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Postverlagsort Leip
NATURWISSENSCHAFTEN
HERAUSGEGEBEN VON A R N O L D B E R L I N E R
U N T E R B E S O N D E R E R M I T W I R K U N G V O N HANS SPEMANN IN F R E I B U R G I. B R .
ORGAN D ER GESELLSCHAFT DEUTSCHER NATURFORSCHER UND ÄRZTEUND
ORGAN DER KAISER WILHELM-GESELLSCHAFT ZUR FÖRDERUNG DER WISSENSCHAFTEN
V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W 9
H EFT 46 (S E IT E 905— 920)
18. N O V EM B ER 1927 FÜNFZEHNTER JAHRGANGD ie Windmühlen im Lichte neuerer Forschung.
Von A.
Be t z,Göttingen. (Mit 9 Figuren) . .
Be s p r e c h u n g e n :
Ba r c r o f t,
J., Die Atm ungsfunktion des Blutes.
(Ref.: A. Durig, W i e n ) ...
Cl a r k,
A . I., Com parative Physiology of the heart. (Ref.: A. Bethe, Frankfurt
a . M .) . . Me y e r h o f, Ot t o,Chemical Dynam ics of life
Phenomena. (R e f.: O. Loewi, Graz) . . . .
Bo t a n i s c h e Mi t t e i l u n g e n
: Pollenanalytische Untersuchungen in der schwäbischen Alb und
I N H A
! 905 :
914 915 916
L T :
im wärmsten Teile W ürttembergs. Die Moore des Riesengebirges. Über Fragen der Geschlechts
bestimmung bei höheren Pflanzen. Der deutsche W ald. Abänderung des Zahlenverhältnisses zwischen männlichen und weiblichen Blüten bei Begonia W allichiana. Ein Fall von Merogonie infolge Artkreuzung bei Compositen. K ünst
liches Austreiben der Zwiebeln von Allium Cepa.
W achstum und Stärkebildung einiger Konj ugaten auf Kosten organisch gebundenen Kohlenstoffs 916
T y ro sin -K rista lle (nach P lira m e r 1920)
Ans dem Kapitel:
„D ie Produkte der Eiw eißverdauung bei den Säugetieren“ des soeben erschienenen Buches
Übungen aus der Vergleichenden Physiologie
Von H e r m a n n J . J o r d a n , Utrecht, unter M itw irkung von G . C h r . H ir s c h , Utrecht
M it 77 Abbildungen. VIII, 272 Seiten. 1927. R M 18.—, gebunden R M 19.50
I I _ ____ D I E N A T U R W I S S E N S C H A F T E N . 1927. H eft 46. 18.
November 1927.DIE NATURWISSENSCHAFTEN
erscheinen wöchentlich und können im In- und Auslande durch jede Sortim entsbuchhandlung, jede Postanstalt oder den Unterzeichneten Verlag be
zogen werden. Preis vierteljährlich für das In- und Ausland RM 9.— . Hierzu tritt bei direkter Zustellung durch den Verlag das Porto bzw. beim Bezüge durch die Post die postalische Bestellgebühr. Einzelheft RM 1.— zuzüglich Porto.
Manuskripte, Bücher usw. an
Die Naturwissenschaften, Berlin W 9, Linkstr. 23/24, erbeten.
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V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N Wr 9
Grundlagen der Mechanik
Mechanik der Punkte und starren Körper
B e a r b e ite t vo n b e k a n n te n F a c h le u te n , re d ig ie rt vo n R . G r a m m e l M it 256 A b b ild u n gen . X IV , 625 Seiten. 1927. R M 5 1.6 0 , gebu n d en R M 54.—
(Bildet Band V v o m H an d b u ch der P h y sik , h erau sgeg eben v o n H . G e ig e r-K ie l u n d K a r l Sch eel-B erlin -D ah lera)
I n h a l t s ü b e r s i c h t :
Die Axiom e der M echanik. Von Professor Dr. G. Hamei, Berlin. — Die Prinzipe der Dynam ik. — Die Hamilton-Jacobische Theorie der Dynam ik. Von Dr. L. Nordheim , Göttingen. — Störungsrechnung.
Von Dr. E. Fues, Stuttgart. — G eom etrie der Bewegungen. Von Professor Dr. H. Alt, Dresden. — G eo
metrie der Kräfte und Massen. Von Professor Jr. C. B. Biezeno, D elft. — Kinetik der Massenpunkte.
Von Professor Dr. R. G ram m el, Stuttgart. — Kinetik der starren Körper. Von Professor Dr. M . W in kel
mann, Jena und Professor Dr. R. Gram m el, Stuttgart. — Technische Anwendungen der Stereomechanik.
Von Professor Dr. Th. Pöschl, Prag. — Relativitätsm echanik. Von Dr. O. Halpern, W ien.
Vorträge
aus dem Gebiete der Hydro- und Aerodynamik
(Innsbruck 1922) Gehalten von
A. G. v. Baumhauer-Amsterdam, V. Bjerknes-Bergen, J. M . Burgers-D elft, B. Caldonazzo-M ailand, U. Gisotti-M ailand, V. W . Ekm an-Lund, W . Heisenberg-M ünchen, L. Hopf-Aachen, Th. v. Kärman- Aachen, G. Kem pf-H am burg, T . Levi-C ivita-R om , G. W . Oseen-Upsala, M . Panetti-Turin, E . Pistolesi- Rom , L. Prandtl-Göttingen, D. Thoina-M ünchen, J. Th. Thysse-Haag, E. Trefftz-Dresden, R. Verduzio-
Rom , G. W ieselsberger-G öttingen, E. W itoszynski-W arschau, G. Zerkow itz-M üncben.
Herausgegeben von
T h . v . K a r m a n u n d
T.
L e v i - C i v i t a P rofessor am A erod yn . In s titu t der T e c h n . H och sch u le, A ach en P rofessor an der U n iv e r sitä t R o mM it 98 A b b ild u n g en im T e x t. IV , 251 Seiten . 1924 R M 13 .—
Vier Abhandlungen
zur Hydrodynamik und Aerodynamik
(Flü ssigkeit mit klein er R e i b u n g ; T r a g f lü g e lt h e o r ie , I. und II. M itte ilu ng ; S c h ra u b en p ro p eller mit g e r in g s t e m Energieverlu st)
Von
L . P r a n d t l und A . B e t z
N eudruck aus den Verhandlungen des III. Internationalen M athem atikerkongresses zu H eidelberg und aus den N achrichten der G esellschaft der W issenschaften zu Göttingen
M it einem Literaturbericht als Anhang
IV, 100 Seiten . 19 2 7. R M 4.—DIE NATURWISSENSCHAFTEN
Fünfzehnter Jahrgang 18. November 1927 Heft 46
Die Windmühlen im Lichte neuerer Forschung1.
V o n A .
Be t z,G ö ttin g e n .
(Aus dem Kaiser W ilhelm -Institut für Strömungsforschung.)
1. E inleitu ng .
D e n W in d m ü h len w u rd e in d er Z e it n ach dem K r ie g e eine erh eb lich gesteigerte B e a c h tu n g ge
s c h e n k t. Im w esen tlich en d ü rften es zw ei G rü n d e sein , a u f w elch e dieses erh ö h te In teresse z u rü c k z u fü h ren i s t : E in m a l d as m it d er vo rü b ergeh en d en K o h le n n o t zu sam m en h än g en d e B estreb en , n ach n eu en E n ergieq u ellen ü b e rh a u p t zu such en, d an n a b er w o h l a u ch d as E m p fin d en , d a ß die E r fa h ru n g en , w elch e m an in d er F lu g te c h n ik g esam m elt h a t, die M ö g lich k eit b ieten , die W in d m ü h len w esen tlich zu ve rv o llk o m m n en . T a tsä c h lic h h ab en n a tü r lic h die allg em ein en F o rts c h ritte d er Ä ro - d y n a m ik a u ch au f die W in d m ü h len k o n stru k tio n en b e fru c h te n d e in g e w irk t; a b er leid er sind F o r t s c h r itte vo n so ein sch n eid en d er B e d eu tu n g , d a ß sie die W ir ts c h a ftlic h k e it d er W in d m ü h len w esen t
lich g ü n stiger g e stalten w ü rd en , n ic h t erreich t w ord en und au ch k a u m zu erw arten . E s b e s tä tig t sich h ie r eine h ä u fig b e o b a c h te te E rsch ein u n g, d a ß tech n isch e E in rich tu n g e n , w elch e schon a u f eine seh r a lte E n tw ic k lu n g zu rü ckgeh en , v ie lfa c h rein d u rch E rfa h ru n g einen so hohen G rad vo n V o ll
ko m m e n h eit e rla n g t h ab en , d a ß die m oderne W issen sch a ft n u r n och v e rh ä ltn ism ä ß ig g e rin g fü g ig e V erb esseru n gen b rin gen k a n n . W a s die neuere F o rsch u n g a u f dem G eb iete d er W in d m ü h len b ie te t, ist h a u p tsä ch lich eine k la re re E rk e n n tn is d er V o rg än g e , in sbesondere a u ch der M ittel, w elch e zu r E rz ie lu n g b e stim m te r W irk u n g en d ienen können, ab er au ch d er prin zip iellen G renzen , w elch e der L e is tu n g s fä h ig k e it g e se tz t sind .
D ie A u fg a b e der W in d m ü h len b e ste h t d arin , d em W in d e E n erg ie zu en tzieh en und diese in ein e n ü tzlic h v e rw e rtb a re F o rm ü b erzu fü h ren . E in e v e rw a n d te A u fg a b e h ab en W a ssertu rb in en , ab er es b e ste h t d och ein seh r ein sch n eid en d er U n tersch ied . B e i W a sserk ra ftw e rk e n s te h t im allgem ein en n u r eine b e sch rä n k te E n ergiem en ge zu r V erfü g u n g , w elch e d u rch v e rh ä ltn ism ä ß ig k o stsp ielig e S ta u a n la g en gesam m elt w u rd e. W enn m an nun diese E n erg ie in der T u rb in e in n u tzb a re F o rm u m se tzt, so is t es vo n g rö ß ter W ic h tig k e it, diese U m se tzu n g m it m ö glich st hohem N u tz e ffe k t vo rzu n e h m e n , d a jed e r V e rlu st bei d er U m se tzu n g j a eine V ersch leu d eru n g der ko stb aren E n ergie b e d e u te t. D a n eb en spielen n atü rlich a u ch die
1 Eine ausführlichere Darstellung eines Teiles der hier wiedergegebenen Überlegungen findet sich in dem Büchlein des Verfassers: Windenergie und ihre A us
nützung durch Windmühlen. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht 1926. Vgl. die Besprechung in H eft 14 ( • 338 ) des laufenden Jahrganges dieser Zeitschrift.
N w . 1927
A n la g e k o ste n und deren V erzin su n g eine w ich tig e R o lle. B e i W in d m ü h len h ab en w ir in dem u n geh eu er groß en L u ftm e e r an sich solch riesige M engen vo n E n ergie zu r V erfü g u n g , d a ß w ir sie d och g a r n ic h t alle erfassen können. E s ist d ah er a u ch gan z u n w esen tlich , w elch e E n erg iev erlu ste b ei d er U m fo rm u n g a u ftrete n . W esen tlich sind n u r die K o ste n , w elch e m it der U m fo rm u n g v e r bun den sind. Jen e W in d m ü h le ist die w irts c h a ft
lich ste, b ei w elch er die gew on n en e K ilo w a ttstu n d e am b illig sten ko m m t. D a a b er die K o sten bei der E n erg ieg ew in n u n g d u rch W in d m ü h len zu m w eitau s grö ß ten T eile in d er V erzin su n g und A m o rtisatio n der W in d m ü h le besteh en , so lä u ft das W in d m ü h len p roblem in der H a u p tsa ch e d a ra u f hin au s, m it gegebenen Baukosten möglichst große Leistungen zu erzielen, b zw . d as V erh ä ltn is der B a u k o sten zur erzielten J ah resleistu n g m ö g lich st k lein zu m achen.
Zu diesem H a u p tp ro b lem treten bei der E n erg ie gew in n u n g d u rch W in d m ü h len n och andere A u f
gab en ersch w eren d h in zu , w elch e teils in der E ig e n tü m lic h k e it des W in d es, teils in der B e so n d erh eit des Z w eck es, fü r den die W in d m ü h len dienen sollen, b e grü n d e t sind. D e r w ich tig ste U m sta n d , w elch er die W in d a u sn ü tzu n g ersch w ert, is t die Unregelm äßigkeit des W indes. E in en großen T e il des Jah res hin d u rch is t d er W in d so sch w ach , d a ß er n ic h t a u sreich t, die W in d m ü h le zu drehen, und a u ch w en n d as W in d ra d leic h t gen u g ginge, so is t die L e istu n g d an n so gering, d a ß sie einen n en nen sw erten B e d a rf d o ch n ic h t decken w ü rd e.
Z u anderen Z eiten is t der S tu rm so stark , d aß m an M ühe h a t, die A n la g e v o r den zerstörenden W irk u n g e n dieses E n ergieü b ersch u sses zu sch ü tzen . E s is t k a u m m öglich , ein W in d ra d so zu bauen, d a ß es sow oh l die sch w ach en W in d e, w ie au ch die sta rk en S tü rm e au sn ü tzen kan n . M an m u ß sich im allgem ein en a u f die am h ä u fig sten vo rk o m m e n den W in d stä rk e n (im B in n en lan d e e tw a zw isch en 3 und 10 m/sec., an der K ü ste e tw as m ehr) b esch rän ken. M an m u ß besondere Reguliereinrichtungen vorseh en , um b ei größeren W in d ge sch w in d ig k e iten die E n erg ie u n geh in d ert a b fließ en zu lassen, so d a ß sie keinen S ch ad en an rich tet. A u ß erd em b rin g t die U n reg e lm ä ß ig k eit des W in d es den N a c h te il m it sich, d a ß die gew onnene E n ergie zeitlich seh r s c h w a n k t und im allgem einen n ic h t dem B e d a rf a n g e p a ß t ist. W en n z. B . die W in d m ü h le S tro m fü r elektrisch e B e leu c h tu n g liefern soll, so w ird ihre L e istu n g aben ds eine b estim m te Z e it g e b ra u ch t. Im allgem einen w ird m an n ic h t d a m it rechnen können, d a ß der W in d gerad e u m diese Z e it m it d er erforderlichen S tä rk e w eh t. Z u anderen
68
9 0 6 B e t z :
Die W indm ühlen im Lichte neuerer Forschung.
[
Die Naturwissenschaften
Z e ite n , w en n gen ü gend W in d w eh t, is t w ied er k ein e geeign ete V e rw en d u n g fü r die E n erg ie v o r h an d en . E s is t d a h er n o tw en d ig , e n tw ed er die Energie aujzuspeichern, o d er solch e V erw en d u n g s
zw e ck e fü r d ie gew on n en e E n erg ie vo rzu seh en , w elch e u n a b h ä n g ig v o n d er Z e it, die jew eils zu r V e rfü g u n g steh en d en E n erg iem en g en zu v e rw e rten g e s ta tte n (z. B . P u m p en zu r B e w ä sse ru n g des B o d en s). D ie V e rw en d u n g v o n E n ergiesp eich ern , e tw a ele k trisch er A k k u m u la to re n , v e ru rs a c h t e r
h eb lich e K o s te n u n d v e rte u e rt d ah er die gew on n en e E n erg ie.
E in e w eitere S ch w ie rig k e it b ie te t die geringe Drehzahl d er W in d rä d e r. A u s G rü n d en , a u f die w e ite r u n ten n och a u sfü h rlich ein gegan gen w ird , m u ß die U m fa n g sg e sc h w in d ig k eit d er F lü g e l
sp itzen in ein em allerd in gs in gew issen G renzen ve rä n d erlich e n V e rh ä ltn is zu r W in d g e sch w in d ig k e it steh en . D a nun, u m eine ein igerm aß en n en n en sw erte L e is tu n g zu erzielen , der W in d ra d d u rch m esser im allg em ein en ziem lich groß ist, so ergeb en sich m e ist D reh za h len , die im V e r g leich m it den sonst b ei M asch inen ü b lich en U m dreh u n gen a u ß erg ew ö h n lich n ied rig sin d . U m d a h er m it d em W in d ra d e ein e and ere M asch ine a n z u tre ib en , m u ß m an fa s t ste ts eine Ü b e rse tzu n g ins Sch n elle, ein G etrieb e, d a zw isch e n sch a lten , w e l
ch es eb en fa lls u n erw ü n sch te K o s te n v e ru rsa c h t u n d d a d u rch die E n erg ie v e rte u e rt. D ie G etrie b e sc h w ie rig k e it w ird u m so größer, je grö ß er der W in d ra d d u rch m esser ist, d a h ie rm it die D reh za h l sin k t u n d g le ic h z e itig die zu ü b e rtra ge n d e L e istu n g ste ig t. M an h a t d a h e r ein b eson deres In teresse d a ra n , die D reh za h l des W in d ra d e s u n ter gleichen ä u ß eren U m stä n d en an sich sch on m ö g lich st hoch zu b ek o m m en , d. h. m it einem m ö g lich st großen V e rh ä ltn is v o n U m fa n g sg e sc h w in d ig k eit zu W in d g e sch w in d ig k e it zu a rb e ite n . L e id e r h ab en solche S c h n e llä u fe r w ied er an d ere sch w erw iegen d e N a c h teile, so d a ß diesem S tre b en n a ch S c h n e llä u fig k e it G ren zen g e se tz t sind.
Im folgen d en soll nun a u f zw ei dieser P ro b lem e n äh er ein gegan gen w e r d e n : Z u n ä c h st a u f d as H a u p t
p ro b lem , w elch es w ir in d er F ra g e au sd rü cken kö n n en : W ie kön nen w ir aus dem W in d e E n ergie gew in n en u n d w elch e L eistu n g en kön nen w ir vo n einem W in d ra d e vo n g egeb en er G rö ß e bei gegeben er W in d g e sc h w in d ig k e it erw arten ? U n d w eiterh in au f die F ra g e n , w elch e m it d er S c h n e llä u fig k e it
Z u sam m en h än gen .
2
. D er M echa n ism u s der Energiegew innung.
F ra g e n w ir uns zu n ä c h s t: w ie k a n n m an ü b er
h a u p t d er b ew eg ten L u ft ihre kin etisch e E n ergie en tzieh en ? W ir können uns e tw a fo lgen d e E in ric h tu n g denken (Fig. i ): W ir stellen dem W in d e einen K ö rp e r en tgegen , e tw a eine ebene P la tte vo n d er F lä c h e F . D e r W in d , w elch er m it der G e sc h w in d ig k e it v gegen diese P la tte w eh en m öge, ü b t d an n a u f diese P la tte eine W id e rs ta n d s k ra ft W aus, w elch e p ro p o rtio n a l d er F lä c h e F , dem Q u a d ra t der G esch w in d ig k e it u n d der L u ftd ic h te
qis t (im tech n isch en m -k g -sek -S y ste m ist fü r L u ft v o n n orm aler T e m p e ra tu r u n d n orm alem B a r o m e te rsta n d g = i k g sek 2 m - 4). M an p fle g t diesen Z u sa m m en h an g in fo lg en d er W eise a u s zu d rü c k e n :
W = cw — F v
22
(
1)
*\T
D e r P r o p o r tio n a litä tsfa k to r cw w ird W id e r
s ta n d sziffe r g e n an n t u n d h ä n g t vo n d er F o rm d es b etreffen d en K ö rp e rs ab.
L assen w ir nun den K ö rp e r in R ic h tu n g d ieser Z W id e rs ta n d s k r a ft sich be- — w egen , so le is te t er A rb e it, w elch e w ir n u tzb rin g en d ve rw e n d e n kö n n en (z. B . zu m H eb en eines G ew ich tes. F ig . i) . D a a b er in fo lge d er B e w e g u n g des
K ö rp e rs die R e la tiv g e - F ig .i. Energiegewinnung sc h w in d ig k e it des W in - m ittels einer bewegten des ih m gegen ü b er sich W iderstandsfläche, v e rrin g ert, so ve rm in d e rt
sich a u ch d er W id e rsta n d . I s t die G esch w in d ig k e it des K ö rp e rs v', so is t die R e la tiv g e s c h w in d ig k e it v — v ' u n d die K r a f t
□
I
W = cw- ^ F ( v - v')2 . (
2) D ie sek u n d lich g eleistete A rb e it ist
L = W • v' = cK — F (v — v')
2v '. (3) D iese L e is tu n g is t b e i g egeb en er F lä ch e F und W in d g e sc h w in d ig k e it v d an n am größ ten , w en n v ' = i v ist, n äm lich
27 ( 4 )
D e r W in d selb st g ib t b ei diesem V o rg än ge ab er sek u n d lich die A rb e it.
L ’ = W • v ( 5 )
ab, d a sich ja die L u ft m it d er G esch w in d ig k e it v b e w e g t und d a b ei eine K r a ft W in d er B e w e gu n g s
ric h tu n g a u sü b t. F ü r v ' = i v g ib t also d er W in d 3m al so v ie l A rb e it a b als durch die E in ric h tu n g gew on n en w ird . 2/3 d er v o m W in d e ab gegeben en L e is tu n g w ird in W irb el (und sch ließ lich in W ärm e) u m g e se tzt und n u r
1/3w ird gew onnen. W en n nun au ch , w ie w ir ein gan gs erläu terten , d ieser sch lech te W irk u n g sg ra d n ic h t m aß geb en d fü r die E ig n u n g der E in ric h tu n g ist, so m u ß er d o ch zu B e d en k e n A n la ß g eb en ; denn es ist anzun eh m en , d a ß eine A n o rd n u n g , w elch e m it w en iger V e r lu sten a rb e ite t, au ch m it derselben F läch e, also d enselben B a u k o ste n m eh r L e is tu n g erzielt.
B e i d er eben besproch en en A n o rd n u n g w a r
die vo n d er L u ft a u f den K ö rp e r au sgeü b te K r a ft
W p rin zip iell m it ein er E n erg iev ern ic h tu n g v e r
bu n d en, indem sek u n d lich eine A rb e it W • (v— v')
in W irb elen erg ie u m g ese tzt w ird . W ir m üssen
uns fragen , o b ü b e rh a u p t K ra ftw irk u n g e n d e n k
b a r sind, ohne d a ß d ieser E n erg iev erlu st e in tritt.
H eft 46. ] 18. 1 1 . 1927]
B e t z :
Die W indmühlen im Lichte neuerer Forschung. 907
D a s is t ta ts ä c h lic h d er F a ll. W en n m an n äm lich geeig n et gefo rm te K ö rp e r w ä h lt, so lie g t die er
zeu g te K r a f t P n ic h t in d er R ic h tu n g der re la tiv en L u ftströ m u n g , sondern b ild e t einen sp itzen W in k e l m it ih r (F ig. 2). Z e rle g t m an diese K r a ft in eine K o m p o n e n te W in R ic h tu n g der L u fts trö m u n g und in eine K o m p o n e n te A sen k rech t d a zu, so is t fü r die zu r E rze u g u n g vo n W irb eln v e rb ra u c h te E n e r
gie n u r die K o m p o n e n te W, der Fig. 2. K räfte auf eig en tlich e „ W id e r s ta n d ” , m aß- einen Flügel. geben d . D ie sek u n d lich v e rn ic h te te E n erg ie is t
£ V eri.= W • c, w ob ei c d ie W in d g e sch w in d ig k e it re la tiv zu m K ö r per b e d e u te t. D ie andere K o m p o n en te, d er „ A u f tr ie b ” , b e d in g t kein erlei E n erg iev erb ra u ch , d a sie ja sen k rech t zu r B e w e g u n g srich tu n g s teh t. D iese A u ftr ie b s k ra ft ist also v o n gan z ä h n lich er A r t w ie eine Z e n trip e ta lk ra ft, sie le n k t die L u ft n u r au s ih rer R ic h tu n g ab, ä n d e rt ab er n ich t ihre E n ergie. U m gro ß e K r a ftw irk u n g e n bei klein em E n e rg ie v e rlu st zu erh alten , m u ß m an d em n ach K ö rp e r v o n solch er F o rm verw en d en , d a ß sie einen m ö g lich st groß en A u ftr ie b u n d m ö g
lic h st kleinen W id e rsta n d ergeben . M an n en n t solche K ö rp e r F lü g el od er Tragflügel. D a s die G ü te eines F lü g e ls k en n zeich n en d e V e rh ä ltn is W id e r s ta n d : A u ftr ie b n en n t m an Gleitzahl, w eil es die N e ig u n g d er F lu g b a h n a n g ib t, u n ter der der b e treffen d e F lü g e l einen G le itflu g a u sfü h ren ka n n b z w . a u sfü h ren kö n n te, w en n er hin reich end sta b il w äre. W ir w ollen die G le itza h l m it s b e zeich n en. E s is t also
W_
A (6)
E n tsp rech en d w ie den W id e rsta n d beim reinen W id e rsta n d sk ö rp e r kön nen w ir A u ftrie b und W id e r
stan d b eim F lü g e l in fo lgen d er W eise a u sd rü ck en :
A = ca ^ F # (7)
W = cw~ F c 2, (8)
w ob ei ca und c„ P ro p o rtio n a litä tsfa k to re n sind, w elch e n u r vo n d er F o rm und S te llu n g des F lü g e ls ab h än g en . A ls B e zu g sflä c h e F w ä h lt m an bei F lü g e ln in der R e g e l die g rö ß te P ro je k tio n des F lü g e ls. B e i einem re ch te ck ige n F lü g e l vo n der Sp an n w eite l und d er T iefe t w äre also F = l • t.
W ir w ollen nun einen solchen F lü g e l zu r E n erg ieg ew in n u n g au s dem W in d e b en ü tzen . D e r W in d m öge m it der G esch w in d ig k e it v w eh en . W ir stellen ih m nun einen F lü g e l en tgegen und bew egen diesen senkrecht zu r W in d ric h tu n g m it der G esch w in d ig k e it u (F ig. 3). D ie L u ft s trö m t dan n re la tiv zum F lü g e l m it einer G esch w in d igk e it c, w elch e sich aus der Z u sa m m en setzu n g d er K o m pon en ten v und u (Fig. 4) e rg ib t:
c = y v
2+ w2 . (9) D ie R ic h tu n g d er R e la tiv g e s c h w in d ig k e it c
b ild e t m it der W in d ric h tu n g v den W in k el ß (F ig. 3 u n d 4), fü r den, w ie m an an F ig . 4 ablesen kan n , die B e zie h u n g b este h t
t g ß = (10)
Fig. 4. Resultierende Relativgeschwindig
keit.
Fig. 5. Zerlegung der Flügelkraft in axiale und tangentiale R ich
tung.
Fig. 3. A uftrieb und W ider
stand eines Flügels, der sich senkrecht zur Windrichtung
bewegt.
D a d er A u ftr ie b A , den der F lü g e l b ei d ieser B e w e g u n g erfäh rt, sen k rech t zu r j-
R e la tiv g e s c h w in d ig k e it c 7 steh t, so b ild e t er m it der B e w e g u n gsrich tu n g des F l ü gels u (Fig. 3 und 5) eb en falls den W in k e l ß. F ü r die N u tz leistu n g k o m m t vo n A die in die R ic h tu n g vo n u fa l
len d e K o m p o n e n te T
1= A c o sß in B e tr a c h t. V o m W id e rsta n d w ir k t die K o m p o n e n te
T
2= W sin/?
der B e w e g u n g en tgegen . In R ic h tu n g der G esch w in d ig k e it u w irk t d em n ach in sg esam t die K r a f t
T — T
1— T
2= A co sß — W sin ß 1
= A cos/?(i — s tg ß), j w o b ei e = - j - die G le itza h l des F lü g e ls (s. oben) W b e d eu te t. D ie erzielte N u tz le istu n g is t d em nach L
n= T • u = A u co sß (1 — s tg ß ). (12) D ie in die W in d ric h tu n g v fallen d en K r a ftk o m p o n en ten ergeben den S ch u b
S = S x + S
2= A s in ß + W c o s ß
= A sin,tf(i + s ctg ß ).
D ie vo m W in d ab gegeb en e L e istu n g ist L w = S • v = A v sin/?(i + s c tg ß ) . (14) W en n m an b e a ch te t, d a ß v sin ß = u cos ß ist, so e rg ib t sich
13 )
L
n— L,,
1 - S t g ß I + s C t g ß= L v
I + £
( 15 )
W ä re der W id erstan d des F lü ge ls und d a m it die G le itza h l N u ll, so w ü rd e bei d ieser A n o rd n u n g die gew onnene L eistu n g L N gleich der vo m W in d a b g eg eb en en L e istu n g Lw sein, d. h. w ir w ü rd en eine v erlu stlo se E n ergieu m setzu n g h ab en . In
6 8 *
go8
B e t z :Die W indm ühlen im Lichte neuerer Forschung.
I" Die Natur- l WissenschaftenW ir k lic h k e it is t stets ein gew isser W id e rsta n d u n d d a h e r a u ch ein gew isser V e r lu s t vo rh an d en . D ie N u tz le is tu n g is t im V e rh ä ltn is
Vi = (16)
i + s
k lein er als die v o m W in d ab geg eb en e L eistu n g . M an k a n n d a h e r dieses V e rh ä ltn is rj
1als W irk u n g s g rad des F lü g e ls bezeich n en . D a die G le itza h l
£ im a llg em ein en eine k lein e Z a h l is t (etw a 0,02 b is o ,i je n a ch d er G ü te des F lü g els), so w ird dieser W irk u n g sg ra d n u r d an n sch lech t, w en n ~ das V e rh ä ltn is d er F lü g e lg e sc h w in d ig k e it zu r W in d g e sc h w in d ig k e it beson ders groß od er beson ders k lein gegen E in s ist. Im ersteren F a lle w ird £ ~ (im Z äh ler), im le tz te re n * — (im N enner) vo n v so lch er G rö ß en o rd n u n g, d a ß d er W irk u n gsg ra d m e rk lich d a ru n te r leid et. V o n W ic h tig k e it ist h a u p tsä c h lic h d er erstere F a ll ~ 1 , in dem d u rch die R ü c k s ic h t a u f den W irk u n g sg ra d das V e rh ä ltn is — n a ch oben h in b e sc h rä n k t ist. W ir u
v
w erd en h ie ra u f s p ä te r n och zu rü ck ko m m en . W ir w ollen uns nun n och k la r m ach en, w ie groß d ie Flügelfläche sein m u ß , u m eine b estim m te L e is tu n g zu erzielen . G em ä ß G leich u n g (7) ist d er A u ftr ie b
A - ca — F c
2, 2
w ob ei ca d ie A u ftrie b s z iffe r b ed eu tet, w elch e vo n d er G rö ß en o rd n u n g 1 ist, Q und F sind w ie frü h er d ie L u ftd ic h te u n d die F lü g e lflä c h e und
c = y v
2+ u
2— u \ 1 +
d ie R e la tiv g e s c h w in d ig k e it d er L u f t gegen den F lü g e l (Fig. 3 u n d 4). S etzen w ir d iesen W e r t in G leich u n g (12) ein und b e a c h te n , d a ß cos ß — — v
u n d t g ß — ist, so e rh a lten w ir fü r die gew on n en e L e is tu n g
ca — F c 2u —
2 c
M W X + - t )-J
( 1 7 )
V erg leich en w ir dieses E rg eb n is m it G leich u n g (4) u n d b e ach ten , d a ß sow oh l d as d o rt a u ftrete n d e cw w ie a u ch d as h ier a u ftrete n d e ca vo n d er G rö ß e n o rd n u n g 1 sind , so sehen w ir, d a ß w ir j e t z t m it der gleich en F lä c h e F bei gleich er W in d g e sch w in d ig k e it
« u n d gleich er L u ftd ic h te
qeine w esen tlich größere L e is tu n g erzielen . W ir verm eid en ein erseits den in G leich u n g (4) vo rko m m en d en F a k to r £ f , d a rü b er h in au s k ön nen w ir a b er die L e is tu n g n o c h w e ite r
steigern , w en n w ir ~ groß m ach en. Is t z. B .
= 3, so w ird d er die L e is tu n g vergrö ß ern d e F a k to r
( v ) V I + (-ir)’ = 3 a - I , ° 5 = 9 , 4 5 - A lle rd in g s b rin g t d er le tz te F a k t o r (1 ~ £ ) w ied er eine V ersch le ch teru n g, die a b er keine große R o lle sp ielt, solan ge die G le itza h l des F lü g e ls klein und — n ic h t ü b e rm ä ß ig gro ß ist. In unserem B e isp iel m it — = 3 w ü rd e sich bei einer G leitza h l s = 0,05 z. B . ergeben
1 — « ^7) = (1 - 0,05 • 3) - 0,85 .
W ir w ü rd en d em n ach u n ter d er V o ra u ssetzu n g , d a ß c 0 in G leich u n g (17) u n d cw in G leich u n g (4) gerad e g leich sind, eine L e is tu n g erh alten , w elch e um den F a k to r -V- • 9,45 • 0,85, also ru nd 54m al so groß is t als b ei d er frü h eren A n o rd n u n g . B ei einem G esch w in d ig k e itsv e rh ä ltn is = 2 w ü rd e dierse F a k to r ru n d 27, u n d b e i — = 1 im m er
v
n och ru n d 9 sein. D ieser ga n z enorm e U n tersch ied d ü rfte die u n b ed in g te B e v o rz u g u n g der zw eiten A n o rd n u n g , d er A u s n ü tz u n g des F lü g e la u ftrieb e s a n s ta tt des W id e rsta n d e s, re ch tfertig e n , selb st w en n die H e rstellu n g d er F lü g e l e tw as teu rer sein so llte als die eines W id ersta n d sk ö rp ers.
3
. D a s W indrad.
W ir m üssen uns n u n der F ra g e zuw en den , w ie m an die fü r die E n ergieg ew in n u n g erford erlich e B e w e g u n g d er F lü g e l p ra k tis c h v e rw irk lic h t.
W ir h a tte n b ish er einen F lü g e l, b zw . einen W id e r
stan d sk ö rp e r b e tra c h te t, w elch er sich gerad lin ig w eiterb ew eg t. D iese A r t d er E n erg ieg ew in n u n g w ü rd e e tw a d er W in d a u sn ü tz u n g d u rch segeln de S c h iffe 1 en tsprech en . B e i o rtsfesten A n la g en , w ie es die W in d m ü h len sind, is t m an g e n ö tig t, d ie F lü g e l b zw . W id e rsta n d sk ö rp e r a u f gesch losse
nen B a h n en zu b e w e g e n ; a m ein fach sten , in d em m an sie in g e eig n e ter W eise u m eine A ch se ro tieren lä ß t. E s h a t n ic h t an V ersu ch e n g efeh lt, fü r die E n e rg ie ü b e rtra g u n g W id e rsta n d sk ö rp e r zu v e r w en d en . Sie h a b en sich a b er d u rch w eg s als u n w irts c h a ftlic h erw iesen , w as n ach dem oben au sein an d erg esetzten a u ch n ic h t verw u n d erlich ist. W ir w ollen uns d e sh alb h ier a u f die g e b rä u ch lich e F o rm d er V erw en d u n g vo n F lü g e ln b esch rän ken.
1 Die Gleitzahl ist hierbei ziemlich schlecht, da man aus Gründen der Stabü ität die Segel nicht so hoch bauen kann als es für eine gute Gleitzahl erforderlich wäre (Induzierter W iderstand; vgl. z.
B . Be t z,E in führung in die Theorie der Tragflügel. Naturwissen
schaften 1918, S. 557).
H e ft 46. 1 18. 1 1 . 1927J
B e t z :
Die Windmühlen
i mL ichte neuerer Forschung. 909
D ie ü b lich e A n o rd n u n g is t die, d a ß m an eine A n z a h l F lü g e l a u f einer A ch se b e fe s tig t (Fig. 6), die A ch se in die W in d ric h tu n g s te llt und das g an ze S y stem , d as „ W in d r a d " , u m die A ch se um lau fen lä ß t.
I s t w d ie W in k e lg e sc h w in d ig k eit des W in d rad es, so h a t eine S telle eines F lü g e ls im A b sta n d r v o n der A ch se die G esch w in d ig k e it u = reo sen k rech t zu m W in d e. M an m ö ch te n un m einen, d a ß m an a u f G ru n d d er Ü b erleg u n g en im vo rig e n K a p ite l die a u f die F lü g e l w irken d en K r ä fte und die e rzielb a re N u tz leistu n g ohne w eiteres au srech n en k ö n n te. D a ß die F lü g e lg e sc h w in d ig k e it v o n P u n k t zu P u n k t v e r schieden ist, w ü rd e n u r eine rech n erisch e E rs c h w e ru n g , a b er kein w esen tlich es H in d ern is b ild en . D a ß h ierb ei ab er o ffe n b a r etw a s a u ß er a c h t gelassen ist, g e h t schon d a ra u s h e rv o r, d a ß n ach den b ish erigen Ü b erlegu ngen die L e is tu n g p ro p o rtio n a l der F lü g e l
flä ch e ist. M an m ü ß te d a rn a ch also d u rch V e r m eh ru n g d er F lü g e lza h l od er d u rch V e rb re ite ru n g d er F lü g e l b e lie b ig g ro ß e E n ergiem en gen m it einem R a d v o n ga n z klein em D u rch m esser gew innen kön nen , w as jed e r E rfa h ru n g w id ersp rich t. O ffe n b a r stören sich die F lü g e l g egen seitig, so d a ß ihre W ir k u n g im W in d ra d e an d ers ist, als w en n sie a llein dem W in d e a u sg e se tzt w erd en . W ir m üssen uns d a h er zu n ä ch st n och m it d ieser gegenseitigen S tö ru n g befassen.
W ir h a tte n im vo rigen K a p ite l die K r ä fte kennen g elern t, w elch e d ie L u ft a u f einen F lü g e l au sü b t. D ieselb en K r ä fte , n u r m it u m g ek eh rtem V o rzeich en , ü b t der F lü g e l a u f die L u ft aus. In s
b esondere b e w irk t d ie in d ie W in d ric h tu n g fallen d e K o m p o n e n te S eine V erm in d eru n g der W in d g esch w in d ig k eit, w äh ren d d ie d a zu sen k rech te K o m p o n e n te T n u r eine A b le n k u n g des L u f t strom es zu r F o lg e h a t. W e n n nun die F lü g e l h in terein an d er h erlau fen , so a rb e ite t jed e r in ein em G eb iete, w o die L u fts trö m u n g v o n den vo rh ergeg a n g en en F lü g e ln b e reits m eh r oder w en iger g e stö rt i s t 1. E in e gen au e V e rfo lg u n g d ieser S tö ru n g sein flü sse is t ziem lich u m stä n d lich . F ü r un seren Z w e c k g e n ü g t es ab er, die A u fg a b e d ah in zu verein fa ch en , d a ß w ir uns fra g e n : ka n n m an die g egen seitige S tö ru n g d er F lü g e l u n ter ein fach en , a b er sich er zu gü n stigen A n n ah m en so w eit ab sc h ätzen , d a ß m an d ara u s einen H öchst
wert der zu erzielenden L eistung e rm itteln kan n . D ie w irk lich e L e is tu n g des W in d ra d e s w ü rd e d an n je n ach d er Z w e c k m ä ß ig k e it d er A n o rd n u n g m eh r od er w en iger u n ter diesem H ö c h stw e rt liegen .
1 Auch bei einem einzelnen Flügel ist die L u ft
bewegung in der Nähe des Flügels durch den Flügel selbst gestört. Der Einfluß dieser Eigenstörung ist aber in den experimentell gefundenen ca undJcw-Werten bereits enthalten, da diese Störung ja bei der B e
stimmung dieser W erte auch vorhanden ist. Man muß aber dieselbe beachten, wenn man z. B . einen anderen Flügelum riß als^bei der Messung verwenden will (Indu
zierter W iderstand; vgl. Fußnote S. 908).
Fig. 6.
W indrad.
Z u r B e a n tw o rtu n g dieser F ra g e d ie n t folgende Ü b e rle g u n g :
D ie E n ergie, w elch e im W in d e zu r V erfü g u n g steh t, is t als kin etisch e E n ergie vo rh an d en . Is t v die G esch w in d ig k eit der L u ft, so h a t ein T eil der L u ft v o n d er M asse m die kin etisch e E n ergie
— v2 . W en n w ir w ie bish er m it Q die L u ft- 2
d ich te, d. i. die M asse d er V o lu m en ein h eit b ezeich n en , so ist die E n ergie einer V o lu m e n ein h e it — v2 . W en n w ir nun der L u ft d u rch ein
2
W in d ra d E n erg ie entzieh en, so m u ß h in ter dem W in d ra d die kin etisch e E n ergie, also au ch die G esch w in d igk e it v, klein er sein als v o r dem R a d e.
W en n w ir zu r U n tersch eid u n g die G esch w in d ig
k e it in g ro ß er E n tfe rn u n g v o r dem R a d e m it vv die in g ro ß er E n tfe rn u n g h in ter dem R a d e m it v
2b ezeich n en (Fig. 7), so is t d em nach vz < vv W ir
0 |----
Fig. 7. Oben: Strömung durch ein W indrad; unten:
V erlauf der Geschwindigkeit v und des Druckes p der L u ft vor und hinter dem W indrad. (Das W indrad ist
durch die gestrichelte Linie angedeutet.)
w issen au ch , d a ß die S ch au feln a u f die L u ft eine K r a f t S en tgegen d er W in d ric h tu n g ausüben, u n d d a ß d a d u rch diese V erzö g eru n g der L u ft b e w irk t w ird . D e r Ü b e rg a n g v o n d er größeren zu r klein eren G esch w in d ig k e it g e h t n atü rlich n ic h t p lö tz lic h v o r sich, d a ja die langsam ere L u ft einen größeren Q u ersch n itt b ra u c h t als die sch n elle
re und die S tro m lin ien fü r ihre A u sb re itu n g Z e it b rau ch en (F ig. 7). D e r V o rg a n g is t so, d a ß b ereits v o r dem W in d ra d die L u ft sich e tw a s s ta u t.
Ih re G esch w in d ig k eit s e tz t sich d a b ei in D r u c k
um . Infolgedessen k o m m t die L u ft b ereits m it
ve rm in d e rte r G esch w in d ig k e it a b er m it erh ö h tem
D r u c k am W in d ra d an. D ie E n erg ieen tn a h m e
im W in d ra d b e w irk t n u n zu n ä ch st n u r eine
V erm in d eru n g der D ru ck en ergie, so d a ß die
L u ft, w elch e v o r dem R a d e m it erh öh tem D r u c k
a n k am , h in ter dem R a d e m it ern ied rigtem D r u c k
w eiter strö m t. D ie G esch w in d ig k e it selb st ka n n
sich in n erh a lb des u n en d lich d ünn ged a ch ten
R a d e s ü b e rh a u p t n ic h t änd ern . E r s t h in ter dem
9 1 0 Be t z:
D ie W indm ühlen im Lichte neuerer Forschung. [ Die
Natur- [wissenschafteDR a d e s e tz t sich die G esch w in d ig k e itsv e rm in d eru n g w ied er fo rt, in d em sich die G esch w in d ig k e its
energie so lan g e in D r u c k u m se tzt, b is d er n orm ale L u ftd ru c k w ied e rh e rg estellt is t (vgl. F ig . 7 un ten ).
D a die F lü g e l die W in d ra d flä c h e n ic h t g le ich m ä ß ig au sfü llen , sondern o ft re c h t erh eb lich e Z w isch en räu m e frei lassen, so m ö ch te m an m einen, d a ß a u ch die V e rz ö g e ru n g d er L u ft n u r an jen en S telle n s ta ttfin d e t, w o gerad e F lü g e l sind , w äh ren d zw isch en den F lü g e ln die L u ft ziem lich u n b ee in flu ß t h in d u rch strö m t. D a s is t a b er n ic h t d er F a ll.
D a n äm lich die F lü g e l u m lau fen , so b ein flussen sie, w en n a u ch n ic h t gle ich zeitig , so d o ch in k u rzen zeitlich e n Z w isch en räu m en alle L u ft, w elch e d u rch die v o n den F lü g e ln b estrich en e K re isflä c h e (bzw.
K reisrin g flä c h e , w en n die F lü g e l n ic h t bis an die A ch se reichen) h in d u rc h tritt. E in e gew isse U n g le ic h m ä ß ig k e it b le ib t n a tü rlic h au ch b e i d ieser p erio d ischen B e ein flu ssu n g b esteh en , sie is t ab er, w ie g en au ere R ech n u n g en zeigen , b e i den p ra k tis c h v o r kom m en d en V erh ä ltn issen seh r g erin g. W ir kö n n en uns d a h er fü r unsere je tz ig e B e tr a c h tu n g d as W in d ra d d u rch eine d u rch lässig e S ch eib e e r
s e tz t d en ken , w elch e n u r die E ig e n s c h a ft h a t, d a ß sie a u f die d u rch treten d e L u f t eine v e rzö g e rn d e K r a f t S a u s ü b t und ih r d a d u rch E n erg ie e n tzie h t.
V o n den ta n g e n tia l w irk en d en K r ä fte n T und deren W ir k u n g (A b len k u n g d er S tro m rich tu n g) w ollen w ir h ier ab seh en. W ir k ö n n te n uns ja z. B . denken , d a ß h in te r d em W in d ra d ein stillsteh en d e r L e it a p p a ra t a n g e b ra c h t w äre, w elch e r die L u ft w ied er in d ie a lte R ic h tu n g len k t.
W e n n in der S eku n d e d ie L u ftm a sse m d u rch die W in d ra d k re isflä ch e strö m t u n d w ir verm in d ern d eren G esch w in d ig k e it v o n vt a u f v2, so en tzieh en w ir d er L u f t sek u n d lich die E n erg ie
L = — (v l ~ v l) (18)
D iese E n erg ie s te h t zu r G ew in n u n g zu r V e r fü gu ng, w o b e i a b er w egen d er ein treten d en V erlu ste, in sbesondere in fo lg e des w e ite r oben besproch en en F lü g e lw irk u n g sg ra d es, n u r ein T e il d a v o n w irklich gew on n en w ird . M an w ird n a tü rlic h b e str e b t sein, d em W in d e m ö g lich st v ie l E n erg ie zu entzieh en, u m a u ch m ö g lich st v ie l gew in n en zu können.
W ir m üssen uns d ah er fragen , w ie groß kan n die E n erg ie L in ob iger G leich u n g b ei gegeben em W in d ra d d u rch m esser D b zw . gegeb en er W in d ra d k reisflä ch e F
0— — - — und gegeb en er W in d i g g e sch w in d ig k e it v± im b esten F a lle w erden . B e i flü c h tig e r B e tr a c h tu n g d er le tz te n G leich u n g m ö ch te m an m einen, die L e is tu n g L w ü rd e ein M a xim u m , w en n m an v
2= o m a ch t, d. h. der d u rch strö m en d en L u f t alle E n erg ie e n tzie h t.
D a s t r if f t a b er n ic h t zu, d a a u ch die sek u n d lich d u rch strö m en d e L u ftm a sse to m it ab n eh m en d em v
2k lein er w ird . Je m eh r w ir n äm lich die d u rc h strö m en d e L u ft ab b rem sen , u m so w en iger strö m t d u rch d as W in d ra d h in d u rch . D ie L u ft w eich t d e m H in d ern is aus, ein T e il s trö m t au ß en heru m ,
ohne E n erg ie ab zu g eb en . U m die seku n d lich d u rch strö m en d e L u ftm a sse m e rm itteln zu kön nen , m üssen w ir die G esch w in d ig k e it v ' kennen, m it d er die L u ft d u rch die W in d ra d flä c h e h in d u rch t r it t . D ie M asse e rg ib t sich d a ra u s zu
to = q F
0v' .
D ie D u rc h flu ß g e sc h w in d ig k e it v ' lieg t o ffe n b ar zw isch en den G esch w in d ig k e iten vx und v
2v o r und h in ter dem W in d ra d e. M an kan n nun zeigen, d a ß v ' gerad e d as arith m e tisch e M ittel au s v}
und v
2is t:
, vi +
V2vr — — --- - .
2
Z u dem Z w eck e k a n n fo lgen d e Ü b erleg u n g d ien en : W en n d u rch d as W in d ra d seku n d lich die L u ftm a sse m s trö m t und d as W in d ra d die G e s c h w in d ig k e it d ieser M asse vo n vx a u f v
2h e ra b setzt, so e n tzie h t es d er L u ft, w ie w ir schon fe s t
g e s te llt h ab en , sek u n d lich die E n ergie L = (K - v i ) .
A n d ererseits g ib t a b er d ie L u ft, w enn sie m it d er G esch w in d ig k e it v ' d u rch d as W in d ra d strö m t u n d d a b ei einen W id e rsta n d S e rfäh rt, die sek u n d lich e L e istu n g
L — S v ' (19)
ab . E s m u ß also sein
H ? L ( v \ - v \ ) = S v ' .
D ie K r a f t S m u ß a b er die M asse m vo n d er G esch w in d ig k e it v
1a u f die G esch w in d ig k e it v
2v erzö gern . N a c h d em Im p u lssa tz is t d em nach
S = m {v
1• v2) . (20) S etzen w ir diesen W e rt in die vo rh ergeh en d e G leich u n g ein und b e rü ck sic h tig e n au ßerd em , d a ß v i ~~ v l = (v i — vi) * ivi + v2) ist, so erh alten w ir
— \vi — v2) {v± + v2) = m (V! - v2) 1/ m oder
V1
+
V2! \
— — — = v . (21)
2 v ’
D a m it h ab en w ir nun alles, u m die zu jed e r A n fa n g s- u n d E n d g e sc h w in d ig k e it vx und v
2ge
h örige L e is tu n g L zu e rm itteln . E s ist n ach dem v o rsteh en d en
m = o F
0v' - q F
0Vl + ^ (22) u n d
1 * q F
0v
:1vl) = + v2)(v ! - u:i)|
I + — V
4 1
—(23 )
A m g rö ß ten w ird h iern ach die L eistu n g L , w en n w ir d a fü r sorgen, d aß
v
2_ 1
^7
“ 3 ( 24)H eft 46. 1
*8. 1 1 . 1927J
B e t z :
Die W indmühlen
i mLichte neuerer Forschung.
9 1 1w ird . Sie b e tr ä g t d an n
T l 6 Q „
m a x — F 0 V ° .
27 2
(25)D a es bei einem w irk lich en W in d ra d e k a u m
- T i
v21
m ö glich ist, dieses gü n stige V e rh ä ltn is — = — fü r die gan ze die W in d k reisfläc h e d u rch ström en d e L u ft zu erreichen, u n d d a au ß erd em , w ie w ir schon w issen, an den F lü g e ln selb st au ch noch V erlu ste a u ftre te n , so b le ib t die ta tsä c h lic h e L e is tu n g der W in d rä d e r h in te r diesem th eo retisch en M a x im a l
w e rt zu rü ck . D a s V e rh ä ltn is d er w irk lich en L e i
s tu n g L zu r th eoretisch en M a x im a lleistu n g _Lmax is t ein M aß fü r die G ü te d er W in d k o n stru k tio n und h a t eine äh n lich e B e d eu tu n g , w ie b ei anderen M aschinen d er W irk u n g sg ra d . W ir w ollen dieses V e rh ä ltn is als G ü teg ra d
C = j L ~ (26)
J-J m a x
b ezeich n en . F ü r die D a rste llu n g v o n V ersu ch s
ergebnissen is t v ie lfa c h ein e tw as and erer W e rt, d ie L eistu n g sziffer
L 16 .
°l ~ ---~ — £ 1 \
SL F v * 27 {27)
2
ge b rä u ch lich (vgl. F ig .
9 ). D a b e i is t zu b e a ch ten , d a ß d er th eoretisch e G re n zw ert fü r Ci n ic h t 1, sondern |-?- ist.
4
. Flügelabm essungen und Schnelläu figkeit.
W ir h ab en je t z t die G renzen der L e is tu n g s fä h ig k e it eines W in d rad es und die V o ra u ssetzu n g fü r die H ö ch stle istu n g kenn en gelernt. N u n ist d ie n äch ste F ra g e : W a s ist zu tu n , um die fü r die E rz ie lu n g d er H ö ch stle istu n g gü n stig ste A b b re m su n g — — — zu b ew irken . O ffe n b a r lie g t h ier
Vl 3
ein e B e d in g u n g fü r die G rö ß e und die A n z a h l der F lü g e l vo r, denn, w en n w ir dem W in d e ein zu d ich tes F lü g e lw e rk en tgegen setzen , so brem sen w ir ihn zu s ta r k a b ; nehm en w ir zu w en ig F lü g e l, so g e h t zu v ie l E n ergie u n g e n ü tz t d u rch d as R a d . E s is t ab er n ic h t allein die F lü g e lflä ch e, w elch e h ierfü r m aß geb en d ist, sondern au ch n och die G esch w in d ig k eit, m it d er sie u m lau fen . W ir h ab en im zw eiten K a p ite l die L eistu n g sau fn a h m e eines einzelnen F lü g e ls b erech n et (G leich u n g 17) und gefunden, d a ß sie au ß er vo n der F lü g e lflä c h e a u ch n och sehr s ta r k vo n dem V erh ä ltn is —
v ’ also v o n seiner E ig en b ew eg u n g , a b h ä n g t. W ir sehen d arau s, d a ß w ir, u m die gleiche W irk u n g zu e r
zielen, die F lü g e lflä ch e u m so k lein er m achen m üssen, je größ er die E ige n g esch w in d ig k eit der F lü g e l ist.
O hne w eiteres kön nen w ir allerd in gs die fü r den ein zeln en F lü g e l gelten d e G leich u n g 17 n ic h t a u f die F lü g e l des W in d rad es ü b ertragen , d a ja , w ie w ir schon w issen, die F lü g e l sich g egen seitig b e
einflussen. A b e r w ir kennen je t z t diesen E in flu ß :
er b e ste h t darin , d aß die W in d g esch w in d ig keit, w elch e a u f die F lü g e l w irk t, n ic h t die u n gestörte G esch w in d ig k eit v, sondern die klein ere v ' ist, u nd d a ß sich dem en tsprech en d die L e is tu n g v e r rin g ert. W ir können G leich u n g 17 a u f die F lü g e l des W in d ra d es anw enden, w enn w ir an S telle der u n g estö rten W in d gesch w in d ig k eit v die D u rc h flu ß g esch w in d ig k e it v ' einsetzen. W ir w issen aus dem vo rh ergeh en d en auch, d a ß w ir b em ü h t sein
v , , .. , v + v
22V
m üssen, v
2= — u n d d a m it v = - —
3 2 3
zu m ach en. W ir kön nen d ah er fü r n orm ale V e r h ältn isse anneh m en, d a ß au ch w irk lich an g en äh ert
, 2 v . v — --- ist.
3
N u n sind a lle V o ra u ssetzu n g en gegeben, u m die erfo rd erlich e F lü g e lg rö ß e zu berechnen. E in e k lein e E rsch w e ru n g lie g t allerd in gs n och darin, d a ß die E ig e n g esch w in d ig k eit u d er W in d m ü h len flü g e l fü r jed en R a d iu s anders ist. W en n co die W in k e lg e sc h w in d ig k eit des W in d rad es ist, so ist
W ir m üssen d ah er unsere Ü b erlegu n gen fü r jed en R a d iu s g e tre n n t vorn eh m en . B e tra c h ten w ir a n s ta tt der gan zen K reisfläch e des W in d ra d es eine R in g flä c h e vo n d er B re ite b und dem m it t
leren R a d iu s r (F ig. 8), so ist ihre Fig. 8. Ringför- F lä c h e A F = 2 m b . D a m it die miger Ausschnitt sek u n d lich h in d u rch strö m en d e aus der Windrad- L u ftm a sse m — 2 r jig b v ' a u f £ fläche, ih rer G esch w in d ig k e it a b g e
b re m st w ird, m u ß diese F lä c h e eine a x ia le K r a ft A S = m (v± — v2) = m f v = 2 r n b q f v2 a u sü b en 1. H a t d as R a d n -F lü g e l v o n d er T iefe t, und b e tr ä g t die W in k e lg e sc h w in d ig k eit des R a d es co, so is t fü r den b etreffen d en R in g q u e rsc h n itt u — reo und c = r o) j / ]1 + I . G em äß G lei-
\rco J
c h u n g 17 erh a lten w ir n ach einer kleinen U m fo r
m u n g, in dem w ir b each ten , d a ß A L — A S • v ' i s t :
A S = ca — n t b v 'z ^ra>
2
1 +4 / v 9 \rw
reo v'
3 reo I ----— e —
2 v D u rc h V erg le ich m it der vo rh ergeh en d en G leich u n g e rg ib t sich h ierau s
n t 16 / v \2
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j/ 1 +
9 \rco
r co v
•(28)
1 Dies trifft nicht genau zu, da während der A us
gleichströmung vor und hinter dem W indrade die Luftteilchen auch untereinander geringe axiale K räfte aufeinander ausüben. (Vgl. D.
Th o m a,Grundsätz
liches zur einfachen Strahltheorie der Schraube.
Zeitschr. f. Flugtechn. u. Motorl. 1925, S. 206.)
912
B e t z :Die W indm ühlen im L ichte neuerer Forschung.
[
Die Naturwissenschaften
