Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« Analiza matematyczna 1 (2015/2016) autorstwa dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Analizy matematycznej 1. Niektóre zadania zostaªy zaczerpni¦te z list publikowanych przez dr Jolant¦ Sulkowsk¡.
Paulina Frej
Lista 2 - Granice ci¡gów liczbowych.
1. Podaj¡c przykªady odpowiednich ci¡gów, uzasadni¢, »e poni»sze wyra»enia s¡ nieoznaczone.
0 0, ∞
∞, ∞ − ∞, ∞ · 0, 1∞, ∞0, 00,
2. (uzupeªnienie do zad. 24, 26 i 27 z listy GiS) Obliczy¢ poni»sze granice ci¡gów liczbowych.
(a) lim
n→∞
81n+ 9 (32n+ 3)(32n− 3), (b) lim
n→∞
pn2− 6n + 9 −p
n2+ 3n, (c) lim
n→∞(√
9n+ 3n−√
9n+ 1), (d) lim
n→∞
"r n + 1
n· √
n + 1 −√ n
# ,
(e) lim
n→∞
√1 + 4n2−√ 1 + 9n2
2n ,
(f) lim
n→∞
p3
n3− n2+ 1−p3
8n3− 1, (g) lim
n→∞
h np
2n2+ 1 −p
2n2− 1i, (h) lim
n→∞
√
n2+ 1(n − 1)2 3n2+ n2− 1 , (i) lim
n→∞
3n + 1 3n + 2
6n
,
(j) lim
n→∞
(n10+ 1)2 (1 − n2)10, (k) lim
n→∞
4n + 7 4n + 6
2n ,
(l) lim
n→∞
√3
8n+2+ 1
√4
16n+1− 3, (m) lim
n→∞
3
r n − 1 27n + 5, (n) lim
n→∞(√
n + 1 −√ n), (o) lim
n→∞(p3
n3+ 4n2− n), (p) lim
n→∞
3 · 32n− 3 4 · 9n+ 11, (q) lim
n→∞
(√3
n + 1)33 (√
n + 1)22,
(r) lim
n→∞
n +√ n3+ 7
√3
n2+ 5 − 4n, (s) lim
n→∞
(2n3+ 3)8 (2n4+ 7)6, (t) lim
n→∞
√3
8n+1+ 3 2n+ 1 , (u) lim
n→∞
√2√4 2√8
2 . . . 2n√ 2, (v) lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2 ,
(w) lim
n→∞
n3+ 3 2n3+ 1
5n3−4 ,
(x) lim
n→∞
2n2+ 2 2n2+ 3
3n2−5 , (y) limn→∞
2n −p
4n2+ 2n + 1, 3. Obliczy¢ granic¦ lim
n→∞
an+1
an , je±li an= 5nn!
nn .
4. (uzupeªnienie do zad. 25) Sformuªowa¢ twierdzenie o trzech ci¡gach i obliczy¢ poni»sze granice.
(a) lim
n→∞
√n
cos n + 2n+ 7n, (b) lim
n→∞
√n
5 · 3n+ 3 · 5n, (c) lim
n→∞
r 2n n+ en πn+ 3n,
(d) lim
n→∞
n2+ (−1)n 3n2− 5 , (e) lim
n→∞
3n3+ 7n sin(n + 1) − 9n3, (f) lim
n→∞
pn
n2− n + 1,
(g) lim
n→∞
√n
2n+ 5n+ 7n,
(h) lim
n→∞
n
s
3n+ sin2n 5n+ 2n ,
