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tJITLIOTÏÏECA MATHEMATICA
Z E IT S C H R IF T FÜR GESCHICHTE
DER
m SMATISCü; W ISSEN SC H A FTEN
DRITTi a uiifc r î BAH.-
K X TFIG üK EV .
L E IP Z IG ,
D R U C K N i - ' f ¡¿LAG V O N V . - > Ï ; !..
1 9 0 7 — 1 9 0 *
. . v f c V
BIBLIOTHECA MATHEMATICA
Z E IT S C H R IF T FÜ R GESCHICHTE
DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN.
HERAUSGEGEBEN VON
G U S T A F E N E S T R Ö M
IN STOCKHOLM .
DRITTE FOLGE. ACHTER BAND.
M IT D E M B IL D N IS S E V O N F B . H U L T S C H A L S T IT E L B IL D , S O W IE 7 T B X T F IG U E E N .
L E I P Z I G ,
D R U C K U N D V E R L A G V O N B. G. T E U B N E R . 1 9 0 7 - 1 9 0 8 .
A L L E B E C H T E , E IN S C H L IE S S L IC H D E S Ü B E B S E T Z tT N G S B E C H T S , V O B B E H A L T E N .
Inhaltsverzeichnis.
Autoreu - R egister.
A h r e n s, 21.
A m o d eo , 26.
B o a m a u s, 2, 17.
B ro ca rd , 24.
E n eströ m , 1—3, 7, 11— 16, 18, 23.
G rönb lad , 2.
H ä b le r, 2.
. H e ib e r g , 9.
J u n g e , 2.
E u d io , 2, 6, 25.
S eg re , 22.
S t ä c k e l, 20, 21.
S t u T m , 2.
S tu y v a ert, 19.
S u te r , 2, 4, 10.
T itte l, 8.
Y a ila ti, 5.
Z eu th e n , 9.
S a ch -R eg ister.
A k tu elle F r a g e n , 26.
A lg eb ra , 9, 11, 15, 17, 23.
A lgoriam ua, 12.
A n fr a g e n , 11, 1 3 —16, 18.
A n tw o rte n , 24.
A rab isch e M a th em a tik , 10, 11.
A ristófan es, 6.
A r ith m e tik , 12, 14.
A str o n o m ie, 8.
B a ll, 3.
Bernardus de Villacampi. , 13.
B ib lio g r a p h ie , 27.
B io g r a p h ie n , 25.
B r ie fe , 21.
B r in g , 23.
C ajori, 23.
C antor, 2.
C y k lo id e, 19.
D ifferen tia lg eo m etrie, 22.
E lem en ta rm a th em a tik , 4.
E rn en n u n g e n , 28.
E u le r, 20, 21.
F ra n ça is, 24.
F u ß , 21.
G eom etrie, 6, 10, 19, 22.
G leic h u n g en , 23.
G riechische M a th em a tik , 6 —9.
Heron, 7, 8.
H ultsch, 25.
Ita lie n isc h e M ath em atik er, 16.
Jacobi, 21.
Johannes de M uris, 14.
Jordanu s, 12.
K reisq uad ratu r, 6.
L itera risch e N o tiz e n , 28.
M athem atik im a llg em e in e n , 2, 3.
M athem atiker -V ersa m m lu n g en , 28.
M ath em atisch e T er m in o lo g ie , 4.
M a th em a tisch -h isto risch e F o r sc h u n g e n , 1.
M a th em a tisch -h isto risch e V o r le su n g en , 2 6 , M ech an ik , 5.
M eier, 7.
Monge, 22.
N eu ersch ien en e S ch rifte n , 27.
N u n ez, 17.
P ascal, 19.
P r eisfra g en , 28.
P r eissc h r ifte n , 28.
Pu jos, 18.
R e ih en , 20.
R ezen sio n en , 3, 4, 7, 23.
S ch erzfragen , 15.
Schm idt, 4.
S trah len system e, 22.
Sum m e der reziproken Q uad ratzah len, 20.
T o d e sfä lle , 28.
U nb estim m te A n a ly s is , 9, 15.
V irtu elle M o m en te, 5.
W e ltb ild , 8.
W issen sc h a ftlich e C hronik, 28.
IV Inhaltsverzeichnis.
A llgem eines über G eschichte der M athem atik.
1 . Über planmäßige Arbeit auf dem mathematisch-historischen Forschungsgebiete. Von 6. En e s t r ö m ...
2 . Kleine Bemerkungen zur letzten Auflage von Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“. Von H. B o s m a n s , G. E n e s t r ö m , C. G r ö n b l a d , Th. H ä b l e r , G. J u n g e , F. R u d i o , A. S t u r m , H. S u t e r ... 61— 96, 173— 215, 307— 311, 3 . B a l l . H isto ire des m a th é m a tiq u e s. E d itio n fra n ç a is e tr a d u ite p a r
F r e u n d . 1— 2 (1906— 1907). R ezen sio n von G. Eneström .
4 . S c h m i d t . Z u r E n ts te h u n g u n d T erm in o lo g ie d e r e le m e n ta re n M a th e m a tik (1906). R ezen sio n von H . Sü t e r... ...
5. Per la preistoria del principio dei momenti virtuali Di G .Vailati
G esch ich te des A ltertum s.
6 . Die angebliche Kreisquadratur hei Aristophanes. Von F. Ru d i o
7. M e i e r . De H ero n is a e ta te (1905). R ezen sio n von G. Eneström 8 . Das Weltbild bei Heron. Von K. Ti t t e l...
9 . Einige griechische Aufgaben der unbestimmten Analytik. Von J. L. He i b e r g und H. G. Ze u t h e n ...
G esch ich te des M ittelalters.
10. Einige geometrische Aufgaben bei arabischen Mathematikern. Von H. Su t e r. Mit 7 T e x tfig u r e n ...
11 .
Über eine im Mittelalter übersetzte arabische Schrift algebraischen Inhalts. [Anfrage 136.] Von G. E n e s t r ö m ...12
.
Über eine dem Jordanus Memorarius zugeschriebene kurze Al- gorismusschrift. Von G. E n e s t r ö m ...13 . Über den Mathematiker Bernardus de Villacampi. [Anfrage 133.]
Von G. En e s t r ö m...
14 . Über das „ Quadripartitum numerorum“ von Johannes de Muris.
[Anfrage 134.] Von G. E n e s t r ö m ...
Seite
1— 12
4 1 1 — 416
312— 315
99 — 102 225— 232
13— 22 217— 218 113— 117
118— 134
23 — 36
416
135— 153
215— 216
216
Inhaltsverzeichnis. V
Seite
15 . Über eine alte Scherzfrage, die der Lösung einer unbestimm ten G leichung ersten Grades entspricht. [Anfrage 1 3 5 .] V on G. E n e s t r ö m 311
16.
Über drei bisher fast unbekannte italienische M athem atiker aus dem 15. Jahrhundert. [A nfrage 1 3 1 .] V on G. E n e s t r ö m . . 96—97G eschichte der neueren Zeit.
1 7 . Sur le „Libro de algebra“ de Pedro Nunez. Par H. B o s m a n s . 164—169 1 8 . Über den französischen M athem atiker Pujos. [A nfrage 1 3 2 .] Von
G. E n e s t r ö m... 97 1 9 . Sur l ’auteur de l’„ H istoire de la rou lette“ publiée par B iaise
P ascal. Par M. S t u y v a e r t...170— 172 2 0 . E ine vergessene Abhandlung Leonhard Eulers über die Summe der
reziproken Quadrate der natürlichen Zahlen. Von P. S t ä c k e l . 37—60 2 1. Der B riefw echsel zw ischen C. G. J. Jacohi und P. H. v. Fuss über
die Herausgabe der W erke Leonhard Eulers. V on P. S t ä c k e l
u n d W . A h r e n s ... 233— 306 2 2 . Monge e le congruenze generali di rette. D i C. S e g r e . . . 321—324
23. C a j o r i . On th e tra n s fo rm a tio n of a lg e b ra ic é q u atio n s by E . S. B rin g (1907).
R ezen sio n von G. Enestköm...417— 420 2 4 . Sur les frères Français. [A ntw ort auf die Anfrage 1 1 0 .] Von
H. B r o c a r d... 98 2 5 . Friedrich Hultsch. Von F. R u d io . Mit B ildnis als T itelbild . . 326— 402
A k tu elle Fragen.
2 6 . Sul corso di storia delle m atem atiche fatto n ell’università di N apoli
nel biennio 1 9 0 5 /0 6 — 1 9 0 6 /0 7 . D i F. A m o d e o ... 4 03—410
27. Neuerschienene Schriften . . . . 103— 108, 219—222, 316—318, 421— 424 Autoren - Register. — Zeitschriften. Allgemeines. — Geschichte des
Altertums. — Geschichte des Mittelalters. — Geschichte der neueren Zeit. — Nekrologe. — Aktuelle Fragen.
YI Inhaltsverzeichnis.
28. Wissenschaftliche Chronik . . . . 109— 112, 2 2 3 - 2 2 4 , 3 1 9 - 3 2 0 , 425— 426 Ernennungen. — Todesfälle. — Vorlesungen über G e s c h ic h te d e r
mathematischen Wissenschaften. — Gekrönte P r e i s s c h r i f t e n .
Preisfragen gelehrter Gesellschaften. — M a t h e m a t i k e r v e r s a m m l u n g e n
im Jahre 1907. — Vermischtes.
N a m e n r e g is te r... 427 442
Das 1. H eft dieses Bandes (S. 1 - 1 1 2 ) w urde am 2 4. Septem ber 1907 au sgegeb en . 2. „ „ „ (S. 1 1 3 - 2 2 4 ) „ „ 28. Januar 1908
G• EWstrüm : Über planmäßige Arbeit auf dem mathem.-bistor. Forschungsgebiete. 1
Über planmäßige Arbeit auf dem mathematisch-historischen Forschungsgebiete.
V on Gr. E n e s t k ö m in Stockholm.
So lange ein Forschungsgebiet nur von wenigen Personen bearbeitet wird, die außerdem nicht auf Grund ihres eigentlichen Berufes, sondern sozusagen zufälligerweise in diesem Gebiete tätig sind, lohnt es kaum der Mühe, auch nur einen Versuch zu machen, um planmäßige Arbeit zu be
wirken; vielm ehr ist es angebrachter, daß jedermann die Untersuchungen vom im m t, die ihn am m eisten interessieren. Ist dagegen das Forschungs
gebiet schon längere Zeit bearbeitet worden, und hat sich allmählich die Zahl der Teilnehm er vermehrt, so liegt darin ein Anlaß, um wenigstens in Erw ägung zu ziehen, ob und auf welche W eise eine planmäßigere Arbeit erzielt werden könnte. Ein Forschungsgebiet der fraglichen Art ist nunmehr die Geschichte der M athematik, und in diesem Artikel be
absichtige ich auseinanderzusetzen, inwieweit die Arbeit in diesem Gebiete meines Erachtens planm äßig geordnet werden kann. Freilich habe ich den näm lichen Gegenstand beiläufig in einigen früheren Leitartikeln be
rührt1), aber derselbe ist meines Erachtens so w ichtig, daß es von be
sonderen Interesse ist darauf zurückzukommen.
E s dürfte von vorne herein klar sein, daß eine wirkliche planmäßige Arbeit auf dem m athem atisch-historischen Gebiete erst dann möglich wird, wenn man festgestellt hat, was eine Geschichte der Mathematik eigentlich enthalten soll. Ist man der Ansicht, die ich schon öfter ausgesprochen und begründet habe, nämlich, daß eine solche Geschichte wesentlich die Entwickelung der mathematischen Ideen zu schildern hat, und zieht man
1) Vgl. z. B. G. Eneström, Uber literarische und wissenschaftliche Geschichts
s c h r e i b u n g a u f dem Gebiete der Mathematik; B i b l i o t h . M a th em . 2g, 1901, S. 2.
g j ^ lio t h e c a M a th e m a tic a . IXI- F o lg e . V IU . j
2 G. En e s t r ö m.
in Betracht, daß eine Gesamtgeschichte in diesem Sinne erst nach be
deutenden Vorarbeiten mit Erfolg in Angriff genommen werden kann, so liegt es am nächsten, den Fachgenossen die Bearbeitung historischer Monographien über einzelne Ideen oder über mehrere Ideen in einem beschränkteren Zeiträume zu empfehlen. Bei näherer Untersuchung stellt es sich indessen heraus, daß zur Zeit auch nicht solche Monographien immer mit wirklichem Erfolg in Angriff genommen werden können.
Zieht man zuerst in Betracht die ältere Mathematik, so kommt es oft vor, daß man, um der Entwickelung einer gewissen Idee zu folgen, solche H ilfsm ittel zur Verfügung haben muß, die nur ausnahmsweise einem Mathematiker zugänglich sind; es kommt auch vor, daß nicht einmal diese H ilfsm ittel genügen, sondern daß ganz spezielle bibliographische, literarische oder philologische Vorarbeiten nötig sind, bevor man den Entw ickelungs
gang der fraglichen Idee genau feststellen kann. Aber überdies ist es nicht selten unm öglich zu entscheiden, welche Vorarbeiten nötig sind, denn tatsächlich haben zufällige Entdeckungen rein literarischer Art ver
anlaßt, daß die früheren Ansichten über die Entw ickelung gewisser mathe
matischer Theorien wesentlich modifiziert werden m ußten.1)
In betreff der neueren Mathematik liegt die Sache etwas anders, aber auch hier ist es in vielen Fällen sehr schwierig, einen Überblick des ganzen Entw ickelungssanges einer mathematischen Idee zu erzielen, w eil die be-o o o / treffende Literatur zum T eil schwer zugänglich ist und man oft nicht weiß, wo man das Material zu suchen hat.
Aus dem vorangehenden fo lg t, daß es zwar angebracht sein kann, die Fachgenossen zur Bearbeitung der Geschichte der einzelnen mathe
matischen Ideen anzuregen, daß es aber noch zu früh ist, auf diesem W ege eine wirklich planmäßige Arbeit zur H erstellung einer Gesamt
geschichte der Mathematik anzuordnen. Vielmehr müssen zuerst bedeutende Vorarbeiten vorliegen, und diese gehören hauptsächlich der literarischen Geschichte der Mathematik an. D ie erste Frage wird also sein, inwieweit auf diesem Gebiete eine planmäßige Arbeit erzielt werden kann, und hier muß man, wie schon oben angedeutet wurde, besonders die ältere Mathe
matik in Betracht ziehen.
H insichtlich der Mathematik im Altertum ist es natürlich in erster Linie von Belang, gute Ausgaben nebst Übersetzungen der W erke der w ichtigsten Mathematiker, sowie gute Monographien in betreff der übrigen Mathematiker zu haben. In dieser H insicht ist ja schon viel geleistet worden, das meiste freilich von Philologen, die sich die nötigen mathe-
1) A ls B eleg m e in e r B e h a u p tu n g g e n ü g t es a u f die so g e n a n n te HERON-Frage hinzu w eisen .
matischen Kenntnisse verschafft haben, und da es immer gewöhnlicher wird, daß jüngere Philologen Arbeiten über griechische Mathematiker veröffentlichen, so ist es zu hoffen, daß die noch vorhandenen L ücken1) allmählich ausgefüllt werden. Jedenfalls ist dies wesentlich eine Sache der Philologen.
In betreff der morgenländischen Mathematik im Altertum und Mittel
alter sind die Verhältnisse zur Zeit weniger günstig. Die Schriften der morgenländischen Mathematiker sind nämlich noch zum größten Teil unediert und die Handschriften oft den europäischen Forschem unzu
gänglich; überdies gibt es teils wenige Orientalisten, die sich für Mathe
matik interessieren, teils nur ausnahmsweise Mathematiker, die orientalische Sprachen studiert haben. Auch hier muß die weitere Arbeit in erster Linie den betreffenden Philologen überlassen werden.
Die mathematische Literatur des christlichen Mittelalters ist meistens nur handschriftlich vorhanden, und ein großer Teil derselben ist noch nicht näher untersucht; hierzu kommt, daß es oft unm öglich ist, ohne eingehende Nachforschungen zu entscheiden, ob eine Originalabhandlung oder lediglich eine Übersetzung vorliegt2), sowie im ersten Falle wer der Verfasser der A bhandlung3) ist. Um das handschriftlich vorhandene Material zugänglich zu machen, sind größere philologische Kenntnisse nicht nötig, w ohl aber Handschriftenkunde, die allerdings nur in einzelnen Fällen umfassendere Studien zu erfordern braucht, und in solchen Fällen dürfte der Mathematiker ohne allzu große Schwierigkeit einen Hand
schriftenkenner zu Rate ziehen können. In erster Linie sollte ein Ver
zeichnis der handschriftlichen mathematischen Literatur des christlichen Mittelalters hergestellt werden,4) dann sollten teils die wichtigsten noch unedierten Texte herausgegeben, teils über die übrigen genaue Berichte veröffentlicht werden.
1 ) So z. B. feblt es noch an einer vollständigen Ausgabe von Pt o l e m a i o sWerken nebst Übersetzung derselben; die von He i b e r g in Angriff genommene Ausgabe enthält bekanntlich nur den griechischen Text.
2 ) Ich verweise beispielsweise auf die noch nicht endgültig entschiedene Frage, ob der von B o n c o m p a g n i ( 1 8 5 1 ) herausgegebene „Liber qui secundum Arabes vocatur algebra et almucabula“ eine Übersetzung oder eine Bearbeitung von A l k h w a r i z m i s
Algebra ist (vgl. A. A. B j ö r n b o , Ge r h a r d von Cremtmas Übersetzung von Al k h w a r i z m i s
Algebra und von E u k l i d s Elementen; B ib lio th . M athem . 6 3, 1 9 0 5 , S . 2 3 9 — 2 4 1 ) . 3 ) Vgl. 6 . En e s t r ö m, Über den Bearbeiter oder Übersetzer des von Boncompaohi (1857) herausgegebenen „Liber algorismi de pratica arismetrice“
;
B ib lio th . M athem . 6 3,1 9 0 5 , S . 1 1 4 .
4) Vgl. A. A. Bj ö r n b o, Über ein bibliographisches Repertorium der handschrift
lichen mathematischen Literatur des M ittelalters; B ib lio th . M athem . 4 3, 1 9 0 3 , S . 3 2 6 — 3 3 3 .
Über planmäßige Arbeit auf dem mathematiscb-historiscben Forschungsgebiete. 3
1*
4 G . En e s t rÖm.
Mit der Erfindung der Buchdruckerkunst verändern sich die Ver
hältnisse insofern, als die schon im Druck vorhegenden Schriften wesentlich genügen, um eine literarische Geschichte der neueren Zeit fertig zu stellen.
Aber unter diesen Schriften gibt es viele, nicht nur aus dem 15. und 16., sondern auch aus dem Anfänge des 17. Jahrhunderts, die w egen ihrer Seltenheit fast ebenso schwer zugänglich sind als Handschriften, und ge
wisse Arbeiten oder Aktenstücke harren noch einem kom petenten Heraus
geber. Die sehr seltenen Schriften gehören freilich nicht den w ichtigsten Arbeiten an, so daß man vorläufig von einer Neuausgabe absehen könnte, aber jedenfalls ist es von Belang, daß ihr wesentlicher Inhalt durch M ono
graphien zugänglicher gemacht wird, sofern solche noch nicht vorhanden s i n d . A u c h kritische Ausgaben der gesammelten W erke gewisser her
vorragender Mathematiker des 16. und des Anfanges des 17. Jahrhunderts wären erwünscht.2)
Mit De s c a k t e s beginnt auch vom literarischen Gesichtspunkte aus
eine neue Periode, w eil von ihm an die mathematischen Quellenschriften zum größten Teil ziemlich leicht zugänglich sind, so daß man hier eine direkte Behandlung der Geschichte der mathematischen Ideen empfehlen könnte. Indessen muß auch die literarische Geschichte der Mathematik nach De s c a r t e s weiter bearbeitet werden. Erfreulicherweise sind ge
sammelte W erke vieler Mathematiker des 17. und 18. Jahrhunderts schon herausgegeben und auch w ichtige Sammlungen von Briefen sind ver
öffentlicht worden. A uf der anderen Seite gibt es noch in dieser H insicht viele Lücken, die auszufüllen sind; so z. B. fehlt es bekanntlich an einer Ausgabe von Le o n h a r d Eu l e r s W erken und von seinem Briefw echsel ist bisher nur ein unbedeutender Teil publiziert worden. Eine andere nützliche Arbeit w äie es, Berichte über den mathematischen Inhalt gewisser weniger leicht zugänglicher Zeitschriften des 17. und 18. Jahrhunderts zu bringen, die mehr beiläufig mathematische A rtikel enthalten, und deren Inhalt darum leicht der Aufmerksamkeit der m athem atisch-historischen Forscher entgeht.3)
1) Vgl. z. B. G. W e r t h e i m , D ie Logistik des Jo h a n n e s B u t e o; B i b l i o t h . M a th e m .
2 s , 1 9 0 1 , S. 2 1 3 — 2 1 9 . — H. B o s m a n s, L e „De arte m agna“ de Gü i l l a u m e G o s s e l i n;
B ib l i o t h . M a th em . 7B, 1 9 0 6 / 7 , S. 44—66.
2) So z. B. fehlt es noch an einer vollständigen Ausgabe von ViAt e s W erken;
die alte Ausgabe von F. v a n Sc h o o t e n (1646) ist bekanntlich nicht vollständig (der Canon matliematicus seu ad triangula cum adpendicibus fehlt) und auch sonst genügt die Ausgabe jetzt kaum den Anforderungen der Kritik.
3) Vgl. z. B. G. L o r i a , 11 „ Giornale de’ letterati d ’I ta lia “ d i Venezia e la „Baccolta
Ca l o g e r a“ come fonti per la storia delle matematiche nel secolo X V I I I ; A b h a n d 1. z u r G e sc h . d. M a th e m . 9, 1 8 9 9 , S. 2 4 1—2 7 4 .
Über planmäßige Arbeit auf dem mathematisch-historischen Forschungsgebiete. 5 Mit dem Beginn des 19. Jahrhunderts mehrt sich sowohl die Zahl der Mathematiker als die Durchschnittszahl ihrer Schriften. An Ausgaben der gesammelten W erke der meisten dieser Mathematiker ist es noch zu früh zu denken, aber da ihre Abhandlungen in einer großen Anzahl von Zeit- oder Sammelschriften zerstreut sind, so ist es schon aus diesem Grunde von Interesse, gute Monographien mehr literarischer Art zu be
kommen, um bei den Einzeldarstellungen der Entwickelung der mathe
matischen Ideen im 19. Jahrhundert benutzt zu werden. Aus verschiedenen Gründen ist es im allgemeinen angebracht, für jeden besonderen Mathe
matiker, der zu den Fortschritten seiner W issenschaft beigetragen hat, eine solche Monographie zu bearbeiten. Teils ist es viel leichter, unter den Fachgenossen Bearbeiter solcher Monographien zu finden, teils können sich die Verfasser derselben gewöhnlich ohne Schwierigkeit das nötige Material fast vollständig verschaffen; ganz besonders angebracht ist das Verfahren, wenn es sich um Mathematiker handelt, deren Muttersprache nicht eine Kultursprache ist, und die sich in ihren Abhandlungen wenigstens teilweise jener Sprache bedient haben. A u f der anderen Seite ist es gewiß sehr zu empfehlen, schon jetzt Einzeldarstellungen der Entwickelung der mathematischen Ideen im 19. Jahrhundert zu bearbeiten; von solchen Darstellungen gibt es ja eine nicht unbedeutende A nzahl,1) aber die meisten können keinen Anspruch darauf machen, das ganze Material be
nutzt zu haben.
Ich habe bisher eigentlich nur von der Herausgabe mathematischer Quellenschriften und Monographien gesprochen, aber natürlich ist es auch von B elang, Übersichten des wesentlichen Inhalts der mathematischen Literatur eines gewissen Zeitraumes2) oder einer größeren Abteilung der Mathematik3) zu bekommen, noch bevor das ganze für diesen Zweck nötige Material leicht zugänglich gemacht worden ist. Solche Übersichten könnten natürlich auf verschiedene W eise bearbeitet werden. Man kann sich z. B. darauf beschränken, in chronologischer Ordnungsfolge über die betreffenden Schriften zu berichten, und wenn eine solche Arbeit bis auf unsere Tage, oder wenigstens bis zum Jahre 1868, mit dem das J a h r b u c h ü b e r d ie F o r t s c h r i t t e d er M a t h e m a t ik beginnt, fortgesetzt 1) Bekanntlich sind auf Anregung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung viele Darstellungen dieser Art in Angriff genommen oder veröffentlicht worden; vom historischen Gesichtspunkte aus sind diese von sehr verschiedenem Wert; einige be
handeln die Entwickelung nur im Vorübergehen und beschränken sich hauptsächlich auf den gegenwärtigen Stand der betreffenden Theorie.
2 ) Vgl. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Herausgegehen von M. Ca n t o k.
IV (Leipzig 1907); für den Zeitraum 1759—1799.
3) Vgl. z. B. A. v o n Br a u n m ü h u, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie I - H (Leipzig 1900— 1903).
6 G. En e s t r ö m.
wäre, so hätte man dadurch ein m athematisch-historisches N achschlagebuch bekommen, das vorläufig den Forschern gute Dienste leisten könnte. W ertvoll sind zuweilen auch Sammlungen von Ergänzungen und Berichtigungen schon erschienener mathematisch-historischer A rbeiten1) sowie Hinw eise auf die Lücken, die noch von der Forschung auszufüllen sin d .2) Für die Geschichte der älteren Mathematik sind Übersichten der neuesten Er
rungenschaften auf diesem Gebiete besonders empfehlenswert, w eil die be
treffenden Schriften oft in philologischen Zeitschriften, die den Mathe
matikern schwer zugänglich sind, veröffentlicht werden.3)
In nahem Zusammenhänge mit der literarischen Geschichte der Mathe
matik steht die mathematische Bibliographie. Leider fehlt es uns noch an einer vollständigen Bibliographie dieser A rt,4) und darum können bibliographische Spezialuntersuchungen, besonders wenn sie die Angaben viel benutzter m athem atisch-historischer Arbeiten berichtigen oder er
gänzen, sehr dankenswert sein .5) Dasselbe gilt in gewissen Fällen von rein biographischen Untersuchungen und noch mehr von Beiträgen zur Geschichte des mathematischen U nterrichtes.6) W enn man für jede wichtigere Universität eine solche Geschichte bekommen könnte, so würde dadurch die mathematisch-historische Forschung sehr erleichtert werden.
Endlich ist es auch angebracht, von Zeit zu Zeit den Fachgenossen eine gedrängte Übersicht der literarischen Resultate der m athem atisch
historischen Forschung m it Verweisen auf die Quellenschriften und die Monographien zu bieten.7)
1) Vgl. die „Kleinen Bemerkungen“ zur letzten Auflage von Ca n t o rs Vorlesungen über Geschichte der Mathematik in der dritten Folge der B i b l i o t h e c a M a t h e m a t ic a .
2) Vgl. die „Anfragen“ der B i b l i o t h e c a M a t h e m a t ic a .
3) Vgl. z. B. J. L. He i b e r ö, Mathematik, Mechanik und Astronomie-, D ie A l t e r t u m s w i s s e n s c h a f t , h e r a u s g . v o n W. Kr o l l, I (1905), S. 129— 143. — K. Ti t t e l, Mathematik, Mechanik und Astronomie 1902—1905; J a h r e s b e r . fü r A lt e r t u m s - w is s . 129, 1906, S. 113—219.
4) Es ist noch unbekannt, wann Herr G. Va l e n t i n die Bearbeitung des von ihm seit 22 Jahren gesammelten bibliographischen Materials beenden wird, so daß der Druck seiner allgemeinen mathematischen Bibliographie beginnen kann.
5) Zu welchen unrichtigen Folgerungen ungenaue bibliographische Aufschlüsse zuweilen führen können, habe ich in der B i b l i o t h . M a th e m . I3, 1900, S. 277 durch ein Beispiel gezeigt.
6) Vgl. z. B. C. H. Mü l l e r, Studien zur Geschichte . . . des mathematischen Unter
richts an der Universität Göttingen im 18. Jahrhundert; A b h a n d l. z u r G e s c h . d.
m a th e m . W is s . 18, 1904, S. 51— 143.
7) Ein Versuch in dieser Richtung sind z. B. die Z eittafeln zur Geschichte der Mathematik, Physik und Astronomie bis zum Jahre 1500, m it H inweis a u f die Quellen- L iteratur (Leipzig 1892) von Fe l i x Mü l l e r. Im Gebiete der elementaren Mathematik kann J. Tr o p e k e s Geschichte der Elem entar - Mathematik (I—II, Leipzig 1902— 1903) für den fraglichen Zweck benutzt werden.
W enn also noch sehr viel auf dem literarischen Gebiete zu tun ist,1) bevor eine Entwickelungsgeschichte der Mathematik mit Erfolg bearbeitet werden kann, so bedeutet dies, wie ich schon im vorhergehenden ange
deutet habe, gar nicht, daß man vorläufig die Bearbeitung der Entwicke
lungsgeschichte ganz beiseite lassen soll. N icht nur für den Zeitraum, der mit De s c a r t e s beginnt, sondern auch für die ältere Zeit ist es nütz
lich, daß Einzeldarstellungen dieser Art in Angriff genommen werden,2) und auch Versuche, auf Grund des schon vorhandenen Materials die ganze Entwickelungsgeschichte der Mathematik zu schildern, sind mit Freuden zu begrüßen.3) In diesem Zusammenhänge erlaube ich mir auch hier auf den großen Nutzen hinzuweisen, die die mathematisch-historische Forschung davon haben kann, daß größere mathematische Unternehmungen (z. B.
Enzyklopädien) auch den Entwickelungsgang der mathematischen Theorien berücksichtigen.4)
Für eine planmäßige mathematisch-historische Arbeit ist es indessen von Belang, nicht nur daß die schon angegebenen Untersuchungen oder Arbeiten ausgeführt werden, sondern auch daß ihre Resultate in formeller Hinsicht den Anforderungen der W issenschaft genügen. In erster Linie müssen natürlich die Angaben zuverlässig sein und im Bedarfsfälle durch genaue Zitate oder Verweise belegt werden. 5) Dies bedeutet freilich nicht,
1) Wenn K. Ti t t e i. (a. a. 0 . S. 118) bemerkt: „Dagegen kann En e s t e ö m in der literariscben Forschung nur eine Tätigkeit von untergeordneter Bedeutung sehen, da er als Spezialist eine Darstellung der Entwickelung sämtlicher mathematischer Theorien fordert, die zum großen Teile nur für den Mathematiker von Fach verständlich sein werden. Von diesem Standpunkt kommt er dazu, Ca n t o r als einen Forscher zu be
zeichnen, der nur als Kulturhistoriker wirken kann, und die Mitarbeit der Historiker und Philologen nicht sehr hoch zu schätzen“, so hat er mich durchaus mißverstanden.
Schon vor vielen Jahren (vgl. B i b l io t h . M a th em . 23, 1901, S. 2) habe ich aus
drücklich darauf aufmerksam gemacht, wie w ichtig eingehende mathematisch-literarische Untersuchungen sind, und ich weiß nicht, wie Herr Ti t t e i, dazu gekommen ist, mir die Ansicht zuzuschreiben, die literarische Tätigkeit sei von untergeordneter B e
deutung. Möglicherweise hat er eine Bemerkung von mir, daß „bei der kultur
historischen Behandlung gewisse Fragen in den Vordergrund treten müssen, die für die Geschichte der mathematischen Ideen von untergeordneter Bedeutung sind“
mißverstanden.
2) Die oben (S. 5, Anm. 3) zitierte Arbeit von Br a u n m ü h l ist zum Teil dieser Art.
3) Vgl. H. G. Ze u t h e n, Geschichte der Mathematik im X V I . und X V I I . Jahr
hundert (Leipzig 1903).
4) Vgl. G. En e s t r ö m, E in neues literarisches H ilfsm ittel zur Verbreitung mathe
matisch-historischer Kenntnisse; B i b l i o t h . M a th e m . 53, 1904, S. 398—406.
5) Ein abschreckendes Beispiel in betreff unzuverlässiger und unvollständiger Angaben hat uns Herr Max S i m o n durch seine Arbeit Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im X I X . Tahrhundert (Leipzig 1906) zur Verfügung gestellt.
Über planmäßige Arbeit auf dem mathematisch-historischen Forschungsgebiete. 7
8 G . En e s t r ö m.
daß nur Tatsachen aber keine Annahmen erwähnt werden dürfen; zu welchem unfruchtbaren Resultate eine Beschränkung auf nackte Tatsachen führen würde, ersieht man am leichtesten, wenn man einige von B o n -
COMPAGNiS Abhandlungen1) studiert. Dagegen sollen die Annahmen, die
nötig sind, um den gegebenen Stoff zu bearbeiten, immer m it Vorsicht und Sparsamkeit angewendet werden, und als solche hervorgehoben werden.2)
Bei den literarischen Untersuchungen über ältere mathematische Arbeiten ist es sehr wünschenswert, daß nicht nur über den hauptsäch
lichen Inhalt derselben berichtet, sondern auch darauf Bezug genommen wird, ob in den Arbeiten etwas vorkommt, daß als Vorbereitung neuer Theorien betrachtet werden kann. Für die Entwickelungsgeschichte können solche Sachen von großem Interesse sein, auch wenn sie nur beiläufig in den betreffenden Arbeiten Vorkommen, und darum von den Verfassern selbst nicht hervorgehoben worden sind; zuweilen können sogar unrichtige Sätze verdienen, besonders notiert zu werden, weil sie die Anfänge neuer Theorien enthalten.3) Dagegen ist es natürlich unangebracht, in ältere Arbeiten Methoden oder Sätze hineinzulegen, nur w eil sie bei flüchtigem Einsehen einer Arbeit dort vorzukommen scheinen, obgleich es sich bei näherer Untersuchung ergibt, daß der W ortlaut auf eine ganz andere W eise aufzufassen ist.4)
Bei den entwickelungshistorischen Untersuchungen ist natürlich be
sonders die Berücksichtigung des Zusammenhangs der mathematischen Ideen zu empfehlen. Dieser Zusammenhang kann entweder ein äußerer oder ein rein innerer sein. Ein äußerer Zusammenhang findet statt, wenn die Entdeckungen eines Mathematikers nachweislich durch die Vorarbeiten eines Vorgängers angeregt oder veranlaßt worden sind, ein innerer Zu
sammenhang dagegen, wenn eine A bhängigkeit nicht anzunehmen oder wenigstens nicht nachzuweisen ist, aber die späteren Entdeckungen von methodischem Gesichtspunkte aus als eine unmittelbare Fortsetzung älterer
1) Siehe z. B. die Abhandlung Intorno ad un trattato d'aritmética stampato nel 1478; A t t i d e l l ’ a c c a d . p o n t i f . d e ’ N u o v i L in c e i 16, 1863, 1 —64, 101—228, 301—364, 389—452, 503—630, 683—842, 909— 1044.
2) Vgl. G. En e s t r ö m, Über die Bedeutung historischer Hypothesen fü r die mathe
matische Geschichtsschreibung; B ib l i o t h . M a th e m . 63, 1905, S. 1—8.
3) Vgl. meine Bemerkung über Al b e r t u s d e Sa x o n i a und Konvergenzbedingungen in der B ib l io t h . M a th em . 7s, 1906/7, S. 381—382.
4) Ygl. z. B. meine Bemerkung über das angebliche Vorkommmen des Satzes
m i + 2 = ux + ^ 4 u x -|- bei Ni k o m a c h o s ( B ib l io t h . M a th e m . 73, 1906/7, S. 379) und des Satzes von der Gleichungskonstante bei Ca r d a n o ( B ib l io t h . M a th e m. 73, 1906/7, S. 212—213).
Über planmäßige Arbeit auf dem mathematisch-historischen Forschungsgebiete. 9 Untersuchungen betrachtet werden können. Auch auf das Vorkommen der zweiten Art von Zusammenhang mathematischer Ideen aufmerksam zu machen ist meines Erachtens von großen Interesse.1)
In zweiter Linie erlaube ich mir zu bemerken, daß allzu breite Dar
stellungen, wenn irgend möglich, vermieden werden sollten. Unter Um
ständen kann es ja nützlich sein, ausführliche Auskunft über gewisse ältere Schriften oder über die Geschichte einer Theorie zu bekommen, aber wenn die Darstellung zu ausführlich ist, werden viele Leser leicht abgeschreckt, davon Kenntnis zu nehmen.2) Natürlich ist die Ausführlich
keit oft eine Geschmackssache, und das Urteil darüber von der Abschätzung der Bedeutung des behandelten Gegenstandes abhängig.
Ich habe schon oben betont, das in betreff der Geschichte der Mathe
matik im Altertum und zum Teil auch im Mittelalter die Herbeischaffung des Quellenmaterials wesentlich eine Aufgabe der Philologen ist. Die übrige Arbeit liegt natürlich in erster Linie den eigentlichen mathematisch
historischen Forschem ob, und es ist klar, daß diese besonders geeignet sind, die vorzugsweise literarischen Untersuchungen auszuführen. Dagegen könnte es scheinen, als ob man das beste Resultat erzielen würde, wenn man imstande wäre produktive Mathematiker zu bewegen, Einzeldarstellungen der Entwickelung der mathematischen Ideen zu bearbeiten. In der Tat ist ein solches Verfahren meines Erachtens in betreff der Geschichte des 19. und eines Teiles des 18. Jahrhunderts zu empfehlen, aber weniger angebracht hinsichtlich der älteren Zeit. Der produktive Mathematiker interessiert sich nämlich im allgemeinen nur für die Geschichte seines Gebietes und er bekümmert sich weniger um die älteren Untersuchungen auf diesem Gebiete, die vielleicht jetzt einen vollständig überwundenen Stand
punkt repräsentieren.3) Freilich hat es produktive Mathematiker gegeben, die zugleich wirkliche Historiker waren, und auch jetzt gibt es ausnahms
weise solche, aber m it der Entwickelung der Geschichte der Mathematik 1) Vgl. z. B. meine Bemerkung über die W a e s s e n a e r- Ne w t o necke Methode zur Auffindung der rationalen Wurzeln einer Gleichung ( B ib l io t h . M a th em . 83, 1907,
S . 9 4 ) .
2) Vgl. z. B. die noch nicht beendete Arbeit von H. Bu r k h a r d t, Entwicklungen nach oscillirenden Functionen und Integration der Differentialgleichungen der mathema
tischen Physik (J a h r e s b e r . d. d e u t s c h e n M a th e m .-V e r e in . 10), deren schon erschienene Hefte zusammen etwa vierzehnhundert Druckseiten enthalten.
3) Vgl. C . H. Mü l l e r, Mathematik; M it t e i l. d. G e s e ll s c h . fü r d e u t s c h e E r z ie h u n g s - u n d S c h u l g e s c h i c h t e 15, 1905, S. 1 des Sonderabzuges. Als charakteristisch für die Auffassung in gewissen Kreisen von Mathematikern verdient der folgende Ausspruch eines englischen Mathematikers zitiert zu werden: „Si vous étudiez l ’histoire des sciences mathématiques, vous resterez sans faire des progrès“
(L’e n s e i g n e m e n t m a th é m . 9, 1907, S. 307).
10 G . En e s t r ö m.
zu einer wirklichen W issenschaft, die eine ganz besondere Schulung und umfassende Kenntnisse erfordert, werden Mathematiker dieser Art immer seltener werden. Für die Bearbeitung der E ntw ickelungsgeschichte der Mathematik vor der Mitte des 18. Jahrhunderts müssen also die eigent
lichen Historiker Sorge tragen.1) Dagegen gibt es eine W eise, w o
durch die produktiven Mathematiker der jetzigen und der künftigen historischen Forschung besonders nützlich sein können, näm lich durch Veröffentlichungen wissenschaftlicher Biographien kürzlich verstorbener Mathematiker.
Bei den vorangehenden Ausführungen habe ich vorausgesetzt, daß der Endzweck der mathematisch-historischen Forschung ist, zuletzt eine Geschichte der Entwickelung der mathematischen Ideen zu bringen. In
dessen ist es klar, daß auch wer die Geschichte der Mathematik lediglich als eine Geschichte der mathematischen Literatur, also als einen Zweig der allgemeinen Literaturgeschichte betrachtet, ein nützlicher Teilnehmer an der von mir oben empfohlenen planmäßigen Arbeit auf dem mathe
matisch-historischen Forschungsgebiete sein kann, denn ein großer Teil dieser Arbeit, z. B. die Herausgabe der gesammelten W erke von Mathe
matikern bezieht sich auf die Geschichte der mathematischen Literatur.
Dasselbe g ilt auch von denen, die in der Geschichte der Mathematik wesentlich eine Geschichte der mathematischen Charakterzüge des Kultur
leb en s2) sehen w ollen, denn um eine solche Geschichte zu bearbeiten, müssen ja zuerst die Schriften, die diese Charakterzüge enthalten, zu
gänglich gemacht und planmäßig untersucht werden, etwa auf die von mir oben vorgeschlagene W eise.
1) Wenn J. Tr o p f k e in seinem Artikel Mathematik (J a b r e s b e r . ü b e r d a s h ö h e r e S c h u lw e s e n 20, 1905, S. 13 des Sonderabzuges) sagt: „Der letztere [ En e s t r ö m]
zielt darauf hin, daß dem produktiven Mathematiker das historische Material immer schön gesichtet zur Hand liegt“, so schreibt er mir eine Ansicht zu, die ich nur zum Teil billigen kann. Meines Erachtens ist es von großem Belang, daß das historische Material schön gesichtet zur Hand lieg t, aber nicht nur um von den produktiven Mathematikern benutzt zu werden. Noch weniger kann ich die Ausführungen deB Herrn Tr o p f k e gutheißen, wenn er zuerst M. Ca n t o r und mich als Vertreter zwei verschiedener Arten der mathematischen Geschichtsschreibung nennt, und dann hinzu
fügt: „ Ca n t o r . . . leg t W ert auf die Herausarbeitung des eigentlichen Ideengehaltes“, woraus man folgern muß, daß ich nur geringen Wert darauf lege. Im Gegenteil lege ich das größte Gewicht gerade auf die Entwickelung der mathematischen Ideen.
Herr Tr o p f k e beruft sich freilich auf den oben (S. 9, Anm. 3) zitierten Artikel von C. H. Mü l l e r, scheint aber ein paar darin vorkommende Bemerkungen mißverstanden zu haben.
2 ) Diese Definition entnehme ich dem Artikel von M. Ca n t o r: W ie soll man die Geschichte der Mathematik behandeln? ( B ib l io t h . M a th em . 43, 1903, S. 115.
Dagegen ist vor einigen Jahren eine besondere Auffassung der Ge
schichte der Mathematik in die Öffentlichkeit gela n g t1) nach welcher, soviel ich sehen kann, eine ganz andere Art von planmäßiger Arbeit er
forderlich sein würde. Nach dieser Auffassung sollte es die Aufgabe der mathematischen Geschichtsschreibung sein, die folgende Frage zu be
antworten: „Was bedeutet und was hat zu den verschiedenen Zeiten die Mathematik für die Kultur bedeutet?“ Zieht man hier zuerst in Betracht die materielle Kultur, so scheint es, als ob es eigentlich nur nötig wäre, die Entwickelung und den gegenwärtigen Stand der technischen Mathe
matik zu schildern, um die Frage genügend zu beantworten. Geht man dann zu der geistigen Kultur über, so wäre es w ohl zwecklos, die ganze mathematische Literatur durchzuforschen, um ausfindig zu machen, was die Mathematik für diese Kultur bedeutet hat, denn es scheint mir offenbar, daß viele mathematische Ideen keinen merkbaren Einfluß auf dieselbe ge
habt haben können. Oder darf man wirklich behaupten, daß z. B. das Fundamentaltheorem der Algebra und die verschiedenen Beweise desselben eine nachweisliche Bedeutung für die Kultur haben? Jedenfalls ist die fragliche Auffassung der Geschichte der Mathematik wesentlich von der diesem Artikel zugrunde liegenden verschieden2), und von der Seite der Vertreter jener Auffassung ist kaum eine Teilnahme an einer planmäßigen m athem atisch-historischen Arbeit auf die von mir angegebene W eise zu erwarten.
Zuletzt fasse ich den wesentlichen Inhalt dieses Artikels in folgende Punkte zusammen:
1. Eine planmäßige mathematisch-historische Arbeit muß in erster Linie darauf hinzielen, die großen noch vorhandenen Lücken auf dem literarischen Gebiete auszufüllen; an dieser Arbeit ist die Teilnahme der Literar- und Kulturhistoriker sehr willkommen, die der Philologen sogar notwendig.
2. Gleichzeitig mit dieser Arbeit sollen die Historiker der Mathematik, sofern das schon herbeigeschaffte Material nicht zu unvollständig ist, die
1) Siehe S. 53 der S. 6, Anm. 6 zitierten Abhandlung von C. H. Mü l l e r; da Herr
Mü l l e r hervorhebt, daß er Herrn F. Kl e i n eine große Reihe von Gesichtspunkten und
Auffassungen verdankt, so kann ich nicht entscheiden, ob diese Auffassung von C. H.
Mü l l e r selbst oder von F. Kl e i n herrührt.
2) Meiner Ansicht nach kann man von einem gewissen Standpunkt sehr gut sagen, daß es die Aufgabe der Geschichte des mathematischen Unterrichts in letzter Linie ist, die Frage zu beantworten: „Was hat zu verschiedenen Zeiten der mathe
matische Unterricht für die Kultur bedeutet?“. Dagegen ist es mir noch nicht recht verständlich, wie man die Geschichte der Mathematik behandeln soll, wenn man für dieselbe eine entsprechende Definition aufstellt.
Eber planmäßige Arbeit auf dem matbematisch-historischen Forschungsgebiete. 11
Geschichte der einzelnen mathematischen Ideen vorzugsweise bis gegen das Ende des 18. Jahrhundert bearbeiten und wenn irgend m öglich die produktiven Mathematiker anregen, bei der Behandlung der Geschichte der folgenden Zeit behilflich zu sein.
3. Bei den literarischen Untersuchungen soll, so weit m öglich, darauf Bezug genommen werden, daß das Material, das zugänglich gemacht wird, in letzter Linie für eine Entwickelungsgeschichte der Mathematik benutzt werden wird.
1 2 G. En e s t r ö m: Über planmäßige Arbeit auf dem mathem.-histor. Forschungsgebiete.
Fe r d in a n d Ru d i o: Die angebliche Kreisquadratur bei Aristophanes. 13
Die angebliche Kreisquadratur bei Aristophanes.
Von Fe r d i n a n d Ru d i o in Zürich.
Ums Jahr 434 hat An a x a g o r a s im Gefängnis „die Quadratur des Kreises gezeichnet“. So berichtet Pl u t a r c h, ohne freilich mitzuteilen, worin diese Zeichnung bestanden hat. Ungefähr um jene Zeit haben auch An t i p h o n und Hi p p o k r a t e s ihre Aufsehen erregenden Unter
suchungen angestellt und dadurch die Aufmerksamkeit weitester Kreise auf das Problem von der Kreisquadratur gelenkt. Diese Untersuchungen wurden allerdings, wie es scheint, weniger ihrer selbst willen so viel besprochen als wegen der Sophismen, die man dahinter zu entdecken glaubte.
A ls Beweis dafür, daß gegen das Ende des fünften Jahrhunderts das Problem von der Quadratur des Kreises bereits eine große Popularität erreicht habe, wird gewöhnlich geltend gemacht, daß Ar i s t o p h a n e s in seinem Lustspiele „Die V ögel“ 1) das Problem auf die Bühne gebracht hahe. In diesem Lustspiele läßt Ar i s t o p h a n e s den Geometer Me t o n2) auftreten und mit Pe i t h e t ä r oS ein Gespräch führen, in dem sich die folgende S te lle 3) findet (Ar. A v . 1001 — 1009):
M E T Q N .
1001 ... JiQoödeis otiv ¿yd>
t ö v u a v ö v , ävoidev xovxovl xöv Ha/unvÄov
¿vdelg öiaßrjxrjv — [xavüävEig;
Ü E 1 Q E T A I P O Z
ov juuvüävoj.
1) Zuerst aufgeführt in Athen an den großen Dionysien im März des Jahres 414.
2) Der bekannte Astronom, der ums Jahr 433 den Athenern einen neuen Kalender gab, durch Einführung des nach ihm benannten Mondzirkels von 19 Jahren.
3) Ich zitiere sie nach der Ausgabe von Th. K o c k (1864). Ihr ist auch die Lesart nsi&irctiQog entnommen statt der in den Hds. überlieferten Tltia&btaiQot.
1 4 Fe r d in a n d Ru d io
M E T Q N .
öqOöjs ') ^xQr]Ooi navovi jrooöTidclg, l’va 1005 ö KunXog yevrjrai öoi TstQuyojvog, nav (xeö&>
äyoQä, (peQOVöai ö ’ä o iv eis avvrjv öbol ÖQtJal ttqös a vrö rö jueoov, coöneQ ö dOreQos avroV KvuÄozeQOVs bvvog ÖQÖal n av Tayf]
1009 duTtveg dnoXäjuncooiv.
I I E I 6 E T A I P 0 Z .
ävdQ u n os OaAfjS-
Die Übersetzung der ganzen Stelle folgt später. Hier sei zunächst darauf aufmerksam gemacht, daß durch das Komma nach navov (1002) die W orte äviodev . . . na/unvXov zu ¿vdeis öiaßrjrrjv gezogen sind. Die verschiedenen Ausgaben sind darin nicht einig, doch scheint mir die hier zu Grunde gelegte Lesart durchaus n otw en d ig2) W ollte man ävoodev. . . najunvXov zum vorhergehenden nQOOdelg • • • uavov' nehmen (also: „ich lege nun von oben her dies gebogne Lineal da an“), so würde — falls man der Stelle überhaupt einen Sinn beilegen will, worüber noch zu reden sein wird — das „gebogene Lineal“ (dem dann nachher das „gerade Lineal“ — ö<jdq> [statt /ueTQrjOOJ navovi — entsprechen würde) doch notwendig auf eine Rektifikation des Kreises hinweisen. V on einer solchen ist aber hier ganz und gar nicht die Rede. Und auch selbst dann könnten die W orte ävojdev . . . uaunvXov nur m it Gewalt zu jiQOOÜeis. . . navöv' gezogen w erden3): n a v ü v bedeutet seiner Natur nach etwas Gerades — einen Rohrstab {nävva), überhaupt einen geraden Stah,
1) In der Ausgabe von Ko c k und allen ändern, die ich kenne und noch zitieren werde, steht entsprechend der Mehrzahl der Hds. nicht oQ^cög sondern o$d(p. Nach der Ausgabe von F r . H. M. Bl a y d e s (1882) kommt aber doch auch opHms vor, und zwar in den beiden Hds. S. ( = Yen. Bibi. Marc. 475) und B. ( = Par. Bibi. Reg. 2715).
Ich halte ogalcös für die weitaus bessere Lesart.
2) Sie ist wohl zuerst von Ko c k gewählt worden. Von den mir bekannten Herausgebern hat sie aber nur Bl a y d e s aufgenommen, und zwar m it der Begründung:
„Neque enim ävco&iv ngoacpsgitciL o xavatv (the r u le ) sed o Siaßrizrjs (the c o m - p a s s e s ); neque xujnrtlog est ille, sed hic“. Mit der Lesart von Ko c k stimmen ferner überein die Übersetzungen von L. Se e g e r (1846), J. G. Dr o y s f.n (aber erst in der 2. Aufl., wohlfeile Ausg. v. 1871) und E. Sc h i n c k (Reclamausgabe).
Zu ngocdilg . . . xavov' sind die Worte civco&sv . . . xafiniXov gezogen in allen von mir eingesehenen ältesten Ausgaben (z. B. der aldinischen von 1498 [editio princeps]
und der Pariser von 1528), sodann bei Ph. I n v e r n i z z i (1794), in der Tauchnitzausgabe (1812—14), bei J. B e k k e r (1829), W. D i n d o r f (1846), A. M e i n e k e (1860), Th. B e r g k
(1900), J. v. L e e u w e n (1902), sowie in den Übersetzungen von J. H. Yoss (1821),
J . M i n c k w i t z (1881) und J. G. D r o y s e n (aber nur in der ersten Aufl. von 1835).
3) Siehe die in Anm. 2 zitierten Worte von Bl a y d e s.
Die angebliche Kreisquadratur bei Aristophanes. 1 5 einen Maßstab, ein Richtscheit, ein Instrument zum Ahstecken gerader Richtungen (übertragen: Richtschnur, Regel, Vorschrift). Mit uapLnvXog, gebogen, ist es schwer verträglich. Und was soll bei einer Zeichnung, die doch auf dem Boden, im Sande, ausgeführt wird, ävcodsv („von oben her“ das Lineal anlegen) bedeuten? Alle diese Schwierigkeiten fallen so
fort weg, wenn man uvcodev . . . uajujtvAov mit ¿vdslg ötaßrjxrjv verbindet:
Der Zirkel, öiaßr'jxrjg1), der wird von oben eingesetzt, und uajujivÄos ist ein für ötaßfjx^g geradezu typisches Epitheton. Die ältesten Zirkel in ihrer primitivsten Form waren sicherlich einfach durch Umbiegen (Käjunxeiv) eines geeigneten Stabes hergestellt worden. A ls B eleg dafür könnte man, abgesehen von bildlichen D arstellungen2), die auf uns gekommen sind, die viel besprochene Stelle in den „W olken“ des Ar i s t o p h a n e s (auf
geführt im Jahre 4 23) heranziehen (178):
„Kufxipug öße/döuov, elxa diaßrjxrjv3) Aaßow,
ćk xfjg naAaiOTQug •dvi.idxtovi ) wpelÄexo.“
„Er [ So k r a t e s] bog ein klein Bratspießchen, nahm’s als Zirkel und — stahl so sich aus der Ringschul ein Stück Opferfleisch.“ —
W enden wir uns nun nach diesen Auseinandersetzungen zu dem eigentlichen Inhalte jener Stelle in den „Vögeln“. Die W orte, die speziell als auf die Kreisquadratur bezüglich gedeutet werden, sind: „tva ó uvu/log yevrptal oot xexQÜyojvog“ — angeblich: „auf daß der Kreis dir quadratisch (quadriert) werde“.
Zu diesen W orten macht bereits der Scholiast (ed. Fr. Dü b n e r) die Bemerkung: „Ilalßei. äbvvaxov yuQ xöv kvkäov yeveo ü a t xexQaycovov“ —
„Er scherzt. Denn es ist unmöglich, daß der Kreis viereckig werde“.
Diese Bemerkung bezieht sich natürlich nicht auf die Unm öglichkeit 1) Der „Ausschreiter“. Die Bezeichnung rührt daher, daß der Zirkel beim wieder
holten Abmessen immer einen Fuß vor den ändern setzt, also ausschreitet wie der Mensch beim Gehen.
2) Man betrachte z. B. den Tasterzirkel mit gebogenen Armen, der p. 91 im 3. Bande des bekannten Werkes von H. Bl ü m n e r, Technologie und Terminologie der Gewerbe und Künste bei Griechen und Körnern, abgebildet ist. Für weiteres über Zirkel im Altertume vergleiche man außer diesem Werke noch den Artikel Circinus von Fb. Hu l t s c h in der Realenzyklopädie von Pa u l y- Wi s s o w a.
3) Diese Stelle, wie natürlich auch die in den „Vögeln“, ist zugleich für die Geschichte der mathematischen Terminologie von Interesse. In seinen K u ltu r
historischen Beiträgen (Erstes Heft, Leipzig 1906, § 45) führt M a x C. P. S c h m i d t als älteste Stelle für das Vorkommen von dLaßr/zrjg (und zwar in der Bedeutung von Blei
wage) Pl a t. Phileb. 56 b an. Die Stellen bei A b i s t o p h a n e s sind also wesentlich älter (vielleicht die ältesten, die wir besitzen) und belegen überdies die ursprüngliche Bedeutung des Wortes.
4) Überliefert ist bekanntlich &olgdziov, was aber keinen Sinn gibt.
