Matematyka dla Chemik´ow Lista 1
(1) Pierwsze oszacowanie warto´sci liczby π pochodzi od Archimedesa i wygla
‘da naste
‘puja
‘co
223
71 < π < 22 7 . Jaki maksymalny b la
‘d w wyznaczaniu warto´sci π mo˙ze zosta´c pope lniony przy u˙zyciu powy˙zszego oszacowania? Wiedza
‘c, ˙ze π = 3, 141592653589 . . . oblicz z dok ladno´scia
‘do kt´orego miejsca po przecinku oszacowania podane przez Archimedesa zgadzaja
‘sie
‘ z rzeczywista
‘warto´scia
‘liczby π.
(2) Upro´s´c wyra˙zenia: a2a3, a3a−3, a3a−4, a5/a−4, (a3)2, (a2)−3, (1/a2)−4, a1/2a1/3, (a3b6)2/3, (a2+ b2)1/2, (32)3/5, (27)−4/3.
(3) Oblicz
69800
59800, (0, 123)9000 (0, 125)9000 (4) Wymn´o˙z (x − 2)(2x + 3)(x − 5).
Roz l´o˙z na najprostsze mo˙zliwie czynniki:
4x2− 9, x2+ 6x + 5 Upro´s´c:
x
3x2+ 2x, x2− 4
x − 2, x2+ 3x + 2
x2+ x + 2 , 2x2− 3x + 1 x2− 3x + 2 (5) Rozwia
‘˙z nier´owno´sci:
x(x −2 3)(x +1
3) < 0, (2x − 3)(4x + 1)
x − 2 > 0, 3x2− 2x − 1 ≥ 0
|2x = 1 3| > 2
3, 0 < |x − 1| < 0, 5 (6) O ile procent wzro´snie pole ko la, je˙zeli jego obw´od zwie
‘kszymy o p ? (7) Ile wynosi 4 % odwrotno´sci r´o˙znicy kwadrat´ow liczb 25 i 15?
(8) W trakcie promocji w salonie BMW auta sprzedawane sa
‘bez podatku VAT wynosza
‘cego 22%. O ile procent sa
‘ta´nsze auta podczas promocji?
(9) Mieszamy dwa roztwory alkoholowe A i B. A zawiera p% alkoholu, a B zawiera q%. Ile procent alkoholu zawiera mieszanina? Niech p = 20%, q = 10%. Jaka mieszanka tych dw´och roztwor´ow zapewni 100 ml alkoholu?
Niech x oznacza obje
‘to´s´c A, a y oznacza obj. B. Napisz r´ownanie wia
‘˙za
‘ce x, y i 100. Narysuj odpowiedni wykres.
(10) Rozwa˙zamy zanieczyszczenie powietrza w du˙zym mie´scie w s loneczny dzie´n.
O 8:00 rano wynosi ono 20 cza
‘steczek zanieczyszczenia na milion cza
‘steczek powietrza, a naste
‘pnie przyrasta liniowo o 15 cza
‘steczek na milion co godzine a˙z do 15:00. Niech P (x) oznacza ilo´s´c zanieczyszczenia powietrza w godzinie‘ x po 8:00.
a) Podaj wz´or na P (x).
b) Jakie jest zanieczyszczenie o 13:00?
c) Jaka jest pre
‘dko´s´c wzrostu zanieczyszczenia powietrza?
1
2
(11) Narysuj, na tym samym uk ladzie wsp´o lrze
‘dnych, wykresy fukcji y = mx−2 dla m ∈ {2,12, 0, −12, −2}.
(12) Napisz r´ownanie prostej przechodza
‘cej przez podane dwa punkty:
(1,3) i (7,5); (2,3) i (–5,3), (2,7) i (2, –3).
(13) Znajd´z warto´s´c funkcji f (x) = 3x + 2, je´sli 2x + 1 = 0.
(14) Je´sli f (x) = x2− 3x − 4, czym jest f (a + 3)?
(15) Dla f (x) = 2x − 1 i g(x) = 3x + 1 wyra´z f (g) jako funkcje
‘ zmiennej x.
(16) Dla podanych funkcji h znajd´z funkcje f i g takie, ˙ze h = g(f ):
h(x) = (1 − x2)3/2, h(x) = 1
(x + 3)2+ 1, h(x) =p|x| − 1 (17) Wyra´z x jako funkcje
‘ y i naszkicuj wykresy funkcji y(x) i x(y):
y =p
x2+ 1, √
y = x2+ 1, y = x − 1 2x + 1 (18) Z r´ownania stanu gazu dla niewielkich ci´snie´n
pVm= RT (1 + B Vm), gdzie p jest ci´snieniem, Vm- obje
‘to´scia
‘molowa
‘, T - temperatura
‘, R - sta la
‘, wyra´z wsp´o lczynnik B w postaci jawnej funkcji pozosta lych zmiennych.
(19) Sta la dysocjacji Ka> 0 i stopie´n dysocjacji α > 0 s labego jednoprotonowego kwasu o ste
‘˙zeniu c > 0 spe lniaja
‘r´owno´s´c Ka = α2c
1 − α. Wyznacz α jako funkcje
‘ Ka i c.
(20) Podziel i przedstaw wynik w postaci sumy wielomianu i w la´sciwej funkcji wymiernej:
2x − 1
x + 3 , 3x3− 2x2− x + 4 x + 2 (21) Dla funkcji 3x3− 4x2− x + 2
(a) sprawd´z, ˙ze x = 1 jest jednym z jej pierwiastk´ow (b) oblicz pozosta le pierwiastki
(c) zapisz funkcje
‘ w postaci czynnik´ow liniowych (d) naszkicuj jej wykres, znajduja
‘c punkty przecie
‘cia z osiami oraz za- chowanie dla x → ±∞.
Przedstaw w postaci u lamk´ow prostych 1
(x − 1)(x + 2), x + 2
x(x + 3), x2+ 2x − 1 (x − 1)2(x + 2) i naszkicuj wykresy tych funkcji.
