Analiza matematyczna - lista zada« nr 5
Zad 1. Po wykresie paraboli y = 1 − x2 chodzi mucha, zaczynaj¡c spacer w punkcie (−1, 0) i id¡c w prawo. W punkcie (54, 0) le»¡cym poza parabol¡
czeka paj¡k. W którym punkcie wykresu mucha zauwa»y paj¡ka ? Zaªó»my,
»e mucha przeszªa niezauwa»ona obok paj¡ka. W którym punkcie paraboli mucha mo»e czu¢ si¦ bezpieczna tzn. paj¡k nie mo»e jej zauwa»y¢ ?
Zad 2. Uzasadnij, »e nast¦puj¡ce nierówno±ci sa prawdziwe dla podanych x:
x3−3x+2 ≥ 0 dla x ≥ 1, sin x ≤ x dla x ≥ 0; x
x + 1 ≤ ln(x + 1) dla x ≥ 0.
Zad 3. Wyznacz dziedziny, przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema lokalne funkcji. Nast¦pnie znajd¹ warto±ci najwieksze i najmniejsze na podanych przedziaªach:
y = x3+ 3x2− 9x + 3, [−2, 2], y = x3+ 5x, [0, 1], y = xex, [−1, 1], y = x
ln x, [0, 3], y = sin¡ x2¢
, [0, π], y =ln(cos x), [−π 4,π
4].
Zad 4. Wyznacz przedziaªy wkl¦sªo±ci, wypukªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji:
y = x3− 5x2+ 3x, y = 2x − 3 x + 1 .
Zad 5. Podaj wzór na n-t¡ pochodn¡ podanych funkcji i oblicz pi¦¢ pier- wszych pochodnych w punkcie x0:
y = cos x, x0 = 0, y = e3x, x0 = 0, y = ln (x + 1), x0 = 0, y =√
x, x0 = 1.
