Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 1 caªki niewªa±ciwe Rozgrzewka
1. Oblicz caªki niewªa±ciwe, je±li s¡ zbie»ne:
(a) Z 1
0
1
√3
xdx, (b)
Z π
2
−π
2
tg xdx, (c)
Z 1
−1
log |x|dx, (d)
Z ∞
−∞
1
1 + cosh xdx, (e) Z 1
−1
1
p1 − |x|dx.
2. Korzystaj¡c z kryterium porównawczego, rozstrzygnij zbie»no±¢ caªek:
(a) Z ∞ 0
arctg x
cosh x dx, (b) Z ∞ 0
arctg x
x dx, (c) Z ∞
−∞
e−x2dx, (d) Z ∞ 0
1 (1 + x)√
xdx.
3. Korzystaj¡c z kryterium Dirichleta, udowodnij zbie»no±¢ caªek:
(a) Z ∞ 0
sin x
√x + 1dx, (b) Z ∞ 0
cos(ex)dx, (c) Z ∞ 1
2x sin(x2) 1 + ln x dx.
Odpowiedzi:
1. (a) 32, (b) niezbie»na, (c) −2, (d) 2, (e) 4;
2. (a) tak, (b) nie, (c) tak, (d) tak.
3. (a) f(x) = √x+11 , g(x) = sin x, (b) y = ln x, f(y) =1y, g(y) = sin y, (c) f(x) =1+ln x1 , g(x) = 2x sin(x2).
wiczenia
1. Oblicz caªki niewªa±ciwe, je±li s¡ zbie»ne:
(a) Z 1
0
1
xadx, (b)
Z ∞ 0
e−xsin xdx, (c) Z ∞
−∞
1 x2dx, (d) Z ∞
−∞
1
4x2+ 12x + 10dx, (e) Z π 0
sin x
1 + 2 cos xdx, (f) Z π 0
ln(sin x) cos xdx.
2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych (a)
Z ∞ 0
1 + 2 sin x
cos x + x2 dx, (b) Z ∞
0
x2cos(ex)
1 + x2 dx, (c) Z ∞
1
sin(ln x)
x ln x dx, (d) Z ∞
1
sin(ln x)
x dx.
3. Udowodnij, »e je±li f, g s¡ ci¡gªymi funkcjami dodatnimi na (a, ∞) i limx→∞f (x)
g(x) = 1, to caªki R∞
a f (x)dx, Ra∞g(x)dx s¡ albo obie zbie»ne, albo obie rozbie»ne.
4. Sformuªuj i uzasadnij kryterium porównawcze dla caªek niewªa±ciwych postaci Rabf (x)dx, gdzie f jest ci¡gªa na [a, b) i nieograniczona w pobli»u b. Wykorzystaj to kryterium do uzasadnienia rozbie»no±ci caªki R01ln x1 dx.
5. Udowodnij, »e zbie»na jest caªka R0∞x sin(ex)dx. Zauwa», »e lim sup
x→∞
x sin(ex) = ∞. 6. Podaj przykªad nieujemnej funkcji f(x) takiej, »e R0∞f (x)dxjest zbie»na i lim sup
x→∞
f (x) = ∞. 7. Rozstrzygnij zbie»no±¢ caªek w zale»no±ci od warto±ci parametrów:
(a) Z ∞
0
1
xa(1 + x)b dx a, b ∈ R, (b) Z ∞
0
xae−xdx a ∈ R, (c) Z 1
0
1
xa(1 − x)b dx, a, b ∈ R, (d) Z ∞ 0
sin x
xa dx, a ∈ R.
Mateusz Kwa±nicki
Wskazówki:
1. • zbie»na gdy a < 1
• zbie»na
• rozbie»na
• zbie»na
• rozbie»na
• zbie»na
2. • kryterium porównawcze
• kryterium Abela oraz rozgrzewka 3(b)
• kryterium Dirichleta
• ªatwo znale¹¢ funkcj¦ pierwotn¡
3. • kryterium porównawcze
4. • je±li |f(x)| ≤ g(x), Rabg(x) jest zbie»na, F (t) = Ratf (x)dx, G(t) = Ratg(x)dx, t < s, to
|F (t) − F (s)| =
Z s
t
f (x)dx
≤ Z s
t
|f (x)|dx ≤ Z s
t
g(x)dx = G(s) − G(t) ;
dla dowolnego ci¡gu tn → b ci¡g (G(tn)) speªnia warunek Cauchy'ego; zatem i (F (tn)) speªnia warunek Cauchy'ego; wobec tego F ma granic¦ w b
• lnx1 ≤ 1x− 1, zatem 1−xx ≤ −ln x1 dla x ∈ (0, 1) 5. • podstawienie x = ln y, kryterium Dirichleta
6. • np. funkcja, której wykres jest ªaman¡ o (niesko«czenie wielu) wierzchoªkach w punktach (n − 1, 0), (n −2n+11 , 0), (n −2n+21 , n) dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1
7. • a < 1, a + b > 1
• a > −1
• a > −1, b > −1
• 0 < a < 2
