Analiza matematyczna 2 lista zada« nr 8 funkcje wielu zmiennych

Analiza matematyczna 2

lista zada« nr 8 funkcje wielu zmiennych Rozgrzewka

We wªasnym zakresie...

‚wiczenia

1. Udowodnij twierdzenie o warto±ci ±redniej dla caªek: je±li na przedziale [a, b] funkcja f jest ci¡gªa, a g caªkowalna i nieujemna, to istnieje ξ ∈ [a, b] takie, »e

Z _b

a

f (x)g(x)dx = f (ξ) Z _b

a

g(x)dx.

Nieco mocniejsza wersja wymaga, aby ξ ∈ (a, b).

2. Reszta we wzorze Taylora w postaci caªkowej wyra»a si¦ wzorem

Rn(x, h) = 1 n!

Z h 0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x + s)(h − s)ⁿds.

Udowodnij, »e dla pewnych ξ, η zawartych mi¦dzy x i x + h zachodzi

Rn(x, h) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)hⁿ⁺¹

(n + 1)! oraz Rn(x, h) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(η)(h − η)ⁿh

n! .

Wskazówka: poprzednie zadanie.

3. Napisz wzór Taylora z pierwsz¡ i drug¡ reszt¡ dla funkcji f(x1, x₂) = (x₁)^x2. Oblicz przybli»on¡

warto±¢ 0, 99^0,99.

Wskazówka: f(x¹, x2) = e^{x2ln x1}.

4. Napisz wzór Taylora z pierwsz¡ i drug¡ reszt¡ dla funkcji f(x1, x₂) = ^{cos x}_{cos x}¹

2. 5. Znajd¹ f⁰(1)oraz f⁰⁰(1)dla funkcji uwikªanej y = f(x) danej równaniem

(x + y)^−xy = 1 2, je±li wiadomo, »e f(1) = 1.

6. Znajd¹ _∂x^∂₁²_∂x^f ₂(1)dla funkcji uwikªanej y = f(x1, x2) danej równaniem y^x1 + y^x2 = 18 ,

je±li wiadomo, »e f(2, 2) = 3.

Mateusz Kwa±nicki