

d1 -1 i 0 I 1 0 0

1 d2: d 2 0 1 0

rr

₀ _{1 : 0} 0 _{-1 dl} 1 d2

~d 1d2

•

L 1 - di 1 +d^g

Ł2= 1 + 3 ^ 2 and B2 = d 1d 2

?1+Q ' d 2 = 1 d 1d 2.

wykonujemy p r z e k s z t a ł c e n i e ( k o r z y s t a j ą c z d z i a ł a ń e le m e n ta rn y c h na w ie rsz a c h )

i : 1 : 0 A * T *

ft2 : I i :

b2 : o

1 +d^g : 1 : o o

d 1d2

: o : 1 o i o : o 1

-d 2 : 1 d

0 i - di 1

Poszukiwane m a c ie rz e s ą w ię c równe P = [l] , Q=R=[o - i ] .

LITERAT0RA

[1] . Bose N .K .: M u ltid im e n s io n a l S y ste m s: T heory and A p p l i c a t i o n s , IEEE P r e s s . , 1979.

[2]. E i c h s t a e d t B .j M u l t i v a r i a b l e c l o s e d - lo o p d e a d b e a t c o n t r o l : a p o ly n o - m ia l- m a t r i x a p p r o a c h . A u to m a tic s 18, 1982.

DJ . E ie in g R . : R e a l i z a t i o n and s t a b i l i z a t i o n o f 2-D s y s te m s . IEEE T ra n s . A u to m .C o n tr., v o l.A C -2 3 , 1978.

[4]. F o r n a s i n i M. and M a rc h e s in i G .: S t a t e sp a c e r e a l i z a t i o n th e o r y o f tw o - d im e n s io n a l f i l t e r s . IEEE T r a n s .A u to m .C o n tr ., AC-21,1 9 7 6 .

[5] . K aczo rek T: D e a d -b e a t s e r v o p roblem f o r 2 -d im e n s io n a l l i n e a r sy stem s I n t . J . C o n t r o l , v o l . 3 7 ,1 9 8 3 .

DS] . K aczo rek T .: S o lv in g o f 2-D p o ly n o m ia l m a trix e q u a t i o n s . F u n c tio n a l - D i f f e r e n t i a l S ystem s and R e la te d T o p ic s I I I . P r o c .o f th e I I I I n t e r n a t i o n a l C o n fe re n c e , B la z e je w k o , P o la n d , May 23-31 1983.

[7]. K ucera V .: D is c r e te L in e a r C o n t r o l , The p o ly n o m ia l E q u a tio n Approach John W ile y , C h i c h e s t e r , 1979.

[8], Kucera. V. and Sebek M .: On d e a d b e a t c o n t r o l l e r s . IEEE T ra n s . Autom.

C o n tr.,A C -2 8 ( i n p r i n t ) .

[9] • Kung S . , Levy B . , M orf M. and K a i l a t h T .: New r e s u l t s in 2-D sy ste m s t h e o r y , p a r t I I : 2-D s t a t e - s p a c e m o d e l s - r e a l i z a t i o n and th e n o t i o n s o f c o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t y and m in im a lity .

(6)

1 2 0 T . K a c z o r e k IEEE, v o l . 6 5 ,1 9 7 7 .

0(3. Leben B .: M u lt iv a r ia b le d e a d b e a t c o n t r o l . A u to m a tic a 1 3 , 1977.

[TO. P a ra a k e v o p o u lo s P .17.: C h a r a c t e r i s t i c p o ly n o m ia l a s s ig n m e n t and d e te r m in a tio n o f th e r e s i d u a l p o ly n o m ia l in 2-D s y s te m s . IEEE Trans, A u to m .C o n tr., v o l.A C -2 6 , 1981.

[121. P a ra a k e v o p o u lo s P .B . and K e r tz io s B .G .: T r a n s f e r f u n c t i o n f a c t o r i z a tio n o f 2-D sy ste m s u sin g , s t a t e f e e d b a c k . I n t . J .S y s te m s S c i . , v o l . 12, 1981.

[13]. P o r t e r B. and BradEhaw A .: D esign o f d e a d - b e a t c o n t r o l l e r s and f u l l - o r d e r o b s e rv e rs f o r l i n e a r m u l t i v a r i a b l e d i s c r e t e - t i m e p la n ts . I n t . J . C o n t r . , v o l . 2 2 , 1975.

[14]. R o e s s e r R . : A d i s c r e t e s t a t e sp a c e m odel f o r l i n e a r Image processing IEEE T ra n s .A u to m .C o n tr ., v o l . 2 0 , 1975.

[1^{^ .} Sebek M.: M u lt iv a r ia b le d e a d - b e a t s e r v o p ro b le m . R L b e r n e tik a , v o l . 16, 1 9 8 0

.

[16^). S e r a j i H .: D eadbeat c o n t r o l o f d i s c r e t e - t i m e s y ste m s u s in g o u tp u t fe e d b a c k . I n t . J . C o n t r o l , v o l . 2 1 ,1 9 7 5 .

[17!. T z a f e s ta s S .G . and P im en id es T.G. s E x a c t m o d e l-m a tc h in g c o n t r o l of t h r e e - d i m e n s i o n a l sy ste m s u s in g s t a t e and o u tp u t f e e d b a c k . I n t . J . S ystem s S c i . , v o l . 1 3 ,1 9 7 5 .

[18]. Y oula D. and Gnavi G .: B o te s on n - d im e n s io n a l sy ste m t h e o r y . IEEE T r a n s . C i r c u i t s and S ystem s,C A S -26,1 9 7 9 .

R e c e n z e n t: D o c .d r i n z . J e r z y Klamka '.7plyn?lo do R e d a k c ji do 3 0 . 0 3 .1 9 3 4 -r.

CKHTE3 PEm flTOPA " MIEMT " MR CMCTEM Jb- 2

P e 3 d m e

B paÔOTe c$opMyjmpoBaHH e soKa3aHK flociaTO RH ue ycnoBHH cymecTBOBamti peryjiH T opa T xna " joibO ht " w in içayxMepHHX ( 2 - Æ ) jmaeiiHHX flHCKpeTBHX CECTeii. JIaH ajiropKTM oapejrejreE iia MHoroRjieKHHX MaTpan,, onHCHBaraiKX 9T 0i p eryiiK T op .

DEAD3SAT C0:TTR0LISR DSSIGI7 FOR 2D SÏSTEMS S u m m a r y

S u f f i c i e n t c o n d i tio n s o f e x i s t e n c e o f d e a d b e a t c o n t r o l l e r f o r 2D lin e a r sy ste m s a r e f o r m u la te d and p r o v e d . A lg o rith m s f o r a s s ig n m e n t o f poly- nom al m a tr ic e s d e s c r i b i n g th e c o n t r o l l e r i s p r e s e n t e d .